(1)过定点(
),即 x= __ 时,
性质
x v 0 时,a x 1 x v 0 时，0 ___ a x 1 n 次方根：如果 (1)当n 是奇数时，正数的 n 次方根是正数，负数的 n 次方根是负数，记为
(2)当n 为偶数时，正数的
n 次方根有两个，这两个数互为相反数，记作
x=0 时，a x
x
x > 0 时，0 a 1 x > 0 时，a x1 3、同一坐标系中，指数函数的图象的相对位置与底数大小的关系:
在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在
二、学法指导
1、在指数运算时，要遵守运算法则，防止“跟着感觉走”。
2、合理运用指数函数图像解决单调性、方程、不等式的问题。
3、复合函数的单调性判断方法：同则增，异则减。
三、例题分析
i . 2. 0
例1、计算0.027 3丄2560'75— 3 1
6 73 1 y轴左侧，恰好相反。
3 变式1、求值2-
5 21
4
(0.01)05
例2、比较下列各组数的大小。
1.5
（1）0.8，0.83.14（2）40.9，80.48，-
2
(3)
变式2、比较下列各组数的大小。
— 0.1 — 0.2 (1)口，丄
4 4
1
3 6
(2)-，
4
1
4 5
3
1
- 5 2
(3)0.8 2，
3
例3、函数f (x) a x(a 0,a 1）在区间［1,2］上的最大值比最小值
大-，求a的值。2
变式3、函数f(x) a x(a 0,a 1)在区间［1,2］的最大值与最小值之和为6,求a的值。
x22x
1
例4、求函数y=丄的单调区间和值域。
2
变式4、求函数f (x) 5 X 2x的单调区间和值域。
例5、设a为常数，f(x)=a——2x 1
(1)如果f(x)是奇函数，求a的值;
(2)判断f(x)的单调性，并加以说明。
1
四、巩固练习
F 列各式成立的是(
1、
2、 3、 4、 5
、
6、 7、
8、
9、
A .
B . C. 已知
C v 0，下列不等式中成立的是( A . C > 2C
B . 已知 a 0.80'7 , b 0.809 , c 1.208 A
. B . D.
.3 4 2乜
1
a 5
b 5
C. 2 C v
则a,b,c 的大小关系是
C. c b a
D .
2 C
> D
.
cab
已知集合M={— 1, 1}, N=
A . { —1, 1} 当x 0
时，函数f(x) A . a 2
B. (a
a > 2
xl 1 2n 1
2
B . {0}
1)x 的值总大于1,则实数a 的取值范围是( C. 0 a 1
D. 0 4,x z ，贝U M N=(
C. { — 1}
D. { — 1, 0} )
1 < 1
1
函数y 2x 3 3，恒过定点 _______________________ 。 求下列函数的定义域和值域 (1) y = 1 2x x 2
(2) y . 32x1
2
求函数y =3 x 2x 3的单调区间和值域。
2 a
设 a >0, f(x)=
-在 R 上满足 f ( x) = f (x)
a
2x
(1) 求a 的值
(2) 证明f(x)在(0, +s)上是增函数
(3)v
例3、若a 1，则f(x)在［1,2］上递增，故a 2
若0 a 1，则f(x)在［1,2］上递减，故
1 3
综上：a 的值为一或-
2 2
变式3、解法同例3,得a 2
2 1 u
例4、设u =x — 2x ，则y = -
，故原函数由 2
?/y =3u 在R 上是增函数，而 u =x 2— 2x =
在［1 , +8)上是减函数
? y = f (x)在x €(—s ,1］上是增函数，
又?- u [ 1,)
? y (0,2] 即该函数的值域为[0,2]
例 5、解：(1 )T f (0) =0 ? a =1 或由 f( x) =— f (x)求出 a =1
? f(xj v f(X 2)
?- f(x) 在 (—8,
+ 8)上是增函数。
(2)由增函数的定义直接证明。
例1、
解：原式= = 0.3 1
2 3 6 43 1
1 10 36
64 1 1
1 1
2 1 2
3 3
3
变式 1、原式=1 1 4 1 —丄
16
4 9 100 6 10
15
高一数学讲义第四讲参考答案
三、例题分析 32 1.5 0.9
4 例 2、(1) 0.8 v 0.8
3'
14
0.48
1.44
8 =2
1.8
=2 , (2) 1.5
=2 0.48
???8
1.5
0.9
v 4
0.1 变式2、(1)
0.2
4
(2)
(3) 0.8 2>
变式4、增区间(
,1］，减区间［1,)，值域(0,5］ (2) 任取 X 1，X 2 €R 且 X 1 v X 2，
则 f (xj — f(X 2)=
2
a 2X1 1
2 2咅 2X
2
X
1
