最新概率论与数理统计知识点总结(超详细版)

《概率论与数理统计》

第一章概率论的基本概念

§ 2 ?样本空间、随机事件

1?事件间的关系A B 则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生

A」B ={x x^A或X E B}称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A , B中至少有一个发生时，事件A B发生

A c

B ={x X W A且X E B}称为事件A与事件B的积事件，指当A , B 同时发生时，事件AB发生

A —

B ={x x乏A且x世B}称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件A —B发生

A' B =:，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的

A B = S且A?B二?，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件

A与事件B互为对立事件

2?运算规则交换律A B = B A A - B = B * A

结合律(A B) 一C = A 一(B 一C) (A - B)C = A(B - C)

分配律A _( B ' C)二(A 一B厂(A 一C)

A 一(

B C) =(A 一B)(A 一C)

徳摩根律A = A - B A - B = A B

§ 3 .频率与概率

定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值n A：n称为事件A发生的频率

概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P( A), 称为事件的概率

1 ?概率P(A)满足下列条件：

(1)非负性：对于每一个事件 A 0乞P(A)乞1

(2)规范性：对于必然事件S P(S) =1

n n

(3)可列可加性：设A I,A2,…，A n是两两互不相容的事件，有P( A k)八? P(A k )(n可

k」k二

以取：：)

2.概率的一些重要性质:

(i) P( ) =0

n n

P( A k)二二P(A k) ( n可以取：：) (ii )若A, A?,…，A n是两两互不相容的事件，则有

k 4 k 4

(iii )设A, B 是两个事件若A B，贝U P(B _ A) =P(B) _ P(A) , P(B) _ P(A)

(iv)对于任意事件A, P(A) <1

(v)P(A j=1—P(A) (逆事件的概率)

(vi)对于任意事件A, B 有P(A 一B)二P(A) P(B) - P(AB)

§ 4等可能概型(古典概型)

等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同

若事件A包含k 个基本事件，即AhgjUgziU-Ugk},里

i i, i2,…,i k是1,2,…n中某k个不同的数，则有

/ f \ k A包含的基本事件数

P(A) = 卫「二$中基本事件的总数

§ 5.条件概率

(1)定义：设A,B是两个事件，且P(A) 0，称P(B|A)二为事件A发生的条

P(A)

件下事件B发生的条件概率

(2)条件概率符合概率定义中的三个条件

1。非负性：对于某一事件B，有P(B | A) 一0

2。规范性：对于必然事件S, P(S|A) =1

3 可列可加性：设B1,B2,…是两两互不相容的事件，则有

□0O0

P(U B』A )=迟P(B i A )

i =1i T

(3)乘法定理设P(A) 0，则有P(AB) =P(B)P(A| B)称为乘法公式

n

(4) 全概率公式：P(A)=v P(B j)P(A|B j)

1

贝叶斯公式：

P(B k)P(A|B k) P(B k | A) k—

E P(B i)P(A|B i)

i 4

§ 6 .独立性

定义设A , B是两事件，如果满足等式P(AB) =P(A)P(B)，则称事件A,B相互独立

定理一设A，B是两事件，且P(A) . 0,若A，B相互独立，则P(B|A) = PB

定理二若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与B ,A与B ,A与B

第二章随机变量及其分布

§ 1随机变量

定义设随机试验的样本空间为S二{e}.X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X =X(e)为随机变量

§ 2离散性随机变量及其分布律

1.离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称

为离散型随机变量

□0

P(X =X k)二P k 满足如下两个条件(1) P k - 0 , ( 2) V P k =1

kT

2.三种重要的离散型随机变量

(1)分布

设随机变量X 只能取0 与1 两个值，它的分布律是P(X二k) =p k(1-p)1-k, k =0,1

(0 ：：： p < 1)，则称X服从以P为参数的分布或两点分布。

(2)伯努利实验、二项分布

设实验E只有两个可能结果：A与A，则称E为伯努利实验?设P(A)二p (0 ：：：p ■ 1), 此时P(A) =1-p.将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。

n ■ k n.k. .

P(X =k) = !p q , k =0,1,2,…n 满足条件(1) p^ 0 , (2)送P k =1 注意Ik.丿心

为n ，p 的二项分布。 (3 )泊松分布

设随机变量X 所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为

P (X 二k) ——，k=0,1,2-,其中，.0是常数，则称X 服从参数为■的泊松分布记为 k! X ~ :: ( ■)

§ 3随机变量的分布函数

定义 设X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数 F(x) = P{X 込x},

:: x :：:

称为X 的分布函数 分布函数F(x)二P(X 乞x),具有以下性质(1) F(x)是一个不减函数 (2 )

0 EF(x)「，且 F(-：：) =0,F(：：) -1

(3) F(x 0) = F(x),即F(x)是右连续的

§ 4连续性随机变量及其概率密度

连续随机变量：如果对于随机变量

X 的分布函数F (x ),存在非负可积函数 f (x)，使

x

对于任意函数 x 有F(x)二f (t ) dt,则称x 为连续性随机变量，其中函数

f(x)称为X

4

oO

的概率密度函数，简称概率密度

1概率密度f (x)具有以下性质，满足(1) f(x) 一0, (2)…f(x)dx=1 ；

-OQ

(

3) P (X1 兰 X 兰 X2) = J f (x)dx ; (4)若 f (x)在点 x 处连续，则有 F'(x)=f(x) x 1

2,三种重要的连续型随机变量

(1)均匀分布

均匀分布?记为X ~ U (a ，b ) (2)指数分布

服从参数为V 的指数分布。 (3 )正态分布

n-k

是二项式(p - q )n 的展开式中出现 p k 的那一项，我们称随机变量

X 服从参数

若连续性随机变量 X 具有概率密度

[■丄

f(x)二 b-a I 0 a 丈 x ￡ b

■ ■，则成X 在区间(a,b)上服从

，其他

若连续性随机变量X 的概率密度为f (X )二7e

k

，x. 0

，其他

其中二0为常数，则称X

到

1

(x _W

若连续型随机变量 X 的概率密度为f (x) =

e ―2坊，-比< x ,

其中丄，二(二■ 0)为常数，则称X 服从参数为丄，二的正态分布或高斯分布，记为

2

X ~ N —)

