21导数与微分
§2.1
导数与微分
一、导数与微分概念 1.
导数的定义
设函数y = f x 在点x 0的某邻域内有定义，自变量 x 在x 0处有增量 x ，相应地函 数增量y = fxo
x^f X 。，如果极限
lim y
= lim
i x ―r°
“X -x
~
：0
存在，则称此极限为函数f x 在x 0处的导数（也称微商），记作f ? x 。或
等，并称函数 y = f x 在点X 。处可导，如果上面的极限
救
不存在，则称函数 y = f x 在点x 0处不可导。
导数定义的另一等价形式，令
X = X 。=X ，匚X = X - X 。，则
"。）訥
f
（x ）—f
（x 。）
X f
x — x 。
设 f(X 0)=2，求啊 f
(X 0 3*f(X 0?
解 原式=「m * (x 。十
3
也x) - f (x °)】-[f(x ° —2也x) - f (x °)】 八式—蚂
f(X 。
3
"
f(X
。)2 lim 讥一
2
*
仗。)
3 x x 灯
-2 x
=3f （x 。）2f （x 。）=5f （x 。）=10
【。1】设f （。）二。，贝y f （x ）在点x
二。可导的充要条件为（）
【例1】
=
3li
m 。
选B
【07】设f(x)在X = 0连续，下列命题错误的是() (A )若 lim
f(x)
存在，则 f(0) =0. (B )若 lim
X-屮 x
x
^0
(C )若 lim
f(x)
存在，则「(0)存在?( D )若 lim
f (x)
一
f(
— x)存在，则「(0)存
T X 7
X
在.
选C
2
【例2】 设曲线y = f(x)与y 二s in x 在原点相切，求limnf().
f n
解 由题设可知 f (0) = 0，f (0) = (Sin x/ Xz0 =1
【例3】 设f x ]： [x - a g x ，其中g x 在点a 处连续，求「a 。
解 丫没有假设g x 可导，所以不能用导数的乘法公式，我们就用导数的定义
f x ；J f a \ ix - a
g x ； -0 -1—— =迎g(x )= g (a 卜
(A ) h 击 fd-COSh)存在.
(B )
mT Hh
1 一
h
叫
Hh D
f(x) f
3 存在，则 f(0)=0. 于是
lim nf
f - -f(0) n =2f (0) =2
--0 n
f a = lim
x _a
x _a
【例4】设f (x )=(x n—a n)x —a ( n为正整数)，求f'(a )。
解x-a在点a处连续而不可导,
* n n 」 c
”f(x)-f(a) (x -a)x-a-0
f (a )=lim —=lim -------- ------
x T x-a —x-a
=l i 寂二+ ax “ 知川+ a 一n), - a = 0
x_
我们也引进单侧导数概念。
右导数：f xo=lim?鼻=lim f & %电
心说+ x_x() 心0十A x
左导数：f飞=lim —A」im丄2^二0
x—x0A x
则有
f x在点X o处可导：=f x在点X o处左、右导数皆存在且相等。
-x x c 0
【例5】讨论函数y = f(x)=x tx x，0在xo"处连续性与可导性。
解函数y = f x〕=x在x0=0处连续，因为
f 0 =0
lim f x = lim f -x = 0
x―0 - x―0 -
lim f x = lim x = 0
x「0 x「0 '
但是，在x0 =0处f x没有导数，因为
x 空1
试确定a b 的值，使f (x )在点x = 1 x A 1
处可导。
解：可导一定连续，.f x 在x = 1处也是连续的,
f 1-0 = lim f x = lim x 2
= 1 f 1 0 =lim f x = lim ax b = a b
要使f x 在点x =1处连续，必须有 a - b = 1或b=1-a
又 f_1 “imU 」=lim
lim x 1 =2
x —1 _ x -1 x —1 — x _ 1 x T_
f . 1 =lim 丄^ 」=lim
X T + x_1 X T + x —1
要使f x 在点X =1处可导，必须 f_1 =f 1 ,即 2二a 故当a=2, b=1-a=1-2 = -1时，f x 在点x = 1处可导。
i 1
3n
【05】设函数f(x)=lim@1 + x ，贝U f (x)在(一严，^)内
n —ac 丫 (A )处处可导
(B )恰有一个不可导点
(C )恰有两个不可导点
(D )至少有三个不可导点
选C
f ：(0 )= lim — = lim
0 .：x
-0
I \x
L X
im x
= lim — =1
f _ 0 = f 0 曲线 y = x 在原点的切线不存在(见上图)
* 2
【例6】设函数f X =
x
.ax + b
x 2
-1 ax b -1
2.导数的几何意义与物理意义
如果函数y二f x在点x。处导数f X。存在，则在几何上「x0表示曲线
y = f x 在点X o , f X o 处的切线的斜率。
切线方程 y_f X o = f X o X -X o
设物体作直线运动时路程
S 与时间t 的函数关系为 S = f t ，如果「t o 存在，则
f t o 表示物体在时刻t o 时的瞬时速度。
1
* 1 " 一
【例1】 证明曲线y= —(x>o)上任一点 刈，一 处切线与两坐标轴所围成的直角
X
< X
o J
三角形面积恒为2.
