反比例函数(二)家庭作业
北师大九年级上第五章反比例函数
第5.2.2课时家庭作业 （反比例函数的图像与性质） 姓名 学习目标：
1．通过画反比例函数图象，训练学生的作图能力和从图象中获取信息，训练学生的识图能力；
2．通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力.
一．选择题
1．下列不是反比例函数图象的特点的是 （ ）
（A ）图象是由两部分构成 （B ）图象与坐标轴无交点
（C ）图象要么总向右上方，要么总向右下方（D ）图象在坐标轴相交而成的一对对顶角内
2．若点（3，6）在反比例函数x
k y = (k ≠0)的图象上，那么下列各点在此图象上的是（ ） （A ） （3-，6） （B ） （2，9） （C ） （2，9-）
（D ） （3，6-） 3．当0 y 1-=的图象是 （ ） 4．如果x 与y 满足01=+xy ，则y 是x 的 （ ） （A ） 正比例函数 （B ） 反比例函数 （C ） 一次函数 （D ） 二次函数 5．已知反比例函数的图象过（2，－2）和（－1，n ），则n 等于 （ ） （A ） 3 （B ） 4 （C ） 6 （D ） 12 6．已知某县的粮食产量为a (a 为常数)吨，设该县平均每人粮食产量为y 吨，人口数为x ，则y 与x 之间的函数关系的图象可能是下图中的 （ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 7．若ab ＜0,则函数ax y =与x b y =在同一坐标系内的图象大致可能是下图中的 （ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 二．填空题： 8．反比例函数x k y =(k ≠0)的图象是__________，当k ＞0时，图象的两个分支分别在第__________、__________象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而__________；当k ＜0时，图象的两个分支分别在第__________、__________象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而__________； 9．已知函数x y 41- =，当x ＜0时，y _______0，此时，其图象的相应部分在第_______象限； 10．当_____=k 时，双曲线y =x k 过点（3，23）； 11．已知x k y = (k ≠0)的图象的一部分如图（1）， 则0______k ； 12．如图（2），若反比例函数x k y =的图象过点A ， 图（2） 图（1） 则该函数的解析式为__________； 13．若A （x 1，y 1）,B (x 2，y 2)，C （x 3，y 3）都是反比例函数x y 1- =的图象上的点，且 x 1＜0＜x 2＜x 3，则y 1，y 2，y 3由小到大的顺序是 ； 14．已知y 与x 成正比例，z 与y 成反比例，则z 与x 成__________关系，当1=x 时，2=y ；当2=y 时，2-=z ，则当2-=x 时，______=z ； 三．解答题 15．已知反比例函数x k y -=4,分别根据下列条件求k 的取值范围，并画出草图. （1）函数图象位于第一、三象限. （2）函数图象的一个分支向右上方延伸. （1）试猜想y 与x 的函数关系可能是你们学过的哪类函数，并写出这个函数的解析式.（不要求写x 的取值范围） （2）简要叙述该函数的性质. 参考答案 一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.B 6A 7B 二、8.双曲线 一 三 减小 二 四 增大 9.＞ 二 10.6 11 ＞ 12 y = x 21 13.y 2＜y 3＜y 1 14.反比例 1 三、15.（1）k ＜4 图略 （2）k ＞4 图略 16.（1）反比例函数，y = x 6 . （2）该函数性质如下： ①图象与x 轴、y 轴无交点； ②图象是双曲线，两分支分别位于第二、四象限； ③图象在每一个分支都朝右上方延伸，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大. 2014—2015学年度第一学期 《二次函数与反比例函数》综合测试题 姓名： 得分 一．选择题（每小题3分，共30分） 1.自由落体公式h=2 1 gt 2(g 为常数)中，h 与t 之间的关系是（ ） A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 2.抛物线y=2(x+m)2+n （m,n 是常数）的顶点坐标是（ ） A.(m ，n) B.(-m,n) C.(m,-n) D.(-m,-n) 3.将二次函数y=x 2-2x+1的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象函数关系式为（ ） A.y=(x-1)2+3 B.(x-1)2-3 C.(x+1)2+3 D.(x+1)2-3 4.一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为 y=-90 1 (x-30)2+10，则高尔夫球在飞行的过程中的最大高度为（ ） A.10m B.20m C.30m D.60m 5.已知抛物线y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x=2,且经过点P(3,0)，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（ ） A.(-1,0) B.(0,0) C.(1,0) D.(3,0) 6.已知函数y=x 2-2x-2的图象 如图1所示 ， 7.已知反比例函数y= x k 的图象在第二、四象限内，函数图象上有M(5,y 1)、 N （3，y 2）两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ） A.y 1。>y 2 B.y 1=y 2 C.y 1 反比例函数二次函数易错题(含答案) 1．如图所示，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为（） A．2 B．2C．D．2 2．已知点P（m，n），Q（a，b）都在反比例函数y＝﹣上，且m＜0＜a，则下列结论一定正确的是（） A．n+b＜0B．n+b＞0C．n＜b D．n＞b 3．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E，若AB＝4，CE＝2BE，，则k的值为（） A．3 B．2C．6 D．12 4．如图，直线y＝x﹣a﹣2与双曲线y＝交于A、B两点，则当线段AB的长度最小时，a的值（） A．