四川省三台县芦溪中学2020届高三数学上学期“二诊”考前模拟试题理[含答案]
四川省三台县芦溪中学2020届高三数学上学期“二诊”考前模拟试
题 理
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z 满足(1)3z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．3
B ．3i
C ．3-
D ．3i -
2 . 已知全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}
2
|20,M x x x x N =--<∈，则U C M =（ ）
A ．{}2,1,2-
B ．{}2,1,2--
C ．{}2-
D ．{}2
3． 直线
A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．为了解学生的身体状况,某校随机抽取了一批学生测量体重.经统计,这批学生的体重数据(单位:千克)全部介于45至70之间.将数据分成以下5组:第1组[45,50),第2组[50,55),第3组[55,60),第4组[60,65),第5组[65,70],得到如图所示的频率分布直方图.，现发现有22%的学生体重超标，根据直方图估计体重大于等于多少千克为超标体重（ ）. A . 61 B. 62 C. 63 D. 64
5. ()()2
6
11ax x -+的展开式中，3x 项的系数为16-，则实数a 的值为（ ） A ．2
B ．3
C ．2-
D ．2或3
6．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x 的值与输出的y 的值相等，则x 的可能值的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7、已知抛物线2
1:2(0)C x py y =>焦点为1F ，圆
的圆心为2F ，点01(,)2P x 在1C 上，且13
4
PF =
，则直线12F F 的斜率为（ ）
A ．12
-
B ．14
-
C ．13
-
D ．15
-
8．如图，点C 在以AB 为直径的圆上，且满足CA CB =，圆内的弧线是以C 为圆心，CA 为半径的圆的一部分.记ABC ?三边所围成的区域（灰色部分）为M ，右侧月牙形区域（黑色部分）为N.在整个图形中随机取一点，记此点取自M ，N 的概率分别为1P ，2P ，则（ ） A ．12P P = B ．12P P > C ．1241P P π+=
+ D ．21
1
1
P P π-=+ 9. 曲线214y x =+-与直线()24y k x =-+有两个不同交点，实数k 的取值范围是（ ） A ．3
4
k ≥
B ．35412k -
≤<- C ．512
k > D ．
53
124
k <≤ 10. 在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，，点P 为三角形ABC 所在平面上一动点，
且满足
，则
的取值范围是
A. [22,0]-
B. [0,22]
C. [-2,2]
D.[22,22]-
11．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，
点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ?u u u r u u u u r
取得最小值和最大值时，
12PF F △的面积分别为12,S S ，则（ ）
A ．4
B ．8
C ．23
D ．43
12．已知函数()ln (0,1)x x
f x a e x a a a =+->≠，对任意12,[0,1]x x ∈，不等式
21()()2f x f x a --≤恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A ．21,2e ??????
B ．[,)e e +∞
C ．1,2??+∞????
D ．2[,]e e e
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩的平均数为86，则
x y +=______.
14. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数12345A a a a a a =，其中A 的各位数字中， 11a =，k a （2,3,4,5k =）出现0的概率为
13，出现1的概率为2
3
.若启动一次出现的数字为10101A =，则称这次试验成功.若成功一次得2分，失败一次得1-分，则100次这样的重复试验的总得分X 的方差为__________． 15. 设
是定义在上的偶函数，对任意
，都有
，且当
时，
.在区间内关于的方程恰有个不同的
实数根，则实数的取值范围是_________.
16. 已知点P 在圆上，点Q 在椭圆上，且的最大
值等于5，则当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则+
的最大值等于
_________
三、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．在中，角
所对的边分别为
，已知.
（1）求
的值； （2）若
为边
上的点，且
，求
的长.
