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最新11度量空间的定义与极限汇总

11度量空间的定义与

极限

第一章度量空间

若在实数集?Skip Record If...?中点列?Skip Record If...?的极限是?Skip Record If...?时，我们使用?Skip Record If...?来表示?Skip Record If...?和?Skip Record If...?的接近程度，事实上，?Skip Record If...?可表示为数轴上?Skip Record If...?和?Skip Record If...?这两点间的距离，那么实数集?Skip Record If...?中点列?Skip Record If...?收敛于?Skip Record If...?也就是指?Skip Record If...?和?Skip Record If...?之间的距离随着?Skip Record If...?而趋于0，即

?Skip Record If...?．于是人们就想，在一般的点集?Skip Record If...?中如果也有“距离”，那么在点集?Skip Record If...?中也可借这一“距离”来定义极限，而究竟什么是“距离”呢？或者说“距离”的本质是什么？

诗人顾城的一首诗《远和近》对距离的感受又如何呢？

远和近

你

一会看我

一会看云

我觉得

你看我时很远

你看云时很近

这首诗诗似乎是纯理性的，十分冷静，但细细品味，其中暗暗催动着一股热流：呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽的人际关系．现实距离和心理距离并不总是一致的．现实距离很远，但心理距离却可能很近，“海内存知己，天涯若比邻”，即是此意．也可能现实距离很近，而心理距离却很远，所谓“咫尺天涯”大概就是指此而言了．那么如何给出距离这一概念？

1.1 度量空间的定义与极限

1.1.1 度量空间的定义与举例

定义 1.1.1设?Skip Record If...?为一非空集合．若存在二元映射?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?，均满足以下三个条件：

（1）?Skip Record If...?且?Skip Record If...?当且仅当?Skip Record If...? (非负性 Positivity)；

（2）?Skip Record If...? (对称性 Symmetry)；

（3）?Skip Record If...? (三角不等式 Triangle inequality)，

则称?Skip Record If...?为?Skip Record If...?上的一个距离函数，称?Skip Record If...?为距离空间或度量空间(Metric Spaces)，?Skip Record If...?称为?Skip Record If...?和?Skip Record If...?两点间的距离．□

注1：在不产生误解时，?Skip Record If...?可简记为?Skip Record If...?．

下面我们来看一些具体的例子

例 1.1.1欧氏空间?Skip Record If...?．

设?Skip Record If...??Skip Record If...?，定义

?Skip Record If...?．

其中?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...?，可以验证?Skip Record If...?是一个度量空间．

在证明之前，引入两个重要的不等式．

引理1.1.1 (许瓦兹(Schwarz)不等式)任给?Skip Record If...?个实数?Skip Record If...?，有

?Skip Record If...? (1.1) 证明任取实数?Skip Record If...?，则由

?Skip Record If...?

知右端二次三项式的判别式不大于零，即

?Skip Record If...?

于是可得(1.1)式成立．□

进一步有H?lder不等式

?Skip Record If...?

其中?Skip Record If...?且?Skip Record If...?，称这样的两个实数?Skip Record If...?为一对共轭数．

引理1.1.2闵可夫斯基(Minkowski)不等式的和形式任给?Skip Record If...?个实数?Skip Record If...?及?Skip Record If...?，有

?Skip Record If...? (1.2) 证明由(1.1)式得

?Skip Record If...?

这就证明了(1.2)式．□

进一步可有Minkowski不等式的一般形式，其中?Skip Record If...?

?Skip Record If...?

例 1.1.1欧氏空间?Skip Record If...?．设?Skip Record If...??Skip Record If...?，定义?Skip Record If...?

?Skip Record If...?． (1.3) 其中?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...?，可以验证?Skip Record If...?是一个距离函数．

证明非负性(1)和对称性(2)显然成立，下面仅验证(3)也成立．对于任意的?Skip Record If...?，由闵可夫斯基不等式(1.2)有

?Skip Record If...??Skip Record If...?