1 -1
证所求切线方程为y -丄二冷x -x o X
o Xo
令y =o ,得切线截X 轴的截距X =2x o ，
2
令x = 0，得切线截y 轴的截距Y 二二，
x o
一 1 1 2 直角三角形面积
S= —XY = —(2x o ) — =2
2 2、\x o 丿
往年考研以填空题为主
【。8】曲线sin(xy) +1 n( y —x) =x 在点(o,1)处的切线方程是 _
隐函数求导，y=x ，1
3. 函数的可导性与连续性之间的关系
如果函数y 二f x 在点x o 处可导，则f x 在点x o 处一定连续，反之不然，即函数
法线方程:
1
…“ =r X —Xo
f X o -o
y = f (x )在点X o处连续，却不一定在点X o处可导，例如，y = f (x )= x，在x° = o处
连续却不可导。
4.微分的定义
设函数y二f x在点X）处有增量x时，如果函数的增量二f x0 f x0有下面的表达式旳二A x x o L X
其中A x o与x无关，0 x是Ax）0时比x高阶的无穷小，则称f x在X。处
可微，并把冷中的主要线性部分A x。. x称为f x在x0处的微分，记以dy l x仝或
我们定义自变量的微分dx就是x。
5.微分的几何意义
二y = f x0_x - f x0是曲线y = f x 在点x0
处相应于自变量增量x的纵坐标f x^的增量，微分
dy|x去是与曲线y = f x在点M° x°, f x0处切线
的纵坐标相应的增量（见图）
6.可微与可导的关系
f x在x°处可微=f x在x°处可导，且dy良之=A x x=「冷dx.
一般地，y 二f x，则dy 二「x dx，
所以导数「x二包也称为微商，就是微分之商的含义。
dx
7.高阶导数的概念
如果函数y = f x的导数y" = f x在x0处仍是可导的，则把y =「x在点x0处
的导数称为y = f （x）在点x0处的二阶导数，记以y或y"（x（））或^4 等，也称
X=0 人xz
f x在点X0处二阶可导。
导数与微分(经典课件)
导数与微分 引 言 导数与微分是数学分析的基本概念之一。导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。导数的概念在于刻划瞬时变化率。微分的概念在于刻划瞬时改变量。 求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。本章主要内容如下： 1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义； 2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念； 3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。 4． 可导与连续，可导与微分的关系。 §1 导数的概念 教学内容：导数的定义、几何意义，单侧导数，导函数，可导与连续的关系，函数的极值。 教学目的：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义 出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连 续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线 方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。 教学重点：导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。 教学难点：导数的概念。 教学方法：讲授与练习。 学习学时：3学时。 一、导数的定义： 1．引入（背景）： 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。 在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。 问题1。直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确 定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。 取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00) ()(t t t s t s v --= ， 当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：0 0) ()(lim t t t s t s v t t --=→。 问题2。曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为)(x f y =，求此曲线在点),(00y x P 处的切线。 在曲线上取临近于P 点的某点),(y x Q ，则割线PQ 的斜率为：0 0) ()(tan x x x f x f k --= =α， 当Q 越接近于P ，割线PQ 斜率就越接近于曲线在点P 处的斜率，于是曲线在点P 处的斜率： 0 0) ()(lim x x x f x f k x x --=→.
