弹簧的动量和能量问题
弹簧的动量和能量问
题
Revised on November 25, 2020
弹簧的动量和能量问题
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、知识清单
1．弹性势能的三种处理方法
弹性势能E P=kx2，高考对此公式不作要求，因此在高中阶段出现弹性势能问题时，除非题目明确告诉了此公式，否则不需要此公式即可解决，其处理方法常有以下三种：
①功能法：根据弹簧弹力做的功等于弹性势能的变化量计算；或根据能量守恒定律计算出弹性势能；
②等值法：压缩量和伸长量相同时，弹簧对应的弹性势能相等，在此过程中弹性势能的变化量为零；
③“设而不求”法：如果两次弹簧变化量相同，则这两次弹性势能变化量相同，两次作差即可消去。
二、例题精讲
2．（2006年·天津理综）如图所示，坡道顶端距水平面高度为h，质量为m1的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上，一端与质量为m2的档板B相连，弹簧处于原长时，B恰位于滑道的末端O点．A与B碰撞时间极短，碰后结合在一起共同压缩弹簧，已知在OM段A、B与水平面间的动摩擦因数均为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g，求：
（1）物块A在与挡板B碰撞前瞬间速度v的大小；
（2）弹簧最大压缩量为d时的弹性势能E p（设弹簧处于原长时弹性势能为零）．
3．如图所示，在竖直方向上，A、B两物体通过劲度系数为k＝16 N/m的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C放在倾角α＝30°的固定光滑斜面上. 用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行．已知A、B的质量均为m＝ kg，重力加速度取g＝10 m/s2，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放C后，C沿斜面下滑，A刚离开地面时，B获得最大速度，求：
(1)从释放C到物体A刚离开地面时，物体C沿斜面下滑的距离；
(2)物体C的质量；
(3)释放C到A刚离开地面的过程中细线的拉力对物体C做的功．
4．（2014珠海二模）如图甲，光滑的水平面上有三个滑块a、b、c；a、b的质量均等于
1kg；b、c被一根轻质弹簧连接在一起，处于静止状态；在t=0时，滑块a突然以水平向右的速度与b正碰，并瞬间粘合成一个物体（记为d）；此后运动过程中弹簧始终处于弹性限度内，d 的速度随时间做周期性变化，如图乙．则：
（1）求滑块a的初速度大小以及a、b正碰中损失的机械能△E；
（2）求滑块c的质量；
（3）当滑块c的速度变为v x瞬间，突然向左猛击一下它，使之突变为﹣v x，求此后弹簧弹性势能最大值E p的表达式，并讨论v x取何值时，E p的最大值E pm．
5．如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧上端固定，下端挂一个质量为m的物体。现用一块木板将物体托起，使弹簧恢复原长，然后让木板由静止开始以加速度a(a＜g)向下做匀加速运动。试求：
(1)木板开始运动时，物体对木板的压力为多少
(2)木板运动至与物体刚分离时经历的时间为多少
6． （2016·全国卷Ⅰ） 如图1-，一轻弹簧原长为2R ，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC 的底端A
处，另一端位于直轨道上B 处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为56
R 的光滑圆弧轨道相切于C 点，AC ＝7R ，A 、B 、C 、D 均在同一竖直平面内．质量为m 的小物块P 自C 点由静止开始下滑，最低到达E 点(未
画出)，随后P 沿轨道被弹回，最高到达F 点，AF ＝4R ，已知P 与直轨道间的动摩擦因数μ＝14
，重力加速度大小为g .(取sin 37°＝35，cos 37°＝45
) (1)求P 第一次运动到B 点时速度的大小．
(2)求P 运动到E 点时弹簧的弹性势能．
(3)改变物块P 的质量，将P 推至E 点，从静止开始释放．已知P 自圆弧轨道的最高点D 处水平飞出后，恰
好通过G 点．G 点在C 点左下方，与C 点水平相距72
R 、竖直相距R ，求P 运动到D 点时速度的大小和改变后P 的质量．
图1-