0B．﹣1C．﹣2D．2 5．若函数y＝﹣的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），则y1，y2，y3必的大小关系是（） A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 6．如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数y＝的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则k的值是（） A．4B．2C．1D． 7．如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线y＝（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（） A．﹣12B．﹣8C．﹣6D．﹣4 8．已知双曲线y＝经过点矩形ABCD的顶点A、B，矩形边AB：BC＝3：2，且矩形的顶点C在x轴上，点A的纵坐标是点B的纵坐标2倍，BD∥x轴，点D的横坐标是，则k的值为（） A．6B．12C．18D．24 9．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在第二象限和第一象限，AB与x轴平行，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，函数y＝（x＜0）和y＝（x＞0）的图象分别经过点AB，则的值为（） A．B．﹣C．D．﹣ 10．如图，已知点A（0，4），B（1，4），点B在双曲线y＝（k＞0）上，在AB的延长线上取一点C，过C的直线交双曲线于点D，交x轴正半轴于点E，且CD＝DE，则线段CE长度的取值范围是（） A．4≤CE＜4B．4≤CE＜2C．2＜CE＜4D．4＜CE＜2 11．如图，是反比例函数y1＝和y2＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲于 A、B两点，若S△AOB＝3，则k2﹣k1的值是（） A．8B．6C．4D．2 12．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+2和y＝（m≠0）的图象大致是（） 二次函数与反比例函数相结合的题目 基础测评 1、小明一家自驾去永川“乐和乐都”主题公园游玩，汽车匀速行驶一段路程，进入服务区加油．休息了一段时间后，他们为了尽快赶到目的地，便提高了行车速度，很快到达了公园．下面能反映小明一家离公园的距离 y (千米)与时间 x (小时)之间的函数关系的大致图象是 A ． B ． C ． D ． 2. 已知一次函数y ax b =+(0)a ≠与反比例函数 x c y = (0)c ≠ 正确的是 A ．0 abc ＜ B ．0a b -＞ C ．20a b +＜ D ．a b c +＞ 3、矩形OABC 在平面直角坐标系中如图所示，已知10,8,AB BC EB C ==是上一点，将ABE ?沿AE 折叠， 点B 刚好与OC 边上点D 重合，过点E 的反比例函数()0k y k x =>与AB 相交于点F ，则线段AF 的长为（ ） A 、 158 B 、 154 C 、2 D 、 32 4、从-1，0，1，2，3这五个数中，随机取出一个数，记为a ，那么使关于x 的反比例函数x a y 3 -= 的图象在二，四象限，且使不等式组? ??>+≤+122x a a x 5、从3211 3---、、、、这五个数中，取一个数作为函数x k y 2-= 和关于x 的方程 012)1(2 =+++kx x k 中k 的值，恰好使所得函数的图象经过第二、四象限，且方程有实根，满足要求的k 的值共有__________个； 6、如图，已知函数4y x =- 与()2 0,0y ax bx a b =+>>的图象交于点P ，点P 的纵坐标为1，则关于x 的方程2 4 ax bx x +=-的解为x = 。 x x 2题图 反比例函数 1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X 轴Y轴但不会与坐标轴相交 （K≠0）。 2、性质： 1.当k>0 时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0 时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。 2.k>0 时，函数在x<0 上同为减函数、在x>0 上同为减函数；k<0 时，函数在x<0 上为增函数、在x>0 上同为增函数。 定义域为x≠0；值域为y≠0。 3.因为在y=k/x（k≠0）中，x 不能为0，y 也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y 轴相交。 4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2 则S1＝S2=|K| 5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 6.若设正比例函数y=mx 与反比例函数y=n/x 交于A、B 两点（m、n 同号），那么A B 两点关于原点对称。 7.设在平面内有反比例函数y=k/x 和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则 n^2+4k·m≥ （不小于）0。 8.反比例函数y=k/x 的渐近线：x 轴与y 轴。 9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x 轴对称,并且关于原点中心对称. 10.反比例上一点m 向x 、y 分别做垂线，交于q 、w ，则矩形mwqo （o 为原点）的面积为|k| 11.k 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k| 越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点 初中反比例函数与二次函数知识点详解 知识点一、反比例函数 1、反比例函数的概念 一般地，函数x k y = （k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1 -=kx y 的形式。自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3、反比例函数的性质 4、反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数x k y = 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图，过反比例函数)0(≠= k x k y 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ?PN=xy x y =?。 