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2019年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷新课标1)

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)已知集合M={x|﹣4<x<2},N={x|x2﹣x﹣6<0},则M∩N=()A.{x|﹣4<x<3} B.{x|﹣4<x<﹣2} C.{x|﹣2<x<2} D.{x|2<x<3} 2.(5分)设复数z满足|z﹣i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1 B.(x﹣1)2+y2=1

C.x2+(y﹣1)2=1 D.x2+(y+1)2=1

3.(5分)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()

A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a

4.(5分)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷新课标1)

最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是()

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷新课标1)

A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm

5.(5分)函数f(x)=在[﹣π,π]的图象大致为()A.

B.

C.

D.

6.(5分)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是()

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A.B.C.D.

7.(5分)已知非零向量,满足||=2||,且(﹣)⊥,则与的夹角为()A.B.C.D.

8.(5分)如图是求的程序框图,图中空白框中应填入()

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷新课标1)

A.A=B.A=2+C.A=D.A=1+

9.(5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.a n=2n﹣5 B.a n=3n﹣10 C.S n=2n2﹣8n D.S n=n2﹣2n 10.(5分)已知椭圆C的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()

A.+y2=1 B.+=1

C.+=1 D.+=1

11.(5分)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:

①f(x)是偶函数

②f(x)在区间(,π)单调递增

③f(x)在[﹣π,π]有4个零点

④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是()

A.①②④B.②④C.①④D.①③

12.(5分)已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()A.8πB.4πC.2πD.π

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.(5分)曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.

14.(5分)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=,a42=a6,则S5=.15.(5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4:1获胜的概率是.

16.(5分)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1

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的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,?=0,则C的离心率为.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。

17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B﹣sin C)2=sin2A﹣sin B sin C.

(1)求A;

(2)若a+b=2c,求sin C.

18.(12分)如图,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.

(1)证明:MN∥平面C1DE;

(2)求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值.

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19.(12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.

(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;

(2)若=3,求|AB|.

20.(12分)已知函数f(x)=sin x﹣ln(1+x),f′(x)为f(x)的导数.证明:(1)f′(x)在区间(﹣1,)存在唯一极大值点;

(2)f(x)有且仅有2个零点.

21.(12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得﹣1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得﹣1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列;

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,p i=ap i﹣1+bp i+cp i+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=﹣1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.

(i)证明:{p i+1﹣p i}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;

(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为

2ρcosθ+ρsinθ+11=0.

(1)求C和l的直角坐标方程;

(2)求C上的点到l距离的最小值.

[选修4-5:不等式选讲](10分)

23.已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)++≤a2+b2+c2;

(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

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参考答案与试题解析

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)已知集合M={x|﹣4<x<2},N={x|x2﹣x﹣6<0},则M∩N=()A.{x|﹣4<x<3} B.{x|﹣4<x<﹣2} C.{x|﹣2<x<2} D.{x|2<x<3} 【考点】1E:交集及其运算;73:一元二次不等式及其应用.

【分析】利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出.

【解答】解:∵M={x|﹣4<x<2},N={x|x2﹣x﹣6<0}={x|﹣2<x<3},

∴M∩N={x|﹣2<x<2}.

故选:C.

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算,属基础题.

2.(5分)设复数z满足|z﹣i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1 B.(x﹣1)2+y2=1

C.x2+(y﹣1)2=1 D.x2+(y+1)2=1

【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义;J3:轨迹方程.

【分析】由z在复平面内对应的点为(x,y),可得z=x+yi,然后根据|z﹣i|=1即可得解.

【解答】解:∵z在复平面内对应的点为(x,y),

∴z=x+yi,

∴z﹣i=x+(y﹣1)i,

∴|z﹣i|=,

∴x2+(y﹣1)2=1,

故选:C.

【点评】本题考查复数的模、复数的几何意义,正确理解复数的几何意义是解题关键,属基础题.

3.(5分)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()

A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a

【考点】4M:对数值大小的比较.

【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2<0,20.2>1,0<0.20.3<1,从而得出a,b,c的大小关系.

【解答】解:a=log20.2<log21=0,

b=20.2>20=1,

∵0<0.20.3<0.20=1,

∴c=0.20.3∈(0,1),

∴a<c<b,

故选:B.

【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性,增函数和减函数的定义,属基础题.4.(5分)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,

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最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是()

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷新课标1)

A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm

【考点】31:函数的概念及其构成要素;F4:进行简单的合情推理.

【分析】充分运用黄金分割比例,结合图形,计算可估计身高.

【解答】解:头顶至脖子下端的长度为26cm,

说明头顶到咽喉的长度小于26cm,

由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是≈0.618,

可得咽喉至肚脐的长度小于≈42cm,

由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是,

可得肚脐至足底的长度小于=110,

即有该人的身高小于110+68=178cm,

又肚脐至足底的长度大于105cm,

可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm,

即该人的身高大于65+105=170cm,

故选:B.

【点评】本题考查简单的推理和估算,考查运算能力和推理能力,属于中档题.5.(5分)函数f(x)=在[﹣π,π]的图象大致为()

A.

