初中数学竞赛辅导资料(七年级上)
数的整除（一）
内容提要：
如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.
①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。
如1001100－2＝98（能被7整除）又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：
①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除
如1001100－1＝99（能11整除）又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除）
例
例1已知两个三位数328和9
2x的和仍是三位数7
5y且能被9整除。求x,y
解：x,y都是0到9的整数，∵7
2x＝567，∴x=3
5y能被9整除，∴y=6. ∵328＋9
例2己知五位数x
1234能被12整除，求X
解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，
当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8 当末两位X
4能被4整除时，X＝0，4，8∴X＝8
例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，
但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行
调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习
１．分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）
①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296
2．若四位数a
987能被3整除，那么a=_______________
3．若五位数34
12X能被11整除，那么X＝__________-
4．当m=_________时，5
35m能被25整除
5．当n=__________时，n
9610能被7整除
6．能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________
7．能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________
8．8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________
9．从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，
能被3整除但不是5的倍数的共______个。
10．由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？11．己知五位数A
1234能被15整除，试求A的值。
12．求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。
13．在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题）
1．两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。
例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2．因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数，7是0的约数。
3．整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。
4．整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。
例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5．通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6．公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7．在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数
若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除
例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除。
例题
例1 写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以
应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。
那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1)
例如求360的正约数的个数
解：分解质因数：360＝23×32×5，360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）
例2 用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数
解：∵24＝23×3，90＝2×32×5
∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6 最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24,90]=360
例3 己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N
解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数
∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6 经检验1和2不合题意，∴N＝6，3
例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数
分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。解：∵[10,9,8]=360,∴所以所求的数是359
练习2
1．12的正约数有_________,16的所有约数是_________________
2．分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________
3．用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。
4．一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________
5．能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________
6．己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________
7．写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。答____
8．一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？
9．一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好
1．正整数的一种分类：1??
???
质数合数
质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。 合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。 2． 根椐质数定义可知
1) 质数只有1和本身两个正约数， 2) 质数中只有一个偶数2
如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，
如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3任何合数都可以分解为几个质数的积。 能写成几个质数的积的正整数就是合数。 例题
例1两个质数的和等于奇数a (a ≥5)。求这两个数
解：∵两个质数的和等于奇数，∴必有一个是2．所求的两个质数是2和a －2。 例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数 解：∵质数m 只含两个正约数1和m, 又∵（－1）（－m ）=m ，∴所求的两个整数是1和m 或者－1和－m. 例3己知三个质数a,b,c 它们的积等于30，求适合条件的a,b,c 的值 解：分解质因数：30＝2×3×5
适合条件的值共有： ??
?
??===53
2c b a ?????===352c b a ?????===523c b a ?????===253c b a ?????===325c b a ??
?
??===235c b a 应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a,b,c,d 它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合
条件的a ，b ，c ，d 值共有24组，试把它写出来。 例4试写出4个連续正整数，使它们个个都是合数。 解：（本题答案不是唯一的）
设N 是不大于5的所有质数的积，即N ＝2×3×5，
那么N ＋2，N ＋3，N ＋4，N ＋5就是适合条件的四个合数． 即32，33，34，35就是所求的一组数。 本题可推广到n 个。
令N 等于不大于n+1的所有质数的积，那么N ＋2，N ＋3，N ＋4，……N ＋(n+1)就是所求的合数。
练习3