?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...?，

即?Skip Record If...?．从而得证?Skip Record If...?是一个距离函数．□

注2：称?Skip Record If...?为?Skip Record If...?维欧氏空间，?Skip Record If...?称为欧氏距离或标准欧氏距离．今后若不作特殊申明，凡提到度量空间?Skip Record If...?，均指由(1.3)式的欧氏距离所定义的．

注3：在?Skip Record If...?中我们还可以定义其他的距离：

?Skip Record If...?；

?Skip Record If...?．

可以验证距离?Skip Record If...?、?Skip Record If...?均满足条件(1)、(2)和(3)．

注4：在?Skip Record If...?中比较上述三种距离?Skip Record If...?、?Skip Record If...?和?Skip Record If...?，可看看他们各表示什么？

由此知道，在一个集合上，定义距离的方法可以不止一种．但务必注意的是，由于定义的距离不同，所以即使基本集相同，也应视他们为不同的度量空间．

下面的例子说明任何一个集合上均可定义距离，使其成为度量(距离)空间．

例1.1.2 离散度量空间

设?Skip Record If...?为非空集合，?Skip Record If...?，定义距离

?Skip Record If...? (1.4) 容易验证?Skip Record If...?满足距离的三个条件，并称之为离散距离，?Skip Record If...?为离散度量空间．

例 1.1.3连续函数空间?Skip Record If...?

?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，定义

?Skip Record If...?，

证明显然?Skip Record If...?满足非负性(1)和对称性(2)，下面验证(3)也成立．

?Skip Record If...?及?Skip Record If...?均有

?Skip Record If...?

?Skip Record If...?，

故?Skip Record If...??Skip Record If...?．称?Skip Record If...?为连续函数空间，简记为?Skip Record If...?．□

注5：在?Skip Record If...?中我们还可以定义如下的距离：

?Skip Record If...?．

可以验证?Skip Record If...?均满足条件(1)、(2)和(3)，所以?Skip Record If...?也为一度量空间．

例 1.1.4有界数列空间?Skip Record If...?

?Skip Record If...?，对于?Skip Record If...?，?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...?，定义

?Skip Record If...??Skip Record If...?，

可以验证?Skip Record If...?是一个距离函数，并称?Skip Record If...?为有界数列空间，简记为?Skip Record If...?．

例1.1.5 ?Skip Record If...?次幂可和的数列空间?Skip Record If...?

?Skip Record If...?

?Skip Record If...?，定义

?Skip Record If...? (1.5)

(1.5)式是有意义的，因为由闵可夫斯基不等式及?Skip Record If...?的定义知其右端有界．可以证明?Skip Record If...?是一个距离函数．称?Skip Record If...?为?Skip Record If...?次幂可和的数列空间，简记为?Skip Record If...?．

例1.1.6 ?Skip Record If...?次幂可积函数空间?Skip Record If...??Skip Record If...?

?Skip Record If...?

即： ?Skip Record If...?

在?Skip Record If...?中，我们把几乎处处相等的函数视为同一函数．对于?Skip Record If...?，定义距离

?Skip Record If...?

那么?Skip Record If...?为度量空间．并称?Skip Record If...?为?Skip Record If...?次幂可积函数空间，简记为?Skip Record If...?．分析集合?Skip Record If...?具有下列重要性质：

(1)对线性运算是封闭的．即若?Skip Record If...?，?Skip Record If...?是一常数，则

?Skip Record If...?．

(2)?Skip Record If...?．

设?Skip Record If...?，令?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则

?Skip Record If...?

故?Skip Record If...?．

引理1.1.3闵可夫斯基(Minkowski)不等式(积分形式): 设?Skip Record If...?、?Skip Record If...?是可测集?Skip Record If...?上的可测函数且?Skip Record If...?

?Skip Record If...? (1.6) 证明因为 ?Skip Record If...?

?Skip Record If...??Skip Record If...?，

所以(1.6)式有意义．显然非负性(1)和对称性(2)成立，下面验证三角不等式(3)也成立．对于任意的?Skip Record If...?有

?Skip Record If...?

?Skip Record If...?□

上述例子涉及到常用的六个度量空间： ?Skip Record If...?维欧氏空间?Skip Record If...?；离散度量空间?Skip Record If...?；连续函数空间?Skip Record If...?；有界数列空间?Skip Record If...?；?Skip Record If...?次幂可和的数列空间?Skip Record If...?；?Skip Record If...?次幂可积函数空间?Skip Record If...?．

1.1.2 度量空间中的极限

极限理论是数学分析的基础, 数学分析主要研究微分和积分, 而极限又是微积分学大厦的基石，在数学分析中, 利用极限的思想方法给出连续函

数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数, 广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分等概念，可见极限思想贯穿于整个数学分

析课程，它也是高等数学必不可少的一种重要思想．同样地，在度量空间中也可定义极限，而且分析中的数列极限可看成下列度量空间中点列极限的特例．

定义1.1.2设?Skip Record If...?是度量空间，?Skip Record If...?是?Skip Record If...?中点列，若?Skip Record If...?，则称点列?Skip Record If...?收

敛于?Skip Record If...?，称?Skip Record If...?为点列?Skip Record If...?的极限．记作

?Skip Record If...?，或?Skip Record If...?或?Skip Record If...?．

?Skip Record If...?收敛于?Skip Record If...?用“?Skip Record If...?”语言描述是: ?Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时，恒有?Skip Record If...?成立．若点列?Skip Record If...?不收敛，则称其发散．□

例1.1.7设?Skip Record If...?是实数集，数列?Skip Record If...?．若在?Skip Record If...?上定义欧氏距离

?Skip Record If...?

