初升高数学衔接班教案(教师版)

第一章——前言

首先，恭喜同学们进入高中数学殿堂的学习，同时也祝贺大家在数学的学习上进入一个更高的层次。当然，随之而来的是学习内容的增多，学习方法的巨变，学习技巧的提高，高中数学对同学们的学习提出了更高的要求，主要体现在高中数学学习时“知识体系更严谨”、“考查方式更灵活”、“数学思想更重要”。

高中数学的知识会让同学们觉得更复杂、关联性更强，这就要求我们需要有“举一反三”、“化繁为简”、“知识迁移”的学习技巧。在后续的衔接课程中，我们将通过具体的例子去体会上述所讲的各类名词的具体含义。

下面简要列出高中阶段最重要的几类数学思想，请同学们在学习时，多加思考，每次学习时、每次做题时，都使用到了什么数学思想。

“数形结合思想”、“分类与整合思想”、“特殊与一般思想”、“函数与方程思想”

接下来，我们通过几类可以利用初中知识解决的题目来具体体会一下高中数学学习的魅力。 引例1：b kx y +=是什么？x

k y =是什么？c bx ax y ++=2

又是什么？ 答案：对于b kx y +=

?

?

?

???

?????+=?≠?=?=?????+=?≠?=?=?可能

是一条直线，但有多种轴的直线是一条平行于从几何的角度看是一次函数的解析式是常数函数的解析式从代数的角度看b kx y k x b y k b kx y k b y k 0000

对于x

k

y =

????

?

?????????

???=?≠?=?=??????

?

??=?=?≠?=?=?能是双曲线，但有两种可轴的直线是一条重合于从几何的角度看此分式无意义是反比例函数的解析式是常数函数的解析式从代数的角度看x k

y k x y k x x k y k y k 0000000 c bx ax y ++=2同理，限于篇幅不在此继续分析。

引例1体现了数形结合、分类与整合、特殊与一般的数学思想，体现了举一反三的学习技巧。

引例2：设c b a ,,为均为正数，且b c ≥，证明：b c b a c a -≤+-+2222 答案：①特殊情况：观察易得当c b =时，不等式取等

②一般情况：可用代数和几何意义解决，我们着重讲解几何意义

易得?????+=+=?===2

222,,c

a AD b

a BD c AC

b BC a CD

AB BD AD <-

b c b a c a -<+-+∴2222

综上两种情况，可得b c b a c a -≤+-+2222

引例2体现了特殊与一般、数形结合的数学思想，体现了化繁为简的学习技巧。 *思考题：设c b a ,,为均为正数，求证：

b

c b a c a -≤+-+2222

本题与引例2有什么不同？做一做并体会其中奥妙

解析：b c ,由于大小关系不确定，所以需要引入绝对值保持该式仍然成立。

第二章——衔接补充

2.1 数与式

2.1.1 乘法公式

一、 【归纳初中知识】

在初中，我们学习了多项式的运算，知道乘法公式可以让多项式的运算变得简单方便，初中我们主要学习了两个基本乘法公式： ①平方差公式：2

2

))((b a b a b a -=-+ ①完全平方公式：2

2

2

2)(b ab a b a +±=±

在初中阶段我们常要求掌握上述2个公式，但从今往后我们更多要求的是对公式的推广、对定理的多重认知，比如我们可以利用引例2的思想来研究上述公式的几何维度解析。

你能说出上述图形验证了哪一个式子吗？

例1：利用几何图形证明当0,>b a 时，2

2

2

2)(b ab a b a ++=+ 解析：

由完全平方公式我们还可以得到两个重要式子：

?????±=±±=+ab

b a b a ab

b a b a 4)()(2)(2

2222 ，我们常常把这种式子之间的变换方式称作恒等变换，恒等变换在高中数学当中是一个非常重要的工具。

二、 【衔接高中知识】

高中代数部分是以函数为主线展开学习的，为研究函数的性质，需要同学们具有很强的代数恒等变换能力，在此，我们对乘法公式进行一些拓展，请大家进行部分自主提炼： ①完全立方和公式：3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b +=+++ ①完全立方差公式：3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b -=-+-