1．小于100的质数共___个，它们是__________________________________ 2．己知质数P 与奇数Q 的和是11，则P ＝＿＿，Q ＝＿＿ 3．己知两个素数的差是41，那么它们分别是＿＿＿＿＿ 4． 如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是＿＿＿
如果两个整数的积等于73，那么它们是＿＿＿＿ 如果两个质数的积等于15，则它们是＿＿＿＿＿
5．两个质数x 和y ，己知 xy=91,那么x=______,y=______,或x=______,y=______.
6．三个质数a,b,c 它们的积等于1990. 那么 ??
?
??===c b a
7． 能整除311＋513的最小质数是＿＿
8．己知两个质数A 和B 适合等式A ＋B ＝99，AB ＝M 。求M 及
B
A ＋
A
B 的值
9．试写出6个連续正整数，使它们个个都是合数。 10．具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？
11．求适合下列三个条件的最小整数：1)大于1 2)没有小于10的质因数 3)不是质数
12．某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，那么这个质数是＿＿＿ 13，一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是＿＿。
零的特性
内容提要
一零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数，是整数，是偶数。
1．零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高；收支衡可记作结存0元。
2．零是判定正、负数的界限。
若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则a＞0
记作a＞0 ?a是正数读作a＞0等价于a是正数
b<0 ? b 是负数
c≥0 ?c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）
d≤0 ?d是非正数(即d不是正数，而是负数或0)
e≠0 ?e不是0（即e不是0，而是负数或正数）
3．在一切非负数中有一个最小值是0。
例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。
记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0；a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。
3．在一切非正数中有一个最大值是0。
例如－|X|≤0，当X＝0时，－|X|值最大，是0，（∵X≠0时都是负数），
－（X－2）2≤0，当X＝2时，－（X－2）2的值最大，是0。
二零具有独特的运算性质
1．乘方：零的正整数次幂都是零。
2．除法：零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数。从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。3．乘法：零乘以任何数都得零。即a×0＝0，反过来如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。
要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。
4．加法互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。即a、b互为相反数?a+b=0
5．减法两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定，
若a-b=0,则a=b; 若a-b＞0,则a＞b;若a-b＜0,则a＜b。
反过来也成立，当a=时，a-b=0；当a>b时,a-b>0；当a 三在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。 例如近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米； 后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。 可用不等式表示其值范围如下： 1.55近似数1.6<1.65 1.595≤近似数1.60<1605 例题 例1两个数相除，什么情况下商是1？是－1？ 答：两个数相等且不是0时，相除商是1；两数互为相反数且不是0时，相除商是－1。 例2 绝对值小于3的数有几个？它们的和是多少？为什么？ 答：绝对值小于3的数有无数多个，它们的和是0。因为绝对值小于3的数包括大于－3并且小于3的所有数，它们都以互为相反数成对出现，而互为相反数的两个数相加得零。 例3 要使下列等式成立X、Y应取什么值？为什么？①X（Y－1）＝0，②｜X－3｜＋（Y＋2）2＝0 答：①根据任何数乘以0都得0，可知当X＝0时，Y可取任何数； 当Y＝1时，X取任何数等式X（Y－1）＝0都是能成立。 ②∵互为相反数相加得零，而｜X－3｜≥0，（Y＋2）2≥0， ∴它们都必须是0，即X－3＝0且Y＋2＝0，故当X＝3且Y＝－2时，等式｜X｜＋（Y＋2）2＝0成立。 练习4 1． 有理数a 和b 的大小如数轴所示: b 0 a 比较下列左边各数与0的大小（用＞、＜、＝号連接） 2a 0, －3b 0, a 1 0, － b 2 0， －a 2 0, －b 3 0, a+b 0, a －b 0, ab 0, (－2b)3 0, b a 0, b a - 0 2．a 表示有理数，下列四个式子，正确个数是几个？答：＿＿个。 ｜a|>a, a 2> －a 2, a>－a, a+1>a 3．x 表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：________句。 1）（x －2）2有最小值0，2）－｜x+3|有最大值0， 3）2－x 2有最大值2， 4）3＋｜x －1｜有最小3。 4．绝对值小于5的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？ 6． 要使下列等式成立，字母X 、Y 应取什么值？①X 0＝0， ②X （X －3）＝0， ③｜X －1｜＋（Y ＋3）2＝0 7． 下列说法正确吗？为什么？ 1）a 的倒数是a 1； 2）方程（a －1）X ＝3的解是X ＝ 1 3-a 3）n 表示一切自然数，2n －1表示所有的正奇数；4）如果a>b, 那么m 2a>m 2b (a 、b 、m 都是有理数 ) 8． X 取什么值时，下列代数式的值是正数？ ① X （X －1） ② X （X ＋1）（X ＋2） a n 的个位数 内容提要 1．整数a 的正整数次幂a n ,它的个位数字与a 的末位数的n 次幂的个位数字相同。 例如20023与23的个位数字都是8。 2．0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如57的个位数是5，620的个位数是6。 3． 即24k+1与21，24K ＋2与22，24K ＋3与23，24K ＋ 4与24的个位数是相同的（K 是正整数）。 3和7也有类似的性质。 4．4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝22， 8＝23，9＝32转化为以2、3为底的幂。 5．综上所述，整数a 的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：a 4K ＋ m 与a m 的个位数相同(k,m 都是正整数。 例题 例1 20032003的个位数是多少？ 解：20032003与32003的个位数是相同的， ∵2003＝4×500＋3，∴32003与33的个位数是相同的，都是7，∴2003的个位数是7。 例2 试说明632000＋1472002的和能被10整除的理由 解：∵2000＝4×500，2002＝4×500＋2 ∴632000与34的个位数相同都是1，1472002与72的个位数相同都是9， ∴632000＋1472002的和个位数是0，∴632000＋1472002的和能被10整除。 例3 K 取什么正整数值时，3k ＋2k 是5的倍数？ ， ∵a m 与a 4n+m 的个位数相同（m,n 都是正整数，a 是整数）， ∴当K 为任何奇数时，3k ＋2k 是5的倍数。 练习5 1． 在括号里填写各幂的个位数（K 是正整数） 220的个位数是（ ） 45的个位数是（ ） 330的个位数是（ ） 87 的个位数是（ ） 74K+1 的个位数是（ ） 311＋79的个位数是（ ） 216×314的个位数是（ ） 32k-1＋72k-1的个位数是（ ） 72k －32k 的个位数是（ ） 74k-1－64k-3的个位数是（ ） 7710×3315×2220×5525的个位数是（ ） 2． 目前知道的最大素数是2216091－1，它的个位数是＿＿＿。 3． 说明如下两个数都能被10整除的理由。 ①5353－3333 ②19871989－19931991 4． 正整数m 取什么值时，3m ＋1是10的倍数？ 5． 设n 是正整数，试说明2 n ＋7n+2能被5整除的理由。 6． 若a 4的个位数是5，那么整数a 的个位数是＿＿＿ 若a 4的个位数是1，那么整数a 的个位数是＿＿＿ 若a 4的个位数是6，那么整数a 的个位数是＿＿＿ 若a 2k-1的个位数是7，那么整数a 的个位数是＿＿＿ 7．12+22+32+……+92的个位数是＿＿，12+22+32+……+192的个位数是＿＿，12+22+32+……+292的个位数是＿＿。 8. a,b,c 是三个连续正整数，a 2=14884,c 2=15376,那么b 2是（ ） （A ）15116 （B ）15129 （C ）15144 （D ）15321 数学符号 内容提要 数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。 数学符号一般可分为： 1．元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用⊙和△表示园和三角形等。 2．关系符号：如等号，不等号，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等。 