四、巩固练习 B 1、 2、C 3、D 4、C 8、 1 (1)定义域为R,值域为—，
2 1］，减区间 1 a2X 1 2X
(2 )定义域为
单调增区间 (1)： f( ???即
[1 x)= f (x), a2X
,+8)，值域(0 , 2X
a 2X
2X
0，对一切 x R 成立
一
2
81]
，值域为 0,
一 0，而 a > 0
?
a =1
a
a 3
a —即a 或a 0 (舍去)
2 a
1
a a 即a 或a 0 (舍去)
2 2
2
1 u =x — 2x 与y = u 复合而成。
2
2 ____________________________________________
(x — 1) — 1在x €( — 8 ,1］上是增函
数,
在［1 ， +8)上是减函数。
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第一章 §1.1 集合 1. 关于集合的元素的特征 （1）确定性（组成元素不确定的如：我国的小河流） （2）互异性 （3）无序性 集合相等：构成两个集合的元素完全一样 (1)若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记 作A=B. (2) B A A B B A =???, 例：已知A={1,1+d ，1+2d}，B={1，q ，q 2}，若A=B ，求的，d ，q 的值。 解：d=－，q=－ 2. 元素与集合的关系； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作a ?A 子集与真子集：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ?或A B ?. 若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q ，或Q 不包含P.记作 Q P ? 若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B 的真子集. B A ?或A B ?. 子集与真子集的性质：传递性：若B A ?，C B ?，则C A ? 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. 3. 常用数集及其记法 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 4. 集合的表示方法 （1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…； （2） 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{} 内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或
高中数学必修一集合经典题型总结(高分必备)
慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 知识点二集合与元素的关系 1．属于 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A. 2．不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A. 知识点三集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 名称非负整数集(自然数集)整数集实数集 符号N N*或N＋Z Q R 知识点四集合的表示方法 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法 用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系 1．子集与真子集 定义符号语言图形语言(Venn图) 子集如果集合A中的________元素 都是集合B中的元素，我们就 说这两个集合有包含关系，称 集合A为集合B的子集 ________(或 ________) 真子集如果集合A?B，但存在元素 ________，且________，我们 称集合A是集合B的真子集 ________(或 ________) 2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 定义符号语言图形图言(Venn图) 集合相等如果集合A是集合B的子集 (A?B)，且 ________________，此时， 集合A与集合B中的元素是 一样的，因此，集合A与集 合B相等 A＝B 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________.