公式③、③我们统称为完全立方公式，我们能否由完全立方和与完全立方差的公式得到立方和与立方差的公式呢？

①立方和公式：))((2

2

3

3

b ab a b a b a +-+=+ ①立方差公式：))((2

2

3

3

b ab a b a b a ++-=-

最后，我们再填补三数平方和的公式：

①三数平方和：)(2)(2

2

2

2

ac bc ab c b a c b a +++++=++

三、 【例题精讲】

例1：观察下列算式：

81322=- 163522=- 245722=- 327922=-

（1）按照上述规律续写2个式子； （2）用文字反应出上述式子的规律； （3）证明你所发现规律的正确性；

答案：（1）4091122=- 4811132

2=-（2）任意相邻奇数之差为8的倍数（本题是大数减小数）

（3）n n n 8)12()12(2

2

=--+

例2：观察下列算式：

71233=- 192333=- 373433=- 614533=-

（1）按照上述规律续写两个式子； （2）求3

3

3

3

2017201820192020+-- 答案：（1）91563

3

=- 127673

3

=-

（2）由题意可知，连续相邻自然数的立方差具有规律，则从此入手。

133)1(233++=-+a a a a

则有：

24222

)20172019(3)20172019(3)12017320173(12019320193)20172018()20192020(20172018201920202

2

2233333333=-+-=+?+?-+?+?=---=+--

例3：若1,0-=++=++bc ac ab c b a （1）求2

22c b a ++； （2）求4

44c b a ++；

答案：（1）2)(2)(2

2

2

2

=++-++=++bc ac ab c b a c b a

（2）)(2)(2

22

22

22

22

2

4

4

4

c b c a b a c b a c b a ++-++=++…………① 其中1)(2)(2

2

22

22

2=++-++=++c b a abc bc ac ab c b c a b a ………② 将②带入①式得24

4

4

=++c b a

例4：已知0132

=+-x x ，求3

31

x x +

的值。 答案：)1(3)1(33)1(13333

x

x x x x x x x x x +-+=--+=+

由310132

=+?=+-x

x x x

所以18133

=+x

x

例5：证明：函数3

x y =中y 与x 具有相同的增减性

答案：要证y 与x 具有相同的增减性?当12x x >时，12y y > 故设12x x >，则

4

3)21(4341)

)((2

12122121212

22

1212

22

1212212313212>++=+++=++?++-=-=-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y 而 所以0))((2

121221212>++-=-x x x x x x y y

例6：设61

,)1(3

3

3

++

=+=n n y n

n x ，则对于任意的0>n ，x 与y 的大小关系为（ ） A. y x > B. y x < C. y x ≥ D. y x ≤

答案：0)1(3)21(322≥-=-+

=-n

n n n y x 在本题中得出一个重要结论

由本题，21

,≥+∈+

n

n R n 当我们可以引出高中乃至高考的重点知识： ①基本不等式：

ab b a R b a 2,,≥+∈+

则若或4

)(2

b a ab +≤

初步认识“对勾函数”x

x y 1+

= 在平时的学习中，我们应该注重多深究，多追问，多归纳！

课后习题

1、已知1692

2

=+q p ，7=-q p ，则=pq

2、三角形的三边满足ab c bc a 222

2-=-，则该三角形的形状为____等腰_____ 3、0444)(2

=+--+y x y x ，则1024)

(10

=+y x

4、已知：)

)(()

)(()