特别，当-0, ；「-1时称随机变量X 服从标准正态分布

§ 5随机变量的函数的分布

定理

设随机变量 X 具有概率密度 f x (x),-：： ::: X :：：：：,又设函数g(x)处处可导且恒有

则 Y= g(X)是连续型随机变量，其概率密度为

h(y)]h '(y)^ a

0 ，其他

多维随机变量

§ 1二维随机变量

定义 设E 是一个随机试验，它的样本空间是 S 二{e}. X =X(e)和Y =Y(e)是定义在S 上 的随机变量，称 X =X(e)为随机变量，由它们构成的一个向量( X ，Y )叫做二维随机变量

设(X ， Y )是二维随机变量，对于任意实数x ， y ，二元函数 F (x ，y ) = P{(X ^x)?

(Y^y)}记成P{X 乞x ，Y < y}称为二维随机变量(X ，Y )的 分布函数

如果二维随机变量 (X ，Y )全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，

则称(X ，

Y )是离散型的随机变量。

我们称P(X 二X j , Y 二y j )二p j ，i ，j =1,2,…为二维离散型随机变量(X ，Y )的

分布律。

对于二维随机变量(X ，丫)的分布函数F (x ，y ),如果存在非负可积函数 f(x ,y ),

y x

使对于任意x, y 有F f x ，y ) = j^f^f (u ， v ) dudv,则称(X , Y )是连续性的随机变量， 函数f f x ，y )称为随机变量f X ，Y )的概率密度，或称为随机变量 X 和Y 的联合概率密

度。

§ 2边缘分布

二维随机变量f X ，Y )作为一个整体，具有分布函数F f x ，y ) ?而X 和Y 都是随机 变量，

各自也有分布函数，将他们分别记为F X (x), F Y (y )，依次称为二维随机变量

f X ，Y )

g(x) o ，

r

f X f Y

( y)

=」

第三章

关于X和关于Y的边缘分布函数。

P i ■八P ij 二P{X 二X j}, i=1,2,…p4= P j 二P{Y二y i}, j =1,2,

分别称P i ■ P d为(X , Y )关于X和关于Y的边缘分布律。

f x(x)二 f (x, y) dy f Y(y)二.f (x, y) dx分别称f x(x),

l*"^0

f Y(y)为X, Y关于X和关于Y的边缘概率密度。

§ 3条件分布

定义设(X，Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Y二y j} 0,

P{X =X j ,Y = y：}

则称P{X二人丫二比} - j =,i =1,2,…为在Y二y j条件下

P{Y = y j} P<

P{X =x?Y = y.} Pi.

随机变量X的条件分布律，同样P{Y = y j X = X j}= ------- ---- = 巴，j = 1,2，…

P{X=X-} P i.」

为在X =Xi条件下随机变量X的条件分布律。

设二维离散型随机变量(X，Y )的概率密度为f (x, y)，( X，Y )关于Y的边缘概

率密度为f Y(y)，若对于固定的y，f Y(y) > 0，则称f(x, y)为在Y=y的条件下X的条件

f y(y)

概率密度，记为f X |Y (x y) = f (x, y)

1 J(y)

§ 4相互独立的随机变量

定义设F (x, y)及F X(x) , F Y(y)分别是二维离散型随机变量(X, Y)的分布函

数及边缘分布函数若对于所有x,y有P{X二x, 丫二y}二P{X乞x}P{Y < y}，即

F{x,y} =F x(x)F Y(y), 则称随机变量X和Y是相互独立的。

对于二维正态随机变量(X , Y ), X和Y相互独立的充要条件是参数卜=0

§ 5两个随机变量的函数的分布

1 , Z=X+Y的分布

设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(X, y).则Z=X+Y仍为连续性

随机变量，其概率密度为f X Y(z)二__f(z-y, y) dy或f X丫⑵二_._f(x,z-x) dx

又若X 和Y 相互独立，设(X , Y )关于X , Y 的边缘密度分别为 f X (x), f Y (y)则

Q Q

Q Q

f x Y (z)二 f x (z-y ) fY (y)dy 和 f x 丫⑵二 f x (x ) f Y (z-x)dx 这两个公式称为

f x , f Y 的卷积公式

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布

Y

2, Z

的分布、Z 二XY 的分布 X

OQ 1 z fxY (z)

= ^；x f(x ，x )dx 又若X 和Y 相互独立，设(X ，Y )关于X , Y 的边缘密度分别

为 f x (x), f —(y)则可化为 f Y X (z) Ux (x ) f Y (xz)dx

--

3M = max{X , Y}及

N = min{X,Y}的分布

设X , Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为

F x (x), F Y (y)由于

M = max{X , Y}不大于z 等价于X 和Y 都不大于z 故有P{M — z}二P{X —乙Y — z}又 由于X

和Y 相互独立，得到 M = max{X , Y}的分布函数为F max (z)二F x (z)F — (z)

N 二min{ X ,Y}的分布函数为F min ⑵=1 - 1 - F x ⑵- F —⑵丨

第四章 随机变量的数字特征

§ 1 ?数学期望

Q0

定义

设离散型随机变量 X 的分布律为P{X 二X k }二P k , k=1,2，…若级数7 x k P k 绝对

心

Q0

收敛，则称级数V X k P k 的和为随机变量 X 的数学期望，记为E(X),即E(X)二為X k P k

k 1

i

Q Q

设连续型随机变量 X 的概率密度为f (x)，若积分..xf(x)dx 绝对收敛，则称积分

设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度

f (x, y),

Z =XY

仍为连续性随机变量其概率密度分别为

f xY (Z )二

7fx(x)fY(J )dx

xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即E(X)二「xf(x)dx

J二甘二

定理设Y是随机变量X的函数Y= g(X)(g是连续函数)

