2020高考文科数学数列大题专项练习
数列大题专项练习
1．[2018·全国卷Ⅱ]记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{an }的通项公式； (2)求Sn ，并求Sn 的最小值．
解析：(1)解：设{an }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2. 所以{an }的通项公式为an ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －9. (2)解：由(1)得Sn ＝
a 1＋an
2
·n ＝n 2－8n ＝(n －4)2
－16.
所以当n ＝4时，Sn 取得最小值，最小值为－16.
2．[2019·河北廊坊省级示范高中联考]在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝4(n ＋1)2
n (n ＋2)，设b n ＝
n ＋1
n
·a n . (1)证明：数列{b n }是等比数列； (2)求{a n }的前n 项积T n .
解析：(1)因为b n ＋1b n ＝n ＋2
n ＋1·a n ＋1
n ＋1n
·a n ＝n (n ＋2)(n ＋1)2·
a n ＋1a n ＝n (n ＋2)(n ＋1)2·4(n ＋1)2
n (n ＋2)
＝4，b 1＝2a 1＝2， 所以数列{b n }是首项为2，公比为4的等比数列． (2)由(1)知b n ＝
n ＋1n ·a n ＝2·4n －1，则a n ＝n n ＋1
·22n －1
. 从而T n ＝? ??
??12×23×3
4×…×n n ＋1·21＋3＋5＋…＋(2n －1)
＝2n
2
n ＋1
. 3．[2019·辽宁鞍山月考]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 2＝4,2S n ＋1－a n ＋1＝2S n ＋3a n (n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝3n
(a n ＋1－1)S n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：38≤T n ＜1
2.
解析：(1)∵2S n ＋1－a n ＋1＝2S n ＋3a n ，∴2a n ＋1－a n ＋1＝3a n ， ∴a n ＋1＝3a n (n ∈N *
)，∵a 1＋a 2＝4，∴a 1＝1， ∴数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， ∴a n ＝3
n －1
.
(2)由(1)知S n ＝3n
－1
2
.
∵b n ＝3n
(a n ＋1－1)S n ＋1，∴b n ＝2×3n
(3n －1)(3n ＋1
－1)＝13n －1－1
3n ＋1－1， ∴T n ＝?
????131－1－132－1＋? ????132－1－133－1＋…＋? ???
?13n －1－13n ＋1－1＝12－13n ＋1－1
.
∵n ∈N *
，所以－13n ＋1－1∈??????－18，0，
∴38≤12－13n ＋1－1<12，即38≤T n <12
. 4．[2019·湖南衡阳联考]已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1＝12，2a n ＋1＝a n ＋1
2
b n ，2b n ＋
1
＝12
a n ＋
b n (n ∈N *
)． (1)证明：数列{a n ＋b n }，{a n －b n }均是等比数列； (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝λ＋μ? ????a n －89×14n ， 求λ－μ的值．
解析：(1)依题意得???
??
2a
n ＋1
＝a n ＋1
2
b n ，
2b
n ＋1＝1
2
a n ＋
b n ，
两式相加，
得a n ＋1＋b n ＋1＝3
4
(a n ＋b n )，∴{a n ＋b n }为等比数列；
两式相减，得a n ＋1－b n ＋1＝1
4(a n －b n )，∴{a n －b n }为等比数列．
(2)∵a 1＝1，b 1＝12，∴a 1＋b 1＝32，a 1－b 1＝1
2.
由(1)可得a n ＋b n ＝32×? ??
??34n －1
①，
a n －
b n ＝12
×? ??
??14
n －1 ②.
①＋②，得 a n ＝? ????14n ＋? ??
??34n
，
∴S n ＝14×? ?
???1－14n 1－14＋34×? ????1－3n
4n 1－34
＝13×? ????1－14n ＋3×? ????1－3n
4n ＝103－13×14n －3×? ????34n
.
又S n ＝λ＋μ? ????a n －89×14n ＝λ＋μ??????19×14n ＋? ????34n ，∴λ＝103，μ＝－3，∴λ－μ＝193. 5．[2019·河南洛阳孟津二中月考]在数列{a n }中，设f (n )＝a n ，且f (n )满足f (n ＋1)－2f (n )＝2n
(n ∈N *
)，a 1＝1.
(1)设b n ＝a n
2n －1，证明：数列{b n }为等差数列；
(2)求数列{3a n －1}的前n 项和S n . 解析：(1)由已知得a n ＋1＝2a n ＋2n
，得b n ＋1＝
a n ＋12
n
＝
2a n ＋2n
2
n
＝a n
2
n －1＋1＝b n ＋1， ∴b n ＋1－b n ＝1，又a 1＝1，∴b 1＝1，∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)知，b n ＝a n
2
n －1＝n ，∴a n ＝n ·2
n －1,
3a n －1＝3n ·2
n －1
－1.
∴S n ＝3×1×20
＋3×2×21
＋3×3×22
＋…＋3(n －1)×2
n －2
＋3n ×2n －1
－n ，
两边同时乘以2，得2S n ＝3×1×21
＋3×2×22
＋…＋3(n －1)×2n －1
＋3n ×2n
－2n ，
两式相减，得－S n ＝3×(1＋21
＋22
＋…＋2n －1
－n ×2n )＋n ＝3×(2n
－1－n ×2n
)＋n ＝3(1
－n )2n
－3＋n ，
∴S n ＝3(n －1)2n
＋3－n .
6．[2019·河北九校第二次联考]已知数列{a n }是各项都为正数的数列，其前n 项和为
S n ，且S n 为a n 与1
a n
的等差中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(－1)
n
a n
，求{b n }的前n 项和T n .
解析：(1)由题意知2S n ＝a n ＋1a n
，即2S n a n －a 2
n ＝1，(※)
当n ＝1时，由(※)式可得S 1＝1；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入(※)式，得2S n (S n －S n －1)－(S n －S n －1)2
＝1， 整理得S 2
n －S 2
n －1＝1.
所以{S 2
n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以S 2
n ＝1＋(n －1)×1＝n . 因为数列{a n }的各项都为正数，所以S n ＝n . 由此可得a n ＝S n －S n －1＝n －n －1(n ≥2)， 又a 1＝S 1＝1，所以a n ＝n －n －1. (2)由(1)知b n ＝(－1)
n
a n
＝
(－1)
n
n －n －1
＝(－1)n
(n ＋n －1)．
当n 为奇数时，
T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…＋(n －1＋n －2)－(n ＋n －1)＝－n ；
当n为偶数时，
T n＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…－(n－1＋n－2)＋(n＋n－1)＝n. 所以{b n}的前n项和T n＝(－1)n n.