高一数学必修一讲义1.1集合
本讲主要学习集合含义与表示，集合基本关系，集合基本运算三个方面，集合表示法一般含有_______和_______两种，通过学习要了解这两种方法的区别与联系，在此之外还学习了集合间的包含关系与相等关系，以及集合间的并集、交集、补集的含义，通过本部分的学习，同学们要了解集合的含义，能用Venn图表示集合的关系及运算。 一、重难点知识归纳 (一)元素与集合的含义 元素: 研究的对象 集合概念: 一些________组成的总体(简称集) 属于: 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作________。 (二)列举法与描述法 列举法: 把集合的元素一一列举出来，并用_______括起来表示集合的方法叫做列举法. 描述法: 用集合所含元素的_________表示集合的方法称为描述法. 在学习过程中，我们要学会如何选择表示法表示集合，列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法。一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用_________，它具有直观明了的特点；对无限集，一般采用_________表示。 (三)子集、真子集、空集
子集: 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中的_______元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B的________，记作________,读做“A包含于B”(或“__________”). 真子集: 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的_________，记作____________ 空集:_________的集合叫做空集，记作________，并规定：空集是任何集合的___________ Venn图: 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 学习这几个概念时，应注意一下几点： ①若集合A是集合B的真子集，那么集合A必是集合B的_________，反之则不一定。 ②若集合A与集合B中的元素是一样的，则集合A与集合B________。 ③元素与集合之间是__________关系，而集合与集合之间则是___________关系，如设A={a},B={a,b}，则有a____B，A_____B ④集合中元素的特征:_________；_________；_________ 5、如果集合A中有n个元素，则A的子集个数是__________，真子集个数是___________。 (四)并集、交集、补集
2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件
1．1集__合 1．1.1 集合的含义与表示 第一课时 集合的含义 集合的概念 [提出问题] 观察下列实例： (1)某公司的所有员工； (2)平面内到定点O 的距离等于定长d 的所有的点； (3)不等式组? ???? x ＋1≥3， x 2≤9的整数解； (4)方程x 2－5x ＋6＝0的实数根； (5)某中学所有较胖的同学． 问题1：上述实例中的研究对象各是什么？ 提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学． 问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？ 提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定． 问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？ 提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定． [导入新知] 元素与集合的概念 定义 表示 元素 一般地，我们把研究对象统称为元素 通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示 集合 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集) 通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示
[化解疑难] 准确认识集合的含义 (1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的． (2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. 元素的特性及集合相等 [提出问题] 问题1：“知识点一”中的实例(3)组成的集合的元素是什么？ 提示：2,3. 问题2：“知识点一”中的实例(4)组成的集合的元素是什么？ 提示：2,3. 问题3：“知识点一”中的实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？ 提示：相等． [导入新知] 1．集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等． 2．集合元素的特性 集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． [化解疑难] 对集合中元素特性的理解 (1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的． (2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素． (3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合. 元素与集合的关系及常用数集的记法[ 某中学2017年高一年级20个班构成一个集合． 问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合中的元素吗？ 提示：是这个集合的元素．
2020高一数学必修一：必修一总复习(1对1讲义)
必修一复习一、知识结构 集合 集合表示法 集 合 的 运 算集 合 的 关 系 列举法描 述 法 图 示 法 包 含 相 等 子集与真子集 交 集 并 集 补 集 函数 函 数 及 其 表 示 函 数 基 本 性 质 单 调 性 与 最 值 函 数 的 概 念 函 数 的 奇 偶 性 函 数 的 表 示 法 映射 映 射 的 概 念 集合与函数概念 基本初等函数(Ⅰ) 幂函数 有理指数幂整数指数幂 无理指数幂 运算性质 定义 对数 指数 对数函数 指数函数 互为反函数 图像与性质 定义定义 图像与性质 函数的应用 函数模型及其应用 函数与方程 对数函数 指数函数 几类不同增长的函数模型 二分法 函数的零点 用已知函数模型解决问题 建立实际问题的函数模型
