剪力和弯矩的计算规律

文章编号:1004-2911(1999)04-0265-02

剪力和弯矩的计算规律

Ξ

林建平1　林琼华2(1.宁德师范高等专科学校物理系,福建宁德　352100;2.福安市建设委员会,福建福安　355000)

摘要:总结出梁发生平面弯曲时,用截面法计算梁中指定截面的剪力和弯矩的一些规律.

关键词:剪力,弯矩,集中力偶,平面弯曲,截面法

中图分类号:O 302 文献标识码:B

1　截面法剪力和弯短的概念

梁发生平面弯曲时,横截面上一般有2种内力,即剪力和弯矩.人们确定梁某一截面的内力可采用截面法,即假想将梁沿需求内力的截面切开分为2部分,对其中一部分进行研究.这样,研究截面上的内力的问题,便转化为研究截面所受的外力,

然后再由静力平衡方程求出内图1　截面法、剪力和弯矩的概念

力,见图1.由图1可知简支梁在荷载F 及支座反力F A 、

F B 作用下上于平衡状态,假想沿截面m —m ′将梁切成2

段,由于整个梁处于平衡状态,所以梁的一段也处于平衡

状态.取左段为研究对象,由静力平衡方程6F y =0,得

F A -F Q =0,即F Q =F A .式中,F Q 是与横截面相切的内

力,称为剪力.再由6m b (F _)=0(O 为截面形心)可得M

-F A ?x =0,即M =F A ?x ,式中M 是横截面上的内力偶

矩,称为弯矩.

2　剪力和弯矩的符号规定图2　使用符号规则为使结果能普遍适用,必须对剪力和弯矩的符号作

一规定.当截面上的剪力使考虑的脱离体有顺时针方向

转动趋势时为正,反之为负[1],见图2(a );当截面上的弯

矩使考虑的脱离体凹向上弯曲为正,凹向下弯曲为负[1],

见图2(b ).

3　计算剪力和弯矩的规律

用截面法求梁中任一横截面上的剪力和弯矩时,有

以下结论.

3.1　计算剪力的规律

梁上任一截面的剪力在数值上等于截面一侧(左侧

或右侧)所有外力沿截面方向投影的代数和,即F Q =

6F y 左(或F Q =6F y 右)[1～2].实际应用时,若以左侧梁为研究对象,则所有向上的外力取正号,

第11卷第4期 宁德师专学报(自然科学版)

1999年11月 Journal of Ningde T eachers C ollege (Natural Science )V ol 111　N o 14　N ov.1999

Ξ收稿日期:1999-06-30

作者简介:林建平(1965-),男,讲师

反之为负;若以右侧梁为研究对象,则向上的外力取负号,反之为正.

3.2　计算弯矩的规律

梁上任一截面的弯矩在数值上等于该截面一侧(左侧或右侧)所有外力对截面形心力矩的代数和,即M =6m c (F _左)(或M =6m c (F _

右))[1～2].实际应用时,不论以左侧还是右侧梁为研究对象所有向上的外力对截面形心力矩均取正号,反之取负号;梁中若有集中力偶,则以左侧梁为研究对象时集中力偶顺转为正,反之为负;若以右侧梁为研究对象,集中力偶顺转取负号,反之取正号.

图3　实例图

4　实例求图2所示梁中指定截面上的剪力

和弯矩,已知q =5kN/m ,F =20kN ,M =

20kN ?m.

解　(1)求支座反力.取梁整体为

研究对象可求得F A =30kN ,F B =10kN.(2)求截面的剪力和弯矩.用截面法根据以上规律,取左侧梁为研究对象则有

1-1截面　F Q 1=F A -2q =30-2×5=20kN ,M 1=F A ×2-2q ×1=30×2-2×5×1=50kN ?m ;2-2截面　F Q 2=F A -2q -F =30-2×5-20=0,M 2=F A ×2-2q ×1=30×2-2×5×1=50kN ?m ;

3-3截面　F Q 3=F A -4q -F =30-4×5-20=-10kN ,M 3=F A ×4-4q ×2-F ×2-M =30×4-4×5×2-20×2-20=20kN ?m.同理取右侧梁为研究对象时也可得出相同的结果.从以上计算可知,不论取左侧梁还是右侧梁为研究对象,只要遵循上述计算规律可得出相同的结论.

