相似三角形中考复习

相似三角形复习

教学目标：

1、掌握相似三角形的性质和判定.

2、会利用相似三角形的性质和判定解决问题.

重点：相似三角形的性质和判定.

难点：在复杂图形中运用相似三角形的性质和判定解决问题.

教学过程：

一、课前小测

1.如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为

2.已知ΔABC与ΔDEF的相似比为2：3，ΔABC一边上的中线长为4，对应边上中

线长为.

3.ΔABC∽ΔDEF，相似比为2:1，ΔABC的周长是24，面积是48，ΔDEF的周长为；面积为.

4. 如图，△ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，DE//AC，若AB=6，BD=4，BE=3，则BC= .

5.如图，在?ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于

相似三角形的性质和判定：

(1)相似三角形的性质：

(2)相似三角形的判定：

二、典型问题

例题1. ΔABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点.S ΔABC =4cm 2，则S △ADE = cm 2 .

B

变式练习：

1.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若DO =5，则OC =___________．

B

2.( 2013台州)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且

2

3

AE AD AB AC ==，则A

D E S △：

BCED S 四边形的值为

.

B

3.如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ACD =∠B ，AC =6，AD =4，求BD 的长

.

B

2018年中考专题相似三角形

2018中考数学专题相似形 （共40题） 1．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点． （1）求证：BD=CE； （2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长； 2．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F． （1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE； （2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF?AC． 3．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若AD=3，AB=5，求的值． 4．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G． （1）求证：BG=DE； （2）若点G为CD的中点，求的值．

5．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论． 6．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC； （2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长． 7．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q． （1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．

《相似三角形的应用举例》中考真题

相似三角形的应用举例 1. （2011浙江金华，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ） A.600m B.500m C.400m D.300m 【答案】B 2. （2011浙江丽水，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直. 如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ） A.600m B.500m C.400m D.300m 【答案】B 3. （2011湖南怀化，21，10分）如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高， B C=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在B C 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，A D 与HG 的交点为M. (1) 求证：;AM HG AD BC (2) 求这个矩形EFGH 的周长.

【答案】 (1) 解：∵四边形EFGH 为矩形 ∴EF∥GH ∴∠AHG=∠ABC 又∵∠HAG=∠BAC ∴ △AHG∽△ABC ∴ ;AM HG AD BC = （2）由（1）得 ;AM HG AD BC =设HE=x ，则HG=2x ，AM=AD-DM=AD-HE=30-x 可得40 23030x x =-，解得，x=12 ， 2x=24 所以矩形EFGH 的周长为2×（12+24）=72cm. 4. （2011上海，25，14分）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =30，AB =50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM =EN ，sin ∠EMP = 1213 ． （1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长； （2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP =x ，BN =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长． 图1 图2 备用图 【答案】（1）∵∠ACB =90°，∴AC ． ∵S =12 AB CP ??=1 2 AC BC ??, ∴CP =AC BC AB ?=403050 ?=24． 在Rt△CPM 中，∵sin∠EMP =1213 ， ∴1213CP CM =．

中考数学专题复习(一)相似三角形

2016年中考数学相似三角形专题复习（一） 一、填空题 1．下面图形中，相似的一组是___________. (1) (2) （1） （2） (3) (4) 2．若x ∶（x+1）=6∶9，则x= . 3．已知线段a 、b 、c 、d 成比例，且a=6，b=9， c=12，则d= 4．在比例尺为1：10000的地图上，量得两 点之间的直线距离是2cm ，则这两地的实际 距离是________米 5．如图，两个五边形是相似形，则=a ，=c ，α= ，β= . 6. 已知△ABC ∽△DEF,AB=21cm,DE=28cm,则△ABC 和△DEF 的相似比为 . 7．△ABC 的三边长分别为 2、10、3，△ C B A ''的两边长分别为1和5，若△ABC ∽△C B A ''， 则△C B A ''的第三条边长为 . 8．如图，△ABC ∽△CDB ，且AC ＝4，BC ＝3， 则BD ＝_________. 9．若一等腰三角形的底角平分线与底边围成的三角形与原图形相似，?则等腰三角形顶角为________度． 10．△ABC 的三边之比为3：5：6，与其相似的△DEF 的最长边是24cm,那么它的最短边长是 ，周长是 . 二、选择题 11．已知4x －5y=0，则(x+y)∶(x －y)的值为（ ） A. 1∶9 B. －9 C. 9：1 D. －1∶9 12.已知，线段AB 上有三点C 、D 、E ，AB=8，AD=7，CD=4，AE=1，则比值不为1/2的线段比为（ ） A.AE ：EC B.EC ：CD C.CD ：AB D.CE ：CB ╮ 23a c β 1550 950 1150 12 5 7αb ╭╮ ╯650 1150 第5题图 B C D 第8题图