高数第三章一元函数的导数和微分
第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题
二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）
的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】
三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解
闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解
选修2-2导数与微积分教师版
情境一 大家可能都有过吹气球的回忆。在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢问题1：我们曾经学习过球的体积公式，对一个半径为r（单位：dm）的球，其体积)r( V(单位：L)可以怎样表达 问题2：若将r表示成V的函数能得到什么关系式 问题3：当球中空气从0增加至1L时，气球半径增加多少气球的平均膨胀率是多少 问题4：当球中空气从1L增加到2L时呢你得到了什么结论（此处均需要学生动手计算，教师在旁巡视、监督并做出适当的指导） 情境二 播放郭晶晶、吴敏霞在2008年北京奥运会上跳水比赛夺冠录像片段，让学生在情景中感受速度变化，学生通过计算回答问题。问题1：设郭吴二人相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s) 存在函数关系h(t)=++10，如果用她们在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:（1）在0≤t≤这段时间里,运动员的平均速度为多少（2）在1≤t≤2这段时间里, 运动员的平均速度为多少 问题2：计算郭吴在0≤t≤ 65 49 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题: (1) 她们在这段时间里是静止的吗 (2) 你认为用平均速度描述她们的运动状态有什么问题吗 问题3：当郭吴起跳后的时间从t1增加到t2时,运动员的平均速度是多少 通过以上的课堂活动，是学生逐步归纳出两个情景的共性，引出函数的平均变化率的概念： 一般地,函数y=f(x)中，式子21 21 ()() f x f x x x - - 称为函数 f(x)从x1到x2的平均变化率。其中令 21 x x x ?=-，21 ()() y f x f x ?=-，则: 21 21 ()() f x f x y x x x -? = -? 。 归纳概念的过程，体现了从特殊到一般的数学思想。思考：（1）x ?,y ?的符号是怎样的（2）平均变化率有哪些变式（3）观察函数f(x)的图象平均变化率21 21 ()() f x f x y x x x -? = -? 表示什么（左图）
一元函数(导数与积分)课堂训练题
填空题 1.下列各极限正确的是 （ ） A 、e x x x =+ →) 11(lim 0 B 、e x x x =+ ∞ →1 )11(lim C 、11sin lim =∞ →x x x D 、 11sin lim 0 =→x x x 2.不定积分=-? dx x 2 11 （ ） A 、2 11x - B 、 c x +-2 11 C 、x arcsin D 、 c x +arcsin 3.若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有 （ ） A 、0)('
第2章导数与微分总结
1、极限的实质是：动而不达 导数的实质是：一个有规律商的极限。规律就是: 2、导数的多种变式定义： lim 丄一x) f °)是描述趋近任意 x 时的斜率。而 x 0 3、I 若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率， 如果趋近到了 x0,得到 的就是这点的斜率一一导数。 4、可导与连续的关系: 1基础总结 lim -= lim x 0 x x 0 f(x X)f(x) x lim x x o f(x ) f (x o ) X o 叫 号严可以刻画趋近具体 x0 时的斜率。 li m o 要注意细心观察发现,
导数的实质是定义在某点的左右极限。 既然定义在了某点上，该点自然存在，而 且还得等于左右极限。因此，可导一定是连续的。反之，如果连续，不一定可导。 不多说。同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定 极限有可能存在，但是导数绝不会存在。 同理要注意左右导数的问题。如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存 在的。如： f(x) x,x 0 这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。为什么嫩？看定义: 万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该 点必须存在! 由此引发了一些容易误判的血案: 例如: A 旦主^謎I C m F 左电鼓 pg 总生戟乞 f ( x) f (x) -中的f(x))至u 底是神马。比如求上图 lim f(x x) f(x) x 0 x lim f(X X)f(0) 。 x 0 定义里面需要用到f(0)啊！因此，千 中 iim f (x )论) x 1 x x 0 ,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1 ！ 定义解决时候一定要注意问。 X X o
导数和微分的概念
一元函数微分学 §1 导数和微分的概念 基本概念 1. 导数定义 00000)()(lim lim )()(lim 0x x x f x f x y x x f x x f x x x x --=??=?-?+→→?→? 0|)()(00x x dx dy x y x f =='='= 几种极限形式都要掌握 函数在某点可导即上述极限存在，极限存在?左右极限都存在且相等，左极限为左导，右极限为右导， )(lim 00x f x y x --→?'=??， )(lim 00x f x y x ++→?'=?? 导数定义是非常重要的概念，一定要灵活掌握。 2. 导函数)(x f ',dx dy . f (x )在（a , b ）可导, f (x )在[a , b ]可导 3. 可导与连续的关系 可导一定连续，但连续不一定可导（如函数||x y =在x =0点处连续，但是不可导） 4. 导数的几何意义 切线方程：))((000x x x f y y -'=-； 法线方程：)() (1000x x x f y y -'- =- 0)(0≠'x f ， 5. 微分的定义
