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2011年黄冈中学高考数学压轴题精选11

【精编精解】2011年黄冈中学高考数学压轴题精选11

51.已知二次函数),,(,)(2R c b a c bx ax x f ∈++=满足:对任意实数x ,都有x x f ≥)(,

且当∈x (1,3)时,有2)2(81)(+≤

x x f 成立。 (1)证明:2)2(=f 。

(2)若)(,0)2(x f f =-的表达式。

(3)设x m x f x g 2

)()(-= ),0[+∞∈x ,若)(x g 图上的点都位于直线41=y 的上方,求实数m 的取值范围。

52.(1)数列{a n }和{b n }满足)(121n n b b b n

a +++= (n=1,2,3…),求证{

b n }为等差数列的充要条件是{a n }为等差数列。(8分)

(2)数列{a n }和{c n }满足*)(21N n a a c n n n ∈+=+,探究}{n a 为等差数列的充分必要条

件,需说明理由。[提示:设数列{b n }为)3,2,1(2 =-=+n a a b n n n

53.某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行,比赛采用积分制,比赛规则规定赢一局得2分,平一局得1分,输一局得0分;比赛共进行五局,积分有超过5分者比赛结束,否则继续进行. 根据以往经验,每局甲赢的概率为21,乙赢的概率为3

1,且每局比赛输赢互不受影响. 若甲第n 局赢、平、输的得分分别记为2=n a 、1=n a 、0=n a ,51,*≤≤∈n N n 令n n a a a S +++= 21

.

(Ⅰ)求53=S 的概率; (Ⅱ)若随机变量ξ满足7=ξS (ξ表示局数),求ξ的分布列和数学期望.

54.如图,已知直线l 与抛物线y x 42

=相切于点P(2, 1),且与x 轴交于点A ,定点B 的

坐标为(2, 0) .

(I )若动点M

满足0=+?,求点M 的轨迹C ;

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(II )若过点B 的直线l '(斜率不等于零)与(I )中的轨迹C 交于不同的两点E 、F (E 在

B 、F 之间),试求?OBE 与?OBF 面积之比的取值范围.

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55、已知A 、B 是椭圆)0(122

22

>>=+b a b y a x 的一条弦,M (2,1)是AB 中点,以M 为焦点,

以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB 交于N (4,—1).

(1)设双曲线的离心率e ,试将e 表示为椭圆的半长轴长的函数.

(2)当椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数时,求椭圆的方程.

(3)求出椭圆长轴长的取值范围.

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参考答案:

51.解:(1)由条件知 224)2(≥++=c b a f 恒成立

又∵取x =2时,2)22(8

12

4)2(2=+≤++=c b a f 与恒成立

∴2)2(=f …………4分

(2)∵???=+-=++024224c b a c b a ∴,124==+b c a ∴a c b 41,21-== ……2分 又 x x f ≥)(恒成立,即0)1(2≥+-+c x b ax 恒成立 ∴0)41(4)12

1

(,02≤---=?>a a a , …………2分 解出:2

1,21,81===

c b a ∴212181)(2++=x x x f …………2分 (3)由分析条件知道,只要)(x f 图象(在y 轴右侧)总在直线 412+=

x m y 上方即可,也就是直线的斜率2

m 小于直线与抛物线相切时的斜率位置,于是: ???

????+=++=4122121812x m y x x y 利用相切时△=0,解出 221+=m …………4分 ∴)221,(+

-∞∈m …………2分 解法2:),0[4121)221(81)(2+∞∈>+-+=

x x m x x g 在必须恒成立 即 ),0[02)1(42+∞∈>+-+x x m x 在恒成立

①△<0,即 [4(1-m)]2-8<0,解得:2

21221+<<-m ……2分 ②??