人教版_2021中考数学专题复习——相似三角形

中考专题复习——相似三角形 一.选择题 1. (2021年山东省潍坊市)如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于D ,设BP =x ,则PD+PE =( ) A. 35 x + B.45 x - C. 72 D. 212125 25 x x - A B C D E P 2。(2021年乐山市)如图(2)，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在 离网6米的位置上，则球拍击球的高度h 为( ) A 、 815 B 、 1 C 、 43 D 、85 3．(2008湖南常德市)如图3，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论: (1)DE=1，(2)AB 边上的高为3，(3)△CDE ∽△CAB ，(4)△CDE 的面积与△CAB 面积之比为1:4.其中正确的有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4.(2008山东济宁)如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m ，两个路灯的高度都是9m ，则两路灯之间的距离是( )D A ．24m B ．25m C ．28m D ．30m B 图3

5.(2008 江西南昌)下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是( )B 6.(2008 重庆)若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为( ) A 、2∶3 B 、4∶9 C 、2∶3 D 、3∶2 7.(2008 湖南 长沙)在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大 树的影长为4.8米，则树的高度为( ) C A 、4.8米 B 、6.4米 C 、9.6米 D 、10米 8．(2008江苏南京)小刚身高1.7m ，测得他站立在阳关下的影子长为0.85m 。紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起手臂超出头顶 ( ) A A.0.5m B.0.55m C.0.6m D.2.2m 9．(2008湖北黄石)如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中ABC △相似的是( )B 10．(2008浙江金华)如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是( )B A 、6米 B 、8米 C 、18米 D 、24米 11、(2008湖北襄樊)如图1,已知AD 与VC 相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°, ∠D=30°,则∠AOC 的大小为( )B A.60° B.70° C.80° D.120° 12.(2008湘潭市) 如图，已知D 、E 分别是ABC ?的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且 A ． B ． C ． D ． A B C A ． B ． C ． D ．

2018中考相似三角形专题复习.docx

中考复习一相似三角形 仁比例 对于四条线段m, b, c, d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比 相等，如￡ = ￡ （即力=bc ）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段. b cl 1. 若g/,则亠—; y 3 y 2. 以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ） A. 2, 5, 10, 25 B. 4, 7, 4, 7 C. 2, 0.5, 0.5, 4 D.迥,后,2^5 , 5迈 3. 若Q ：3=Z?：4=C ：5,且Q + Z? — C = 6,则。= ______________ ,b — ____ ,c = _________ ； 4. :若—3,则皂士匕二 b d f 4 b + d + f --------------------- 5. 已知纟=2工0,求代数式算二敗.（—2b ）的值. 2 3 a 2 - Ab 2 ' ） 2、平行线分线段成比例、 定理： 推论： 练习1、如下图，EF 〃BC , AM : AN= _______ ,BN : NC= _________ 2、已知：如 图，口 ABCD, E 为BC 的中点，BF : FA=1 : 2, EF 与对角线BD 相交于G, 求 BG : BDo 3、如图,在 A ABC 中,EF//DC, DE//BC,求证: (1) AF ： FD = AD : DB ； (2) AD 2=AF ? AB O AE : EB=2 : 1,EM=1,MF=2,贝ij D

3、相似三角形的判定方法 判定0.平行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交，所截得的三角形与 ______________ 判定1.两个角对应相等的两个三角形 ____________ ? 判定2.两边对应成 __________ 且夹角相等的两个三角形相似. 判定3.三边对应成比例的两个三角形 _____________ . 判定4.斜边和 _______ 对应成比例的两个直角三角形相似 常见的相似形式： 1. 若DE 〃BC （A 型和X 型）则 _____________ . 2. 子母三角形（1）射彫定理：若CD 为RtAABC 斜边上的高（双直角图形） ⑵ ZABD=Zc 则 R t A ABC R t A ACD Rt A CBD 且 AC~ ________ 练习 1、 _____________________________________________ 如图，已知ZADE=ZB,则ZSAED s ____________________________________________________ 2、 如图，在 RtAABC 中，ZC=90°, DE 丄AB 于 D,则厶ADEs ___________________ 3 ZC=ZB, 4. 如图，具备下列哪个条件可以使NACD S NBCA A AC_=AB_ B AB BD C AC? = CD ?CB CD BC AC CD 5. 下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ 6、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4 及x,那么x 的值（ ） A.只有1个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.有无数个 C 1 B ( ) D CD 2 = )