18．某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他
们的课外阅读时间进行问卷调
查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C 类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：
A 类
B 类
C 类
男生
x 5 3 女生
y
3 3
男生
女生 总计 不参加课外阅读 参加课外阅读
总计
（1）求出表中x，y的值；
（2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；
（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的数学期望．
附：
2
2
()
()()()()
n
ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
．
19. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n＋1
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列{b n}满足*
2
2
1
1,
2
1
1N
n
a
b
a
b
a
b
n
n
n∈
-
=
+???+
+，若{b n}的前n项和为T n．都有20. 已知椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>的左右焦点分别为12
,
F F，离心率为
1
2
，P是椭圆C 上的一个动点，且12
PF F
?3
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线2
PF斜率为(0)
k k≠，且
2
PF与椭圆C的另一个交点为Q，是否存在点(0,)
T t，使得||||?
TP TQ
=若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由.
21. 设函数()(1)1
x x
f x xe a e
=+-+．
（1）求函数()
f x的单调区间；
（2）若函数()
f x在(0,)
+∞上存在零点，证明：2
a>
四：选考题，请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22．选修4-4：坐标系与参数方程（10分）
在极坐标系下，方程2sin2
ρθ
=的图形为如图所示的“幸运四叶草”，又称为玫瑰线．
（1）当玫瑰线的0,
2
π
??
θ∈??
??
时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标；
2
()
P K k
≥
0.10 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
（2）求曲线
22
sin 4ρπθ=
?
?+ ?
?
?上的点M 与玫瑰线上的点N 距离的最小值及取得最小值时的点M 、N 的极坐标（不必写详细解题过程）． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数. （1）解不等式；
（2）若
对任意
恒成立，证明：
.
芦溪中学2017级二诊考前模拟考试理科数学试题答案 1．【解析】因为3(1)3123i
z i i z i i
+-=+?=+=-，所以23z i =+，所以其虚部为3.故选：A. 2．【解析】集合
{}{}
|12,0,1M x x x N =-<<∈=，∴
{}
2,1,2U C M =--.故选：B.
3.【解析】因为直线l
与圆
C
相交,所以圆心到直线的距离
所以c<-5是相交的必要不充分条件。选B
4.【解析】由(0.01+0.02+a+0.06+0.07)×5=1,得
a=0.04,设超标体重为
. 选B
5.【解析】()222112ax ax a x -=-+Q ，()6
1x +展开式的通项为16r r
r T C x +=令3r =得展开式含3x 项的系数为3
620C = 令2r =得展开式含2x 项的系数为2615C =令1r =得展开式含
x 项的系数为1
620C =所以()()2611ax x -+的展开式中3x 项的系数为
22030616a a -+=-，解得2a =或3故选：D
6. 【解析】当2x ≤时, 由2
x x =得： 0,1x =满足条件；当25x <≤时, 由23x x -=得：
3x =满足条件；当5x >时, 由
1
x x
=得： 1x =±不满足条件, 故这样的x 值有3个, 故选C.
7．【解析】因为134PF =
，所以13
224
p +=，解得, 所以圆心F 2（1,0）所以直线12F F 的
斜率为1
14014
=--选B
8．【解析】设圆的半径为1，则区域Ⅰ的面积为11
2112
S =
??=；区域Ⅱ的面积2221111[(2)21]242S =
π?-π?-??=1．圆的面积为π×12＝π．所以121P P ==π
．故选A ．
9.【解析】214y x =+-可化为()()2
2141x y y +-=≥∴曲线214y x =+-表示以()
0,1为圆心，2为半径的圆的1y ≥的部分又直线()24y k x =-+恒过定点()2,4A 可得图象如下图所示：
当直线()24y k x =-+为圆的切线时，可得23221
k d k -=
=+，解得：5
12
k =
当直线()24y k x =-+过点()2,1B -时，413
224
k -=
=+由图象可知，当()24y k x =-+与曲线有两个不同交点时，53
124
k <≤ 故选：D 10.
【
解
析
】
取
AB
的
中
点
Q.