???>=≤--≥?02)0(0)1(20f m 解出:221-≤m …………2分 总之,)2

21,(+-∞∈m 52.证明:(1)必要性 若{b n }为等差数列,设首项b 1,公差d 则d n b d n n nb n a n 2

1)2)1((111-+=-+=

∵,21d a a n n =-+ ∴{a n }为是公差为2d 的等差数列 ……4分

充分性 若{a n }为等差数列,设首项a 1,公差d

则n d a dn d n a n b b b n )(])1([12

121-+=-+=+++ )2()

1)(()1(12121≥--+-=+++-n n d a n d b b b n ∴)2()2(21≥-+=n d a dn b n

当n=1时,b 1=a 1也适合

∵b n+1-b n =2d , ∴{b n }是公差为2d 的等差数列 …………4分

(2)结论是:{a n }为等差数列的充要条件是{c n }为等差数列且b n =b n+1 其中2+-=n n n a a b (n=1,2,3…) …………4分

53(本小题满分12分)

解: (I)53=S ,即前3局甲2胜1平. ……………………………………………1分 由已知甲赢的概率为

21,平的概率为61,输的概率为3

1, ………………………….2分 得53=S 得概率为.8161)21(223=?C ………………………………………………5分 (II) 7=ξS 时, 5 ,4=ξ,且最后一局甲赢, ……………………………………...6分

16

1)21()21)(61()4(213===C P ξ; ……………………………………………8分 .216

191212161)21()21)(61()31()21()61)(21()5(21313314=+=+==C C C P ξ ξ的分布列为

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………………………………………10分 ∴ .216

149216151614=?+?=ξE ……………………………………12分

54(本小题满分12分)

解:(I )由y x 42=得241x y =

, ∴x y 21='. ∴ 直线l 的斜率为12='=x y ,

故l 的方程为1-=x y , ∴点A 的坐标为(1,0).

设),(y x M ,则=(1,0),),2(y x -=,),1(y x -=,

由0=+?得0)1(20)2(22=+-?+

?+-y x y x ,

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整理,得12

22

=+y x . ∴动点M 的轨迹C 为以原点为中心,焦点在x 轴上,长轴长为22,短轴长为2的椭圆.

(II)如图,由题意知l '的斜率存在且不为零,

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设l '方程为)0)(2(≠-=k x k y ①, 将①代入12

22

=+y x ,整理,得 0)28(8)12(2222=-+?-+k x k x k ,由0>?得.2

102<

21???

????+-=+=+k k x x k k x x ② 令OBF

OBE S S ??=λ, 则BF BE =λ, 由此可得 ?=λ,2

221--=x x λ,且10<<λ. 由②知 221214)2()2(k

x x +-=-+-, 22121212124)(2)2()2(k x x x x x x +=

++-=-?-. ∴ 812)1(22+=+k λλ, 即.2

1)1(422-+=λλk ∵ 2102<

121)1(402<-+<λλ, 解得 .223223+<<-λ

又∵10<<λ, ∴1223<<-λ,

∴?OBE 与?OBF 面积之比的取值范围是(223-, 1).

55(1)设1122(,),(,)A x y B x y 则2

211

2

2222

2

221

1

x y a b x y a b

?+=????+=??相减得

21212

21212y y y y b x x x x a -+?=--+ 则2

2214

2AB b k a ?=-=- 即222a b =故22b c =

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由双曲线定义知离心率|4|

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e c ==- (2)

由上知椭圆离心率为2.

故e ==

则a =

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当a =,椭圆方程为2

2

1189x y +=.

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当a =,椭圆方程为2

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212x y +=.而此时(2,1)M 在椭圆外. 故舍去. 则所求椭圆方程为2

2

1189x y +=.

(3)由题设知:3AB y x =-+.椭圆22220x y a +-=

222320y x x y a =-+??+-=?得22312180x x a -+-=有221212(18)0a ?=-->

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故a >又由(2)

知1e =>

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即|20

a a ?-

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2011年黄冈中学高考数学压轴题精选11

是+ .

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则长轴2a

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的范围是4+ .