k S k xy x k y ==∴=,, 。 知识点二、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果特)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意 a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2 与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点三、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数， 一次函数、二次函数、反比例函数性质总结 1.一次函数 一次函数)0(≠+=k b kx y ,当0=x 时,得到的y 的值也即b 叫做图象与坐标轴的纵截距,当0=y 时,得到的x 的值,叫做图象与坐标轴的横截距。 (1)当0=b 时,一次函数的解析式变为)0(≠=k kx y ,也称为正比例函数,此函数图象恒过原点)0,0(O ,且横,纵截距都为0。且0>k 时,函数图象过一、三象限,0>k 时,图象过二、四象限。 ② k (≠a )+∞（1）当0,0==c b 时,函数的解析式变为)0(2 ≠=a ax y ,则 ①0>a 时 ②0 （2）b a ,决定二次函数的对称轴与开口方向 ②0,0,0=<>c b a 时 ③ 0,0,0=> （3）对于一般的二次函数,c b a ,,共同来决定其函数图像与性质,故通常采用配方的方法 )0(2 ≠++=a c bx ax y c a b a b x a b x a c x a b x a +-++=++ =))2()2(()(2222 c a b a b x a +-+=]4)2[(222=c a b a b x a +-+4)2(2 2 =a b a c a b x a 44)2(22-++ 我们称a b x 2-=为二次函数的对称轴,坐标)44,2(2a b ac a b --为二次函数的顶点坐标,此时我们也称其解析式为二次函数的顶点式,并可设其解析式为)0()(2 ≠+-=a k h x a y 。若知道二次函数与x 轴的两个交点坐标,可设其解析式为)0)()((21≠--=a x x x x a y 。 故二次函数的解析式有三种形式 一般式:)0(2 ≠++=a c bx ax y 顶点式:)0()(2 ≠+-=a k h x a y ,顶点坐标),(k x 两点式: )0)()((21≠--=a x x x x a y 3.反比例函数 反比例函数的一般形式为)0(≠= k x k y ,当0>k 时,函数图象过一、三象限,当0 一次函数、反比例函数、二次函数的综合题 【课前热身】 1．抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为________． 2．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的 长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则 菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关 系式为 ．（不要求写出自变量x 的取值范围） 3．当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数 4．函数2y kx =-与k y x = （k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） 【考点链接】 1．点A ()o y x ,0在函数c bx ax y ++=2的图像上.则有 . 2. 求函数b kx y +=与x 轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ； 与y 轴的交点纵坐标，即令 ，求y 值 3. 求一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像的交 点，解方程组 . 【典例精析】 例1 如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B. （1）求抛物线的解析式； （2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点P 的坐标. 例2随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计 划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y 与投资量x 成正比例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润2y 与投资量x 成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元） ⑴ 分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式； ⑵ 如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获 取的最大利润是多少？ A B C D （第3题） 菜园 墙 二次函数与反比例函数 一、选择题(本大题共10小题，共40分) 1.下列函数是二次函数的是（） A.y=- B.y=x2+xz+1 C.x2+2y-1=0 D.xy=x2-y 2.函数y=-2x2+12x-12的顶点坐标是（） A.（-3，6） B.（3，-6） C.（3，6） D.（6，3） 3.已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（） A.-1＜x＜3 B.-1＜x＜4 C.x＜-1或 x＞4 D.x＜-1或 x＞3 4.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象，则关于x的方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是（） A.m≥2 B.m≥5 C.m≥0 D.m＞4 3题 4题 5题 9题 5.如图，反比例函数y1=的图象与正比例函数y2=k2x的图象交于 点（2，1），则使y1＞y2的x的取值范围是（） A.0＜x＜2 B.x＞2 C.x＞2或-2＜x＜0 D.x＜-2或0＜x＜2 6.