参考文献:

[1]于光瑜,秦惠民.材料力学:第2版[M].北京:高等教育出版社,1989.100～102

[2]张秉荣,章剑青.工程力学[M].北京:机械工业出版社,1996.220～222

The C alculating R egularity of Shearing Stress and Crooked Moment

LIN Jian -ping 1,LIN Q iong -hua 2

(1.Department of Physics ,Ningde T eachers C ollege ,Ningde Fujian 352100,China ;2.Fu ′an Municipal C onstruction C om 2mission ,Fu ′am Fujian 355000,China )

Abstract :The s ome regularity of shearing stress and crooked m oment about certain section of roof is calculated with section method when plane curvature occurs in roof.

K ey w ords :shearing stress ;crooked m oment ;concentrated couple ;plane curvature ;section method ?

662? 宁德师专学报(自然科学版) 1999年9月

各类梁的弯矩剪力计算汇总表

表1 简单载荷下基本梁的剪力图与弯矩图

表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征 表3 各种约束类型对应的边界条件 注：力边界条件即剪力图、弯矩图在该约束处的特征。

常用截面几何与力学特征表 表2-5 注：1．I 称为截面对主轴（形心轴）的截面惯性矩（mm 4 ）。基本计算公式如下：??= A dA y I 2 2．W 称为截面抵抗矩（mm 3 ），它表示截面抵抗弯曲变形能力的大小，基本计算公式如下：max y I W = 3．i 称截面回转半径（mm ），其基本计算公式如下：A I i = 4．上列各式中，A 为截面面积（mm 2 ），y 为截面边缘到主轴（形心轴）的距离（mm ），I 为对主轴（形心轴）的惯性矩。 5．上列各项几何及力学特征，主要用于验算构件截面的承载力和刚度。

2．单跨梁的内力及变形表（表2-6~表2-10） （1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度 表2-6 （2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度 表2-7 （3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度 表2-8 （4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度 表2-9 （5）外伸梁的反力、剪力、弯矩和挠度 表2-10 3．等截面连续梁的内力及变形表 （1）等跨连续梁的弯矩、剪力及挠度系数表（表2-11~表2-14） 1）二跨等跨梁的内力和挠度系数 表2-11 注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数×ql 2 ；V ＝表中系数×ql ；EI w 100ql 表中系数4 ?=。 2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数×Fl ；V ＝表中系数×F ；EI w 100Fl 表中系数3 ?=。 [例1] 已知二跨等跨梁l ＝5m ，均布荷载q ＝m ，每跨各有一集中荷载F ＝，求中间支

梁弯矩图梁内力图(剪力图与弯矩图)

简单载荷 梁内力图（剪力图与弯矩图） 梁的简图 剪力Fs 图 弯矩M 图 1 l a F s F F l a F l a l -+ - F l a l a ) (-+ M 2 l e M s F l M e + M e M + 3 l a e M s F l M e + M e M l a l -e M l a + - 4 l q s F + -2 ql 2 ql M 8 2ql + 2 l 5 l q a s F + -l a l qa 2) 2(-l qa 22 M 2 228)2(l a l qa -+ l a l qa 2) (2 -l a l a 2)2(- 6 l q s F + -3 0l q 6 0l q M 3 92 0l q + 3 )33(l - 7 a F l s F F + Fa -M

8 a l e M s F + e M M 9 l q s F ql + M 2 2ql - 10 l q s F 2 l q + M 6 20l q - 注：外伸梁 = 悬臂梁 + 端部作用集中力偶的简支梁 表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征 某一段梁上的外力情况 剪力图的特征 弯矩图的特征 无载荷 水平直线 斜直线 或 集中力 F 突变 F 转折 或 或 集中力偶 e M 无变化 突变 e M 均布载荷 q 斜直线 抛物线 或 零点 极值 表3 各种约束类型对应的边界条件 约束类型 位移边界条件 力边界条件 （约束端无集中载荷） 固定端 0=w ,0=θ — 简支端 0=w 0=M

梁的剪力方程和弯矩方程常用弯矩图

5-7．试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 1、 解：首先求出支座反力。考虑梁的整体平衡 由 0,0=+?=∑e RA B M l F M 得 l M F e RA - = 由 0,0=-?=∑e RB A M l F M 得 l M F e RB = 则距左端为x 的任一横截面上的剪力和 剪力图 弯矩表达式为： ()l M F x F e RA S -== ()x l M x F x M e RA ?- =?= 剪力方程为常数，表明剪图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是x 的一次函数，表明弯矩图是一条斜直线。(如图) 解：首先求出支座反力。考虑梁的平衡 由 04 5 2,0=??-?=∑l l q l F M RB c 得 ql F RB 8 5= 由 021 ,02=+?=∑ql l F M RC B 得 ql F RC 2 1 -= 则相应的剪力方程和弯矩方程为： AB 段：（2 01l x ≤≤） ()()21 11 12 1qx x M qx x F S -=-= BC 段：（2 322l x l ≤ ≤）l F RB 剪力图 弯矩图