Q0

(i)如果X是离散型随机变量，它的分布律为P｛X =x k｝工p k，k=1,2，…若a g(x k)p k

oO

绝对收敛则有E(Y)二E(g(X)) = v g(x k)p k

kA

(ii)如果X是连续型随机变量，它的分概率密度为f (x)，若"g(x) f (x)dx绝对收敛则

-=O

有E(Y)二E(g(X)) = ' ：g(x)f(x)dx

数学期望的几个重要性质

1设C是常数，则有E(C)二C

2设X是随机变量，C是常数，则有E(CX)二CE(X)

3设X,Y是两个随机变量，则有E(X Y^E(X) E(Y);

4设X, Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)二E(X)E(Y)

§ 2方差

定义设X是一个随机变量，若E｛ k - E(X) I2｝存在，则称E｛〔X-E(X)f｝为X的方差，记为D (x)即D (x) = E｛〔X -E(X)F｝，在应用上还引入量,D(x)，记为匚(x), 称为标准差或均方差。

2 2 2

D(X) =E(X -E(X))2=E(X2) -(EX)2

方差的几个重要性质

1设C是常数，则有D(C) =0,

2

2设X是随机变量，C是常数，则有D(CX)二CD(X) , D(X CH D(X)

3 设X,Y 是两个随机变量，则有D(X Y)二D(X) D(Y) 2E｛(X - E(X))(Y - E(Y))｝特

别，若X,Y相互独立，则有D(X Y^ D(X) D(Y)

4D(X) =0的充要条件是X以概率1取常数E(X)，即P｛X二E(X)｝ =1

切比雪夫不等式：设随机变量X具有数学期望E(X) -；「2，则对于任意正数；，不等式

_ 2

P{X-4兰靳兰与成立

名

§ 3协方差及相关系数

定义量E{[ X _E(X)][ Y _E(Y)]}称为随机变量X与Y的协方差为Cov(X,Y)，即Cov(X,Y) =E[(X - E(X))(Y - E(Y))] = E(XY) - E (X )E(Y)

Cov(X，Y)

而r XY称为随机变量X和Y的相关系数

J D(X) TW

+ +

对于任意两个随机变量X和Y, D(X Y) = D(X)+D(Y) 2Cov(X,Y)

协方差具有下述性质

l Cov(X,Y)二Cov(Y,X), Cov(aX,bY)二abCov(X,Y)

2Cov(X「X2,Y^Cov(X1,Y) CovgY)

定理 1 * <1

2 * = 1的充要条件是，存在常数a,b使P{Y二a ? bx} = 1 当％=0时，称X和Y不相关

第五章 大数定律与中心极限定理

§ 1.大数定律

弱大数定理（辛欣大数定理） 设X i , X 2…是相互独立，服从统一分布的随机变量序列，并

具有数学期望 E （Xk ）:

1 n

=」（k =1,2，…）.作前n 个变量的算术平均 一' X k ，则对于任意

n

名 >0，有 lim P{-：Z X k —卩 c 号=1

y n 心

定义

设￥,丫2,…Y n … 是一个随机变量序列，

a 是一个常数，若对于任意正数

；，有

|坠卩｛￡ - a c 号=1，则称序列Y |,Y 2「Y 「‘依概率收敛于a ，记为Y n —P T a

§ 2中心极限定理

分布，且具有数学期望和方差

E （X i ）二J , D （X k ）

n

n

、X k - EC X k )

k k =i

.D(、X k )

I k 』

伯努利大数定理

设f A 是n 次独立重复试验中事件

A 发生的次数，p 是事件A 在每次试

验中发生的 概率，则对于任意正数；〉

lim P{ n —

f n --- P n

定理一（独立同分布的中心极限定理

） 设随机变量 X i ,X 2 / ,X n 相互独立，服从同一

2

-（k=1,2，…），则随机变量之和

n

、‘ X k 标准化变量，Y n

i ±

定理二（李雅普诺夫定理）设随机变量X i ,X2，…,X n…相互独立，它们具有数学期望

n

2 2 2

和方差E(XQ D(XQ 仝k 0,k=1,2 记B n 八k

k丄

定理三（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量n（n =1,2 -）服从参数为n, p（0 ::：p ::：1）的

项分布，则对任意x，有lim P{——n=np—M x}二X 1 e^2dt -G(x)

n Y p(1 — p) N、2 兀

苏教版二年级数学下册知识点总结

苏教版二年级数学下册知识点 本册书共有九个单元，在“数与代数”领域安排了“有余数的除法”、“时、分、秒”、“认识万以内的数”、“分米和毫米”、“两三位数的加减法” 五个单元的教学内容；在“图形与几何”领域安排了“认识方向”、“角 的初步认识”；在“统计与概率”领域安排了“数据的收集与整理”，最 后安排了期末复习。 一、有余数的除法 1.遇到有余数的除法，可以用竖式计算，想：被除数里最多有几个除数，就商几。 2.余数一定比除数小。 3.被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数 商×除数＋余数=被除数 被除数÷除数=商······余数 4.如果除数是3，被除数每增加3，商就增加1；余数总是0、1、2、0、1、 2 地重复出现。 如果除数是5，被除数每增加5，商就增加1；余数总是0、1、2、3、4、0、1、2、3、 4 地重复出现。（书第7 页第12 题） 二、时、分、秒 1.钟面上的最短的针是时针，长针是分针，最长的针是秒针。 2.分针指着12，时针指着几，就是几时。如：分针指着12，分针指着9，就是9 时（9:00） 3.钟面上有12 个大格，每个大格里有 5 个小格，一共有60 个小格。