)((3223442

2

3

3

22y xy y x x y x y x y xy x y x y x y x y x y x +++-=-++-=-+-=-，

则))((122321

-----++??????+++-=-n n n n n n

n

y xy y x y x x

y x y x

5、当33=x 时，计算241)124)(12(3

22

=-+

-+x x x x x 6、11993199119922

=?-

7、已知x t =+2

)58(，求100)68)(48(-=++x t t

8、已知20182019+=t a ，20192019+=t b ，20202019+=t c ， 则32

22=---++bc ac ab c b a

9、已知10=+y x 且28033=+y x ，则代数式522

2=+y x

10、函数x

x x y 1

322++=在0>x 时的最小值为223+

解析：22331

2+≥++

=x

x y 11、已知n m ,均为正数，且1=+n m ，则

n

m 2

3+的最小值为625+ 解析：625235))(23(23+≥++=++=+n

m m n n m n m n m

***12、函数)0(104212>+++=x x x x y 的最大值为8

1

解析：取倒，81

8

)1(218)1(211042122≥+++=+++=+++=

x x x x x x x y 故8

1

≤y （此题不考虑最小值）

2.1.2 因式分解

一、 【归纳初中知识】

把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做因式分解。初中阶段我们常用的两种因式分解方法有：

方式①：提取公因式法 )(b a m bm am +=+

方式①：公式法 ??

???+±=±-+=-±=+±))(())(()(222332

22

22b ab a b a b a b a b a b a b a b ab a

二、 【衔接高中知识】

下面我们介绍几种常用的高中因式分解的方法： 方式①：分组分解法

)

)(()()(n m y x n y x m y x yn xn ym xm ++=+++=+++ 我们知道形如pq x q p x +++)(2

这样的二次三项式可以分解为))((q x p x ++，它的特点是二次项系数为1，常数pq 与一次项系数q p +可以通过“十字相乘，乘积相加”的方式建立联系，得到))(()(2

q x p x pq x q p x ++=+++。这种方法能推广到更深层次吗？

下面来看二次三项式ab x na mb mnx +++)(2

，将二次项系数mn 与常数项ab 建立十字形式：

我们发现“十字相乘，乘积相加”刚好得到一次项系数na mb +，从而我们有 方式①：十字相乘法 ))(()(2

b nx a mx ab x na mb mnx ++=+++

***方式①：大除法

我们引入这样一个问题：求方程02322

3

=-+-x x x 的解

显然，由观察得出1=x 是方程的一个根，那么该方程左边的多项式必定可以写成下面形式：

=-+-23223x x x _)2)(_1(2+--x x x ，那么我们如何确定空缺部分呢？下面我们

介绍大除法：

2

2321223+--+--x x x x x x

三、 【例题精讲】

例1：分解因式

（1）)1)(32(322

-+=-+x x x x （2）)32)(12(3442+-=-+x x x x 例2：分解因式

（1）)2)(1(2)()(2

2

2

2

2

--+-=----x x x x x x x x （2）)4)(2(822

2

y x y x y xy x -+=-- （3）)2)(3(6322y x x y x xy x +-=--+ （4）)4)(1(432

3

-+-=-+x x x x x

例3：已知n 是正整数，且100162

4

+-n n 是质数，求n 的值

解析：质数?只能分解为1和本身之积，所以首先需要对其进行因式分解

)

610)(610(36)10(361002010016222222424n n n n n n n n n n n -+++=-+=-++=+-31610161022=?=-+?≠++n n n n n

易错点：36)8(366416100162

2

2

4

2

4

++=++-=+-n n n n n ，此路无法进行分解

课后习题

1、若()()422

-+=++x x b ax x 则2-=a ，8-=b

2、()()732142

-+=--x x x x

3、若))((102

b x a x mx x ++=-+，且b a ,均为整数，则93±±=+或b a 4、下列各式中，不是41742

4

+-x x 因式的是（ D ） A 、2

1

-

x B 、2+x C 、2-x D 、4-x 解析：)2)(2)(12)(12()4)(14(41742

2

2

4

-+-+=--=+-x x x x x x x x

5、分解因式442

4-+-x x x )2)(2)(1(2

+-+-=x x x x

解析：)1(4)1)(1()1(4)1(4422

2

2

4

-+-+=-+-=-+-x x x x x x x x x x

)2)(2)(1()1)(4(223+-+-=-++=x x x x x x x

6、若多项式2

2

9)1(b ab k a +-+能用完全平方公式进行分解，则75或-=k 解析：)3)(()3)((9)1(2

2

b a b a b a b a b ab k a --++=+-+或

576161-=?-=-=-∴或或k k k

7、分解因式：))(()()(2

2

2

bd ac ad bc b a cd d c ab -+=-+-2

解析：

)