()()? ?? ??-?+??? ??-??-==-= 285428 21852222l x ql l x l q x M ql ql ql x F S AB 段剪力方程为x 1的一次函数，弯矩方程为x 1的二次函数，因此AB 段的剪力图 为斜直线，弯矩图为二次抛物线；BC 段剪力方程为常数，弯矩方程为x 2的一次函数，所以BC 段剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为斜直线。（如图） 5-9 用简便方法画下列各梁的剪力图和弯矩图。 解：由梁的平衡求出支座反力： KN F KN F RB RA 12,8== AB 段作用有均布荷载，所以 AB 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC 段没有荷载作用，所以BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。 在B 支座处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力（支座反力F RB ）的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。（如图） （5） 解：由梁的平衡求出支座反力： KN F KN F RB RA 5.6,5.3== AB 与BC 段没有外载作用，所以AB 、BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线；CD 段作用均布荷载，所以CD 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线。

梁的剪力弯矩方程和剪力弯矩图

5.4.1 梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图 梁在外力作用下，各个截面上的剪力和弯矩一般是不相等的。若以横坐标表示横截面沿梁轴线的位置，则剪力Q 和弯矩M 可以表示为坐标的函数，即 它们分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。 与绘制轴力图或扭矩图一样，可用图线表明梁的各截面上剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。作图时，取平行于梁轴线的直线为横坐标轴，值表示各截面的位置；以纵坐标表示相应截面上的剪力、弯矩的大小及其正负，这种表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形，称为剪力图和弯矩图。 例5-1 简支梁AB 承受承受均布荷载作用，如图 5 - 10a 所示。试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。 图5-10 解：(1) 计算支反力以整梁为研究对象，利用平衡条件计算支反力。由于简支梁上的载荷对于跨度中央截面是对称的，所以 A 、 B 两端的支反力应相等，即 (1) 方向如图。 (2) 建立剪力、弯矩方程以梁左端A 为的坐标原点，取坐标为的任意横截面的左侧梁段为研究对象。设截面上的剪力Q () 、弯矩M () 皆为正，如图5-10b 所示。由平衡方程

将(1) 式代入上面两式，解得 （ 2 ） （ 3 ） (2) 、(3) 两式分别为剪力方程和弯矩方程。 (3) 绘制剪力图、弯矩图由式(2) 可知，剪力图为一直线。只需算出任意两个截面的剪力值，如A 、B 两截面的剪力，即可作出剪力图，如图5 - 10c 所示。 由式(3) 可知，弯矩图为一抛物线，需要算出多个截面的弯矩值，才能作出曲线。例如计算下列五个截面的弯矩值：当时, M =0 ；当时，；当时，。由此作出的弯矩图，如图5-10d 所示。 由剪力图和弯矩图可知，在靠近A 、B 支座的横截面上剪力的绝对值最大，其值为 在梁的中央截面上，剪力Q ＝0 ，弯矩为最大，其值为 例5-2 简支梁AB 承受集中力偶M0作用，如图 5 - 11a 所示。试作梁的剪力图、弯矩图。

剪力和弯矩

根据作用在梁上的已知载荷，求出静定梁的支座反力以后，梁横截面上的内力可利用前面讲过的“截面法”来求解，如图7-8a所示简支梁在外力作用下处于平衡状态，现在讨论距支座距离为的截面上的内力... 步骤/方法 1.剪力和弯矩 根据作用在梁上的已知载荷，求出静定梁的支座反力以后，梁横截面上的内力可利用前面讲过的“截面法”来求解，如图7-8a所示简支梁在外力作用下处于平衡状态，现在讨论距支座距离为的截面上的内力。 图7-8 简支梁指定截面的剪力、弯矩计算 根据截面法计算内力的基本步骤“切、代、平”，计算梁的内力的步骤为： ①、首先根据静力平衡方程求支座反力和，为推导计算的一般过程， 暂且用和代替。