微分的几何意义 6. 微分与导数的关系 )(x f 在x 处可微?)(x f 在x 处可导，且dx x f dy )('= 同时 dx x f dy x x )(|00'==。 §2 导数与微分的计算 基本概念 1. 基本初等函数的导数、微分公式（书159页，166页） 2. 导数（微分）四则运算公式 )()())()((x g x f x g x f '±'='±， )()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='， 特别地 )())((x f k x kf '='， ) ()()()()())()((2x g x g x f x g x f x g x f '-'=' 特别地 ) ()())(1(2x f x f x f '-='。 后面两个公式不要记错。 3. 复合函数的求导法则 如何正确运用好复合函数求导法则（必须明确函数的复合过程），并且应到最后一层复合 4．高阶导数（计算同一阶导数）。
高等数学教案ch_2_导数与微分.
第二章导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法 线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 4、会求分段函数的导数。 5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 吐1导数概念 一、引例 1 .直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻t质点的坐标为s s是t的函数 s f(t) 求动点在时刻t0的速度 考虑比值 s S o f(t) f(t o) t t o t t o 这个比值可认为是动点在时间间隔t t o内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t o的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令t t o o取比值
f(t) f(t o )的极限 如果这个极限存在 设为v 即 t t o ..f(t) f(t o ) v lim — t t o t t o 这时就把这个极限值 v 称为动点在时刻t 0的速度 2.切线问题 设有曲线C 及C 上的一点M 在点M 外另取C 上一点N 作割线MN 当点N 沿曲线C 趋 于点M 时 如果割线MN 绕点M 旋转而趋于极限位置 MT 直线MT 就称为曲线C 有点M 处的切 线 设曲线C 就是函数y f(x)的图形 现在要确定曲线在点 M(x o , y o )(y o f(x o ))处的切线 只要定 出切线的斜率就行了 为此在点M 外另取C 上一点N(x, y)于是割线MN 的斜率为 tan y y o f(x) f(x o ) 为割线MN 的倾角 当点N 沿曲线C 趋于点M 时x x o 如果当x o 时上式的极限存在 k 即 f (x) f (x o ) k lim —— x x o x x o 则此极限k 是割线斜率的极限 也就是切线的斜率 这里k tan 其中 是切线MT 的倾角 通过点M(x o , f(x o ))且以k 为斜率的直线 MT 便是曲线C 在点M 处的切线 二、导数的定义 1函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限 f (x) f (x o ) lim ---------- ~°L x x o x x o 令 x x x o 则 y f(x o x) f(x o ) f(x) f(x o ) x x o 相当于 x O 于是 lim ―"') 成为 .. y f (x o x) f (x o ) lim d 或 lim --------------- - -- x O x x O x 定义 设函数y f(x)在点x o 的某个邻域内有定义 当自变量x 在x o 处取得增量 x(点x o x 仍在该邻域内)时相应地函数y 取得增量y f(x o x) f(x o )如果y 与x 之比当x O 时的极限 存在 则称函数y f(x)在点x o 处可导 并称这个极限为函数 y f(x)在点x o 处的导数 记为y |x x o y .. f (x o x) f (x o ) f (x 0)lim — lim 0 — x 0 x x 0 其中 设为 存在 于是
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。
5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。
最新导数和微分的概念
导数和微分的概念
一元函数微分学 §1 导数和微分的概念 基本概念 1.导数定义 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 几种极限形式都要掌握 函数在某点可导即上述极限存在，极限存在?Skip Record If...?左右极限都存在且相等，左极限为左导，右极限为右导， ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...? 导数定义是非常重要的概念，一定要灵活掌握。 2.导函数?Skip Record If...?,?Skip Record If...?. f(x)在（a, b）可导, f(x)在[a, b]可导 3.可导与连续的关系 可导一定连续，但连续不一定可导（如函数?Skip Record If...?在x=0点处连续，但是不可导） 4.导数的几何意义 切线方程：?Skip Record If...?； 法线方程：?Skip Record If...? ?Skip Record If...?， 5.微分的定义 微分的几何意义 6.微分与导数的关系
?Skip Record If...?在x处可微?Skip Record If...??Skip Record If...?在x处可导，且?Skip Record If...? 同时 ?Skip Record If...?。 §2 导数与微分的计算 基本概念 1.基本初等函数的导数、微分公式（书159页，166页） 2.导数（微分）四则运算公式 ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?， 特别地 ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...? 特别地 ?Skip Record If...?。 后面两个公式不要记错。 3.复合函数的求导法则 如何正确运用好复合函数求导法则（必须明确函数的复合过程），并且应到最后一层复合 4．高阶导数（计算同一阶导数）。 §3 中值定理 基本概念