4.时针有 1 大格是 1 小时。时针有几大格是几小时。 分针走 1 小格是 1 分。分针走几小格是几分。 秒针走 1 小格是 1 秒。秒针走几小格是几秒。 5.时针走 1 大格是 1 小时，分针正好走了一圈，是60 小格，也就是60 分，所以 1 时=60 分。 分针走 1 小格是 1 分，秒针正好走了一圈，是60 小格，是60 秒， 1 所以 1 分=60 秒 6.时针走过几就是几时多。如：时针在 5 和 6 之间，走过了5，表示 5 时多。 8 时过了 5 分，就是8 时零 5 分。 7. 判断钟面时间：先看时针，判断是几时多，再看分针， 5 分 5 分地数，判断是多少分。 三、认识方向 1.太阳每天从东面升起，西面落下。 2. 早晨起床，面向太阳，前面是东，后面是西，左面是北，右面是南。 傍晚面对太阳，前面是西，后面是东，左面是南，右面是北。 面对北极星方向，前面是北，后面是南，左面是西，右面是东。

java知识点总结

https://www.wendangku.net/doc/c49122070.html,ng.Object 类，是所有类的根父类！ 2.Object类仅有一个空参的构造器public Object(){ } 3.关于方法： ①equals(Object obj) public boolean equals(Object obj) { return (this == obj); } // == // 1.基本数据类型：根据基本数据类型的值判断是否相等。相等返回true，反之返回false // 注：两端数据类型可以不同，在不同的情况下，也可以返回true。 // 2.引用数据类型：比较引用类型变量的地址值是否相等。 //equals(): >①只能处理引用类型变量②在Object类，发现equals()仍然比较的两个引用变量的地址值是否相等 >像String 包装类File类Date类这些重写Object类的equals()方法，比较是两个对象的 //"实体内容"是否完全相同。 >若我们自定义一个类，希望比较两个对象的属性值都相同的情况下返回true的话，就需要重写Object类的 equals(Object obj)方法 ②toString()方法

当我们输出一个对象的引用时，会调用toString()方法。 1.public String toString() { return getClass().getName() + "@" + Integer.toHexString(hashCode()); } 当我们没有重写Object类的toString()方法时，打印的就是对象所在的类，以及对象实体在堆空间的位置 2.一般我们需要重写Object类的toString()方法，将此对象的各个属性值返回。 3.像String类、Date、File类、包装类都重写了toString()方法。 1. String类：不可变的字符序列（如：String str = "atguigu"; str += "javaEE"） 1.关注于String常用的方法！ 2.String类与基本数据类型、包装类；与字符数组、字节数组； * 1.字符串与基本数据类型、包装类之间转换 * ①字符串--->基本数据类型、包装类:调用相应的包装类的parseXxx(String str); * ①基本数据类型、包装类--->字符串:调用字符串的重载的valueOf()方法 *

概率论与数理统计总结

第一章 随机事件与概率 第一节 随机事件及其运算 1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω 表示基本结果，又称为样本点。 3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A 、B 、C 等表 示，Ω表示必然事件， ?表示不可能事件。 4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X 、Y 、Z 等表示。 5、 时间的表示有多种： （1） 用集合表示，这是最基本形式 （2） 用准确的语言表示 （3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系 （1）包含关系：如果属于A 的样本点必属于事件B ，即事件 A 发生必然导致事 件B 发生，则称A 被包含于B ，记为A ?B; （2）相等关系：若A ?B 且B ? A ，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。 （3）互不相容：如果A ∩B= ?，即A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互不相容 7、事件运算 （1）事件A 与B 的并：事件A 与事件B 至少有一个发生，记为 A ∪B 。 （2）事件A 与B 的交：事件A 与事件B 同时发生，记为A∩ B 或AB 。 （3）事件A 对B 的差：事件A 发生而事件B 不发生,记为 A －B 。用交并补可以 表示为B A B A =-。 （4）对立事件：事件A 的对立事件（逆事件），即 “A 不发生”，记为A 。 对立事件的性质：Ω=?Φ=?B A B A ,。 8、事件运算性质：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A∪C)、 A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则）：B A B A ?=? B A B A ?=? 9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ 称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足： （1）Ω∈ξ; (2)若A ∈ξ，则对立事件A ∈ξ； （3）若A n ∈ξ，n=1,2，···，则可列并 ∞ =1 n n A ∈ξ 。

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

概率论与数理统计课后习题答案

第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?，

苏教版二年级下数学知识点总结

二年级前三个单元数学知识要点 第一单元：有余数的除法 1、有余数除法以的意义：在平均分一些物体时，有时有剩余，这样的除法是有余数的除法。 2、余数与除数的关系：在有余数的除法中，余数一定比除数小。 3、除法列竖式计算方法： （1）先写“厂”表示除号。（2）在除号里写被除数。 （3）除号外面左侧写除数。 （4）把商写在除号的外面，被除数上面，并和被除数个位对齐。 （5）把除数和商的积写在被除数的下面（注意：相同数位要对齐）。 （6）用被除数减去商和除数的乘积得结果写在横线下面，与个位对齐。 4、有余数除法的试商方法：先想想被除数里面最多有几个除数，再利用乘法口诀试商。 5、除法算式中各部分之间的关系： 被除数÷除数＝商＋余数被除数＝商×除数＋余数 被除数＝除数×商＋余数余数=被除数﹣商×除数 第二单元：时分秒 1、认识钟面：（1）钟面上最短最粗的针是时针，较短较粗的是分针，最细最长的是秒针。 （2）钟面上有12个大格，每个大格里有5个小格。钟面上共有60个小格。 （3）时针走1大格是1小时。时针走1大格分针走1圈，也就是60小格，1时=60分。 （4）分针走1小格是1分，走1大格是5分。 秒针走1小格是1秒，走1大格是5秒。