)(()()()()(2222222bd ac ad bc bd ac ad bd ac bc cd b cd a abd abc b a cd d c ab -+=-+-=-+-=-+-2

8、分解因式：432

3

+-x x =__________ 解析：

法一：易得2-x 为其中一个因式，大除法：

2223223)2)(1()2)(2(432

432-+=---=+-?--+--x x x x x x x x x x x x

***法二：拆项

222323)2)(1()1)(1(3)1)(1(33143-+=-+-+-+=+-+=+-x x x x x x x x x x x

9、设xy n y x m =-=,，试用n m ,表示2

33)(y x +

解析：2

222332

2

2

2

222222233))(4()(44)()(]3)[()()()()(n m n m y x n

m xy y x y x xy y x y x y xy x y x y x ++=+∴+=+-=+-++=+-+=+只需求

***10、多项式652

2

++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，计算b a +

法一：大除法???-=-=????=+=--?-+=++--++-++-+2

1024013

)24()1(6522

2b a b b a by x y b xy b a y x by axy x y x 余数：

法二：设项，由左边六项可得右边剩余一项为k ny mx ++的形式，设出计算即可 设))(2(652

2

k ny mx y x y x by axy x ++-+=++-++，左右展开一样得

3,,1-===k b n m 代入原式可得1,2-=-=a b

2.1.3 分式与根式

一、 【归纳初中知识】

1. 在初中阶段我们把形如B

A

的式子叫做分式，并且常常用到以下性质：

?

??=÷÷=??B A

M B M A M B M A 1. 在初中阶段我们把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式，表示的是非负数a 的算数平方根，并且常用到以下性质：

?????=≥=a

a a a a 2

2

)

0()( 二、 【衔接高中知识】

1. 进入高中之后，我们对分式部分知识点的要求就变得逐渐高起来，具体体现在要求同学们需要有更强的运算能力以及恒等变形能力。

2. 进入高中之后，我们对根式部分的掌握要求就不再是二次根式，而是更高的三次根式，四次根式，n 次根式等等……

三、 【例题精讲】

例1：若411=-n m ，求

n

mn m n

mn m ----2232的值 解析：6111212322232=---

-=

----m

n m n n mn m n mn m 例2：

54(2)2

x A B

x x x x +=+++，求B A ,的值

解析：??

?==????==+?++=+++=+++=++3

2425)2(4

5)2(2)()2()2(2B A A B A x x x x x A x B A x x Bx x A x B x A

例3：设b

a c

c a b c b a k +=+=+=

，求k 的值 解析：21)(2)()()(=?++=++???

?

??+=+=+=k k c b a c b a k

b a

c k c a b k

c b a

例4：设0=++c b a ，求3)11()11()11(++++++b

a c c a

b

c b a

解析：0333)11()11()11(=++++++=++++++=++++++a

c b c b a b c a b c a c c b a b c a b a b

a c c a

b

c b a

***例5：已知1=abc ，证明

11

11=++++++++c ac c

b b

c b a ab a

解析：1111111111

11111

1=+++++=++++++++∴++=

++=+++++=

+++++∴++=

++=++b

bc bc b bc b c ac c b bc b a ab a b bc bc

b b

c abc bc c ac c b bc b b bc b a ab a bc

b ab

c a ab a a ab a

又

例6：阅读材料，回答下列问题：

21211=-

613121=- 12

14131=- ………… 我们发现

)

1(1111+=+-n n n n （1）计算

2020

20191

2011216121??

??++++； （2）求证：

2

1

)12)(12(163135115131<+-+???++++n n 解析：（1）

2020

2019

2020120191413131212112020201912011216121=-+???+-+-+-=????++++ （2）

)

12)(12(1

751531311)12)(12(163135115131+-+???+?+?+?=+-+???++++n n n n 2

1)1211(21<+-=n

例7：（1）若0

332x x x ++；（2）求n n a （n 为正整数） 解析：（1）02244

3

3

=-+-=++x x x x x x

（2）?