一元函数微分学知识点
第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞ ∞或00型，)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算：
基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法
2第二章 导数与微分答案
第二章 导数与微分答案 第一节 导数概念 1．填空题. （1） ()'f 0= 0； （2） (2, 4) （3） 1 . （4） =a 2 ，=b -1 . 2．选择题. （1）B ； （2）B ； （3） C ； （4）D ； （5） B ； （6）B 3．解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知 ()().5)21(lim 2 ) 22(lim 22lim )2()2(22222' =++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t 4．设()? x 在x a =处连续，()()()f x x a x =-?， 求()'f a ；若)(||)(x a x x g ?-=，()x g 在x a =处可导吗？ 解（1）因为()? x 在x a =处连续， 故)()(lim a x a x ??=→，所以 ()()()).()(lim 0 )(lim lim )('a x a x x a x a x a f x f a f a x a x a x ???==---=--=→→→ （2）类似于上面推导知 ()()()),(0 )(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??=---=--=++ →→+ ()()()).(0)(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??-=----=--=--→→- 可见当()0=a ?时，()0)(' ==a a g ?；当()0≠a ?时，())(' ' a g a g -+≠， 故这时()x g 在x a =处不可导。 5．求曲线y x =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 ,4|4|131'1=====x x x y k 从而所求切线方程为 ),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y .
高考真题第十四篇一元函数的导数及其应用
高考真题第十四篇一元函数的导数及其应用 一、导数的几何意义、定积分与微积分基本定理 二、导数的综合应用 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理 2019年 1.（2019全国Ⅰ理13）曲线在点处的切线方程为____________． 2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线在点处的切线方程为y =2x +b ，则 A ． B ．a=e ，b =1 C ． D ． ， 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线() y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 2．(2016年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01, ln ,1, x x x x -<?图象上点1P ，2P 处的切 线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞) D ．(1,+∞) 3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线 互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x = B ．ln y x = C ．x y e = D ．3 y x = 4．(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足 2 3()e x y x x =+(0)0， e ln x y a x x =+1e a （，）e 1a b ==-，1e 1a b -==，1e a -=1b =-
一元函数的导数公式和微分
一、一元函数微分学 一元函数微分学由导数和微分组成。导数：样本量随自变量的变化而变化的快慢程度；微分：曲线的切线上的纵坐标的增量。 二、常数和基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1)(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1)(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 2 11)(arcsin x x -= ' (14) 2 11)(arccos x x -- =' (15) 2 1(arctan )1x x '= + (16) 2 1(arccot )1x x '=- + 三、函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'= ' ??? ?? 四、反函数求导法则
若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y = 在对应区间x I 内也可导，且 )(1 )(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 五、复合函数求导法则 设)(u f y = ，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数 )]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 六、高阶导数的莱布尼兹公式 七、隐函数的导数 一般地，如果变量x ，y 之间的函数关系是由某一个方程 ()0,=y x F 所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数. 对数求导法 根据隐函数的求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法.它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导.这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导，