相似三角形的应用举例

27.2.2相似三角形应用举例 教学目标: 1．进一步巩固相似三角形的知识． 2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题）等的一些实际问题． 3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力． 重点、难点 1．重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度． 2．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）． 一、知识链接 1、判断两三角形相似有哪些方法? 2、相似三角形有什么性质？ 二、.探索新知 1、问题1：学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么办法测量？ 2、在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例 练习：（1.）一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为( ) A.7.5米 B.8米 C.14.7米 D.15.75米

（2.）在某一刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的高为60 米,那么高楼的影长是多少米? 3. 世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？ 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？ 3、例题讲解 例3： 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度． 如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．（思考如何测出OA的长？） 分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度． 解： 4、课堂练习 在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米? （在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．）

中考数学相似三角形专题练习

中考数学相似三角形专题练习 一、选择题 1. 已知b a = 23，则a a+b 的值是（ ） A. 32 B .25 C .53 D .5 2 2. 如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上的一点，D 为AC 上一点，且∠APD =60°，BP =1，CD =2 3 ，则△ABC 的边长为（ ） A .3 B .4 C .5 D .6 3. 如图，在长为8cm ，宽为6cm 的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分的面积），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ） A .28cm 2 B .27cm 2 C .21cm 2 D .20cm 2 4. 如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交AC 于点E ，如果DE AB =35，那么AB AC = （ ） A. 13 B .23 C .25 D .3 5

5. 如图，△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为AB 边上的中线，若AD =5，CD =3，DE =4，则BF 的长为（ ） A. 323 B .163 C .163 D .83 6. 如图，在直角三角形ABC 中（∠C =90°），放置边长分别为3，4，x 的三个正方形，则x 的值为（ ） A .5 B .6 C .7 D .12 7. 如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则S △BCE ：S △BDE 等于（ ） A .2:5 B .14:25 C .16:25 D .4:21 8. 如图，点M 在BC 上，点N 在AM 上，CM =CN ，AM AN = BM CM ，下列结论正确的是（ ） A. △ABM ∽△ACB B .△ANC ∽△AMB C .△ANC ∽△ACM D .△CMN ∽△BCA 9. 如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于E ，∠CPE =∠A =∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有（ ）

中考数学专题复习——相似三角形(通用).doc

中考专题复习——相似三角形 一. 选择题 1. （山东省潍坊市）如图 ,Rt △ABAC 中 ,AB ⊥AC,AB=3,AC=4,P 是 BC 边上一点 , 作 PE ⊥AB 于 E,PD ⊥ AC 于 D,设 BP=x,则 PD+PE=（ ） A. x 3B. 4 x C. 7 D. 12x 12x 2 5 5 2 5 25 A D C E P B 2。( 乐山市 ) 如图（ 2），小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在 离网 6 米的位置上，则球拍击球的高度 h 为（ ） A 、 8 B 、 1 C 、 4 D 、 8 15 3 5 h 米 0.8 米 6 米 4 米 3．（2020 湖南常德市） 如图 3，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，DE 是它的中位线， 则下面四个结论： （1）DE=1，（ 2）AB 边上的高为 3 ，（ 3）△ CDE ∽△ CAB ，（ 4）△ CDE 的面积 与△ CAB 面积之比为 1：4. 其中正确的有 （ ） A ．1 个 B ． 2 个 C ．3 个 D ． 4 个

C D E A B 图3 4.(2020 山东济宁 ) 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时， 发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q点 时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯 BD 的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m，两个路灯的高度都是 9m，则两路灯之间的距离是（）D A．24m B．25m C．28m D．30m 5. （ 2020 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）B A ．B．C．D． 6.(2020重庆)若△ ABC∽△DEF，△ ABC与△ DEF的相似比为2︰3，则 S△ABC︰S△DEF 为（） A、2∶3 B、4∶9 C、 2 ∶3 D、3∶2 7.(2020 湖南长沙 ) 在同一时刻，身高 1.6 米的小强在阳光下的影长为0.8 米， 一棵大树的影长为 4.8 米，则树的高度为（） C A、4.8 米 B、 6.4 米 C、9.6 米 D、10 米 8．（ 2020 江苏南京）小刚身高 1.7m，测得他站立在阳关下的影子长为 0.85m。紧