3．运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。 4．逻辑符号：略 5．约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a 和b 中，如果a 除以b 的商的整数部份记作Z （b a ），而它的余 数记作R （ b a ）， 那么Z （ 3 10）＝3，R （ 3 10）＝1；又如设[]x 表示不大于x 的最大整数，那么[]2.5＝5，[] 2.5-＝－6，?? ????3 2＝0，[]3-＝－3。 正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义） 对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体到抽象，逐步加深理解。 在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。 例题 例1 设[]Z 表示不大于Z 的最大整数，＜n>为正整数n 除以3的余数 计算： ①〔4.07〕＋〔－7 32 〕－〈13;〉＋〈2004〉 ②〈〔14.7〕〉＋〔 2 34><〕。 解：①原式＝4＋（－3）－1＋0＝0 ②原式＝＜14＞＋〔2 1〕＝2＋0＝2 例2 ①求19871988的个位数 ②说明19871989－19931991能被10整除的理由 解：设N （x ）表示整数x 的个位数， ① N （19871988）＝N （74× 497）＝N （74）＝1 ② ∵N （19871989）－N （19931991）＝N （74×497＋1）－N （34×497＋ 3）＝N （71）－N （33）＝7－7＝0 ∴19871989－19931991能被10整除 由于引入辅助符号，解答问题显得简要明瞭。 例3 定义一种符号★的运算规则为：a ★b=2a+b 试计算：①5★3 ②（1★7）★4 解：①5★3＝2×5＋3＝13 ②（2×1＋7）★4＝9★4＝2×9＋4＝22 例4 设a ※b=a(ab+7), 求等式3※x=2※(-8)中的x 解：由题设可知：等式3※x=2※(-8)就是3（3x ＋7）＝2〔2×（－8）＋7〕 ∴9x+21=－18 ∴x=－4 3 1 练习6 1．设Q ＜x >表示有理数x 的整数部分，那么Q ＜2.15＞＝______ Q ＜－12.3>=_______ Q<－0.03＞＝_______ Q ＜51＞＝________ 2．设｛n ｝表示不小于n 的最小整数，那么｛4.3｝＝___｛－2.3｝＝___ ｛－2｝＝___ ｛－0.3｝＋｛0.3｝＝___ 3．设〔m 〕表示不大于m 的最大整数 ① 若m=2 则〔m 〕=_____ ② 若n= －3.5则〔n 〕=_____ ③ 若－1＜Y ＜0则〔Y 〕＝_____ ④ 若7≤b<8 则〔b 〕＝_____ ⑤ 若〔x 〕=4 则＿＿≤x ＜＿＿ ⑥ 若 n ≤C 计算：①120÷3! ②)! 35(!3!5- 6．设= 2 2 11b a b a = a 1b 2－a 2b 1 计算：① 2 1 4 3＝ ② 1 1- 1-＝ 7．定义一种符号＃的运算法则为a ＃b= b a b a ++22 那么 ①3＃2＝______ ②2＃3＝______ ③（1＃2）＃3＝______ ④（－3）＃（1＃0）＝______ 8．a,b 都是正整数，设a ⊕b 表示从a 起b 个連续正整数的和。 例如2⊕3＝2＋3＋4；5⊕4＝5＋6＋7＋8。 己知：X ⊕5＝2005，求X 9． 设［x ］表示不大于x 数的最大整数且{}x ＝x －［x ］，求{}{}ππ－＋ 10． 设［a ］表示不大于数a 的最大整数，例如［2］＝1，［－2］＝－2 那么，［3x+1］＝2x-2 1的所有的根的和是＿＿（1987年全国初中联赛题） 初中数学竞赛辅导资料（7） 用字母表示数 内容提要和例题 1． 用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来，从具体的数字计算到用抽象的字母概 括运算规律上，是一种飞跃。 2． 用字母表示数时，字母所取的值，应使代数式有意义，并使它所表示的实际问题有意义。 例如①写出数a 的倒数 ②用字母表示一切偶数 解：①当a ≠0时， a 的倒数是 a 1 ②设n 为整数， 2n 可表示所有偶数。 3． 命题中的字母，一般要注明取值范围，在没有说明的情况下，它表示所学过的数，并且能使题设有意义。 例1 化简：⑴｜x －3｜（x<3） ⑵| x+5| 解：⑴∵x<3,∴x －3<0， ∴｜x －3｜＝－（x －3）＝－x ＋3 ⑵当x ≥－5时，｜x ＋5｜＝x ＋5，当x <－5时，｜x ＋5｜＝－x －5（本题x 表示所有学过的数） 例2己知十位上的数是a,个位数是b ,试写出这个两位数 解：这个两位数是10a+b (本题字母a 、b 的取值是默认题设有意义,即a 表示1到9的整数，b 表示0到9的整数) 4． 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式时，一般左边作为题设，所用的字母是使左边代数式有意义的，所以只对变形到右边所增加的字母的取值加以说明。 例如用字母表示：①分数的基本性质 ②分数除法法则 解：①分数的基本性质是 am bm a b =(m ≠0)， m a m b a b ÷÷= (m ≠0) a 作为左边的分母不另说明a ≠0， ② d c a b c d a b ?=÷(d ≠0) d 在左边是分子到了右边变分母，故另加说明。 5． 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式，不仅可从左到右顺用，还可从右到左逆用；公式可以变形，变形时字母取值范围有变化时应加说明。例如： 乘法分配律，顺用a(b+c)=ab+ac, =? -)1782417 1616 (812 17 2417 2-= 17 12 逆用5a+5b=5(a+b), 6.25×3.14－5.25×3.14=3.14(6.25－5.25)=3.14 路程S=速度V ×时间T ， V= T S (T ≠0)， T= V S (V ≠0) 6． 用因果关系表示的性质、法则，一般不能逆用。 例如：加法的符号法则 如果a>0，b>0， 那么 a+b>0，不可逆 绝对值性质 如果a>0,那么|a|=a 也不可逆(若|a|=a 则a ≥0) 7． 有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。 例题 例1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的n 位数呢？ 解：不同的五位数可从最大 五位数99999减去最小五位数10000前的所有正整数，即99999-9999=90000. 推广到n 位正整数，则要观察其规律 一位正整数,从1到9共9个， 记作9×1 二位正整数从10到99共90个， 记作9×10 三位正整数从100到999共900个， 记作9×102 四位正整数从1000到9999共9000个， 记作9×103 (指数3=4-1) …… …… ∴n 位正整数共9×10 n-1个 例2 _____________________________________________________ A C D E B 在线段AB 上加了3个点C 、D 、E 后，图中共有几条线段？ 加n 点呢？ 解：以A 为一端的线段有： AC 、AD 、AE 、AB 共4条 以C 为一端的线段有：(除CA 外) CD 、CE 、CB 共3条 以D 为一端的线段有：(除DC 、DA 外) DE 、DB 共2条 以E 为一端的线段有：(除ED 、EC 、EA 外) EB 共1条 共有线段1+2+3+4=10 (条) 注意：3个点时，是从1加到4， 因此 n 1 1++) 2(+n n 练习7 1． 右边代数式中的字母应取什么值？ ① 2 4 x ②S 正方形=a 2 ③3的倍数3n 2．用字母表示：①一切奇数 ②所有正偶数 ③一个三位数 ④n 个a 相乘的结果 ⑤负数的绝对值是它的相反数. 3．写出：⑴ 从1开始，n 个自然数的和是______________________ ⑵ 从11开始到2n+1 連续奇数的和( n>5)是__________ ⑶ m 个球队进行单循环赛所需场数是_________________ 4．已知999=103－1, 9999=104－1, 那么各位数都是9的n 位数 n 9999 5． 计算112= 1112= (n ≤10时) n 2 1111=____________________ 6． 写出图中所有三角形并计算其个数，如果线段上有10个点呢？ E 初中数学竞赛辅导资料（8） 抽屉原则 内容提要 1． 4个苹果放进3个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个（即等于或多于2个）；如 果7个苹果放进3个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个（即的等于或多于3个），这就是抽屉原则的例子。 2． 如果用{}n m 表示不小于n m 的最小整数，例如{}37＝3，{236= 。那么抽屉原则可定义为： m 个元素分成n 个集合（m 、n 为正整数m>n ）,则至少有一个集合里元素不少于{}n m 个。 3． 根据{n m 的定义，己知m 、n 可求{}n m ； 己知{}n m ，则可求n m 的范围，例如己知{}n m ＝3，那么2＜n m ≤3； 己知{3x ＝2，则 1＜3 x ≤2，即3＜x ≤6，x 有最小整数值4。 例题 例1某校有学生2000人，问至少有几个学生生日是同一天？ 分析：我们把2000名学生看作是苹果，一年365天（闰年366天）看作是抽屉，即把m （2000）个元素，分成n(366)个集合，至少有一个集合的元素不少于{}n m 个 解：∵ =366 20005 366 17 ∴{}366 2000 ＝6 答：至少有6名学生的生日是同一天 例2从1到10这十个自然数中，任意取出6个数，其中至少有两个是倍数关系，试说明这是为什么。 解：我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为5个集合， 它们是：｛1，2，4，8，｝，｛3，6，｝，｛5，10｝，｛7｝，｛9｝。 ∵要在5个集合里取出6个数， ∴至少有两个是在同一集合，而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。 （本题的关键是划分集合，想一想为什么9不能放在3和6的集合里）。 例3袋子中有黄、红、黑、白四种颜色的小球各6个,请你从袋中取出一些球，要求至少有3个颜色相同，那么至少应取出几个才有保证。 分析：我们可把4种球看成4个抽屉（4个集合），至少有3个球同颜色，看成是至少有一个抽屉不少于3个（有一个集合元素不少于3个）。 解：设至少应取出x 个，用｛4 x ｝表示不小于4 x 的最小整数，那么｛4 x ｝＝3， ∴2＜4 x ≤3， 即8＜x ≤12， 最小整数值是9。 答：至少要取出9个球，才能确保有三个同颜色。 例4等边三角形边长为2，在这三角形内部放入5个点，至少有2个点它们的距离小于1，试说明理由。 解：取等边三角形各边中点，并連成四个小三角形（如图）它们边长等于1， ∵5个点放入4个三角形， ∴至少有2个点放在同一个三角形内， 而同一个三角形内的2个点之间的距离必小于边长1。 练习8 1． 初一年新生从全县17个乡镇招收50名，则至少有＿人来自同一个乡镇。 2． 任取30个正整数分别除以7，那么它们的余数至少有＿＿个是相同的。 3． 在2003m 中，指数m 任意取10个正整数，那么这10个幂的个位数中相同的至少于＿＿个. 4． 暗室里放有四种不同规格的祙子各30只，为确保取出的祙子至少有1双（2只同规格为1双）那么至少要取几只？若要确保10双呢？ 5． 袋子里有黑、白球各一个,红、蓝、黄球各6个.请你拿出一些球,要确保至少有4个同颜色,那么最少要取几个? 6． 任意取11个正整数，至少有两个它们的差能被10整除，这是为什么？ 7． 右图有3行9列的方格，若用红、蓝两种颜色涂上，则至少有2列的涂色方式是一样的，试说明这是为什么。 8． 任意取3个正整数，其中必有两个数它们的平均数也是正整数。试说明理由。 9． 90粒糖果分给13个小孩，每人至少分1粒，不管怎样分，总有两人分得同样多，这是为什么？ 10．11个互不相同的正整数，它们都小于20，那么一定有两个是互质数。（最大公约数是1的两个正整数叫互质数） 11．任意6个人中，或者有3个人他们之间都互相认识，或者有3个人他们之间都互不相识，两者必居其一，这是为什么？ 初中数学竟赛辅导资料(1) 参考答案 练习1 1.④ 22×32×7×3 ⑤ 3×7×13×37 ⑥ 23×32×11×13 2. 0，3，6，9 3. 0 4. 2，7 5. 3 6. 10010，9990 7. 9996，9992 8. 6：B 8：F ，G 9：B ，D 11：G ，H 9. 16；27 10．有一个，∵1＋2＋3＋4＋5＝15是3的倍数，与数字的位置无关 11．仿例2，a ＝5 12．10269（由最小五位数10234调换末两位数） 13．11111111100 练习2 1. 1，2，3，4，6，12； ±1，±2，±3，±6，±9，±18 2. 22×3×52； 18 3. 2×5； 22×53 4. 693 5. ［3，5，11］＝165，1155；990 6. A ＝3 即求14－2与23－2的公约数 7. 30，60，90 8. （135，105）＝15，正约数有1，3，5，15 8. 119。∵［2，3，4，5，6］＝60，60×2－1＝119 练习3 1. 25个 2. 2，9 3. 2，43 4. 1，19；1，73或－1，－73 5 ???137713，， 6. 1900＝2×5×199 有6组 7. 2 8. ? ??==2,9797 ,2b a 9.令N ＝2×3×5×7＝210，所求合数为N ＋2，N ＋3，…… 10．分母只含2和5的质因数 11．11×11 12. 37 13. 3 练习4 2. 只一个 3. 4 4.无数多个，0 5. ①x ≠0，② 0或3 ③. X=0且y ＝5 （注意或与且的区别） 6. 都不正确，0没有倒数 7. ①x>1或x<0 ② -2 练习5 1．6，4，9，2，7，4，4，0，0，7，0要注意3，7为底的正奇数次幂的和为0，正偶数次幂的差为0 2．7 3. 算出个位数的差为零 4．由32＋1写出通解 m=2＋4k (k 为非负整数) 4，6，8；3，7。 7．5；0；5 8. B 练习6 1. 2，－2，0，0 2. 5,-2,-2,1 3．①－2 ②－4 ③－1 ④7 ⑤4 8 7，② 7 8，③ 22 29，④ 11 4 8．399 9. 1 10. －2 练习7 1． x ≠2，a>0, n 是整数 2．①2n －1（n 是整数） ②2n(n 是正整数) ③100a+10b+c(a 是1到9,b,c 是0到9的整数) ④a n (n 是正整数) ⑤a ＝－a(a<0) 3．① 2 )1(n n +②（11＋2n+1） 4 9 )12(-+n ③ 2 ) 1(-m m 4．103－1，10n －1 5．121， 12321， 123…n …321 6．4＋3＋2＋1＝10，1＋2＋3＋…＋（n-1）= 2 ) 1(-n n 练习8 1. 3 2. 5 3. 3 4. 5只，23只 5. 12 6. ∵正整数的个位数字只有0，1，2，…9共10个，…… 9列必与前8种中的一种相同 2个 是同奇数或同偶 数，…… 9．如果我们给13人分配都不相同的粒数，∵1＋2＋…＋13＝91，而实际糖果只有90粒，∴必有1人要少分1粒，因而他一定与其余12人中的1个相同 10．用A ，B ，C ，D ，E ，F 表示6个人。A 与其他5个人的关系――相识或不相识两种，必有一种不少于3人，不妨设A 与B ，C ，D3人都相识，这时，只B ，C ，D3人中有2人相识，则本题的结论就成立。若B ，C ，D3人都互不相识，那么结论也成立。所以…… 专题24 相交线与平行线 阅读与思考 在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行. 当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键． 两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据． 1．平行线的判定 (1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行； (2)平行于同一直线的两条直线平行； (3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行． 2．平行线的性质 (1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行； (2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； (3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形： 例题与求解 【例1】 (1) 如图①，AB ∥DE ，∠ABC ＝0 80，∠CDE ＝0 140，则∠BCD ＝__________. （安徽省中考试题） (2) 如图②，已知直线AB ∥CD ，∠C ＝0 115，∠A ＝0 25，则∠E ＝___________. （浙江省杭州市中考试题） 图② A 解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解. 【例2】如图，平行直线AB ，CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有( )． A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手． C D B 例2题图 例3题图 【例3】 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC //ED ，CE 是∠ACB 的平分线，求证：∠EDF ＝∠BDF . （天津市竞赛试题） 解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形． 【例4】 如图，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝ 41∠EAB ，∠FCF ＝41∠ECD .求证：∠AFC ＝4 3 ∠AEC . （湖北省武汉市竞赛试题） D E C A B 图1 初中数学竞赛辅导资料（12） 用交集解题 甲内容提要 1． 某种对象的全体组成一个集合．组成集合的各个对象叫这个集合的元素．例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个． 2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集 例如6的正约数集合A ＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B ＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C ＝｛1，2｝，集合C 是集合A 和集合B 的交集． 3． 几个集合的交集可用图形形象地表示， 右图中左边的椭圆表示正数集合， 右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 的公共部分，是它们的交集――正整数集． 不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集． 例如 不等式组? ??<->)2(2)1(62 x x 解的集合就是（ ） 不等式（1）的解集x >3和不等式（2）的解集x ＞2的交集，x >3． 4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答．把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案． 有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案．（如例2） 乙例题 例1． 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值． 