二、考点解析 考点一：集合的定义及其关系 考点分析： 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 例1.定义集合运算：．设 ，则集合的所有元素之和为（ ） A ．0； B ．2； C ．3； D ．6 考点二、集合间的基本关系 ，（） 经典考题： 例2.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ） A ． B. C. D. 考点三、集合间的基本运算 考点分析 {}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈{}{}1,2,0,2A B ==A B *A B A ?φφB φ≠B B A ?C B ?C B A =I A C B =Y
高中数学必修一第一章复习讲义
集合 21 {1,2,},x x x ∈=例已知则 {}{} 22.2 ,, A y y x B x y x A B ====?例求 {}{}2 |60,|10,,.A x x x B x mx A B A m =+-==+==例3设且求的值的集合 {}41{0,1,2,3,4},{0,1,2,3},{2,3},. (2){13},0,2,,.I A I A B C B C B A x x B x x x A B A B ====-<≤=≤≥??例（）已知，求已知或求 {}{}{}{}U U U 5 U=1,2,3,4,5,A B=2,(C A)B=4,(C A)(C B)=1,5, A.???例设若求 6 {|12},{|0} (1),(2),A x x B x x k A B k A B A k =-<≤=-≤≠?=例已知集合若求的取值范围 若求的取值范围 练习： 1.设{}{}222|40,|2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=,如果A B B ?=，求实数a 的取值范围 2.设全集为R ，集合{}{}|13,|242A x x B x x x =-≤≤=-≥- （1）求A ∪B ，C R (A ∩B)； （2）若集合{}|2x a>0C x =+,满足B C C ?=，求实数a 的取值范围. 3.集合A={1,0,x},且x 2∈A,则x ＝ 4.已知集合集合{}{}21,1,2,|,M N y y x x M =-==∈, 则M ∩N 是( ) 5.满足{1,2}?A ?{1,2,3,4}的集合A 的个数有 个 函数 一、定义域 22(1)()()log (1)(3)()f x f x x f x ==-=例1.求下列函数的定义域 0213(1)()(3)log (21)22y y x y x x =+=--=+-练习：求下列函数的定义域 例2.（1）已知函数y=f(x)的定义域是[1，3]，求f(2x-1)的定义域
高中数学必修一讲义
高中数学必修一讲义 第一章集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法：(&&&&&) 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 课时二、集合间的基本关系 1.?包含?关系—子集 （1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系， A?（或B?Ａ） 称集合A是集合B的子集。记作：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，； 注意：B （2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．?相等?关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等? 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) 或若集合A?B，存在x∈B且x A，则称集合A是集合B的真子集。 ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B
高一数学必修一函数讲义
第二章、函数 第一节、函数 一、函数 1、函数的定义：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一 确定的数y 与它对应，这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作()y f x =，x A ∈。其中，x 叫做自变量，自变量的取值范围叫做函数的定义域。所有函数值构成的集合，即(){} ,y y f x x A =∈叫做这个函数的值域。 2、检验两个给定的变量之间是否具有函数关系，需检验： （1）定义域和对应法则是否给出； （2）根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y 。 例1、下列图形中，能表示y 是x 的函数的是（ ） 例2、下列等式中，能表示y 是x 的函数的是（ ） A. y x =± B. 2 1y x =+ C. 21y x = -- D. 21y x =- 3、如何判断函数的定义域： （1）分式的分母不能为零； （2）开偶次方根的被开方数要不小于零； （3）多个函数经过四则运算混合得到的函数定义域是多个定义域的交集； （4）函数0 x 中x 不为零。 例3、求下列函数的定义域 （1）32()32x f x x -=+； （2）()21f x x =-； A x B C D x x x y y y y o o o o
（3）20 ()(4)f x x =-； （4）21()42 f x x x =-+ + 例4、求下列函数值域 （1）{}()21,1,2,3,4f x x x =+∈ （2）[]2 ()21,0,3f x x x x =--∈ （3）) ,1(,1 )(+∞-∈= x x x f （4）[)21(),1,1 x f x x x -=∈+∞+ 4、函数的3要素：定义域、值域和对应法则。 判断两个函数相同的依据就是函数的三要素完全相同。 注：在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。 