中考专题复习相似三角形专题

谢湘君中考专题复习·相似三角形专题 相似三角形性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 (6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方 (7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项 (8)c/d=a/b 等同于ad=bc. (9)不必是在同一平面内的三角形里 ①相似三角形对应角相等，对应边成比例. ②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. ③相似三角形周长的比等于相似比 定理推论： 推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

E C D A F B 图 1 一、基础题。 1、如图1，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果2 3 BE BC =， 那么BF FD = ． 2、如图2，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥， 213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △，323A B B △的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和 为 ． 3、如图，一束光线从y 轴上点A （0，1）发出，经过x 轴上点C 反射后，经过点B （6，2），则光线从A 点到B 点经过的路线的长度为 ．（精确到0.01） （第2题图） O A 1 A 2 A 3 A 4 A B B 1 B 2 B 3 1 4

中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题

三等角型相似三角形 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示： 等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。 典型例题 【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE 【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60° 再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度 解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60° ∴∠B =∠C =∠EDF =60° ∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD （2）∵△BDE ∽△CFD ∴ BE CD BD FC = ∵BD =1，FC =3，CD =5 ∴BE = 3 5 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。 【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ， 求证：△BDE ∽△DFE 【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE 与 △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 的条件 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B ∴∠B =∠C =∠EDF ∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD ∴ DF DE CD BE =又∵BD =CD ∴ DF DE BD BE =即DF BD DE BE = ∵∠EDF =∠B ∴△BDE ∽△DFE C A D B E F D A B

相似三角形与实际应用

1 / 2 初中数学优秀生特长生培训方案 相似三角形与实际应用 一， 思想、方法解读 利用相似三角形解决实际问题的方法与步骤 1、 分析题意 2、 画出图形 3、 找出两个能解决问题的两个相似三角形 4、 证明这两个三角形相似 5、 写出比例式（要包含已知条件和题中要求的未知量或相关量） 6、 由比例式解决问题或由比例式列方程解决问题 二，思想方法分类例析 （一）利用相似三角形进行测量 例1．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为1.65m 的黄丽同学BC 的影长BA 为1.1m ，与此同时，测得教学楼DE 的影长DF 为12.1m ，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE 的高度．(精确到0.1m) 例2.我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但 不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼 前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。若 此时眼睛到食指的距离约为40cm ，食指的长约为8cm,你能根据上述 条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路。 例3．小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m ，又测得地面部分的影长2.7m ，他求得的树高是多少？ 例4.如图:学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB 的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水 平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC =20 米，斜坡坡面上的影长CD =8米，太阳光线AD 与水平地面成30° 角，斜坡CD 与水平地面BC 成30°的角，求旗杆AB 的高度（精确到1米）． （二）利用相似三角形进行方案设计 例5、如图， ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高 AH=80毫米,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上， 其余两个顶点分别在AB 、AC 上．这个正方形零件的边长是多少? 例6、一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面 积为1.22m ，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌 面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲的方案如图（1），乙的 A B C D

中考复习相似三角形基础复习(一)

相似三角形基础复习（一） 1、如图，已知正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接AE，以AE为边作正方形AEFG，使得点F在CD边上，连接DG。若AB＝3，BE＝2，求tan∠GFD的值。 知识点相似三角形的性质与判定 【知识梳理】 1、相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比。 2、相似三角形的判定方法 （1）常规方法 ①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 ②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

用数学语言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC ③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。 ④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 ⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。 （2）直角三角形相似的判定方法 ①以上各种判定方法均适用 ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 ③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 3、相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比； （3）相似三角形周长的比等于相似比； （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 4、位似图形 （1）位似图形的概念：如果一个图形的点与另一个图形上的点分别对应，并且它们的连线都经过同一个点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点是位似中心。 由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。

中考试题相似三角形的应用

学科：数学 专题：相似三角形的应用 主讲教师：黄炜北京四中数学教师 重难点易错点解析 在构造相似模型时，务必找准对应边． 题一 题面：如图所示，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙角1.6m，梯上点D距离墙1.4m，BD长0.55m，则梯子长为( ) A．3.85m B．4.00m C．4.40m D．4.50m 金题精讲 题一 题面：在已知半圆内，求作内接正方形．