解：除以3余2的自然数集合A ＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……｝ 除以5余3的自然数集B ＝｛3，8，13，18，23，28，……｝ 除以7余2自然数集合C ＝｛2，9，16，23，30，……｝ 集合A 、B 、C 的公共元素的最小值23就是所求的自然数． 例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数． 解： 二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是｛1，3，7，9｝； 其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组； 平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组． 同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组 故所求质数是：23，17； 43，37； 53，47； 73，67共四组． 例3. 数学兴趣小组中订阅A 种刊物的有28人，订阅B 种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A 种、只订B 种的各几人？数学兴趣小组共有几人？ 解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A 种、B 种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们 C A B D M 第（17）题 第14题 七年级数学竞赛试题 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.下列图中，左边的图形是立方体的表面展开图，把它折叠成立方体，它会变成右边的（ ） 2．观察这一列数：34-，57, 910-, 1713,33 16-，依此规律下一个数是（ ） A. 4521 B. 4519 C. 6521 D. 65 19 3． 己知AB=6cm ，P 是到A ，B 两点距离相等的点，则AP 的长为（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．不能确定 4. 五位朋友a 、b 、c 、d 、e 在公园聚会，见面时候握手致意问候，已知：a 握了4次手， b 握了1次， c 握了3次， d 握了2次，到目前为止， e 握了（ ） 次 A.1 B. 2 C. 3 D 、4 5、若14 +x 表示一个整数，则整数x 可取值共有( ). A ．3个 B ． 4个 C ． 5个 D ． 6个 6、四个互不相等的整数a 、b 、c 、d ，如果abcd=9，那么a+b+c+d 等于( ) A 、0 B 、8 C 、4 D 、不能确定 二、填空题（每小题3分，共30分） 7、在数轴上1 ，的对应点A 、B ， A 是线段BC 的中点，则点C 所表示的数 是 。 8．化简2004120011200112002120021200312003120041---+-+- =________________ 9、观察下列单项式，2x,-5x 2, 10x 3, -17x 4 ,…… 根据你发现的规律写出第5个式子是 ____________第8个式子是 __________ 。 10．如图，己知点B ，C ，D ，在线段AE 上，且AE 长为8cm ，BD 为3cm ，则线段AE 上所有线段的长度的总和为 。 11、如果2-x ＋x －2＝0，那么x 的取值范围是________________. 12、已知a 1+a 2=1,a 2+a 3=2,a 3+a 4=3,…，a 99+a 100=99，a 100+a 1=100,那么a 1+a 2+a 3+…a 100= 。 13、若,,,,,a b c d e f 是六个有理数，且 11111 ,,,,23456 a b c d e b c d e f =-==-==-， 则_______.f a = 14. 如图2，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，且MN ∥BC ，设 AB ＝12， BC ＝24，AC ＝18，则△AMN 的周长为 ________________。 15、将2009减去它的21，再减去余下的31，再减去余下的41，再减去余下的5 1 ,依次类 推，直到最后减去余下的 2009 1 ,最后答数是__________. 16、若正整数x ，y 满足2004x ＝15y ，则x ＋y 的最小值是_______________。 17、如图，在△ABC 中，中线CM 与高线CD 三等分ACB ∠，则B ∠= . 18、方程2011201220113221=?++?+?x x x 的解是____________. 三、解答题（共52分） 19、（本题满分7分）先化简后求值：己知(x+21 )2+1+y =0, 求2x-{}]5)3(24[3y y x x y +--+-的值。 A B A C D 学校：_______________；班级：______________；姓名：______________；考号：____________ 普定县城关镇第一中学2011——2012学年度第一学期 七年级数学竞赛试题 学校： 班级： 姓名： ★亲爱的同学，经过这段时间的中学数学学习，你的数学能力一定有了较大的提高，展示你才能的机会来了！祝你在这次数学竞赛中取得好成绩！别忘了要沉着冷静、细心答题哟！ 一、选择题(每小题6分，共36分) 1、如果m 是大于1的偶数，那么m 一定小于它的……………………（ ） A 、相反数 B 、倒数 C 、绝对值 D 、平方 2、当ｘ＝－2时， 37ax bx +-的值为9，则当ｘ＝2时，3 7ax bx +-的值是 （ ） A 、－23 B 、－17 C 、23 D 、17 3、255 ，344 ，533 ，622 这四个数中最小的数是………………………（ ） A. 255 B. 344 C. 533 D. 622 4、把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图1所示的立体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红色部分的面积为 （ ）． A 、21 B 、24 C 、33 D 、37 5、有理数的大小关系如图2所示，则下列式子 中一定成立的是…… （ ） A 、c b a ++＞0 B 、c b a <+ C 、c a c a +=- D 、a c c b ->- 6、某动物园有老虎和狮子，老虎的数量是狮子的2倍。每只老虎每天吃肉4.5千克，每只狮子每天吃肉3.5千克，那么该动物园的虎、狮平均每天吃肉…… …… （ ） A 、 625千克 B 、 725千克 C 、825千克 D 、9 25千克 二、填空题(每小题6分，共36分) 7、定义a*b=ab+a+b,若3*x=27，则x 的值是_____ 8、三个有理数ａ、ｂ、ｃ之积是负数，其和是正数，当x ＝ c c b b a a + + 时，则 ______29219=+-x x 。 9、当整数m ＝_________ 时，代数式 1 36 -m 的值是整数。 10、A 、B 、C 、D 、E 、F 六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A 、B 、C 、D 、E 、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B 队比赛的球队是______ 。 11、甲从A 地到B 地，去时步行，返回时坐车，共用x 小时，若他往返都座车，则全程 只需x 3 小时，，若他往返都步行，则需____________小时。 12、 ._______2007 20061431321211=?+?+?+?K 三、解答题(共28分) 13、现将连续自然数1至2009按图中的方式排列成一个长方形队列，再用正方形任意框出16个数。（14分） （1）设任意一个这样的正方形框中的最小数为n ，请用n 的代数式表示该框中的16个数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数中的最小数和最大数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数的和。（用n 的代数式表示） （2）在图中，要使一个正方形框出的16个数之和和分别等于832、2000、2008是否可能？若不可能，请说明理由；若可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数。 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 · · · · · · · 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 图2 初中数学竞赛辅导资料之因式分解 甲内容提要和例题 我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法 1．添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式 例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc ①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式 解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x) ②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2 解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2 ＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc) 例2因式分解：①x3－11x+20②a5+a+1 ①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里 16是完全平方数） ②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4) =x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5) ③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式 解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1 =a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1) 2．