②、用截面假想沿处把梁切开为左、右两段，如图7-8b、7-8c所示， 取左段梁为脱离体，因梁原来处于平衡状态，所以被截取的左段梁也同样保持平衡状态。从图7-8b中可看到，左段梁上有一向上的支座反力、向下的已知力作用，要使左段梁不发生竖向移动，则在截面上必定存在一个竖直方向的内力与之平衡；同时，、对截面形心点有一个力矩，会引起左段梁转动，为了使其不发生转动，在截面上必须有一个力偶矩与之平衡，才能保持左段梁的平衡。和即为梁横截面上的内力，其中内力使横截面有被剪开的趋势，称为剪力；力偶矩将使梁发生弯曲变形，称为弯矩。 由于外载荷的作用线垂直于梁的轴线，所以轴力为零，通常不予考虑。 剪力和弯矩的大小可由左段梁的静力平衡方程来求解。 2.剪力与弯矩的正负号规定 从上面的分析可知，用截面法将梁切开分成两段，同一截面上的内力，取左段梁为脱离体和取右段梁为脱离体所得结果虽然数值相等，但方向却是相反的，为此根据剪力和弯矩引起梁的变形情况来规定它们的正负号。

各类梁的弯矩剪力计算汇总表

表1简单载荷下基本梁的剪力图与弯矩图 注：外伸梁 = 悬臂梁 + 端部作用集中力偶的简支梁 表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征

注：力边界条件即剪力图、弯矩图在该约束处的特征。

常用截面几何与力学特征表 表2-5 注：1．I 称为截面对主轴（形心轴）的截面惯性矩（mm 4）。基本计算公式如下：??=A dA y I 2 2．W 称为截面抵抗矩（mm 3），它表示截面抵抗弯曲变形能力的大小，基本计算公式如下：max y I W = 3．i 称截面回转半径（mm ），其基本计算公式如下：A I i = 4．上列各式中，A 为截面面积（mm 2），y 为截面边缘到主轴（形心轴）的距离（mm ），I 为对主轴（形心轴）的惯性矩。 5．上列各项几何及力学特征，主要用于验算构件截面的承载力和刚度。

2．单跨梁的内力及变形表（表2-6~表2-10） （1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度 表2-6 （2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度 表2-7 （3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度 表2-8 （4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度 表2-9 （5）外伸梁的反力、剪力、弯矩和挠度 表2-10 3．等截面连续梁的内力及变形表 （1）等跨连续梁的弯矩、剪力及挠度系数表（表2-11~表2-14） 1）二跨等跨梁的内力和挠度系数 表2-11 注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数×ql 2；V ＝表中系数×ql ； EI w 100ql 表中系数4 ? =。 2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数×Fl ；V ＝表中系数×F ； EI w 100Fl 表中系数3 ? =。 2）三跨等跨梁的内力和挠度系数 表2-12 注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数×ql 2；V ＝表中系数×ql ； EI w 100ql 表中系数4 ? =。 2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数×Fl ；V ＝表中系数×F ； EI w 100Fl 表中系数3 ? =。 3）四跨等跨连续梁内力和挠度系数 表2-13 注：同三跨等跨连续梁。 4）五跨等跨连续梁内力和挠度系数 表2-14 注：同三跨等跨连续梁。

剪力与弯矩的计算方法

1.剪力和弯矩 根据作用在梁上的已知载荷，求出静定梁的支座反力以后，梁横截面上的内力可利用前面讲过的“截面法”来求解，如图7-8a所示简支梁在外力作用下处于平衡状态，现在讨论距支座距离为的截面上的内力。 图7-8 简支梁指定截面的剪力、弯矩计算 根据截面法计算内力的基本步骤“切、代、平”，计算梁的内力的步骤为： ①、首先根据静力平衡方程求支座反力和，为推导计算的一般过程，暂且用和 代替。 ②、用截面假想沿处把梁切开为左、右两段，如图7-8b、7-8c所示，取左段梁 为脱离体，因梁原来处于平衡状态，所以被截取的左段梁也同样保持平衡状态。从图7-8b中可看到，左段梁上有一向上的支座反力、向下的已知力作用，要使左段梁不发生竖向移动，则在截面上必定存在一个竖直方向的内力与之平衡；同时，、对截面形心点有一个力矩，会引起左段梁转动，为了使其不发生转动，在截面上必须有一个力偶矩与之平衡，才能保持左段梁的平衡。和即为梁横截面上的内力，其中内力使横截面有被剪开的趋势，称为剪力；力偶矩将使梁发生弯曲变形，称为弯矩。 由于外载荷的作用线垂直于梁的轴线，所以轴力为零，通常不予考虑。 剪力和弯矩的大小可由左段梁的静力平衡方程来求解。