显然，数列?Skip Record If...?在度量空间?Skip Record If...?中收敛于0．若在?Skip Record If...?上定义离散距离

?Skip Record If...?

则数列?Skip Record If...?在度量空间?Skip Record If...?中是发散的．

因为对任意给定的?Skip Record If...?，只要?Skip Record If...?，就有?Skip Record If...?，所以无论?Skip Record If...?多么大，有

?Skip Record If...?

可见数列?Skip Record If...?不收敛于?Skip Record If...?．虽然?Skip Record If...?与?Skip Record If...?有共同的基本集?Skip Record If...?，但由于定义的距离的不同，它们是两个不同的度量空间，可见同一点列?Skip Record If...?在一个度量空间中收敛，在另一度量空间中却

发散．□

定义1.1.3 设?Skip Record If...?为度量空间，?Skip Record If...?，若将距离限制在?Skip Record If...?上，显然?Skip Record If...?也是一个度量空间，称作?Skip Record If...?的子空间．

若?Skip Record If...?，则点?Skip Record If...?到?Skip Record If...?的距离定义为：

?Skip Record If...?(1.7)集合?Skip Record If...?的直径定义为：

?Skip Record If...? (1.8) 若?Skip Record If...?有限，则称?Skip Record If...?为有界集；若?Skip Record If...?，则称?Skip Record If...?为无界集．□

在离散度量空间?Skip Record If...?中点?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，那么?Skip Record If...?和?Skip Record If...?分别是多少？显然(1)当?Skip Record If...?是单点集时，有?Skip Record If...?及?Skip Record If...?；(2)当?Skip Record If...?不是单点集时，有?Skip Record If...?及?Skip Record If...?．

定理1.1.1 极限的性质设?Skip Record If...?是度量空间， ?Skip Record If...?是?Skip Record If...?中的一个点列．（1）若点列?Skip Record If...?收敛，则其极限唯一；

（2）若点列?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?的任何子列?Skip Record If...?；

（3）若收敛点列?Skip Record If...?看作是?Skip Record If...?的子集，则它是有界的．

证明（1）设?Skip Record If...?且?Skip Record If...?，由定义知：?Skip Record If...??Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时，有

?Skip Record If...?，

故当?Skip Record If...?时，我们有

?Skip Record If...??Skip Record If...?．

由?Skip Record If...?的任意性知，?Skip Record If...?，从而?Skip Record If...?．

（2）设?Skip Record If...?，?Skip Record If...?是?Skip Record If...?的子列．

?Skip Record If...?： ?Skip Record If...?

?Skip Record If...?：?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?

由定义，?Skip Record If...??Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时，有?Skip Record If...?，由于?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?，故

?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?．

（3）设?Skip Record If...?，由定义知：对?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?．取?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，于是?Skip Record If...?，?Skip Record If...?．即?Skip Record If...?作为点集有界．□

例 1.1.8 设?Skip Record If...?是连续函数空间?Skip Record If...?(?Skip Record If...?)中的点列，那么

?Skip Record If...?(函数列一致收敛)当且仅当?Skip Record If...?(度量空间中的点列收敛)．证明?Skip Record If...??Skip Record If...?等价于?Skip Record If...??Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时，有?Skip Record If...?．

其中?Skip Record If...?，等价于?Skip Record If...?．进一步等价于

?Skip Record If...?，有?Skip Record If...?．

于是?Skip Record If...??Skip Record If...?等价于?Skip Record If...??Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?，有?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?．□

例1.1.9设?Skip Record If...?是?Skip Record If...?上的一个距离，则?Skip Record If...?也是?Skip Record If...?上的距离．

证明显然非负性和对称性成立，下面仅证三角不等式．由于?Skip Record If...?是?Skip Record If...?上的距离，所以?Skip Record If...?，有?Skip Record If...?．又知函数?Skip Record If...??Skip Record If...?为单调递增函数，于是

?Skip Record If...??Skip Record If...? (?Skip Record If...?单调递增)

?Skip Record If...?

?Skip Record If...? ?Skip Record If...?

因此?Skip Record If...?是?Skip Record If...?上的距离．□