分针走1小格秒针走1圈，1分=60秒 2、认识整时方法：分针指着12，时针指着几就是几时。 时针、分针、秒针全部重合的时间是12时，时针和分针成一条直线的时间是6时， 时针和分针成直角的时间是3时和9时。 3、认识几时几分方法：时针指在两个数之间，算小数，时针指在12和1之间，算12时，分针指着几，表示几个5分钟。先看时再看分，时针过几是几时，分针12是整时、指向1（零5分）、指向2是（10分）、指向3（15分）、指向4（20分）、指向5（25分）、指向6（30分）、指向7（35分）、指向8（40分）、指向9（45分）、指向10（50分）、指向11（55分） 4、记录时间有两种方法: （1）文字法：如：5时50分； （2）用电子表法记录时刻时，几时就写几，再写“：”，后面写分时要占两位，分针不够整十的，十位要用0占位。如：8时零5分写作8：05 5、认识大约几时方法：时针接近几就是几时。此时，分针一般指在数字12左右。 6、计算两段时间之间的时间方法：用结束的时间减去开始的时间。整时减整时，分钟减分钟，分钟不够减向整时借1时在分钟上加 60分钟再减。整时借出的1时要记得减去。 7、比较时间：单位不同时要化成相同的时间单位再进行比较。在进行比赛（或做事）时：同样的距离（或同样的事情）所用的时间越多说明速度越慢（或效率越低）；所用的时间越少说明速度越快（或效率越高）。 8．时间单位好区分： 眨眼一下是1秒，数到60是1分， 一节课40分，课间休息10分钟，再加10分是1时

史上最全Java基础知识点归纳

史上最全Java基础知识点归纳 写这篇文章的目的是想总结一下自己这么多年来使用Java的一些心得体会，主要是和一些Java基础知识点相关的，所以也希望能分享给刚刚入门的Java 程序员和打算入Java开发这个行当的准新手们，希望可以给大家一些经验，能让大家更好学习和使用Java。 这次介绍的主要内容是和J2SE相关的部分，另外，会在以后再介绍些J2EE 相关的、和Java中各个框架相关的内容。 经过这么多年的Java开发，以及结合平时面试Java开发者的一些经验，我觉得对于J2SE方面主要就是要掌握以下的一些内容。 1.JVM相关(包括了各个版本的特性) 对于刚刚接触Java的人来说，JVM相关的知识不一定需要理解很深，对此里面的概念有一些简单的了解即可。不过对于一个有着3年以上Java经验的资

深开发者来说，不会JVM几乎是不可接受的。 JVM作为Java运行的基础，很难相信对于JVM一点都不了解的人可以把Java语言吃得很透。我在面试有超过3年Java经验的开发者的时候，JVM几乎就是一个必问的问题了。当然JVM不是唯一决定技术能力好坏的面试问题，但是可以佐证Java开发能力的高低。 在JVM这个大类中，我认为需要掌握的知识有： JVM内存模型和结构 GC原理，性能调优 调优：Thread Dump，分析内存结构 class二进制字节码结构，class loader体系，class加载过程，实例创建过程 方法执行过程 Java各个大版本更新提供的新特性(需要简单了解) 2.Java的运行（基础必备） 这条可能出看很简单，Java程序的运行谁不会呢？不过很多时候，我们只是单纯通过IDE去执行Java程序，底层IDE又是如何执行Java程序呢？很多人并不了解。

概率论与数理统计小结

概率论与数理统计主要内容小结 概率部分 1、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式： )()|()(11B P B A P A P = ++)()|(22B P B A P )()|(n n B P B A P + 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 贝叶斯公式：∑== n j j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 2、互不相容与互不相关 B A ,互不相容0)(,==?B A P B A φ 事件B A ,互相独立))(()(B A P B A P =? ; 两者没有必然联系 3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，二项分布，指数分布，正态分布。 ),,1(~p b X 即二点分布，则分布律为.1,0,)1(}{1=-==-k p p k x P k k ),,(~p n b X 即二项分布，则分布律为.,...,1,0,)1(}{n k p p C k x P k n k k n =-==- ),(~λπX 即泊松分布，则分布律为,......1,0,! }{== =-k k e k x P k λ λ ),,(~b a U X 即均匀分布，则概率密度为.,0),(,1 )(??? ??∈-=其它 b a x a b x f ),(~θE X 即指数分布，则概率密度为.,00 ,1)(?? ???>=-其它x e x f x θ θ ),,(~2σμN X 即正态分布，则则概率密度为+∞<<-∞= - x e x f x ,21)(2 2π .

概率论与数理统计答案,祝东进

习题 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数. (2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数. (3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止. (4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或 检查四个产品就停止检查,记录检查的结果. (5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1){(,)|1,2,,6,1,2, ,6}i j i j Ω===; (2){|0,1, ,9}i i Ω==; (3)Ω={(正), (反, 正), (反, 反, 正), (反, 反, 反, 正), … }; (4)Ω={(次, 次), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次), (次, 正, 次,正), (正, 次, 次), (正, 次, 正, 正), (正, 次, 正, 次)}; (5)22{(,)|,,1}x y x R y R x y Ω=∈∈+≤. 2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示: (1) A =”出现的点数之和为偶数”. (2) B =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现1点”. (3) C =”至少掷出一个2点”. (4) D =”两颗骰子出现的点数相同”. 解: (1) {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),A = {(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}=; (2){(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)}B =; (3){(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}C =; (4){(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}D =. 3. 设,,A B C 是三个事件,试用,,A B C 来表示下列事件:

苏教版二年级重点知识整理

二年级下册知识点整理 一、有余数的除法 1.遇到有余数的除法，可以用竖式计算，想：被除数里最多有几个除数，就商几。 2.余数一定比除数小。 3.被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数被除数 ÷除数=商······余数商×除数＋余数=被除数 4.如果除数是3，被除数每增加3，商就增加1；余数总是0、1、2、0、1、2地重复出现。如果除数是5，被除数每增加5，商就增加1；余数总是0、1、2、3、4、0、1、2、3、4地重复出现。（书第7页第12题） 二、时、分、秒 1.钟面上的最短的针是时针，长针是分针，最长的针是秒针。 2.分针指着12，时针指着几，就是几时。如：分针指着12，分针指着9，就是9时（9:00） 3.钟面上有12个大格，每个大格里有5个小格，一共有60个小格。 4.时针有1大格是1小时。时针有几大格是几小时。分针走1小格是1分。分针走几小格是几分。秒针走1小格是1秒。秒针走几小格是几秒。 5.时针走1大格是1小时，分针正好走了一圈，是60小格，也就是60分，所以1时=60分。分针走1小格是1分，秒针正好走了一圈，是60小格，是60秒，所以1分=60秒

6.时针走过几就是几时多。如：时针在5和6之间，走过了5，表示5时多。 8时过了5分，就是8时零5分。 7. 判断钟面时间：先看时针，判断是几时多，再看分针，5分5分地数，判断是多少分。 三、认识方向 1.太阳每天从东面升起，西面落下。 2. 早晨起床，面向太阳，前面是东，后面是西，左面是北，右面是南。傍晚面对太阳，前面是西，后面是东，左面是南，右面是北。面对北极星方向，前面是北，后面是南，左面是西，右面是东。前面是南，后面是北，左面是东，右面是西。 3.地图或平面图通常按上北、下南、左西、右东绘制。 4. 指南针指针总是一端指向南，另一端指向北。树的年轮较疏的一面向着南面，较密的向着北面。朝着北极星的方向是北面。 5. 四、认识万以内的数 1.10个一是1个十。（1个十里面有10个一） 10个十是1个百。（1个百里面有10个十） 10个一百是1个千。（1个千里面有10个一百） 10个一千是1个万。（1个万里面有10个一千） 2.从右边起，数位依次是个位、十位、百位、千位、万位······ 3.读数时，要从高位起，按照数位顺序读，千位上是几就读几千，百位上是几就读几百，十位上是几就读几十，个位上是几就读几。中间有一个0或两个0都只读一个零，末尾不管有几个0都不读。 4.写数时，要从高位起，按照数位顺序写，几千就在千位上写几，几

java基础知识点总结

Created by AIwen on 2017/5/14. java是面向对象的程序设计语言；类可被认为是一种自定义的数据类型，可以使用类来定义变量，所有使用类定义的变量都是引用变量，它们将会引用到类的对象。类用于描述客观世界里某一类对象的共同特征，而对象则是类的具体存在，java程序使用类的构造器来创建该类的对象。 java也支持面向对象的三大特征：封装、继承、和多态。java提供了private、protected、和public三个访问控制修饰符来实现良好的封装，提供了extends关键字让子类继承父类，子类继承父类就可以继承到父类的成员变量和和方法，如果访问控制允许，子类实例可以直接调用父类里定义的方法。继承是实现类复用的重要手段。使用继承关系来实现复用时，子类对象可以直接赋给父类变量，这个变量具有多态性。 面向对象的程序设计过程中有两个重要的概念：类（Class)和对象（object，也被称为实例，instance）。类可以包含三种最常见的成员：构造器、成员变量、和方法。 构造器用于构造该类的实例，java语言通过new关键字类调用构造器，从而返回该类的实例。构造器是一个类创建对象的根本途径，如果一个类没有构造器，这个类通常无法创建实例。因此java语言提供了一个功能：如果程序员没有为一个类编写构造器，则系统会为该类提供一个默认的构造器，这个构造器总是没有参数的。一旦程序员为一个类提供了构造器，系统将不再为该类提供构造器。 构造器用于对类实例进行初始化操作，构造器支持重载，如果多个重载的构造器里包含了相同的初始化代码，则可以把这些初始化代码放置在普通初始化块里完成，初始化块总在构造器执行之前被调用。静态初始化块代码用于初始化类，在类初始化阶段被执行。如果继承树里某一个类需要被初始化时，系统将会同时初始化该类的所有父类。 构造器修饰符：可以是public、protected、private其中之一，或者省略构造器名：构造器名必须和类名相同。 注意：构造器既不能定义返回值类型，也不能使用void声明构造器没有返回值。如果为构造器定义了返回值类型，或使用void声明构造器没有返回值，编译时不会出错，但java会把这个所谓的构造器当成方法来处理——它就不再是构造器。 实际上类的构造器是有返回值的，当使用new关键字来调用构造器时，构造器返回该类的实例，可以把这个类的实例当成构造器的返回值。因此构造器的返回值类型总是当前类，无须定义返回值类型。不要在构造器里显式的使用return来返回当前类的对象，因为构造器的返回值是隐式的。 java类名必须是由一个或多个有意义的单词连缀而成的，每个单词首字母大写，其他字母全部小写，单词与单词之间不要使用任何分隔符。 成员变量： 成员变量的修饰符：public、protected、private、static、final前三个只能出现一个再和后面的修饰符组合起来修饰成员变量，也可省略。 成员变量：由一个或者多个有意义的单词连缀而成，第一个单词首字母小写，后面每个单词首字母大写，其他字母全部小写，单词与单词之间不要使用任何分隔符。 类型：可以是java语言允许的任何数据类型，包括基本类型和引用类型。 成员方法： 方法修饰符：public、protected、private、static、final、abstract，前三个只能出现一个，static和final最多只能出现其中的一个，和abstract组合起来使用。也可省略。 返回值类型：可以是java语言的允许的任何数据类型，包括基本类型和引用类型。 方法名：和成员变量的方法命名规则相同，通常建议方法名以英文动词开头。 方法体里多条可执行语句之间有严格的执行顺序，排在方法体前面的语句总先执行，排在方法体后面的语句总是后执行。 static是一个特殊的关键字，它可用于修饰方法、成员变量等成员。static修饰的成员表明它属于这个类本身，而