2.剪力与弯矩的正负号规定 从上面的分析可知，用截面法将梁切开分成两段，同一截面上的内力，取左段梁为脱离体和取右段梁为脱离体所得结果虽然数值相等，但方向却是相反的，为此根据剪力和弯矩引起梁的变形情况来规定它们的正负号。 图7-9 剪力、弯矩的符号规定 ①、剪力正负号的规定如图7-9a、7-9b所示，在横截面处，从梁中取出一微段，若剪力使微段顺时针方向转动，则该截面上的剪力为正；反之为负。 ②、弯矩正负号的规定如图7-9c、7-9d所示，在横截面处，从梁中取出一微段，若弯矩使微段产生向下凸的变形，即上部受压，下部受拉，则该截面上的弯矩为正；反之为负。

各种梁的弯矩计算

弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。 梁Beam——以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。 弯曲bending 平面弯曲plane bending 7.1.2梁的计算简图 载荷： （1）集中力concentrated loads （2）集中力偶force-couple （3）分布载荷distributed loads 7.1.3梁的类型 (1)简支梁simple supported beam 上图 (2)外伸梁overhanging beam (3)悬臂梁cantilever beam 7.2 梁弯曲时的内力 7.2.1梁弯曲时横截面上的内力——剪力shearing force和弯矩bending moment 问题： 任截面处有何内力？

该内力正负如何规定？ 例7－1 图示的悬臂梁AB ，长为l ，受均布载荷q 的作用，求梁各横截面上的内力。 求内力的方法——截面法 截面法的核心——截开、代替、平衡 内力与外力平衡 解：为了显示任一横截面上的内力，假想在距梁的左端为x处沿m-m截面将梁切开。 梁发生弯曲变形时，横截面上同时存在着两种内力。 剪力——作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内。 弯矩——位于纵向对称面内。 剪切弯曲——横截面上既有剪力又有弯矩的弯曲。 纯弯曲——梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。 工程上一般梁（跨度L 与横截面高度h 之比L/h ＞5），其剪力对强度和刚度的影响很小，可忽略不计，故只需考虑弯矩的影响而近似地作为纯弯曲处理。 规定：使梁弯曲成上凹下凸的形状时，则弯矩为正；反之使梁弯曲成下凹上凸形状时，弯矩为负。 7.2.2弯矩图bending moment diagrams 弯矩图：以与梁轴线平行的坐标x表示横截面位置，纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小。 例7－2 试作出例7－1中悬臂梁的弯矩图。 解（1）建立弯矩方程由例7－1知弯矩方程为

各类梁的弯矩剪力计算汇总表

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弯矩剪力支反力计算例题

第三章静定梁与静定刚架 目的要求：熟练掌握静定梁和静定刚架的内力计算和内力图的绘制方法，熟练掌握绘制弯矩图的叠加法及内力图的形状特征，掌握绘制弯矩图的技巧。掌握多跨静定梁的几何组成特点和受力特点。能恰当选取隔离体和平衡方程计算静定结构的内力。 重点：截面法、微分关系的应用、简支梁叠加法。 难点：简支梁叠加法，绘制弯矩图的技巧 §3-1 单跨静定梁 1．反力 常见的单跨静定梁有简支梁、伸臂梁和悬臂梁三种，如图3-1(a)、(b)、(c)所示，其支座反力都只有三个，可取全梁为隔离体，由三个平衡条件求出。 图3-１ 2．内力 截面法是将结构沿所求内力的截面截开，取截面任一侧的部分为隔离体，由平衡条件计算截面内力的一种基本方法。 （1）内力正负号规定 轴力以拉力为正；剪力以绕隔离体有顺时 针转动趋势者为正；弯矩以使梁的下侧纤维受 拉者为正，如图3-2(b)所示。 （2）梁的内力与截面一侧外力的关系图3-2 1) 轴力的数值等于截面一侧的所有外力(包括荷载和反力)沿截面法线方向的投影代数和。 2) 剪力的数值等于截面一侧所有外力沿截面方向的投影代数和。 3) 弯矩的数值等于截面一侧所有外力对截面形心的力矩代数和。 3．利用微分关系作内力图 表示结构上各截面内力数值的图形称为内力图。内力图常用平行于杆轴线的坐标表示截面位置(此坐标轴常称为基线)，而用垂直于杆轴线的坐标(亦称竖标)表示内力的数值而绘出的。弯矩图要画在杆件的受拉侧，不标注正负号；剪力图和轴力图将正值的竖标绘在基线的上方，同时要标注正负号。绘内力图的基本方法是先写出内力方程，即以变量x表示任意截面的位置并由截面法写出所求内力与x之间的函数关系式，然后由方程作图。但通常采用的是利用微分关系来作内力图的方法。 （1）荷载与内力之间的微分关系