7． 如图2所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A 点，自然状态时其右端位于B 点．D 点位于水平桌面最右端，水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP ，其形状为半径R ＝ m 的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN 为其竖直直径，P 点到桌面的竖直距离也是R .用质量m 1＝ kg 的物块a 将弹簧缓慢压缩到C 点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B 点．用同种材料、质量为m 2＝ kg 的物块b 将弹簧缓慢压缩到C 点释放，物块过B 点后其位移与时间的关系式为x ＝6t －2t 2，物块飞离桌面后由P 点沿切线落入圆弧轨道．g 取10 m/s 2，求：
图2
(1)B 、P 间的水平距离；
(2)通过计算，判断物块b 能否沿圆弧轨道到达M 点；
(3)物块b 释放后在桌面上运动的过程中克服摩擦力做的功．
8． 如图5－2－9所示，轻弹簧左端固定在竖直墙上，右端点在O 位置。质量为m 的物块A (可视为质点)以初速度v 0从距O 点右方x 0的P 点处向左运动，与弹簧接触后压缩弹簧，将弹簧右端压到O ′点位置后，A 又被弹簧弹回。A 离开弹簧后，恰好回到P 点。物块A 与水平面间的动摩擦因数为μ。求：
图5－2－9
(1)物块A 从P 点出发又回到P 点的过程，克服摩擦力所做的功。
(2)O 点和O ′点间的距离x 1。
(3)若将另一个与A 完全相同的物块B (可视为质点)与弹簧右端拴接，将A 放在B 右边，向左压A 、B ，使弹簧右端压缩到O ′点位置，然后从静止释放，A 、B 共同滑行一段距离后分离。分离后物块A 向右滑行的最大距离x 2是多少
9． (2016·乐山市三诊)利用弹簧弹射和皮带传动装置可以将工件运送至高处。如图4所示，已知传送轨道平面与水平方向成37°角，倾角也是37°的光滑斜面轨道固定于地面且与传送轨道良好对接，弹簧下端固定在斜面底端，工件与皮带间的动摩擦因数μ＝。皮带传动装置顺时针匀速转动的速度v ＝4 m/s ，两轮轴心相距L ＝5 m ，B 、C 分别是传送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑。现将质量m ＝1 kg 的工件放在弹簧上，用力将弹簧压缩至A 点后由静止释放，工件离开斜面顶端滑到皮带上的B 点时速度v 0＝8 m/s ，A 、B 间的距离x ＝1 m 。工件可视为质点，g 取10 m/s 2。(sin 37°＝，cos 37°＝求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)工件沿传送带上滑的时间。
图4
10．如图所示，固定斜面的倾角θ=30°，物体A 与斜面之间的动摩擦因数为μ=43
，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C 点．用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A 和B ，滑轮右侧绳子与斜面平行，A 的质量为m A =4kg ，B 的质量为m B =2kg ，初始时物体A 到C 点的距离为L=1m ．现给A 、B 一初速度v 0=3m/s 使A 开始沿斜面向下运动，B 向上运动，物体A 将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C 点．已知重力加速度为g=10m/s 2，不计空气阻力，整个过程中，轻绳始终处于伸直状态，求此过程中：
（1）物体A 沿斜面向下运动时的加速度大小；
（2）物体A 向下运动刚到C 点时的速度大小；
（3）弹簧的最大压缩量和弹簧中的最大弹性势能．
13．如图所示，A、B两个矩形木块用轻弹簧相接静止在水平地面上，弹簧的劲度系数为k，木块A和木块B的质量均为m．
（1）若用力将木块A缓慢地竖直向上提起，木块A向上提起多大高度时，木块B将离开水平地面．
（2）若弹簧的劲度系数k是未知的，将一物体C从A的正上方某位置处无初速释放，C与A相碰后立即粘在一起（不再分离）向下运动，它们到达最低点后又向上运动．已知C的质量为m
m，要使B始终不时，把它从距A高为H处释放，则最终能使B刚好离开地面．若C的质量为
2
离开地面，则释放时，C距A的高度h不能超过多少