运用因式定理和待定系数法 定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a ⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。 例3因式分解：①x3－5x2+9x－6②2x3－13x2+3 3.如图,在长方形ABCD中,E是AD的中点,F是CE的中点, E a+2000的值不能是(). 1998?1998+1998,b=- 1999?1999+1999 ,c=- 2000?2000+2000 , CF=BC,则长方形ABCD的面积是阴影部分面积的 d+2000,则a,b,c,d的大小关系是( 9.有理数-3,+8,-1 2 ,0.1,0,,-10,5,-0.4中,绝对值小于1的数共有_____个;所有 七年级数学竞赛 （时间100分钟满分100分） 一、选择题：(每小题4分,共32分) 1.(-1)2000的值是(). (A)2000(B)1(C)-1(D)-2000二、填空题：(每题4分,共44分) 1.用科学计数法表示2150000=__________. 2.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示: 若m=│a+b│-│b-1│-│a-c│-│1-c│,则1000m=_________. A D 2.a是有理数,则11 若△BDF的面积为6平方厘米,则长方形ABCD的面积 6 (A)1(B)-1(C)0(D)-2000 3.若a<0,则2000a+11│a│等于(). (A)2007a(B)-2007a(C)-1989a(D)1989a 是________平方厘米.F 4.a的相反数是2b+1,b的相反数是3a+1,则a2+b2=____.B C 5.某商店将某种超级VCD按进价提高35%,然后打出“九折酬宾,外送50元出租车费” 4.已知a=- 1999?1999-1999则abc=().2000?2000-20002001?2001-2001的广告，结果每台超级VCD仍获利208元,那么每台超级VCD的进价是________. 6.如图,C是线段AB上的一点,D是线段CB的中点.已知图 (A)-1(B)3(C)-3(D)1 5.某种商品若按标价的八折出售,可获利20%,若按原价出售,则可获利() (A)25%(B)40%(C)50%(D)66.7% 6.如图,长方形ABCD中,E是AB的中点,F是BC上的一点,且A D 1 3 ()倍.E 中所有线段的长度之和为23,线段AC的长度与线段CB的A C D B 长度都是正整数,则线段AC的长度为_______. 7.张先生于1998年7月8日买入1998年中国工商银行发行的5年期国库券1000元. 回家后他在存单的背面记下了当国库券于2003年7月8日到期后他可获得的利息 数为390元.若张先生计算无误的话,则该种国库券的年利率是________. 8.甲、乙分别自A、B两地同时相向步行,2小时后在中途相遇.相遇后,甲、乙步行速 (A)2(B)3(C)4(D)5 7.若四个有理数a,b,c,d满足 B 1111 a-1997=b+1998=c-1999=)F C 度都提高了1千米/小时.当甲到达B地后立刻按原路向A地返行,当乙到达A地后也 立刻按原路向B地返行.甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇,则A、B 两地的距离是_________千米. (A)a>c>b>d(B)b>d>a>c；(C)c>a>b>d(D)d>b>a>c 8.小明编制了一个计算程序.当输入任一有理数,显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与1之和.若输入-1,并将所显示的结果再次输入,这时显示的结果应当是(). (A)2(B)3(C)4(D)5 1 3 正数的平方和等于_________. 10.设m和n为大于0的整数,且3m+2n=225. (1)如果m和n的最大公约数为15,则m+n=________. (2)如果m和n的最小公倍数为45,则m+n=________. 七年级数学竞赛讲义附练习及答案（12套） 初一数学竞赛讲座 第1讲数论的方法技巧（上） 数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力. 数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”. 因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了. 任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作. ”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重. 数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆. 主要的结论有： 1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的. 特别地，如果r=0，那么a=bq. 这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数. 2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c. 3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的. （1）式称为n的质因数分解或标准分解. 4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为： d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）. 5．整数集的离散性：n 与n+1之间不再有其他整数. 因此，不等式x ＜y 与x ≤y-1是等价的. 下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解. 一、利用整数的各种表示法 对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决. 这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ； 4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数. 例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差. 结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998. 问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？ 解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a 3，a 2，a 1，a 0，则这个四位 数可以写成：1000a 3+100a 2+10a 1+a 0，它的各位数字之和的10倍是10（a 3+a 2+a 1+a 0）=10a 3+10a 2+10a 1+10a 0，这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是： 990a 3+90a 2-9a 0=1998，110a 3+10a 2-a 0=222. 比较上式等号两边个位、十位和百位，可得a 0=8，a 2=1，a 3=2. 所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8. 例2 在一种室内游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc (a,b,c 依次是这个数的百位、十位、个位数字)，并请这个人算出5个数cab bca bac acb ,,,与cba 的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc . 现在设N=3194，请你当魔术师，求出数abc 来. 解：依题意，得 第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D 二、7.-18.30°9.3或-110.221 三、11.（1）19×11=12×?è??19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×?è?? 12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分 （3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×?è??1-13+12×?è??13-15+12×?è??15-17+12×?è??17-19+?+12×?è?? 1199-1201=12×?è?? 1-13+13-15+15-17+17-19+?+1199-1201……………………………………………15分=12×?è??1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分 （2）∠APC =∠α+∠β. 理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ， 所以AB ∥PE ∥CD . 所以∠α=∠APE ， ∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分 （3）当点P 在BD 延长线上时， ∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时， ∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =?è??120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分 （2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达. …………………………………………………………………………………………………………10分 根据题意，得2?x -x 50?550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分 初中数学竞赛专题选讲 识图 一、内容提要 1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。 2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。 3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像 点：只表示位置，没有大小，不可再分。 线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线”。面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面”。4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。 识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。 二、例题 例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？ E 解：甲图中有10个角：∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD, ∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个∠AOC，余类推。 乙图中有5个等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC 丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O) △AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。 丁图中共有等边三角形48个： 边长1个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＋5＝15 顶点在下▼的个数有 1＋2＋3＋4＝10 边长2个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＝10 顶点在下▼的个数有 1＋2＝3 边长3个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＝6 边长4个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＝3 边长5个单位：顶点在上▲的个数有 1 以上要注意数一数的规律 例2.设平面内有6个点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，其中任意3个点都不在同 一直线上，如果每两点都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图形不 出现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。 （1989年全国初中数学联赛题） 解：从点A 1与其他5点连线有5条，从点A 2与其他4点（A 1除外）连线 有4条，从A 3与其他3点连线有3条（A 1，A 2除外）……以此类推，6个 点两两连线共有线段1＋2＋3＋4＋5＝15（条），或用每点都与其他5点 连线共5×6再除以2（因重复计算）。 要使图形不出现有4个点的两两连线，那么每点只能与其他4个点连线， 共有（6×4）÷2＝12（条）如下图：其中有3对点不连线：A 1A 4，A 2A 5， A 3A 6 A 3 1 2 例3.如图水平线与铅垂线相交于O ，某甲沿水平线，某乙铅垂线同时匀速 前进，当甲在O 点时，乙离点O 为500米，2分钟后，甲、乙离点O 相 等；又过8分钟，甲、乙再次离点O 相等。求甲和乙的速度比。 解：如图设甲0，乙0为开始位置，甲1，乙1为前进2分钟后位置，甲2，乙2 乙2 为再前进8分钟的位置。再设甲，乙的速度分别为每分钟x,y 米，根据题意得 ? ??-=-=500101025002y x y x 甲 O 甲1 甲2 解得12x=8y 乙1 ∴x ∶y=2∶3 七年级数学竞赛题精选 姓名_______ 一.填空题 1.一辆汽车车牌在地面积水中的倒影为 ，请写出该车牌号码 2.已知：|x+3|+|x －2｜＝5，y=－4x+5,则 y 的最大值是 。 3.已知a 、b 为△ABC 的两边，且满足ab b a 222=+，你认为△ABC 是 三角形。 4.在一个5×5 的方格盘中共有 个正方形。 5.已知ab x b a x b x a x +++=++)())((2，观察等式，试分解因式： =+-232x x 。 6.若a 3m ＝3 b 3n ＝2,则(a 2m )3＋(b n )3－b n b 2n ＝ 7.如图，把⊿ABC 绕点C 顺时针旋转o 25，得到⊿C B A ''， B A ''交AC 于D ，已知∠DC A '＝o 90，则∠A 的度数是 ； 8.已知012=-+x x ，则200422 3++x x ＝ ； 一、选择题： 1.下列属平移现象的是（ ） A ，山水倒映。 B.时钟的时针运转。 C.扩充照片的底片为不同尺寸的照片。 D ．人乘电梯上楼。 2.如图，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，验证了一个等式，此等式是（ ） A. a 2－b 2=(a +b)(a －b) B.(a +b)2=a 2+2a b+b 2 C.(a －b)2=a 2－2a b+b 2 D .(a +2b)(a －b)=a 2+a b －b 2 3.已知实数a 、b 满足：1=ab 且b a M +++=1111， b b a a N +++=11，则M 、N 的关系为（ ） （A ）N M > （B ）N M < （C ）N M = （D ）M 、N 的大小不能确定 4.若x 2－2(m －3)x ＋9是一个多项式的平方，则m ＝( ) A 6 B 12 C 6或0 D 0或 2015年七年级上学期 数学竞赛试题 一、填空题（每小题4分，共40分） 1. 甲、乙、丙、丁四个数之和等于－90，甲数减－4，乙数加－4，丙数乘－4，丁数除－4 彼比相等，则四个数中的最大的一个数比最小的一个数大＿＿ 2.计算（－21 24+ 7 113÷ 24 113－ 3 8）÷1 5 12=＿＿＿。 3. 已知与是同类项，则＝＿＿。 4. 有理数在数轴上的位置如图1所示，化简 5．某班学生去参加义务劳动，其中一组到一果园去摘梨子，第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，……以此类推，后来的学生都比前面的学生多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了6个梨子，请问这组学生的人数为＿＿＿＿. 6. 小明骑车自甲地经乙地，先上坡后下坡，到达乙地后立即返回甲地，共用34分钟，已知上坡速度是400米／分，下坡速度是450米／分，则甲地到乙地的路程是＿＿米。 7. 学校开运动会，班长想分批买汽水给全班50名师生喝，喝完的空瓶根据商店规定每5个 空瓶又可换一瓶汽水，则至少要买瓶汽水，才能保证每人喝上一瓶汽水. 8. 有这样一个衡量体重是否正常的简单算法。一个男生的标准体重（以公斤为单位）是其 身高（以厘米为单位）减去110。正常体重在标准体重减标准体重的10％和加标准体重的10之间。已知甲同学身高161厘米，体重为W，如果他的体重正常，则W的公斤数的取值范围是_____. 9. m、n、l都是二位的正整楼，已知它们的最小公倍数是385，则m+n+l的最大值是＿＿。 10. 已知x =5时，代数式ax 3+bx －5的值是10，当x =－5时，代数式ax 3+bx +5=＿＿。 二、选择题（每小题5分，共30分） 1.－|－3|的相反数的负倒数是（ ） （A ）－13 （B ）13 （C ）－3 （D ）3 2. 如图2所示，在矩形ABCD 中，AE =B =BF =21AD =3 1AB =2， E 、H 、G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( ) (A)8. (B)12． (C)16． (D)20． 3. 十月一日亲朋聚会，小明统计大家的平均年龄恰是38岁，老爷爷说，两年前的十月一日 也是这些人相聚，那么两年前相聚时大家的平均年龄是（ ）岁。 （A ）38 （B ）37 （C ）36 （D ）35 4．探险队要达到目的地需要坐船逆流而上，途中不小心把地图掉入水中，当有人发现后， 船立即掉头追这张地图，已知，船从掉头到追上地图共用了5分钟，那么，这个人发现地图掉到水中是 （ ）. （A ）4分钟后 （B ）5分钟后 （C ）6分钟后 （D ）7分钟后 5. 秋季运动会上，七年级（1）班的萌萌、路佳、王玉三人一起进行百米赛跑（假定三人 均为匀速直线运动）．如果当萌萌到达终点时，路佳距终点还有10米，王玉距终点还有20 米．那么当路佳到达终点时，王玉距终点还有（ ） Ａ．10米 Ｂ．889米 Ｃ．1119 米 Ｄ．无法确定 6．已知a ≤2，b ≥－3，c ≤5,且a －b ＋c ＝10，则a ＋b ＋c 的值等于（ ）。 （A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4 三、解答题（每小题10分，共30分） 精品文档。___________学年第一学期台山市新宁中学2010—2011 初一数学竞赛试题 分）90分钟，满分：100（说明：本试卷共六大题，包含 20小题；时间： 一、填空题（每题4分，共32分）题号`16 14 15 10 11 12 13 9 选项 17=20.09÷________.计算：1． 号）9. 数a的任意正奇数次幂都等于a的相反数，则（绩1???1aa?0a值A. C. D. 