例5、下列各对函数中，是相同函数的是 （ ） A.2 (),()f x x g x x == B. 2 (),()f x x g x x == C.2(),()f x x g x x = = D. 2 (),()f x x g x x == 5、区间：设a ，b ∈R ，且a ＜b ， 满足a ≤x ≤b 的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[a,b]； 满足a ＜x ＜b 的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作﹙a,b ﹚； 满足a ≤x ＜b 或a ＜x ≤b 的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，分别记作[a,b ﹚或﹙a,b ]； 分别满足x ≥a,x ＞a,x ≤a,x ＜a 的全体实数的集合分别记作[a,﹢∞﹚,﹙a,﹢∞﹚,﹙﹣∞,a ], ﹙﹣∞,a ﹚。 6、映射：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一 个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．其中x 叫做原象，y 叫做象。 注：映射可以是多对一，不可以一对多。即A 中元素不可剩余，B 中元素可以剩余。特别的，集合B 中的任意元素在集合A 中有且只有一个原象的映射，叫做一一映射。 7、映射个数的确定：若集合A 有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则A 到B 的映射有m n 个。 例6、已知集合},{},3,2,1{b a B A ==。问： (1)Ａ到Ｂ的不同映射ｆ：B A →有多少个？ (2)Ｂ到Ａ的不同映射ｇ：A B →有多少个？
高一数学必修一讲义之1.3函数的基本性质
1.3函数的基本性质 一、一周知识概述 函数的单调性、奇偶性是函数的两个基本性质，也是本周学习的重点内容，通过学习，同学们要掌握这些概念的形成过程，同时还要学会判断一些函数的单调性、奇偶性，用函数的单调性求一些函数的最大（小）值。另外，同学们还要学会对函数图象的分析，通过观察，可以解决有关函数的单调性，奇偶性和最值等问题。信息技术的使用也是一个重点，那样可以使书与形的结合表现得更加自然。 二、重难点知识归纳 1、函数的单调性 （1）定义: 设函数y=f(x)的定义域为 A ：区间， 如果对于区间I上的任意两个自变量的值，当时，都有___________，那么就说f(x)在区间I上是增函数（increasing function）. 区间I称为y=f(x)的单调增区间; 如果对于区间I上的任意两个自变量的值，当时，都有____________，那么就说f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function). 区间I称为y=f(x)的单调减区间. 函数是增函数还是减函数.是对定义域内某个区间而言的. 有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，因此函数的单调性是函数的局部性质. （2）图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是_________，减函数的图象从左到右是___________. （3）判定方法 ①定义法：
1)取值：对任意，且； 2)作差：； 3)变形:把差化为乘积或平方和的形式 4)判定差的正负； 5)根据判定的结果作出相应的结论. 如果>0,那么___________________________ 如果<0,那么___________________________ ②图象法 2、函数的最值 （1）定义：一般地，设,如果存在实数M满足： ①对于任意的，都有 ②存在，使得 那么，我们称M是函数的__________(maximum value). 同理，设,若存在实数M满足: ①对于任意的，都有 ②存在，使得 我们称M是函数的__________(minimum value). （2）注意：
高中数学必修一讲义
高中数学必修一讲义 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高中数学《必修一》讲义 一．序言 （一）、为什么要学数学？ 1.提高思维能力，增长聪明才智； 2.学习与实践的基础; 3.“高考市场”的拳头产品 (二)、数学为什么难学？ 1.高度的抽象性 2.严密的逻辑性 3.应用的广泛性 (三)、如何学好高中数学？ 1.牢记基础知识; 2.领悟思想方法; 3.把握主干问题; 4.提高运算技能; 5.注重理性思维; 6.勇于探索创新; 7.加强数学应用; 8.优化心理品质.（四）、对数学学习有什么要求？ 1.专注认真; 2.勤思多练; 3.常做笔记; 4.规范作业; 5.加强交流; 6.反思评价. 老师寄语：好的开始是成功的一半，新的学期开始了，请大家调整好自己的思想，找到学习的原动力。播种一种思想，收获一种行为；播种一种行为，收获一种习惯；播种一种习惯，收获一种性格；播种一种性格，收获一种命运。愿每位同学都有个好的开始。 第一讲：集合的含义.表示及集合间的基本关系
（一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们 能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），一些元素组成的总体叫集合 （set ），也简称集。 3. 思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1） 大于3小于11的偶数； （2） 我国的小河流； （3） 非负奇数； （4） 方程2 10x +=的解； （5） 某校2007级新生； （6） 血压很高的人； （7） 著名的数学家； （8） 平面直角坐标系内所有第三象限的点 （9） 全班成绩好的学生。 对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。 （4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 5. 元素与集合的关系； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作：a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作：a ?A 例如，我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A 4?A ，等等。 6．集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A ，B ，C …表示，集 合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。 ７．常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R ； 例题讲解： 例1．用“∈”或“?”符号填空： （1）8 N ； （2）0 N ； （3）-3 Z ； （4； （5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。 例2．已知集合P 的元素为2 1,,33m m m --, 若3∈P 且-1?P ，求实数m 的值。