概率论和数理统计知识点总结[超详细版]

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

(完整版)苏教版数学二年级下册知识点整理

数学二年级下册知识点整理 第一单元有余数的除法 1.有余数的除法各部分的名称： 读作：10除以3等于3余1。 2.遇到有余数的除法，可以用竖式计算，想：被除数里最多有几个除数，就商几。 3.被除数、除数、商和余数之间的关系。 被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数 被除数÷除数＝商······余数 商×除数＋余数＝被除数 4.余数一定比除数小。 5.如果除数是3，被除数每增加3，商就增加1；余数总是0、1、2、0、1、2地重复出现。 如果除数是5，被除数每增加5，商就增加1；余数总是0、1、2、3、4、0、1、2、3、4地重复出现。（书第7页第12题） 6.有余数的除法应用题中： ①商和余数都有单位。 ②商和余数的单位名称有可能不一样。余数的单位一定和被除数的相同。 ③个别情况下会出现商要加一，如书P7第10题。

第二单元时、分、秒 1.钟面上的最短的针是时针，长针是分针，最长最细的针是秒针。 2.分针指着12，时针指着几，就是几时。如：分针指着12，分针指着9，就是9时（9:00） 3.钟面上有12个数字，12个大格，每个大格里有5个小格，一共有60个小格。 4.时针走1大格是1小时。时针走几大格是几小时。 分针走1小格是1分。分针走几小格是几分。 秒针走1小格是1秒。秒针走几小格是几秒。 5.时针走1大格是1小时，分针正好走了一圈，是60小格，也就是60分。 分针走1小格是1分，秒针正好走了一圈，是60小格，是60秒。 1时＝60分 1分＝60秒 6.时针走过几就是几时多。如：时针在5和6之间，走过了5，表示5时多。 8时过了5分，就是8时零5分。 时针指在不到8，分针指在11，表示7时55分。 7.判断钟面时间：先看时针，判断是几时多，再看分针，5分5分地数，判断是多少分。 8.时间的两种标准写法：8时 8时零5分 8时55分 8:00 8:05 8:55 9.和时间有关的比大小时，注意： ①尽量把单位名称转化成同一个之后再进行比较。 ②时间越段，速度越快；时间越长，速度越慢。 10.经过时间＝结束时刻－开始时刻 如：上午8时到校，中午12时放学，学生在校多长时间？ 12－8＝4（时）

java各知识点详细总结(毕向东笔记整理)

Java基础知识总结 写代码： 1，明确需求。我要做什么？ 2，分析思路。我要怎么做？1,2,3。 3，确定步骤。每一个思路部分用到哪些语句，方法，和对象。4，代码实现。用具体的java语言代码把思路体现出来。 学习新技术的四点： 1，该技术是什么？ 2，该技术有什么特点(使用注意)： 3，该技术怎么使用。demo 4，该技术什么时候用？test。 ----------------------------------------------------------------------------------------------- 一：java概述： 1991 年Sun公司的James Gosling等人开始开发名称为 Oak 的语言，希望用于控制嵌入在有线电视交换盒、PDA等的微处理器； 1994年将Oak语言更名为Java； Java的三种技术架构: JAVAEE：Java Platform Enterprise Edition，开发企业环境下的应用程序，主要针对web程序开发； JAVASE：Java Platform Standard Edition，完成桌面应用程序的开发，是其它两者的基础；

JAVAME：Java Platform Micro Edition，开发电子消费产品和嵌入式设备，如手机中的程序； 1，JDK：Java Development Kit，java的开发和运行环境，java 的开发工具和jre。 2，JRE：Java Runtime Environment，java程序的运行环境，java 运行的所需的类库+JVM(java虚拟机)。 3，配置环境变量：让java jdk\bin目录下的工具，可以在任意目录下运行，原因是，将该工具所在目录告诉了系统，当使用该工具时，由系统帮我们去找指定的目录。 环境变量的配置： 1）：永久配置方式：JAVA_HOME=%安装路径%\Java\jdk path=%JAVA_HOME%\bin 2）：临时配置方式：set path=%path%;C:\Program Files\Java\jdk\bin 特点：系统默认先去当前路径下找要执行的程序，如果没有，再去path中设置的路径下找。 classpath的配置: 1）：永久配置方式：classpath=.;c:\;e:\ 2）：临时配置方式：set classpath=.;c:\;e:\ 注意：在定义classpath环境变量时，需要注意的情况如果没有定义环境变量classpath，java启动jvm后，会在当前目录下查找要运行的类文件；

福州大学概率论与数理统计课后习题答案高等教育出版社

福州大学概率论与数理统计课后习题答案 高等教育出版社 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数 之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -.

新苏教版二年级下册数学知识点整理

南庄小学二年级下册知识点整理 一、有余数的除法 1.遇到有余数的除法，可以用竖式计算，想：被除数里最多有几个除数，就商几。 2.余数一定比除数小。 3.被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数 被除数÷除数=商······余数商×除数＋余数=被除数4.如果除数是3，被除数每增加3，商就增加1；余数总是0、1、2、0、1、2地重复出现。 如果除数是5，被除数每增加5，商就增加1；余数总是0、1、2、3、4、0、1、2、3、4地重复出现。（书第7页第12题） 二、时、分、秒 1.钟面上的最短的针是时针，长针是分针，最长的针是秒针。 2.分针指着12，时针指着几，就是几时。如：分针指着12，分针指着9，就是9时（9:00） 3.钟面上有12个大格，每个大格里有5个小格，一共有60个小格。 4.时针有1大格是1小时。时针有几大格是几小时。 分针走1小格是1分。分针走几小格是几分。 秒针走1小格是1秒。秒针走几小格是几秒。 5.时针走1大格是1小时，分针正好走了一圈，是60小格，也就是60分，所以1时=60分。 分针走1小格是1分，秒针正好走了一圈，是60小格，是60秒，所以1分=60秒 6.时针走过几就是几时多。如：时针在5和6之间，走过了5，表示5时多。 8时过了5分，就是8时零5分。 7. 判断钟面时间：先看时针，判断是几时多，再看分针，5分5分地数，判断是多少分。 三、认识方向 1.太阳每天从东面升起，西面落下。 2.早晨起床，面向太阳，前面是东，后面是西，左面是北，右