B.

C.

D.

【考点】3A:函数的图象与图象的变换.

【分析】由f(x)的解析式知f(x)为奇函数可排除A,然后计算f(π),判断正负即可排除B,C.

【解答】解:∵f(x)=,x∈[﹣π,π],

∴f(﹣x)==﹣=﹣f(x),

∴f(x)为[﹣π,π]上的奇函数,因此排除A;

又f()=,因此排除B,C;

故选:D.

【点评】本题考查了函数的图象与性质,解题关键是奇偶性和特殊值,属基础题.6.(5分)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是()

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A.B.C.D.

【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.

【分析】基本事件总数n=26=64,该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m==20,由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率.

【解答】解:在所有重卦中随机取一重卦,

基本事件总数n=26=64,

该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m==20,

则该重卦恰有3个阳爻的概率p===.

故选:A.

【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.

7.(5分)已知非零向量,满足||=2||,且(﹣)⊥,则与的夹角为()A.B.C.D.

【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角.

【分析】由(﹣)⊥,可得,进一步得到,然后求出夹角即可.

【解答】解:∵(﹣)⊥,

=,

==,

∵,

∴.

故选:B.

【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角,属基础题.

8.(5分)如图是求的程序框图,图中空白框中应填入()

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A.A=B.A=2+C.A=D.A=1+

【考点】EF:程序框图.

【分析】模拟程序的运行,由题意,依次写出每次得到的A的值,观察规律即可得解.【解答】解:模拟程序的运行,可得:

A=,k=1;

满足条件k≤2,执行循环体,A=,k=2;

满足条件k≤2,执行循环体,A=,k=3;

此时,不满足条件k≤2,退出循环,输出A的值为,

观察A的取值规律可知图中空白框中应填入A=.

故选:A.

【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.

9.(5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.a n=2n﹣5 B.a n=3n﹣10 C.S n=2n2﹣8n D.S n=n2﹣2n 【考点】83:等差数列的性质;85:等差数列的前n项和.

【分析】根据题意,设等差数列{a n}的公差为d,则有,求出首项和公差,然后求出通项公式和前n项和即可.

【解答】解:设等差数列{a n}的公差为d,

由S4=0,a5=5,得

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,∴,

∴a n=2n﹣5,,

故选:A.

【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式,关键是求出等差数列的公差以及首项,属于基础题.

10.(5分)已知椭圆C的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()

A.+y2=1 B.+=1

C.+=1 D.+=1

【考点】K4:椭圆的性质.

【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a=,b=,可得椭圆的方程.【解答】解:∵|AF2|=2|BF2|,∴|AB|=3|BF2|,

又|AB|=|BF1|,∴|BF1|=3|BF2|,

又|BF1|+|BF2|=2a,∴|BF2|=,

∴|AF2|=a,|BF1|=a,

在Rt△AF2O中,cos∠AF2O=,

在△BF1F2中,由余弦定理可得cos∠BF2F1=,

根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0,可得+=0,解得a2=3,∴a=.

b2=a2﹣c2=3﹣1=2.

所以椭圆C的方程为:+=1.

故选:B.

【点评】本题考查了椭圆的性质,属中档题.

11.(5分)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:

①f(x)是偶函数

②f(x)在区间(,π)单调递增

③f(x)在[﹣π,π]有4个零点

④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是()

A.①②④B.②④C.①④D.①③

【考点】2K:命题的真假判断与应用.

【分析】根据绝对值的应用,结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可.

【解答】解:f(﹣x)=sin|﹣x|+|sin(﹣x)|=sin|x|+|sin x|=f(x)则函数f(x)是偶函数,故①正确,

当x∈(,π)时,sin|x|=sin x,|sin x|=sin x,

则f(x)=sin x+sin x=2sin x为减函数,故②错误,

当0≤x≤π时,f(x)=sin|x|+|sin x|=sin x+sin x=2sin x,

由f(x)=0得2sin x=0得x=0或x=π,

由f(x)是偶函数,得在[﹣π,)上还有一个零点x=﹣π,即函数f(x)在[﹣π,π]有3个零点,故③错误,

当sin|x|=1,|sin x|=1时,f(x)取得最大值2,故④正确,

故正确是①④,

故选:C.

【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断,结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键.

12.(5分)已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()A.8πB.4πC.2πD.π

【考点】LG:球的体积和表面积.

【分析】由题意画出图形,证明三棱锥P﹣ABC为正三棱锥,且三条侧棱两两互相垂直,再由补形法求外接球球O的体积.

【解答】解:如图,

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由PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥,

则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心,连接BO并延长,交AC于G,

则AC⊥BG,又PO⊥AC,PO∩BG=O,可得AC⊥平面PBG,则PB⊥AC,

∵E,F分别是PA,AB的中点,∴EF∥PB,

又∠CEF=90°,即EF⊥CE,∴PB⊥CE,得PB⊥平面PAC,

∴正三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直,

把三棱锥补形为正方体,则正方体外接球即为三棱锥的外接球,

其直径为D=.