高中数学必修一知识点总结(全)
第一章集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东 西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1)元素的确定性:集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属于。例： 世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……(2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。 例：由HAPＰY的字母组成的集合{H,A,Ｐ，Y} （3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a，b,c}和{a,ｃ,ｂ}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员｝，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用大写字母表示集合：A=｛我校的篮球队员},B＝｛１，2，３,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 1)列举法：将集合中的元素一一列举出来｛ａ，b,ｃ……｝ 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。 {x∈R｜x-３＞2} ,{x| x-３＞２} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Vｅnn图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。 4、集合的分类： (1）有限集:含有有限个元素的集合 （2)无限集:含有无限个元素的集合 （３)空集：不含任何元素的集合例:｛x｜x2=－5} 5、元素与集合的关系: （1）元素在集合里,则元素属于集合,即:a∈Ａ (２)元素不在集合里,则元素不属于集合,即：ａＡ 注意：常用数集及其记法:
高中数学全套讲义 必修3 概率与统计 基础学生版
目录 概率与统计 (2) 模块一：统计 (2) 考点1：抽样方法 (2) 考点2：样本数字特征 (3) 模块二：线性回归分析 (7) 考点3：线性回归 (8) 模块三：概率 (10) 考点4：古典概型 (10) 考点5：几何概型 (11) 课后作业： (12)
概率与统计 模块一：统计 考点1：抽样方法 例1.（1）（2019春?龙潭区校级月考）完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．这两项调查宜采用的抽样方法依次是() A．①简单随机抽样，②系统抽样B．①分层抽样，②简单随机抽样 C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样 （2）（2019春?浉河区校级月考）为了了解学生学习的情况，某校采用分层抽样的方法从高一1200人、高二1000人、高三n人中，抽取90人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为() A．20B．24C．30D．32
（3）（2019春?信州区校级月考）某班有40位同学，座位号记为01，02，?，40，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的5位同学的座位号 4954 4454 8217 3793 2378 8735 2096 4384 2634 9164 5724 5506 8877 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0767 5086 选取方法是从随机数表第一行的第11列和第12列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个志愿者的座位号是() A．09B．20C．37D．38 （4）（2019春?香洲区校级月考）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，?，600，利用系统抽样方法抽取容量为25的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为049与120之间抽得的编号为() A．056，080，104B．054，078，102C．054，079，104D．056，081，106 考点2：样本数字特征 例2.（1）（2019春?博望区校级月考）踢建子是中国民间传统的运动项目之一，起源于汉朝，至今已有两千多年的历史，是一项简便易行的健身活动．某单位组织踢毽子比賽，把20人平均分成甲、乙两组，并把毎人在1分钟内踢毽子的数目用茎叶图记录如下（其中中间的数字表示十位数，两侧的数字表示个位数）．则下列判断正确的是()
高一数学必修一全套讲义(含答案)
§1.1 集合 1．1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义 一、基础过关 1． 下列各项中，不可以组成集合的是 ( ) A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2． 集合A 中只含有元素a ，则下列各式正确的是 ( ) A ．0∈A B ．a ?A C ．a ∈A D ．a ＝A 3． 由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3 x 3所组成的集合，最多含 ( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素 D ．5个元素 4． 由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号) ①不超过π的正整数； ②本班中成绩好的同学； ③高一数学课本中所有的简单题； ④平方后等于自身的数． 5． 如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________． 6． 判断下列说法是否正确？并说明理由． (1)参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合； (3)1,0.5，32，1 2组成的集合含有四个元素； (4)某校的年轻教师． 7．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .
二、能力提升 8．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．等腰三角形 9．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为() A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可 10．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________. 11．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q 中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？ 三、探究与拓展 12．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则1 1－a ∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集．
(完整word版)高中数学必修1知识点总结及题型
高中数学讲义必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合：一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素：构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示．3．空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为. 知识点二集合与元素的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A. 知识点三集合的特性及分类 1．集合元素的特性_______、________、________. 2．集合的分类：(1)有限集：含有_______元素的集合；(2)无限集：含有_______元素的集合． 3．常用数集及符号表示 1．列举法：把集合的元素______________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法 2．描述法：用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法． 知识点五集合与集合的关系 1．子集与真子集
2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A ，都有________．(2)任何一个集合A 都是它本身的子集，即________．(3)如果A ?B ，B ?C ，则________．(4)如果A ?B ，B ?C ，则________． 3．集合相等 知识点六 集合的运算 1．交集 2．并
3.交集与并集的性质 4.全集 在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集，通常记作________． 5．补集 典例精讲 题型一 * 判断能否构成集合 1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x 2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是 。 题型二 * 验证元素是否是集合的元素 1、已知集合 {}Z n Z m n m x x A ∈∈-==,,22，判断3是不是集合A 的元素。
人教版高中数学必修一精品讲义
集合的含义与表示 _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 1、 通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性。 2、 掌握元素与集合的关系，并能用符号“∈”或“?”来表示。 3、 掌握列举法和描述法，会选择不同的方法来表示集合，记住常用数集的符号。 一、集合与元素的概念： 一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合，简称集。集合中每一个对 象称为该集合的元素。如所有的三角形可以组成集合，每个三角形都是这个集合的元素；所有的直角三角形也可以组成集合，每个直角三角形都是集合的元素；由1，2，3，4组成的集合｛1，2，3，4｝。1，2，3，4就是这个集合的元素 。类似“与2非常接近的全体实数”，“高个子”这样模糊的说法就不能确定集合。 特别提醒：1、集合是一个“整体”。一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象。2、集合具有两个方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件。3、集合通常用大写的字母表示，如A B C 、、、 ……；元素通常用小写的字母表示，如a b c d 、、、……。 二、集合中元素的特性： 1、确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一具体的对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，二者必居其一，不能模棱两可． 2、互异性： 对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的。集合中相同的元 素只能算是一个。如方程0122 =+-x x 有两个重根121==x x ，其解集只能记为{}1，而不能 记为{}1,1。 3、无序性：集合中的元素是不分顺序的．如{},a b 和{},b a 表示同一个集合． 特别提醒：集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l ，0）和点（0，
高中数学必修一总复习讲义