梁的剪力方程和弯矩方程常用弯矩图

梁的剪力方程和弯矩方程 常用弯矩图 Final approval draft on November 22, 2020

5-7．试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 解：首先求出支座反力。考虑梁的整体平衡 由 0,0=+?=∑ e RA B M l F M 得 l M F e RA - = 由 0,0=-? =∑e RB A M l F M 得 l M F e RB = 则距左端为x 的任一横截面上的剪力和 剪力图 弯矩表达式为： ()l M F x F e RA S - == ()x l M x F x M e RA ?- =?= 剪力方程为常数，表明剪图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是x 的一次函数，表明弯矩图是一条斜直线。(如图) 解：首先求出支座反力。考虑梁的平衡 由 045 2,0=??-?=∑l l q l F M RB c 得 ql F RB 8 5= 由 02 1 ,02=+?=∑ql l F M RC B 得 ql F RC 2 1 -= 则相应的剪力方程和弯矩方程为： AB 段：（2 01l x ≤≤） BC 段：（2322l x l ≤≤） x 1的二次函数，因此AB 段的剪力图为斜直x 2的一次函数，所以BC 解：由梁的平衡求出支座反力： 剪力

AB 段作用有均布荷载，所以AB 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC 段没有荷载作用，所以BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。 在B 支座处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力（支座反力F RB ）的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。（如图） （5） 解：由梁的平衡求出支座反力： KN F KN F RB RA 5.6,5.3== AB 与BC 段没有外载作用，所以AB 、BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线；CD 段作用均布荷载，所以CD 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物

十字相交悬臂梁弯矩及剪力简化计算

十字相交悬臂梁弯矩及剪力简化计算 在工程设计中，会碰到十字相交悬臂梁，这种结构体系受力性能有别于一般的平面悬臂梁，但也不能将其考虑成两端固支的梁，本文将从结构力学的角度着手，考虑十字相交悬臂梁的变形协调性，分析这类结构在收到集荷载和均布荷载的弯矩与剪力。 Key words：compatibility deformation；intersecting；cantilever beams；shearing force；bending moment 1.前言 实际工程中，存在十字相交悬臂梁结构，如图1，这类结构由于相互垂直的梁的影响，不能将两根梁简单地考虑为平面内悬臂梁，若相交的两段梁中仅有一根梁上有荷载作用，那么另一根梁就可以对这根梁起到一定的支撑作用，如若两段梁的跨度、受力的大小、受力位置、刚度均不相同，该如何进行受力分析。参照结构力学[1]，本文将从两段梁受力，变形协调方面来分析此类结构受力。 2.理论计算 为方便计算，本文忽略扭矩的影响。AB：惯性矩I1，长度l1。AC：惯性矩为I2，长度l2。 2.1 受集中荷载作用 AB受集中力F1，距离端部α1l1，AC受集中力F2，距离端部α2l2，假设AB端部相对于AC端部有下降的趋势，故而，此时可认为AB收到AC向上的支撑力P的作用，反之，AC收到AB向上的支撑力P的作用。AB，AC的MP 图和图分别如图2，图3所示。 2.2 受均布荷载作用 AB梁受均布荷载q1，AC梁受均布荷载q2，则AB与AC的MP图和图分别如图4，图5所示 3.结论 考虑十字相交悬臂梁相交点有相同位移，本文应用结构力学的方法，推导出了受集中荷载和均布荷载时梁固端弯矩值和梁上剪力值： （1）受集中荷载作用时，AB梁固端弯矩值如式（6），剪力（7）和（8），AC梁固端弯矩值如式（9），剪力值如式（10）和（11）；并计算得到了当I1=I2，l1=l2=l时，B端弯矩值如式（12），C端弯矩如式（13），当集中力作用在梁的交