连
接CQ
，
则,
其
中
故选D ，本题也可建系与圆的参数方程求解。
11.【解析】由2c
e a
=
=，
得2,3c a b a ==，故线段MN 所在直线的方程为3()y x a =+，又点P 在线段MN 上，可设(33)P m m a +，其中[,0]m a ∈-，由于12(,0),(,0)F c F c -，
即12(2,0),(2,0)F a F a -，得12(2,33),(2,33)PF a m m a PF a m m a =---=--u u u r u u u u r
，所以2212
46PF PF m ma a ?=+-u u u r u u u u r 223134()44m a a =+-．由于[,0]m a ∈-，可知当34m a =-时，12PF PF ?u u u r u u u u r 取得最小值，此时3
P y =，当0m =时，12PF PF ?u u u r u u u u r 取得最大值，此时3P y a =，则
21343
4
S a
S a ==选A 12. 【解析】因为()ln x
x
f x a e x a =+-，所以()ln ln (1)ln x
x
x
x
f x a a e a a a e '=+-=-+．
当1a >时，对任意的[0,1]x ∈，10,ln 0x
a a ->≥，恒有()0f x '>；当01a <<时，
10,ln 0x a a -<≤，恒有()0f x '>，所以()f x 在[0,1]x ∈是单调递增的．那么对任意的12,[0,1]x x ∈，不等式21()()f x f x -2a -≤恒成立，只要max min ()()2f x f x a --≤，max ()(1)ln f x f a e a ==+-，min ()(0)112f x f ==+=，
所以2ln 2a a e a -+--≥，即ln ,e
a e a e ≥≥．选B
13.【解析】甲班学生成绩的中位数是80+x ＝81，得x ＝1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y +1+3+6）＝598+y ，乙班学生的平均分是86，且总分为86×7＝602，所以y ＝4，∴x+y=5．故答案为：5．
14.【解析】启动一次出现数字为A=10101的概率22
124P 3381????== ? ?????
由题意知变量符合二项
分布，根据成功概率和实验的次数的值，有4η~10081?? ???
， ∴η的数学方差为
47730800D η100*
*81816561
==．设得分为()x 2η1*100η3η100=--=-
所以()Dx D 3x 1009D η=-==
30800
７２９
．
15【解析】如图所示，当
﹣
6，可得图象．根据偶函数的对称性质画出[0，2]的图象，再据周期性：对任意x ∈R ，都有f （x+4）=f （x ），画出[2，6]的图象．画出函数y=log a （x+2）（a ＞1）的图象．∵在区间（﹣2，6]内关于x 的f （x ）﹣log a （x+2）=0（a ＞1）恰有3个不同的实数根，∴log a 8＞3，log a 4＜3，∴4＜a 3
＜8，解得
＜a ＜2．
16. 【解析】：22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=，圆心(0,3)A .PQ 的最大值为
5等价于AQ 的最大值为4设(,)Q x y ，即2
2
(3)16x y +-≤，又()2
2211x
y a a
+=>化简得到
222(1)670(11)a y y a y --+-≤-≤≤当1y =-时，验证等号成立对称轴为2
3
1x a =
-满足2
31,21x a a =≤-≤-故12a <≤当2a =时，离心率有最大值，此时椭圆方程为2
214
x y +=，
设左焦点为1F 1114145523PQ QF PQ QF AQ QF AF +=+-≤++-≤+=+ 当1,,,A F P Q 共线时取等号.故答案为
3
和523+ 17. 【解析】(Ⅰ)解：由
得：
即
∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴ 因此，，又，故
由得：
∴
·········
·6分
(Ⅱ)解：由得：
由正弦定理得：，∴
在△BCD 中， ∴CD =
13．．··········12分
18.【试题解析】（（1）设抽取的20人中，男、女生人数分别为12,n n ，则12
201200122000
2080082000n n ??
==?????==??
,
所以12534x =--=， 8332y =--=．………………………3分 （2）列联表如下：
男生 女生 总计 不参加课外阅读 4 2 6 参加课外阅读
8
6
14
总计12 8 20
2
K的观测值
2
20(4628)10
0.159 2.706 128146
63
k
??-?
==≈<
???