第一章 集合 测试一 集合与集合的表示方法 Ⅰ学习目标 1.了解集合的含义，体会元素与集合间的“属于”关系. 2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。 Ⅱ基础性训练 一、选择题 1.集合()(){} 2130x Z x x ∈--= 可化简为（ ） （A ） 12 （B ）{}3 （C ）1,32?????? （D ）1,32?? - -???? 2.下列结论正确的是（ ） （A ）0N ? （B ）集合{}*20A x N x x =∈-= 与集合{} 20B x Z x x =∈-=相等 （C ）所有偶数的集合可表示为{} 2,C x x k k N ==∈ （D ）被3除余1的整数集合可表示为{} 31,M x x k k Z ==+∈ 3.设集合(){},21,,P x y y x x R y R =<+∈∈，则在下列四个元素中，属于集合P 的元素 是（ ） （A ）()1,1-- （B ）()1,4 （C ）()0,0 （D ）()2,3- 4.集合()5,1x y x y x y ??+=??? ???-=-????? 用列举法表示为（ ） （A ）()2,3 （B ） (){}2,3 （C ）()1,4 （D ）(){} 1,4 5.设0a < ，则不等式10ax -< 的解集为（ ） （A ）1x x a ??> ???? （B ）1x x a ??>-??? ? （C ）1x x a ??< ???? （D ）1x x a ??<-???? 二、填空题 6.用符号“∈ ”或“? ”填空：
（1）若A Z = ，则1 2 - A ；2- A ； （2）若{} 2210B x x x =--= ，则1 2 - B ；2- B . 7.集合{} 13x N x ∈-< 用列举法表示为 . 8.自然数中6个最小的完全平方数组成的集合为 . 9.用列举法表示集合{} 0,5x Z x x x ∈+=>-且为 . 10.用描述法表示的集合{} 22,y y x x x R =-+∈ 可化简为 . 三、解答题 11.用列举法表示下列集合： （1）{} 26A x Z x =∈-≤<； （2）{} 4,,B y y x x N y N ==-+∈∈； （3）99C x N N x ??=∈∈??-?? . 12.分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）大于4- 且小于6的整数所组成的集合； （2）方程32560x x x --= 的实数根所组成的集合. Ⅲ拓展性训练 13.设集合{ } 2 0A x x x =-= ，集合()111,2n B x x n Z ????== +-∈?????? ，试问这两个集合 是否相等？证明你的结论.
2020新人教版高中数学 同步培优讲义 必修一 知识讲解 _集合及集合的表示_提高--
集合及集合的表示（B层）【学习目标】 1.了解集合的含义，会使用符号“∈”“?”表示元素与集合之间的关系． 2.能选择自然语言、图象语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等． 【要点梳理】 集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用. 要点一：集合的有关概念 1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体. 2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集. 要点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合B的元素． 3．关于集合的元素的特征 (1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立. (2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素. (3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合. 要点诠释： 集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据．解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 4．元素与集合的关系： (1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作a∈A ? (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作a A 5．集合的分类 (1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：?. (2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集. (3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集. 6．常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z
人教版高中数学必修一教学讲义-集合
人教版高中数学必修一教学案 年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题《集合》全章复习巩固 课型□预习课□同步课■复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 《集合》全章复习巩固 【知识网络】
（3）如果A B ?，B C ?，那么A C ?。 （4）如果A B T，B C T，那么A C T。 3．包含的定义也可以表述成：如果由任一x ∈A ，可以推出x ∈B ，那么A B ?（或B A ?）。 不包含的定义也可以表述成：两个集合A 与B ，如果集合A 中存在至少一个元素不是集合B 的元素，那么A B ú（或B A ?）。 4．有限集合的子集个数： （1）n 个元素的集合有2n 个子集。 （2）n 个元素的集合有2n －1个真子集。 （3）n 个元素的集合有2n －1个非空子集。 （4）n 个元素的集合有2n －2个非空真子集。 要点诠释： 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子集． 要点三：集合的基本运算 1．用定义求两个集合的交集与并集时，要注意“或”“且”的意义，“或”是两个皆可的意思，“且”是两者都有的意思，在使用时不要混淆。 2．用维恩图表示交集与并集。 已知集合A 与B ，用阴影部分表示A ∩B ，A ∪B ，如下图所示。 3．关于交集、并集的有关性质及结论归结如下： （1）A ∩A=A ，A ∩?=?，A ∩B=(B ∩A)?A （或B ）； A ∪A=A ，A ∪?=A ，A ∪B=( B ∪A)?A （或B ）。 （2）()U A A =?I e；()U A A U =U e。 （3）德摩根定律：()()()U U U A B A B =I U 痧?；()()()U U U A B A B =U I 痧?。； （4）A B A A B =??I ；A B A B A =??U 。 4．全集与补集 （1）它们是相互依存不可分离的两个概念。把我们所研究的各个集合的全部元素看成是一个集合，则称之
