2016年高考全国2卷文数试题及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。 3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷

一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

（1）已知集合{1

23}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =

（A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，， （C ）{123}，， （D ）{12}，

（2）设复数z 满足i 3i z +=-，则z =

（A ）12i -+（B ）12i -（C ）32i +（D ）32i - (3) 函数=sin()y A x ω?+的部分图像如图所示，则

（A ）2sin(2)6y x π

=-

（B ）2sin(2)3y x π

=-

（C ）2sin(2+)6y x π

=

（D ）2sin(2+)3

y x π

=

(4) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （A ）12π（B ）

32

3

π（C ）8π（D ）4π (5) 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =k

x

（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ）

12（B ）1 （C ）3

2（D ）2 (6) 圆x 2+y 2?2x ?8y +13=0的圆心到直线ax +y ?1=0的距离为1，则a =

（A ）?

43（B ）?3

4

（C D ）2

(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π

(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到

该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （A ）

710（B ）58（C ）38（D ）310

(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34

(10) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是 （A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D

）y =

(11) 函数π()cos 26cos()2

f x x x =+-的最大值为 （A ）4（B ）5

（C ）6 （D ）7

(12) 已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），

(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则

1

=m

i i x =∑

(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 二．填空题：共4小题，每小题5分.

(13) 已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.

(14) 若x ，y 满足约束条件10

3030x y x y x -+≥??

+-≥??-≤?

，则z =x -2y 的最小值为__________

（15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13

C =，a =1，则b =____________

.

（16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）(本小题满分12分)

等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=

（I ）求{n a }的通项公式； (II)设

n

b =[

n

a ]，求数列{

n

b }的前10项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如

[0.9]=0,[2.6]=2

（18）(本小题满分12分)

某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P(A)的估计值； (II)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”. 求P(B)的估计值；

（III ）求续保人本年度的平均保费估计值.

（19）（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，AE =CF ，EF 交BD 于点H ，将DEF 沿EF 折到'D EF 的位置.

（I ）证明：'AC HD ⊥；

(II)若5

5,6,,'4

AB AC AE OD ===

=求五棱锥'ABCEF D -体积.

（20）（本小题满分12分）

已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.

（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； (II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. （21）（本小题满分12分）

已知A 是椭圆E ：22

143

x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.

（I ）当AM AN =时，求AMN 的面积

(II)当AM AN =2k <<.

请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .

（Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；

（Ⅱ）若AB =1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t α,y t α,ì=??í?=??

（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，AB =求l 的斜率.

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数11

()22

f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ；

（Ⅱ）证明：当a ，b M ?时，1a b ab +<+.

D

C

A

A

D

A

C

B

C

D

B

B

6-

5-

21

13

1和3

17．

【试题分析】（I）先设{}n a的首项和公差，再利用已知条件可得1a和d，进而可得{}n a的通项公式；（II）根据{}n b的通项公式的特点，采用分组求和法，即可得数列{}n b的前10项和．

18．

P A的【试题分析】（I）由已知可得续保人本年度的保费不高于基本保费的频数，进而可得()

估计值；（II）由已知可得续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％的频数，P B的估计值；（III）计算出险次数的频率，进而可得续保人本年度的平均保费估进而可得()

计值．

19．

【试题分析】（I ）先证C A ⊥OH ，C D 'A ⊥O ，再证C A ⊥平面D 'OH ，即可证

C D 'A ⊥H ；（II ）先证D 'O ⊥OH ，进而可证D 'O ⊥平面CD AB ，再计算菱形CD AB 和FD ?E 的面积，进而可得五棱锥'ABCEF D -的体积．

20．

21．

【试题分析】（I）设点M的坐标，由已知条件可得点M的坐标，进而可得?AMN的面积．

请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22．

【试题分析】（I ）先证DFC DC ??E ∽，再证FDG FC ??B ∽，进而可证B ，C ，G ，F 四点共圆；（II ）先证GF GC ?B ??B ，再计算GC ?B 的面积，进而可得四边形BCGF 的面积． 解析：（I ）在正方形CD AB 中，DF DCF ∠E =∠，所以DC FC ∠E =∠B 因为DF C ⊥E ，所以DFC DC 90∠=∠E =，所以DFC DC ??E ∽

所以GC 1111

C CG 12224

S ?B =B?=??= 所以GC CGF 1

22

S S ?B B ==四边形

23．

【试题分析】（I ）利用2

2

2

x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（II ）先将直线l 的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得l 的斜率． 解析：（I ）由()2

2625x y ++=得2

2

12110x y x +++=

222x y ρ=+，cos x ρθ=

∴212cos 110ρρθ++=

故C 的极坐标方程为2

12cos 110ρρθ++=

（II ）由cos sin x t y t α

α

=??

=?（t 为参数）得tan y x α=，即tan 0x y α-=

圆心()C 6,0-，半径5r =

圆心C 到直线l

的距离d ===

=

tan 3α=±，所以l

的斜率为3±．

24．（

当1122x -

≤≤时，()12f x =<，所以1122x -≤≤ 当12x >时，()22f x x =<，解得1x <，所以1

12

x <<

所以()1,1M =- （

II

）

()()

()()()()

2

2

22222222212121111a b ab a ab b ab a b a b a a b +-+=++-++=-+-=--

11a -<<，11b -<<

∴201a ≤<，201b ≤< ∴210a -<，210b -> ∴()()2

2

1a b ab +<+

即1a b ab +<+