导数在经济学中的应用
引言 近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。 1、导数的概念 早在法国数学家费马探究极值问题时就将导数的思想引入了，但导数思想是在英国数学家牛顿研究力学和德国数学家莱布尼茨研究几何学的过程中正式建 2、经济分析中常用的函数 由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。经济分析中常用的函数主要有以下四类： 2.1需求函数 需求函数指在特定的时间，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸多
自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为()P f Q d =，其中，P 为商品的价格，Q d 为商品的需求量。这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在一 一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。 例1：服装店销售某种衬衫的件数Q 与价格P 是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。 解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：b aP Q += 则b a +=100120；b a +=80200 解得4-=a ；520=b 所以需求函数为5204+-=P Q 。 2.2供给函数 一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期在各种可能的价格下，愿意且能够提供出售的该种商品数量。[3]我们通常通过将除价格外的其他因素看成常量以达到化简问题的目的。所以，供给函数可以用()P f Q s =表示，其中，P 为商品的价格，Q S 为商品的供给量。可以看出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）的价格与供给量之间成同方向变动的关系。 例2：已知大蒜的收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高0.5元，每星期可收购2500千克，求大蒜的供给函数。 解：设大蒜的线性供给函数为：b aP Q += 则b a +=42000；b a +=5.42500 得1000=a ；2000-=b 所以供给函数为为：20001000-=P Q 2.3成本函数 产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用度支出。成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。产品成
一元函数的导数及其应用作业手册答案
课时作业(十四) 1.D [解析] 依题意有f'(x )= 1x ·√2x -2×1 2 ×(2x )-12·lnx 2x ,故f' 1 2 = 2+ln2 1 =2+ln 2,故选D . 2.A [解析] 当x=1时,f (1)=-2+0=-2,所以切点为(1,-2),由题得f'(x )=-2+1x ,所以f'(1)=-2+11 =-1,所以切线方程为y+2=-1×(x-1),即x+y+1=0,故选A . 3.A [解析] 由题意,f'(x )=2x+2f'(1),则f'(1)=2+2f'(1),解得f'(1)=-2,故f (x )=x 2-4x.故选A . 4.B [解析] f'(x )=-sin x-f' π2 ,令x=π2,得f' π2 =-12,即f (x )=cos x+12x.f (0)=1,f'(0)=12 ,所以l 的方程为 y=12 x+1,结合选项可知直线2x+y+1=0与直线l 垂直.故选B . 5.32 [解析] ∵f'(x )=2x -x ,f'(1)=-1 2 ,又∵f (1)=1,∴切点是(1,1),∴切线方程是y-1=-1 2 (x-1),将点(0,a )代入, 解得a=12 +1=32 . 6.D [解析] 令f (x )=x 3-4x+4,则f'(x )=3x 2-4,f'(1)=-1,设切线的倾斜角为α,则tan α=-1,可得α=135°.故选D . 7.A [解析] 由题意,得f'(x )=ln x+1,∴f'(1)=1,又f (1)=a ,∴切线方程为y=x-1+a.∵切线过原点,∴0=0-1+a ,解得a=1.故选A . 8.A [解析] 由题意知,函数f (x )是定义在R 上的奇函数,可得f (0)=0,即f (0)=-m=0,解得m=0,即当x ≤0时,函数f (x )=x 3-2x ,则f'(x )=3x 2-2,所以f'(-2)=3×(-2)2-2=10,由奇函数的导函数为偶函数,可知f'(-2)=f'(2)=10,即曲线y=f (x )在点P (2,f (2))处的切线斜率为10.故选A . 9.B [解析] 由y=2x ln x ,得y'=2×ln x+2x×1x =2ln x+2,所以y'|x=e =2+2=4,且y|x=e =2e,所以切线方程为y-2e =4(x-e),即y=4x-2e,此切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为e 2 ,0,(0,-2e),所以切线与坐标轴围成的三 角形面积S=12×e 2 ×2e =e 22 .故选B . 10.C [解析] 设直线与曲线切于点(x 0,y 0)(x 0≠0),则切线的斜率k= y 0-1x 0-1=x 03-1x 0-1 =x 02 +x 0+1,又∵y'=3x 2,∴y'|x=x 0 =3x 02,∴2x 02 -x 0-1=0,解得x 0=1或x 0=-12 ,∴过点P (1,1)与曲线y=x 3相切的直线方程为3x-y-2=0或 3x-4y+1=0.故选C . 11.C [解析] y'=1+1x ,当x=1时,切线的斜率k=2,切线方程为y=2(x-1)+1=2x-1,因为它与抛物线相切.所以ax 2+(a+2)x+1=2x-1有唯一解,即ax 2+ax+2=0,故{a ≠0,a 2-8a =0,解得a=8.故选C . 12.3 [解析] ∵f (x )=(x 2-a )ln x ,∴f'(x )=2x ln x+ x 2-a x ,∴f'(1)=1-a=-2,得a=3.