，
所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．………………………………7分（3）X的可能取值为0，1，2，3，则
3111
3233
3
8
19
(0)
56
C C C C
P X
C
+
===，
31211221
33322323
3
8
3
(1)
7
C C C C C C C C
P X
C
+++
===
2121
2333
3
8
3
(2)
14
C C C C
P X
C
+
===，
3
3
3
8
1
(3)
56
C
P X
C
===，所以
19313151
0123
567145656
EX=?+?+?+?= (12)
分
19.【解析】（1）设等差数列{}n a的首项为1a，公差为d，由1
2
,
4
2
2
4
+
=
=
n
n
a
a
S
S得
()()
?
?
?
+
-
+
=
-
+
+
=
+
1
1
2
2
1
2
,
4
8
6
4
1
1
1
1
d
n
a
d
n
a
d
a
d
a解得2
,1
1
=
=d
a，因此*
,1
2N
n
n
a
n
∈
-
=……………5分
（2）由已知*
2
2
1
1,
2
1
1N
n
a
b
a
b
a
b
n
n
n∈
-
=
+???+
+，
当1
=
n时，,
2
1
1
1=
a
b当2
≥
n时，
n
n
n
n
n
a
b
2
1
2
1
1
2
1
1
1
=
?
?
?
?
?
-
-
-
=
-
，
所以*
,
2
1
N
n
a
b
n
n
n∈
=，由（1）知*
,1
2N
n
n
a
n
∈
-
=，所以*
,
2
1
2
N
n
n
b
n
n
∈
-
=， (7)
分
又
n
n
n
T
2
1
2
2
5
2
3
2
1
3
2
-
+???+
+
+
=，
1
4
3
22
1
2
2
3
2
2
5
2
3
2
1
2
1
+
-
+
-
+???+
+
+
=
n
n
n
n
n
T，两式相减得
1
4
3
22
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
+
-
-
?
?
?
?
?
+???+
+
+
+
=
n
n
n
n
T
1
12
1
2
2
1
2
3
+
-
-
-
-
=
n
n
n，所以
n
n
n
T
2
3
2
3
+
-
=…………………10分
因为
所以，所以的最大整数为1009…………………………12分
20. 【解析】解（1）当P为C的短轴顶点时，12
PF F
?3
222
12
122
c a a b c c b ?
=??=+?????=?
，解得21
a b c =??=??=?C 的方程为：22143x y +
=.………………5分 （2）（2）设直线PQ 的方程为(1)y k x =-，
将(1)y k x =-代入22
143
x y +=，得()2222
3484120k x k x k +-+-=； (6)
分
设()()1122,,
,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，
()2
12120002
243,
1234234x x y y k k
x y k x k k ++-====-=++，即22243,3434k k N k k ??- ?++??
…8
分 因为||TP
TQ =，所以直线TN 为线段PQ 的垂直平分线，所以TN PQ ⊥，则·
1TN PQ k k =-，即22
23431443
k
t
k k k k --+?=-+，所以213434k t k k k
==++，………………10分
当0k >
时，因为34k k +≥
0,12t ?∈ ??，当k 0<
时，因为34k k +≤-
以,012t ??
∈-?????.综上，存在点T ，使得||TP TQ =，且t
的取值范围为????? ?? ????
