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排列组合知识点总结及高考真题

排列组合知识点总结

一、分类计数原理与分步计数原理：

1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法；在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完场这件事共有m+n 种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，在第1步有m 种不同的方法；在第2步有n 种不同的方法，那么完场这件事共有n m ?种不同的方法。二、排列数：

1、组合：n 中取m 个，记作m

n C （1）!

)

1()2()1(m m n n n n C m

n +--?-?=

（2）阶乘：1

2)2)(1(!?--= m m m m （3）m

n n m n C C -=（4）1

0==n n n C C 2、排列：

（1）全排列：将n 个数全排列，记n n A （2）1

2)2)(1(?--= n n n A n

n （3）n 中取m 个，并将m 个数全排列：m m

m n m n A C A =三、二项式定理：n n n n n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 022211100)(+++=+-- 1、二次项系数之和：n

n n n n C C C C +++ 2102、展开式的第r 项：r

r C T =+1例题1：4)1(x

x -的展开式中的常数项是（）

A 、6

B 、4

C 、-4

D 、-6

例题2：在二项式5)22

1(y x -的展开式中，含32y x 的项的系数是（）

A 、-20

B 、-3

C 、6

D 、20

★随堂训练：

1、在二项式521(x

x -的展开式中，含4x 的项的系数是（）A 、-10B 、10C 、-5D 、5

2、52)21

(

x x

-的展开式中的常数项是（）A 、5B 、-5C 、10D 、-10

3、在二项式6)3(y x +的展开式中，含42y x 的项的系数是（）A 、45B 、90C 、135D 、270

4、已知关于x 的二项式n

a x )(3

+的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为（）A 、1B 、1

±C 、2D 、2

±5、4)31)(21(x x --的展开式中，2x 的系数等于

。

6、5

21(x

ax +

的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中常数项为。

7、n

x x )21(2

2-+

展开式中常数项是70，则=n 。

8、若512)(1(x

x x

ax ++展开式中常数项为-40，则=

a 。

四、排列组合题型汇总

（一）解决排列组合综合性问题的一般过程如下:（1）认真审题弄清要做什么事

（2）怎样才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

（3）确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.

（4）解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略（二）题型演练：

1、特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.

先排末位共有1

C 然后排首位共有1

C 最后排其它位置共有3

A 由分步计数原理得113

434288

C C A 习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆

里，问有多少不同的种法？

2、相邻元素捆绑策略

例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，

再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有

522522480A A A

种

练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20

3、不相邻问题插空策略

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出

场顺序有多少种？

解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有5

5A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好

的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456

A A 种

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30

4、定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行

排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：

/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4

7A 种方法，其余的三个位置

甲乙丙共有1种坐法，则共有4

7A 种方法。

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间

思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

5、重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车

间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有6

7种不同的排法

练习题：

1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这

两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为42

2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法8

76、环排问题线排策略

例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从

此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！

B C D E A

E H G

F 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120

7、多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有2

4A 种,

再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有5

5A 种,则共有215445A A A

种

前排后排

练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的

3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是346

8、元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个

空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插

板方法对应一种分法共有69C

种分法。

一

班二班三

班

七班

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段

练习题：

1．10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？4

9C 2.100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数3

103

C 9、正难则反总体淘汰策略

例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的

取法有多少种？

解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有

5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555

C C C +。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有123

5559

C C C +-练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的

抽法有多少种?

10、平均分组问题除法策略

例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

解:分三步取书得222

642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为

ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则

222

642C C C 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有22236423/C C C A 种分法。

将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块

隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为1

m n C --有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.

练习题：将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？

（544213842/C C C A ）

真题演练

1.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种

【答案】B

【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.

【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个

信封两个有种方法，共有种，故选B.

2.某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（A ）30种（B ）36种（C ）42种

（D ）48种

解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n n A (n 为均分的组数)避免重复计数。

即221211

6454432C C C C C C -?+=42

法二：分两类

甲、乙同组，则只能排在15日，有2

4C =6种排法

3.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A.

504种

960种

1008种

D.1108种

解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有4

414222A A A ?种方法

甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43

313134422A A A A A +种方法

故共有1008种不同的排法

4.8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A ）8

89A A （B ）82

A C （C ）82

87A A （D ）82

A C 答案：A

5.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A ）72

（B ）96

（C ）108

（D ）144

解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法

①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32

32A A ＝24个

②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32

22A A ＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个答案：C

6.如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（A ）288种（B ）264种（C ）240种（D ）168种

【答案】D

【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题。

（1）B,D,E,F 用四种颜色，则有4

41124A ??=种涂色方法；

（2）B,D,E,F 用三种颜色，则有33

4422212192A A ??+???=种涂色方法；

（3）B,D,E,F 用两种颜色，则有2

42248A ??=种涂色方法；

所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法。

7.某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A)30种

(B)35种

(D)48种

8.现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A ．152 B.126 C.90 D.548．【答案】B

【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有23

3318C A ?=；若有1人从事

司机工作，则方案有123

343108C C A ??=种，所以共有18+108=126种，故B

正确

9.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（

）A ．324B ．328C ．360D ．648

【答案】B

【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识.属于基

础知识、基本运算的考查.

首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有2

99872A =?=（个），

当0不排在末位时，有111

488488256A A A ??=??=（个），

于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72256328+=（个）.故选B .

10.（2009全国卷Ⅱ文）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（A ）6种（B ）12种（C ）24种（D ）30种

答案：C

解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修2门的种数2424C C =36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为2

4C =6，故只恰好有1门相同的选法有24种。

11.（2009全国卷Ⅰ理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(D )

（A ）150种（B ）180种（C ）300种(D)345种

解:分两类(1)甲组中选出一名女生有112

536225C C C ??=种选法;

(2)乙组中选出一名女生有211

562120C C C ??=种选法.故共有345种选法.选

12.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为【答案】C

【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是2

4C ，顺序有3

3A 种，

而甲乙被分在同一个班的有33A 种，所以种数是233

43330

C A A -=

13.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A.60 B.48 C.42 D.36

【答案】B

【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，（A 共有62

223=A C 种

不同排法），剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A 、B 之间（若甲在A 、B 两端。则为使A 、B 不相邻，只有把男生乙排在A 、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A 左B 右和A 右B 左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。

解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，（A 共有6

223=A C 种不同排法），剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：

第一类：女生A 、B 在两端，男生甲、乙在中间，共有2

2226A A =24种排法；

第二类：“捆绑”A 和男生乙在两端，则中间女生B 和男生甲只有一种排法，

此时共有2

26A ＝12种排法

第三类：女生B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排

法。

此时共有226A ＝12种排法

三类之和为24＋12＋12＝48种。