不存在这样的 B. a 成则这个锐角的度2.一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角， 。数___________ ）. ．已知a 名，下图是从不同方向观察这、4、5、64.已知立方体木块约六个面分别标有数字1、2、3姓在地面上堆叠成如图所示的立的正方体，11. 把14个棱长为1 _ 个立方体木块看到的数字情况，数字1和2的对面的数字的积是 订体，然后将露出的表面部分涂成红色，那么红色部分的面积为 ）（ 4 16 15 137 33 D ． C B．24 ．A．21 2 4 2 别班20102011?aa?12?2,?a0?a ______________。那么5. 若aa两数中的较大者，例12. 12.用表示表示两数中的较小者，用、、)max(a)min(a,b,b bb ca是互不相等的自然数，min 如．Min(3,5)=3,max(3,5)=5 设、、、db____________. 的所有整数之和为6. 绝对值不大于 2010,y)?n m(,nc,(d)?n,mi,x,,max p(q)?x,ma a(,b)?m max?(m)a min(,b?p,in c, d)q ，使得运算结果是中添加＋－×÷的运算（可以加括号）k3，，k7．设k=13，在3， 线。35，算式是___________________．）则（ CGBD?ABC?，F、G均为BC18. 已知：如图，边上的点，且、中，D、E都有可能X＜y D．X＞y和yX X＜y C．＝ B yX A．＞． 1DE?3EF BDGF?DE??S为和积的角有中则，1。若，图所三形面之ABC?2精品文档． 学校 班级 姓名 …………………………密……………………………封………………………线………………………………… 2018-2019学年七年级（上）趣味数学竞赛试题 满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．下列方程中，是一元一次方程的是( ) （A ）2332 =-+x x （B ） 1124=-x (C) 1=+y x (D)01 =+y y 2．在解方程 21x －－3 3 2x ＋＝1时，去分母正确的是 A 、3（x －1）－2（2＋3x ）＝1 B 、3（x －1）－2（2x ＋3）＝6 C 、3x －1－4x ＋3＝1 D 、3x －1－4x ＋3＝6 3．关于x 的方程2(1)0x a --=的解是3,则a 的值是（ ） A ．4 B ．—4 C ．5 D ．—5 4. 某工厂计划每天烧煤a 吨，实际每天少烧b 吨，则m 吨煤可多烧（ ）天. A ．m m a b - B ．m a b - C ．m m a a b -- D ．m m a b a - - 5. 若a ＝b ，则下列式子正确的有（ ） ①a －2＝b －2 ②1 3 a ＝12 b ③－34 a ＝－34 b ④5a －1＝5b －1． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6.数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分必须答对的题数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7．方程2x+1=3与2-3 x a -=0的解相同，则a 的值是（ ） A.7 B.0 C.3 D.5 8．下面是一个被墨水污染过的方程： +=-x x 32 1 2，答案显示此方程的解是x=-1, 被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ） A ．1 B ．－1 C 9．某个体户在一次买卖中同时卖出两件上衣，售价都是165元，若按成本价计算，其中一件盈利25％，另一件亏损25％，在这次买卖中他 （ ） A 、赚22元 B 、赚36元 C 、亏22元 D 、不赚不亏. 10．有m 辆客车及n 个人，若每辆乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43 人，则只有1人不能上车，有下列四个等式： ①1431040-=+m m ；②4314010+=+n n ；③43 1 4010-= -n n ；④1431040+=+m m ， 其中正确的是( ). A ．①② B ．②④ C ．①③ D ．③④ 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11．当x= 时，式子5x+2与3x ﹣4的值相等． 12. 若5 a b = ，则_________=5，根据是______________. 13．若式子 14x -的值比式子24 x -的值少5，那么x =__________. 14.若 m 1x 5m -=（）是一元一次方程，则m 的值是 _____________. 15．若2x y +=，8x =，则y 的取值为_____________. 16.小丽在解关于x 的方程-x+5a=13时，误将-x 看作x ，得到方程的解为x=－2，则 原方程的解是_____________. 17.刘俊问王老师的年龄时，王老师说：“我像你这么大时，你才3岁；等你到了我这么大时，我就45岁了．”问王老师今年__________岁． 18.一项机械加工作业，用4台A 型车床，5天可以完成：用4台A 型车床和2台B 型车床，3天可以完成；用3台B 型车床和9台C 型车床，2天可以完成。若A 型、B 型和C 型车床各一台一起工作6天后，只余下一台A 型车床继续工作，则再用 七年级数学竞赛试题 1、下列命题中正确的是（ ） A 、带根号的数都是无理数 B 、不带根号的数一定是有理数 C 、无限小数都是无理数 D 、无理数一定是无限不循环小数 2、下列说法和式子正确的是（ ） A 、81的平方根是3± B 、1的立方根是1± C 、11±= D 、0>x 3、2 )3(-的平方根是（ ） A 、3± B 、9± C 、3- D 、3 4、x 是任意实数，则2|x |+x 的值（ ） A 、大于零 B 、不大于零 C 、小于零 D 、不小于零 5、如果0)(=-+a a ，则a 是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、非正数 D 、非负数 6、下列各对数中互为相反数的是（ ） A 、2a 与2a - B 12-与12+、 C 、23与2)3(- D 、2a -与2)(a - 7、若代数式7322++y y 的值为8，则代数式9642 -+y y 的值是（ ） A 、2 B 、17- C 、7- D 、7 8、某次数学测验，共有16道选择题，评分办法是答对一道题得6分，答错扣2分，不答得0分，某学生有一道题没有答，若要成绩在60分以上，他至少要答对（ ） A 、10题 B 、11题 C 、12题 D 、13题 9n 为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 10、如果11x x -=-，那么（ ） A 、x ＜1 B 、x ＞1 C 、x≤1 D 、x≥1 11、比较53 12296,194,143----的大小是（ ） A 、2961941435312->->->- B 、53 12143194296->->->- C 、2961431945312->->->- D 、29 65312143194->->->- 12、观察下列算式： ......2562,1282,642,322,162,82,42,2287654321========通过观察，用你所发现的规律写出11 8的末位数字是（ ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。 专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解： 七年级（上）数学竞赛试题 （满分100分，时间2小时） 姓名__________ 班级____________________得分________ 一、 耐心填一填（每题5分） 1.()()_______________154 1957.0154329417.0=-?+?+-?+?。 2. 定义a*b=ab+a+b,若3*x=27，则x 的值是________。 3.有一个正方体，在它的各个面上分别标上字母A 、B 、C 、D 、E 、F ，甲、乙、丙三位同学 从不同方向去观察其正方体，观察结果如图所示。问：F 的对面是 。 F A D B C A E D C **、B 、C 、D 、E 、F 六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A 、B 、C 、D 、 E 、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B 队比赛的球队是 。 5. 用 1、2、3、4、5这五个数组成一个数字不重复的五位数中抽到的数是15的倍数的 概率是 。 6.某商场经销一种商品，由于进货价格比原来预计的价格降低了6.4%，使得销售利润增加 了8个百分点，那么原来预计的利润率是 。 二、 细心选一选（每题5分） 1.如果有2005名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律 报数，那么第2005名学生所报的数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2. 某商场国庆期间举行优惠销售活动，采取“满一百元送二十元，并且连环赠送”的酬 宾方式，即顾客每消费满１００元（１００元可以是现金，也可以是购物券，或二者合 计）就送２０元购物券，满２００元就送４０元购物券，依次类推，现有一位顾客第一 次就用了１６０００元购物，并用所得购物券继续购物，那么他购回的商品大约相当于 打（ ）销售。 Ａ、９折 Ｂ、8.5折 C 、８折 Ｄ、7.5折 3.如图，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，P 为NA 的 中点，Q 是AM 的中点，则MN ：PQ 等于（ ）七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线
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