??=-+==k n a k n a a n

n

2,1

2,若若

例8：

已知x y =

=

22353x xy y -+的值 解析：已知28911)(335310

1

222=-+=+-∴???=+=xy y x y xy x y x xy

***例9：已知实数b a ,非负，若ab b a =-?-2211，求证：11122=-+-a b b a

解析：1

11111122222222222222=+=-+-∴=+?=+--∴=-?-b a a b b a b a b a b a b a ab

b a

**例10：若2

20061+=

x ，则2019

3)200520094(--x x 的值为？ 解析：2005442006)12(2

2006

122=-?=-?+=

x x x x )1(2005)1(42005200544200520094233+--=---=--∴x x x x x x x x 0)1)(200544()1](2005)1(4[2=+--=+--=x x x x x x

课后习题

1、若

2532=-y y x ，则=y x 2

13

2、计算：xy y

x y x x y -=-÷÷÷-1

220)]()[()(1

3、比较大小：

（1）1011____1112-<-；（2）

4

62

+___<___622- 解析：（1）10

111

1011,111211112+=-+=

-

（2）6

426826222622+>+=+=

-

4、已知

01

11=++c

b a ，求证：2222)(

c b a c b a ++=++ 解析：00111=++?=++=++ab ac bc abc

ab ac bc c b a

2222222)(2)(c b a bc ac ab c b a c b a ++=+++++=++∴

5、若41

=+x

x ，计算124

2++x x x 解析：15

112)1(11111222242=+-+=++=++x

x x x x x x

6、下列说法正确的是（ B ）

A.正数有一个偶次方根

B. 负数没有偶次方根

C.负数有两个奇次方根

D. 正数有两个奇次方根 7、若0>a ，则=-3ax （ C ）

A.ax x

B.ax x -

C.ax x --

D. ax x - 8、已知5=xy ，则y

x

y

x y x +=52±

9、化简：x

x x x x x x x 261

962793332+---+-++

解析：

)

3(23)3)(3(2)3()3)(3(2)3)(1(12)3(2)

3(21)3)(3(6312

+-=

-+--=-+----+=

+--

-+-+-=

x x

x x x x x x x x x x x x x

10、设2

2

4422-+-+-=

m m m n ，求mn

解析：121204042

2

=???

???-=-=??????≤-≥-mn n m m m

11、化简：

（1）)21(12<<--a a a ； 解析：1111)11(1121122--=--=

--=+---=

--a a a a a a a

（2）),1,0()()(*

N n n b a b a b a n n

n n

∈><<++-

解析：若12-=k n ，则a

b a b a b a b a n n

n n

2)()(=++-=++-

若k n 2=，则a b a b a b a b a n n n n

2)]([)()()(-=+-+--=++- 12、证明：

4

1)2)(1(1543143213211<+++???+??+??+??n n n

解析：

))

2)(1(1

)1(1(21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n

))

2)(1(1)1(1(21)541431(21)431321(21)321211(21++-+???+?-?+?-?+?-?=

∴n n n n 原式))2)(1(1)1(1201121121616121(21++-++???+-+-+-=

n n n n 4

1))2)(1(121(21<++-=

n n

2.2 方程与方程组以及不等式

2.2.1 韦达定理

一、 【归纳初中知识】

1、一元二次方程的解法在初中时我们已学习过配方法、公式法、因式分解法等主要解法。

2、对于任意的一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax ，通过判别式ac b 42

-=?能够判断其

方程解的个数。

二、 【衔接高中知识】

我们已经知道)0(02

≠=++a c bx ax 如果有两个解，则其分别为；

a ac

b b x 2421-+-=，a

ac b b x 2422---=

则我们可以得到???

????

=-=+a c x x a

b x x 2121

上面揭示了二次方程的根与系数c b a ,,之间关系的等式我们叫做韦达定理，韦达定理在未来高中三年的学习中占据着非常重要的地位。

反之，若21,x x 满足???