导数与微分重点知识归纳
导数的概念 例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，，求质点在t0的瞬时速 度？ 我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量 这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为： 若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。 我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度， 即：质点在t0时的瞬时速度= 为此就产生了导数的定义，如下 导数的定义 设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地 函数有增量 ， 若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。 记为：还可记为：， 函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。 若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数 对于区 间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数， 我们就称这个函数为原来函数的导函数。 注：导数也就是差商的极限左、右导数 前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的
概念。 若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的左导数。 若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的右导数。 注：函数在x0处的左右导数存在且相等是函数在x0处的可导的充分必要条件 函数的和差求导法则 法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差). 用公式可写为：。其中u、v为可导函数。 常数与函数的积的求导法则 法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成： 函数的积的求导法则 法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。用公式可写成： 函数的商的求导法则 法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。用公式可写成： 复合函数的求导法则 例题：求=? 解答：由于，故这个解答正确吗? 这个解答是错误的，正确的解答应该如下： 我们发生错误的原因是是对自变量x求导，而不是对2x求导。 下面我们给出复合函数的求导法则
大学高等数学 2 导数与微分答案
2 导数与微分 【目的要求】 1、了解导数的概念，了解可导与连续的关系，了解导数的几何意义及物理意义，记忆基本初等函数的导数公式； 2、熟练运用导数的四则运算法则及复合函数法则计算导数，会使用隐函数求导法及取对数求导法计算导数，会计算二阶导数； 3、了解微分的概念，掌握微分与导数的关系，会计算函数的微分，知道微分的应用； 4、能在计算机上进行导数及微分的计算。 【练习题】 一 单项选择题 ⒈设f(x)在x =a 处可导,则h mh a f nh a f h ) ()(lim 0--+→=( D ) A.)(a f ' B. m )(a f ' C. n )(a f ' D.(m+n))(a f ' ⒉设f(x)=(x+1)(x+2)…(x+50),则)1(-'f =( C ) A.50! B.-50! C.49! D.-49! ⒊设f (x)在x 0的某邻域内二阶可导,且0)(0='x f ,则0)(0>''x f 是f (x 0)为极小值的( B ) A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 ⒋设y=(sinx)x ,则)(x f '=( C ) A.(cosx)x B.(sinx)x C. (sinx)x (lnsinx+xcotx) D. (sinx)x (lnsinx-xcotx) ⒌设y=xe -x ,则)(x f ''=( D ) A.e -x B.(1-x)e -x C.(2-x)e -x D. -(2-x)e -x ⒍设y=x x +-11,则)(x f ''=( C ) A.2(1+x)-2 B. -2(1+x)-2 C.4(1+x)-2 D. -4(1+x)-2 ⒎设y=lntan 2x ,则dy=( D ) A.dx x 2cot B.dx x 2tan C.x dx cos D.x dx sin ⒏设???==t b y t a x sin cos ,则)(x f ''=( D ) A.t a b cot - B.t a b 32 sec C. t a b 3 2csc D.t a b 32csc - ⒐设f(x)在(a,b)内连续,且x 0∈(a,b),则在点x 0处( B ) A.f(x)的极限存在,且可导 B. f(x)的极限存在,且不一定可导 C. f(x)的极限不存在, D. f(x)的极限不一定存在 ⒑曲线y=2x 2+3x-26上点M 处的切线斜率为15，则点M 的坐标为（ B ） A.（3,15） B.（3,1） C.（-3,15） D.(-3,1) 二 填空题 ⒈ 设f(x)可导,则x x x f x f x ??--→?) ()(lim 0=( )(x f ' ) ⒉y=lnsin 2x,则y '=( 2cotx )
一元函数微分学习题
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2-∈?≤x x x f ，则0=x 必是 )(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C