面是南。 傍晚面对太阳，前面是西，后面是东，左面是南，右面是北。 面对北极星方向，前面是北，后面是南，左面是西，右面是东。 前面是南，后面是北，左面是东，右面是西。 3.地图或平面图通常按上北、下南、左西、右东绘制。 4.指南针指针总是一端指向南，另一端指向北。树的年轮较疏的一面向着南面，较密的向着北面。朝着北极星的方向是北面。 5. 四、认识万以内的数 1.10个一是1个十。（1个十里面有10个一） 10个十是1个百。（1个百里面有10个十） 10个一百是1个千。（1个千里面有10个一百） 10个一千是1个万。（1个万里面有10个一千） 2.从右边起，数位依次是个位、十位、百位、千位、万位······ 3.读数时，要从高位起，按照数位顺序读，千位上是几就读几千，百位上是几就读几百，十位上是几就读几十，个位上是几就读几。中间有一个0或两个0都只读一个零，末尾不管有几个0都不读。 4.写数时，要从高位起，按照数位顺序写，几千就在千位上写几，几百就在百位上写几，几十就在十位上写几，几就在个位上写几。哪一位上一个单位也没有就在那一位上写0。 5.比较数的大小：两个数的位数不同时，位数多的数比位数少的数要大。位数相同时，要比较千位上的数，千位上大的那个数就大；如果千位上的数相同，就比较百位上的数；如果百位上的数也相同，就比较十位上的数；十位上的数也相同，就比较个位上的数。 6.用算盘记数时，要拨珠靠梁，一个下珠表示1，一个上珠表示5。 7.最大的四位数是9999，最小的四位数是1000。 最大的三位数是999，最小的三位数是100。 五、分米和毫米

java期末考试知识点总结

java知识点总结 应同学要求，特意写了一个知识点总结，因比较匆忙，可能归纳不是很准确，重点是面向对象的部分。 java有三个版本：JAVA SE 标准版\JAVA ME移动版\JAVA EE企业版 java常用命令：java, javac, appletview java程序文件名：.java, .class java的两类程序：applet, application; 特点，区别，这两类程序如何运行 java的主方法，主类，共有类；其特征 java的数据类型，注意与C++的不同，如字符型，引用型，初值 java与C++的不同之处，期中已总结 java标记符的命名规则 1）标识符有大小写字母、下划线、数字和$符号组成。 2）开头可以是大小写字母，下划线，和$符号（不能用数字开头） 3）标识符长度没有限制 4）标识符不能使关键字和保留字 面向对象的四大特征 抽象、封装、继承、多态 封装，类、对象，类与对象的关系，创建对象，对象实例变量 构造函数，默认构造函数，派生类的构造函数，构造函数的作用，初始化的顺序，构造方法的重载 构造函数：创建对象的同时将调用这个对象的构造函数完成对象的初始化工作。把若干个赋初值语句组合成一个方法在创建对象时一次性同时执行，这个方法就是构造函数。是与类同名的方法，创建对象的语句用new算符开辟了新建对象的内存空间之后，将调用构造函数初始化这个新建对象。 构造函数是类的特殊方法： 构造函数的方法名与类名相同。 构造函数没有返回类型。 构造函数的主要作用是完成对类对象的初始化工作。 构造函数一般不能由编程人员显式地直接调用。 在创建一个类的新对象的同时，系统会自动调用该类的构造函数为新对象初始化。 类的修饰符：public类VS 默认; abstract类; final类; 1）类的访问控制符只有一个：public，即公共的。公共类表明它可以被所有其他类访问和引用。 若一个类没有访问控制符，说明它有默认访问控制特性，规定该类智能被同一个包中的类访问引用（包访问控制）。 2）abstract类：用abstract修饰符修饰的类被称为抽象类，抽象类是没有具体对象的概念类，抽象类是它所有子类的公共属性集合，用抽象类可以充分利用这些公共属性来提高开发和维护效率。 3）final类：被final修饰符修饰限定的，说明这个类不能再有子类。所以abstract与final 不能同时修饰一个类。 域和方法的定义 1)域：定义一个类时，需要定义一组称之为“域”或“属性”的变量，保存类或对象的数据。

《概率论与数理统计》课程学习心得

《概率论与数理统计》课程学习感想 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学，既是重要的基础理论，又是实践性很强的应用科学。 概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括：极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论；随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域，包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信号处理等有关方面。它主要是通过数学建模，理论分析、推导，数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析，以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后，其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡让实际数据说话，其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域，对商品的价值量做了正确的分析。 生活中会遇到这样的事例：有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25％，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33％，结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，其他的人都失败了，觉得自己很幸运，中奖的机率高达50％，可结果他同样没中奖。由此看来，概率的大小只是在效果上有所不同，很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别，每个人中奖的概率都是50％，即中奖与不中奖。 同样的道理，对于个人而言，在生活中要成功做好一件事的概率是没有大小之分的，只有成功或失败之分。但这概率的大小却很能影响人做事的心态。 如果说概率有大小之分，那应该不是针对个体而言，而是从一个群体出发，因为不同的人有不同的信念，有不同的做事方法。把地球给撬起来，这在大多数