半径为,则球O的体积为.

故选:D.

【点评】本题考查多面体外接球体积的求法,考查空间想象能力与思维能力,考查计算能力,是中档题.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.(5分)曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为y=3x.【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.

【分析】对y=3(x2+x)e x求导,可将x=0代入导函数,求得斜率,即可得到切线方程.【解答】解:∵y=3(x2+x)e x,

∴y'=3e x(x2+3x+1),

∴当x=0时,y'=3,

∴y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线斜率k=3,

∴切线方程为:y=3x.

故答案为:y=3x.

【点评】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程,切点处的导数值为斜率是解题关键,属基础题.

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷新课标1)

14.(5分)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=,a42=a6,则S5=.【考点】89:等比数列的前n项和.

【分析】根据等比数列的通项公式,建立方程求出q的值,结合等比数列的前n项和公式进行计算即可.

【解答】解:在等比数列中,由a42=a6,得q6a12=q5a1>0,

即q>0,q=3,

则S5==,

故答案为:

【点评】本题主要考查等比数列前n项和的计算,结合条件建立方程组求出q是解决本题的关键.

15.(5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4:1获胜的概率是0.18 .

【考点】C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.

【分析】甲队以4:1获胜包含的情况有:①前5场比赛中,第一场负,另外4场全胜,

②前5场比赛中,第二场负,另外4场全胜,③前5场比赛中,第三场负,另外4场全

胜,④前5场比赛中,第四场负,另外4场全胜,由此能求出甲队以4:1获胜的概率.【解答】解:甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.

设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,甲队以4:1获胜包含的情况有:

①前5场比赛中,第一场负,另外4场全胜,其概率为:p1=0.4×0.6×0.5×0.5×0.6

=0.036,

②前5场比赛中,第二场负,另外4场全胜,其概率为:p2=0.6×0.4×0.5×0.5×0.6

=0.036,

③前5场比赛中,第三场负,另外4场全胜,其概率为:p3=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6

=0.054,

④前5场比赛中,第四场负,另外4场全胜,其概率为:p3=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6

=0.054,

则甲队以4:1获胜的概率为:

p=p1+p2+p3+p4=0.036+0.036+0.054+0.054=0.18.

故答案为:0.18.

【点评】本题考查概率的求法,考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.

16.(5分)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1

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的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,?=0,则C的离心率为 2 .

【考点】KC:双曲线的性质.

【分析】由题意画出图形,结合已知可得F1B⊥OA,写出F1B的方程,与y=联立求得B点坐标,再由勾股定理求解.

【解答】解:如图,

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∵=,且?=0,∴OA⊥F1B,

则F1B:y=,

联立,解得B(,),

则,,

∴=4c2,

整理得:b2=3a2,∴c2﹣a2=3a2,即4a2=c2,

∴,e=.

故答案为:2.

【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查数形结合的解题思想方法,考查计算能力,是中档题.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共

60分。

17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B﹣sin C)2=sin2A﹣sin B sin C.

(1)求A;

(2)若a+b=2c,求sin C.

【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.

【分析】(1)由正弦定理得:b2+c2﹣a2=bc,再由余弦定理能求出A.

(2)由已知及正弦定理可得:sin(C﹣)=,可解得C的值,由两角和的正弦函数公式即可得解.

【解答】解:(1)∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.

设(sin B﹣sin C)2=sin2A﹣sin B sin C.

则sin2B+sin2C﹣2sin B sin C=sin2A﹣sin B sin C,

∴由正弦定理得:b2+c2﹣a2=bc,

∴cos A===,

∵0<A<π,∴A=.

(2)∵a+b=2c,A=,

∴由正弦定理得,

解得sin(C﹣)=,∴C﹣=,C=,

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷新课标1)

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∴sin C=sin()=sin cos+cos sin=+=

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【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

18.(12分)如图,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.

(1)证明:MN∥平面C1DE;

(2)求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值.

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【考点】LS:直线与平面平行;MJ:二面角的平面角及求法.

【分析】(1)过N作NH⊥AD,证明NM∥BH,再证明BH∥DE,可得NM∥DE,再由线面平行的判定可得MN∥平面C1DE;

(2)以D为坐标原点,以垂直于DC得直线为x轴,以DC所在直线为y轴,以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,分别求出平面A1MN与平面MAA1的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣MA1﹣N的正弦值.

【解答】(1)证明:如图,过N作NH⊥AD,则NH∥AA1,且,

又MB∥AA1,MB=,∴四边形NMBH为平行四边形,则NM∥BH,

由NH∥AA1,N为A1D中点,得H为AD中点,而E为BC中点,

∴BE∥DH,BE=DH,则四边形BEDH为平行四边形,则BH∥DE,

∴NM∥DE,

∵NM?平面C1DE,DE?平面C1DE,

∴MN∥平面C1DE;

(2)解:以D为坐标原点,以垂直于DC得直线为x轴,以DC所在直线为y轴,以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,

则N(,,2),M(,1,2),A1(,﹣1,4),

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,,

设平面A1MN的一个法向量为,

由,取x=,得,