.…12分 21.【解析】函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，……………………………………1分 因为()(1)1x
x
f x xe a e =+-+，所以()(1)x
f x x a e '=+-．……………………2分 所以当1x a >-时，()0f x '>， ()f x 在(1,)a -+∞上是增函数；
当1x a <-时，()0f x '<，()f x 在(,1)a -∞-上是减函数．……………………4分 所以()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数．……………………5分
（2）证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，
即1(1)11
111
x x x x x xe x e x x a x e e e +-+-+===+---有解．……………………………6分 令1
()1
x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+=--．…………………7分
设函数()2,()10x
x
h x e x h x e '=--=->，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增．
又2
(1)30,(2)20h e h e =-<=->，所以()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点．……8分 故()g x '在(0,)+∞上存在唯一的零点．设此零点为k ，则(1,2)k ∈．………………9分 当(0,)x k ∈时，()0g x '<；当(,)x k ∈+∞时，()0g x '>．
所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g k ．………………………………………10分 又由()0g k '=，可得2k e k =+，所以1
()1(2,3)1
k k g k k k e +=+
=+∈-，…………11分 因为()a g x =在(0,)+∞上有解，所以()2a g k >≥，即2a >．…………………12分 解法2：（2）证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，由（1）可知()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数，且(0)1f =．
①当10a -<，即1a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()(1)1f x f >=，不符合题意；
②当10a ->，即1a >时，()f x 在(0,1)a -上单调递减，在(1,)a -+∞上单调递增，所以当
1x a =-时，()f x 取得最小值(1)f a -，由题意可知
111(1)(1)(1)110≤a a a f a a e a e a e ----=-+-+=-+，
设1
()1(1)x g x x e
x -=-+>，则1()10x g x e -'=-<，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，
又(2)30g e =->，而()≤0g a ，所以2a >．……12分 22、【解析】（1）当时，圆的极坐标方程为
，可化为，
化为直角坐标方程为，即
. ……………2分
直线的普通方程为
，与轴的交点的坐标为
因为圆心与点的距离为，所以的最小值为. ……………5分
（2）由可得，所以圆的普通方程为
因为直线被圆截得的弦长等于圆的半径，所以由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线的距
离为圆半径的倍，所以. ……………8分 解得
，又
，所以
……………10分
23．【解析】因为0m >，所以3,()223,3,x m x m f x x m x m x m m x m x m x m --??
=+--=--<
≤≥．…1分
（1）由，得， 即或或
，
解得或
或
，
即，所以不等式
的解集为. （2）若对任意恒成立， 即对任意
恒成立，
当时，；
当时，
，
所以的最小值为2，即
. 又， 所以， 即
（当且仅当
时，等号成立）……10分
温馨提示：
1. 认真读题,看清题目。 (特别是概率题和实际应用问题)发卷后，首先要看卷头的参考公式。考试时要把试题中的关键词、字母、字母的限制、图象、括号中的内容、小数点等等都要看清楚。特别要弄清问题是什么？
2.三步四步一回头(尤其是计算量大的题)。对计算量较大的试题,演算完三、四步就要回头检
查一次。解析几何中直线代入到圆锥曲线方程，消元得一元二次方程，这一步要检查。
3.答题卷上的答案一定要简约..答题卷上要写重点步骤，小计算放在草纸上进行，概率解答题和特别要注意解题格式的规范。三角解答题已知三角函数值求角，一定注意写出角的范围；求三角函数最值，更要注意角的范围。概率解答题事件要设字母表示。数列递推要注意n的范围变化而考虑是否验证首项问题。函数与导数题首先考虑定义域，含参数问题的分类讨论。
4.选考题一定比较两个题，要权衡得分情况，选择把握大，得分最高的题做。
5.简单题绝对不要过于心急求快! 前三道选择题虽然比较简单，但也不要过快，因为同学还没有进入到考试状态。过快了就容易看错、看漏，算错等。
6.注意: 千万要注意填空题答案书写要规范。做对2个是基本口粮，能对3个就更好了，第4个填空题常常是最难的（是否绕过去？）。概率与统计题要反复阅读，把题读懂是关键。
7.选择题一定要追求正确率，抓稳前8个不丢分。有时处理有难度的问题可以考虑数形结合法（有时考虑特殊图形）、特值法、极端法、特征性质检验法、排除法，从而避免使用直接法解题的难度。
8.解后边的题时,绝对不能受前面做题情况的影响.试卷难，不会的就多，大家都如此，不要慌乱。
9.解题必须不紧不慢,不能心急,不能过分求快。两个小时的紧张考试，要按从前到后按顺序解答，不能始终低着头不停地思考和计算（有时会出现低级失误），调整坐姿,适当抬头挺胸（深呼吸），记住：有时敢于放弃也是一种大智慧。
10.总之、考试心态就是要稳 (从来考试都是稳者为王）不过分追求也不懈怠(不贪）. 一定要清楚自己的水平，自己的弱点是什么？我难，人难，我不畏难；我易，人易，我不大意！提前预祝同学们稳定发挥，在绵阳市的二诊考试中交上一份自己满意的答卷！