中考数学类比探究专题复习.doc中考数学类比探究专题复习

F E D C

G (B )A

G F

E D C B A D A B M N M A A B E M AB=AC D B

C D'A 中考数学类比探究专题复习

一：知识点睛

1. 类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查．常见结构有：平行结构、直角

结构、旋转结构、中点结构．

2. 类比是解决类比探究问题的主要方法．往往会类比字母、类比辅助线、类比

结构、类比思路来解决类比探究问题． 3. 常见结构：

①平行结构 ②直角结构 ③旋转结构

④中点结构

平行夹中点 (类)倍长中线 中位线

二：真题演练

1.（2015?潜江24．（10分））已知∠MAN=135°，正方形ABCD 绕点A 旋转．

（1）当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的外部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与正方形ABCD 的边CB ，CD 的延长线交于点M ，N ，连接MN ．

①如图1，若BM=DN ，则线段MN 与BM+DN 之间的数量关系是 MN=BM+DN ；

②如图2，若BM≠DN ，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（2）如图3，当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的内部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与直线BD 交于点M ，N ，探究：以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．

2.（2015?贵港26．（10分））已知：△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：

（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：

①线段PB=，PC=2；

②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；

（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；

（3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）

3、（2015?齐齐哈尔26．（8分））如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）

（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；

（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．

4、（2015?黑龙江龙东地区26．8分）如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC

于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；

（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

5、（2015?牡丹江26．（8分））已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E

在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．

（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB+BE=AM；

（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H．）

（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1），（2）的条件下，若BE=，∠AFM=15°，则AM=．

6、（2015?哈尔滨26．（10分））AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．

（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；

（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；

（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan ∠D=，求线段AH的长．

7、（2015荆州，22．（9分））如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E 在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．

（1）证明：PC=PE；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

8、（2015?宿迁25．（10分））已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交

于点E．

（1）如图1，求证：EA?EC=EB?ED；

（2）如图2，若=，AD是⊙O的直径，求证：AD?AC=2BD?BC；

（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．

9、（2015?锦州25．（12分））如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD 和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重

合）．

（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是DE+DF=AD；

（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；

（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．

10、（2015?本溪25．（12分））如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）

（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD =∠ABD（填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是BD=CD+AD；（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD

﹣CD=AD；

（3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段

BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）．

11、（2015抚顺，25．）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．

（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；

（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；

（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）

12、（2015阜新，17．）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C 顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．

（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；

（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．

①如图b，求证：BE⊥DQ；

②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．

13、（2015?葫芦岛25．（12分））在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．

（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；

（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，

（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．

14、（2015铁岭，25．）已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．来源:z%z&ste*^p.~com]

（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．

（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=CD，直接写出∠BAD的度数．

15、（2015?营口25．（14分））【问题探究】

（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．

【深入探究】

（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．来

（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．