????=-=+a c x x a b x x 2121，则我们可以说21,x x 一定是)

0(02

≠=++a c bx ax 的两个解，这叫做韦达定理的逆定理。

三、 【例题精讲】

例1：若21,x x 是0122

=-+x x 的两个根，求：

（1）2

221x x +；（2）

22

2111x x +；（3）21x x -；（4）3

231x x +,. 解析：略，注意a

x x x x x x ?

=

-+=-21221214)(

例2：任意写出一个二次方程，使得它的两个根分别为5-和3

2. 解析：0)32)(5(=-+x x 或03

103132=-+x x

例3：已知关于x 的方程014

1)1(2

2=++

+-k x k x ，根据下列条件，分别求出满足条件的k 值.

（1）方程两实根之积为5；（2）方程两实根满足21x x =.

解析：（1）451410)14

1(4])1([22122

=????

???

?=+=≥+-+-=?k k x x k k （2）????

??????

???>

?>?-=?=+=?=??=?=无解230102

302121

21k k x x k x x x x

综上，若21x x =，则2

3=k

例4：若21,x x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个根，当m 为何值时，2

22

1x x +取得最小值？请你求出这个最小值

解析：2322

2

322)2(2)(222

212

212

22

1+-=-+?

-=-+=+m m m m m x x x x x x 当43=

m 时，有最小值8

7 例5：已知关于x 的方程04)2(22

2

=++-+m x m x 有两个实数根，并且两根平方和比两根之积大21，求m 的值.

解析：10

17163)(221221212221-=????≥?--=-+=-+m m m x x x x x x x x

例6：若关于x 的方程02=++a x x 有两个根：

（1）当其中一个大于1，另一个小于1时，求a 的取值范围； （2）当两个根都小于1时，求a 的取值范围.

解析：（1）由已知设0)1)(1(1,12121<--?<>x x x x 且0>? 所以20

410

21)()1)(1(212121-

?>-<+=++-=--a a a x x x x x x

（2）法一：41

204102)1)(1(21≤<-???

??

≥-=?>+=--a a a x x

法二：借鉴二次函数图形，根据两根均小于1可知当1=x 时，函数值011>++a ，同时也

需满足0≥?

例7：若21,x x 是方程01)12(2

2

=+++-k x k x 的两实数根，且均大于1. （1）求实数k 的取值范围； （2）若

2

1

21=x x ，求k 的值 解析：（1）143430)1(4)12(1

01)12(1)1)(1(2

2221≠≥???

?

??≥

?≥+-+=?≠?>++-+=--k k k k k k k k x x 且 （2）)(171)12(29219)12(3122221

22121

2

121舍去或==?++=??????=+==+?=+=+k k k k x k x x x k x k x x

***例8：已知b a ,是一元二次方程012=--x x 的两个实数根，求)2(2

2-+b a a 的值.

解析：120

10

122

2-=-??????=--=--b b b b a a 01)1()2(2222=+=+-=-+=-+∴ab ab a a b a a b a a

课后习题

1、关于x 的一元二次方程0522=++-a a x ax 其中一个根是0，则a =10-或

2、关于x 的方程07)3(102

=-++-m x m x ：

（1）若有一个根为0，则7=m ，此时方程另一个根为：1 （2）若两根之和为53-

，则9-=m ，此时方程两个根分别为：1,5

8

- 3、方程01222=-+x x 的两根为21,x x ，则321=-x x

4、设21,x x 为方程02

=++q px x 的两根，且1,121++x x 为方程02

=++p qx x 的两根，则________________,==q p 解析：由题意有???-=-=????=++--=+-????=++-=++??

?=-=+31

12)1)(1(221

212121q p p q p q p p x x q x x q x x p x x 和

*5、已知实数c b a ,,满足b a -=6，92-=ab c ，则____________,______,===c b a

解析：由题意有的两根是方程096,9

6

222

=++-???

?+==+c x x b a c ab b a

300)9(4362==?=?≥+-=?∴b a c c

***6、若1≠ab ，且09201952=++a a ，05201992=++b b ，则

9

5=a b 解析：的两根为方程09201951,0

91

2019150

92019509120191505201992222=++????

??=+?+?=++=+?+?

?=++x x b a b b

a a b

b b b

故

5

9

=b a