反比例函数y=-的图象上有P1（x1，-2），P2（x2，-3）两点，则x1与x2的大小关系是 （） A.x1＞x2 B.x1=x2 C.x1＜x2 D.不确定 7.若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点（-1，0），则方程ax2-2ax+c=0的解为（） A.x1=-3，x2=-1 B.x1=1，x2=3 C.x1=-1，x2=3 D.x1=-3，x2=1 8.若抛物线y=x2-2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（） A.y=（x-2）2+3 B.y=（x-2）2+5 C.y=x2-1 D.y=x2+4 9.如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则 △ABO的面积为（） A.-4 B.4 C.-2 D.2 10.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＞3 时，y＜0；②3a+b＜0；③-1≤a≤-；④4ac-b2＞8a；其中正确的结论是（） A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 二、填空题(本大题共4小题，共20分) 11.已知关于x的函数y=（m-1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m= ______ ． O A B C D x y P (kPa ) V (m 3) O 60 1.6 九年级二次函数与反比例函数数学测试题 姓名 得分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．二次函数y ＝x 2＋2x －5有( ) A ．最大值－5 B ．最小值－5 C ．最大值－6 D ．最小值－6 2．下列二次函数中，图象以直线x ＝2为对称轴、且经过点(0，1)的是( ) A ．y ＝(x －2)2＋1 B ．y ＝(x ＋2)2＋1 C ．y ＝(x －2)2－3 D ．y ＝(x ＋2)2－3 3．在下列图象对应的函数中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的是( ) 4．已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是 x … －1 0 1 3 … y … －3 1 3 1 … A C ．当x ＝4时，y ＞0 D ．方程ax 2＋bx ＋c ＝0的正根在3与4之间 5．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P (kPa)是气体体积V (m 3)的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa 时，气球将爆 炸．为了安全起见，气球的体积应( ) A ．不小于 5 4m 3 B ．小于 5 4m 3 C ．不小于 4 5m 3 D ．小于 4 5 m 3 6．将抛物线y ＝－2x 2＋1向左平移2个单位，再向下平移2个单位得抛物线( ) A ．y ＝－2x 2－8x －9 B ．y ＝－2x 2＋8x －9 C ．y ＝－2x 2－8x －5 D ．y ＝－2x 2＋8x －5 7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则反比例函数y ＝ a x 与一次函数y ＝bx ＋c 在同一坐标系中的大致图象是( ) 8．如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数k y x = 过点A ，则k 的值是（ ） A ．2 B ．2- C ．4 D ．4- 9．若二次函数y ＝(x －m )2－1，当x ≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是( ) A ．m ＝1 B ．m ＞1 C ．m ≥1 D ．m ≤1 10．如图，在□ABCD 中，AC ＝4，BD ＝6，P 是BD 上的任一点，过P 作EF ∥AC ，与平行四 边形的两条边分别交于点E 、F ．设BP ＝x ，EF ＝y ，则能反映y 与x 之间关系的图象为( ) 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11.把二次函数y ＝－ 1 4 x 2 －x ＋3用配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式是____________ 12．一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象经过点(2，1)；②当x ＞0时，y 随 x 的增大而减小．这个函数解析式可以是 (写出一个即可)． 13．如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点A 的坐标为(1，2)，点B 、 D 在反比例函数y ＝ 6 x (x ＞0)的图象上，则点C 的坐标为 ． 14.已知y 与x+1成反比例，当x=2时，y=﹣1，求函数解析式___________ 15．若M （ ，y 1）、N （ ，y 2）、P （，y 3）三点都在函数 （k ＞0）的图象上， 则y 1、y 2、y 3的大小关系是__________________ 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 16．（8分）已知二次函数y=x 2-5x-6． (1)求此函数图象的顶点A 和其与x 轴的交点B 和C 的坐标； (2)求△ABC 的面积． 17．（8分）求证：m 取任何实数时，抛物线y=2x 2-(m+5)x+(m+1)的图象与x 轴必有两个交点． O y x 1 1 O y x 1 1 C ． O y x 1 1 O y x 1 1 O y x 4 3 6 A ． O y x 4 3 6 B ． O y x 4 2 6 C ． O y x 4 3 6 D ． P A D E O O O O O x x x x y y y y y x y C O A B 第8题 二次函数知识点详解（最新原创助记口诀） 知识点一、平面直角坐标系 1，平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x 轴上0=?y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=?x ，y 为任意实数 点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上?x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 O x y 1 -1 B A 一次函数、反比例函数、二次函数的综合题 【课前热身】 1．抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为________． 2．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的 长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则 菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关 系式为 ．（不要求写出自变量x 的取值范围） 3．当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数 4．函数2y kx =-与k y x = （k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） 【考点链接】 1．点A ()o y x ,0在函数c bx ax y ++=2的图像上.则有 . 2. 求函数b kx y +=与x 轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ； 与y 轴的交点纵坐标，即令 ，求y 值 3. 求一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像的交点，解方程组 . 【典例精析】 例1 如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B. （1）求抛物线的解析式； （2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点P 的坐标. 例2随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计 划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y 与投资量x 成正比例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润2y 与投资量x 成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元） ⑴ 分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式； ⑵ 如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润他能获取 的最大利润是多少 A B C D （第3题） 菜园 墙 一次函数、反比例函数、二次函数的综合题 1．抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为________． 2．已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过（2，-5），请你写出一个同时满足（1）和（2）的函数_________________ 3．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的 长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则 菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关 系式为 ．（不要求写出自变量x 的取值范围） 4．当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数 5．函数2y kx =-与k y x = （k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） 1．点A ()o y x ,0在函数c bx ax y ++=2的图像上.则有 . 2. 求函数b kx y +=与x 轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ； 与y 轴的交点纵坐标，即令 ，求y 值 3. 求一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像的交点，解方程组 . 例1如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2． ⑴ 写出y 与x 的关系式； ⑵ 当x=2，时，y 分别是多少 ⑶ 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间求抛物线顶点坐标、对称轴. 例2 如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B. （1）求抛物线的解析式； （2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点P 的坐标. A B C D （第3题） 菜园 墙 二次函数与反比例函数典型习题 1. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次 函数y=bx-c在同一坐标系内的图象大致是（） 2. 点P1（-1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=- x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（） A. y3＞y2＞y1， B。y3＞y1＞y2 C。y1＞y2＞y3 D。y1=y2＞y3 3. 已知点（m-1，y1），（m-3，y2）是反比例函数（m＜0）图象上的 两点，则y1 y2（填“＞”、“＝”、“＜”） 4. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论： ①abc＜0，②，③ac-b+1=0，④OA·OB=.其中正确的 结论是（只填序号） 5. 如图，双曲线（x＞0）经过矩，形OABC的边AB的中点F，交BC于点 E，且四边形OEBF的面积为2，则k= 。 6. 将x=代入反比例函数y=-中，所得函数值记为y1，再将x=y1+1代入该 函数中，所得函数值记为y2，再将x=y2+1代入该函数中，所得函数值记为y3，...。如此继续下去，则y2014= 。 7. 在均速运动中，路程S（km）一定时，速度v（km/h）关于时间 t（h）的函数关系的大致图象是（）。 8. 已知开口向下的抛物线y=（m2-2）x2+2mx+1的对称轴经过点 （-1,3），则m的值为（） A.2 B。-1 C。2或-1 D。1或-2 9. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x=-1，且过 点（-3,0），现有下列说法：①abc＜0，②2a-b=0，③4a+2b+c＜0，④若（-5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（） A. ①② B。②③ C。①②④ D。②③④ 10. 若抛物线y=x2-2（k+1）x+16的顶点在x轴上，则k= 。 11. 若抛物线y=2x2-4x+4与直线y=6x+m只有一个公共点，则m= 。 12. 如图，已知抛物线C1、C2关于x轴对称，抛物线C1、C3关于y轴对 称，如果C2的表达式是y=，那么C3的表达式是。 13. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是x=1，且经过 P（3,0），则a-b+c的值是（） A.0 B。-1 C。1 D。2 14.已知（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜ x2，则y1-y2的值是（） A.正数 B.负数 C.非正数 D.不能确定 15.已知（x1，y1）（x2，Y2），（x3，y3）是反比例函数的图象上三点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1,、y2、y3的大小关系为（） A.y1＜0＜y2＜y3 B.y1＞0＞y2＞y3 C.y1＜0＜y3＜y2 D.y1＞0＞y3＞y2 16.已知两点A（-5，y1）、B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，x0的取值范围是（） A.x0＞-5 B.x0＞-1 C.-5＜x0＜-1 D.-2＜x0＜3 17.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0 ， ②b＞a＞c ③若-1＜m＜n＜1 则m+n＜；④3其中正确的结论是 1 二次函数 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点) ,(a c b M 在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ， 则一定有（） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是 532+-=x x y ，则有（） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 已知反比例函数x k y = 的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（） B x 6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（） D 7.抛物线3 2 2+ - =x x y的对称轴是直线（） A. 2- = x B. 2 = x C. 1- = x D. 1 = x 8.二次函数2 )1 (2+ - =x y的最小值是（） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 9.二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所示，若 c b a M+ + =2 4c b a N+ - =，b a P- =4，则（） A. 0 > M，0 > N，0 > P B. 0 < M，0 > N，0 > P C. 0 > M，0 < N，0 > P D. 0 < M，0 > N，0 < P 二、填空题： 10.将二次函数3 2 2+ - =x x y配方成 k h x y+ - =2) (的形式，则y=______________________. 11.已知抛物线c bx ax y+ + =2与x轴有两个交点，那么一元二次方程0 2= + +c bx ax的根的情况是______________________. 12.已知抛物线c x ax y+ + =2与x轴交点的横坐标为1 -，则c a+=_________. 13.请你写出函数2)1 (+ =x y与1 2+ =x y具有的一个共同性质：_______________. 14.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点： 甲：对称轴是直线4 = x； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 15.已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函 2 x y 二次函数及反比例函数自测题集 一、选择题 1、在平面直角坐标系中，将抛物线2 23y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180?，所得的抛物线解析式为（ ） A 、 2(1)2y x =-++ B 、2(1)4y x =--+ C 、 2(1)2y x =--+ D 、2(1)4y x =-++ 2、已知抛物线1C ：25 (2)59 y x = +-的顶点为P ，与x 正半轴交于点B ,抛物线2C 与抛物线1C 关于x 轴对称，将抛物线2C 向右、上平移，平移后的抛物线记为3C ，3C 的顶点为M ，当P 、M 关于点B 成中心对称时，则3C 的解析式为（ ） A 、 25(2)59y x =-+ B 、25(4)59y x =--+ C 、25(2)59y x =--+ D 、 25 (4)59 y x =-+ 3、已知抛物线C 的函数解析式为2 3(0)y ax bx a b =+-<，若抛物线经过点(0,3)-，且抛物线与x 轴的两个交点坐标(,0)α，(,0)β，满足4αβ-=，则抛物线C 解析式为（ ） A 、 223y x x =-- B 、 2 23y x x =--+ C 、 224y x x =-- D 、 224y x x =--+ 4、设二次函数2 y x bx c =++，当1x ≤时，总有0y ≥，当13x ≤≤时，总有0y ≤，则c 的取值范围是（ ） A 、 3c = B 、 3c ≥ C 、 13c ≤≤ D 、 3c ≤ 5、如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的顶点A C 、 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数2 23 y x bx c =-++的图像经过 点B C 、，则该二次函数的解析式为（ ） A 、 224233y x x =--+ B 、 224233y x x =--- C 、 224233y x x =-++ D 、 224233 y x x =--- 二次函数与其他函数的综合测试题一、选择题：（每小题 3 分，共 45 分） 1.已知h 关于t 的函数关系式为h = 1 gt 2，（g 为正常数，t 为时间），则函数图象为（ ） 2 （A）（B）（C）（D） 2.在地表以下不太深的地方，温度y（℃）与所处的深度x（k m）之间的关系可以近似用关系式y＝35x＋20 表示，这个关系式符合的数学模型是（） （A）正比例函数（B）反比例函数． （C）二次函数（D）一次函数 3.若正比例函数y＝（1－2m）x的图像经过点A（x1 ，y1 ）和点B（x2，y2 ），当x1 ＜x2时y1 ＞y2 ， 则m 的取值范围是（） 1 1 （A）m＜0 （B）m＞0 （C）m＜（D）m＞ 2 2 4.函数y = k x + 1 与函数y = k 在同一坐标系中的大致图象是（） x （A）（B）（C）（D） 5.下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数y =ax 2+ (a +c)x +c 与一次函数y＝a x＋c 的大致图像， 有且只有一个是正确的，正确的是（） （A）（B）（C）（D） 6.抛物线y = 2(x -1)2+1的顶点坐标是（） A．（1，1）B．（1，－1）C．（－1，1）D．（－1，－1） 7.函数y=a x+b 与y=a x2+bx+c 的图象如右图所示，则下列选项中正确的是 （） A． a b>0， c>0 B． a b<0，c>0 C． a b>0， c<0 D． a b<0，c<0 8.已知 a，b，c 均为正数，且 k= a b +c = b a +c = c a +b ，在下列四个点中，正比例函数y =kx y O x y O x y O x y O x 二次函数与反比例函数测试题 一．选择题（每小题3分，共30分） 1.自由落体公式h=21gt 2(g 为常数)中，h 与t 之间的关系是（ ） A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 2.抛物线y=2(x+m)2+n （m,n 是常数）的顶点坐标是（ ） A.(m ，n) B.(-m,n) C.(m,-n) D.(-m,-n) 3.将二次函数y=2x 2-2x+1的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象函数关系式为（ ） A.y=(x-1)2+3 B.(x-1)2-3 C.(x+1)2+3 D.(x+1)2-3 4.一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关 系式为y=-90 1(x-30)2+10，则高尔夫球在飞行的过程中的最大高度为（ ） A.10m B.20m C.30m D.60m 5.已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x=2,且经过点P(3,0)，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（ ） A.(-1,0) B.(0,0) C.(1,0) D.(3,0) 6.已知函数y=x 2-2x-2的图象 如图1所示 ， 7.已知反比例函数y=x k 的图象在第二、四象限内，函数图象上有M(5,y 1)、 根据图中提供的信息，可求得使y ≤1成立d 的x 的取值范围是（ ） A.-3≤x ≤1 B.-1≤x ≤3 C.x ≥-3 D.x ≤-1或x ≥3 N （3，y 2）两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ） A.y 1 y 2 B.y 1=y 2 C.y 1 一、重要考点： 1.会画一次函数、二次函数、反比例函数的图象； 2.掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质； 3.能根据条件确定函数的解析式； 4.能用函数解决实际问题。 二.重点提示： 1．一次函数 定义如果y=kx+b(k，b为常数，k≠0) 那么y叫做x的一次函数 当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx(k≠0)，y叫x的正比例函数 图象k>0 k<0 k>0，b=0 k<0，b=0 经过点(0，b)，(-，0)两点的一条直线 经过(0，0)、(1，k)两点的直线 性质y随x增大而增大y随x增大而减小图象在一、三象限y 随x增大而增大 图象在二、四象限y 随x增大而减小 b决定直线与y轴交点的位置 2．二次函数 抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)位置由a、b、c决定 （1）a决定抛物线的开口方向： （2）c决定抛物线与y轴交点的位置 （3）a、b决定抛物线对称轴的位置，对称轴x=- ①a、b同号对称轴在y轴左侧 ②b=0对称轴是y轴 ③a、b异号对称轴在y轴右侧 （4）顶点(-，) （5）Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况 ①Δ>0抛物线与x轴有两个不同交点 ②Δ=0抛物线与x轴有一个公共点（相切） ③Δ<0抛物线与x轴无公共点 （6）二次函数的最大最小值由a决定： 当a>0时，函数在x=-时，有最小值，y最小=。 当a<0时，函数在x=-时，有最大值，y最大=。 3.反比例函数 （1）反比例函数的图象是双曲线，反比例函数图象的两个分支关于原点对称． （2）当k>0时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限．且在每个象限，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限，且在每个象限，y随x的增大而增大． 注意：不能说成“当k＞0时，反比例函数y随x的增大而减小，当k＜0时，反比例函数y随x的增大而增大。”因为，当x由负数经过0变为正数时，上述说法不成立。 (3) 反比例函数解析式的确定：反比例函数的解析式y=(k≠0)中只有一个待定系数k，因而只要有一组x、y的对应值或函数图象上一点的坐标，代入函数解析式求得k的值，就可得到反比例函数解析式。 二、考题精选 1．()如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=， 直线FE交AB的延长线于G。过线段FG上的一个动点H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分二次函数与反比例函数综合测试题
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