位似变换 满分冲刺 题一 题面：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC=20m，斜坡坡面上的影长CD=8m，太阳光线AD与水平地面成30°角，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度． 相似三角形的应用 题二 题面：如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为（3，2），（-1，-1），则两个正方形的位似中心的坐标是_________． 位似中心、平面直角坐标系

题三 题面：在已知三角形内，求作内接正方形． 相似三角形的应用 讲义参考答案 重难点易错点解析 题一 答案：C ． 金题精讲 题一 答案：正方形EFGH 即为所求． 满分冲刺 题一 答案：20324 3 m ．

题二 答案：位似中心的坐标是(1，0)或(-5，-2)． 题三 答案：方法1：利用位似形的性质作图法(图16) 图16 作法：(1)在AB上任取一点G＇，作G＇D＇⊥BC； (2)以G＇D＇为边，在△ABC内作一正方形D＇E＇F＇G＇； (3)连结BF＇，延长交AC于F； (4)作FG∥CB，交AB于G，从F，G各作BC的垂线FE，GD，那么DEFG就是所求作的 内接正方形． 方法2：利用代数解析法作图(图17) 图17 (1)作AH(h)⊥BC(a)； (2)求h＋a，a，h的比例第四项x； (3)在AH上取KH=x； (4)过K作GF∥BC，交两边于G，F，从G，F各作BC的垂线GD，FE，那么DEFG就是所 求的内接正方形． 初中数学试卷 灿若寒星制作

中考专题复习_相似三角形专题

谢湘君中考专题复习?相似三角形专题 相似三角形性质定理： (1) 相似三角形的对应角相等。' (2) 相似三角形的对应边成比例 (3) 相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4) 相似三角形的周长比等于相似比。 ⑸相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ⑹相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方 ⑺若a/b =b/c，即b2=ac, b叫做a,c的比例中项 (8)c/d=a/b 等同于ad=bc. (9)不必是在同一平面内的三角形里 ①相似三角形对应角相等，对应边成比例. ②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比③相似三角形周长的比等于相似比定理推论: 推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相 似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相 似。

、基础题。 BE 1、如图1,平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果竺 BC 图1 2、如图2,点Ai, A2，A3，A在射线OA上，点Bi, B2, B3在射线OB上，且AiBi A2B1 // A3B2 // A4B3 .若△A2B1B2 , △A3B2B3的面积分别为1 , 4,则图中三个阴 影三角形面积之和 由平行可得△圧耳耳,相似△毘艮亦根据相似三角形的ffi积之比等于相似比的平方，得輕亠亞二鱼字二1根据平行鮭间的距冉相等，得学空二弊=2,则同理 Sy“= '0'5*故三个阴影三角形面积之和= 8^2^0.5=10.5 y轴上点A（0, 1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（ 6, 2），则光线从A点到B点 .（精确到0.01） 过E?作BE 丄兀花， ..^ACO=zDCO .■.A ACO￡?A CCO ■OD=CA=1, 在直角iBE中.3E=e.. DE=2-H^3, .工吕=」旺2-文"」总2亠坐={45*71 「?旳线从A到B轻过圧路銭的検芟的圣氐7h -，那么西 3 FD // A2B2 // A3B3 , 述占-RrR; 3、如图，一束光线从 经过的路线的长度为

九年级数学上册《相似三角形的应用》学案分析

九年级数学上册《相似三角形的应用》 学案分析 【教材分析】 （一）教材的地位和作用 《相似三角形的应用》选自人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书中数学九年级上册第二十七章。相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一种变换，生活中存在大量相似的图形，让学生充分感受到数学与现实世界的联系。相似三角形的知识是在全等三角形知识的基础上的拓展和延伸，相似三角形承接全等三角形，从特殊的相等到一般的成比例予以深化。在这之前学生已经学习了相似三角形的定义、判定，这为本节课问题的探究提供了理论的依据。本节内容是相似三角形的有关知识在生产实践中的广泛应用，通过本节课的学习，一方面培养学生解决实际问题的能力，另一方面增强学生对数学知识的不断追求。 （二）教学目标 、。知识与能力： ） 进一步巩固相似三角形的知识． 2）能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题）

等的一些实际问题． 2．过程与方法： 经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。 3．情感、态度与价值观： ）通过利用相似形知识解决生活实际问题，使学生体验数学于生活，服务于生活。 2）通过对问题的探究，培养学生认真踏实的学习态度和科学严谨的学习方法，通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。 （三）教学重点、难点和关键 重点：利用相似三角形的知识解决实际问题。 难点：运用相似三角形的判定定理构造相似三角形解决实际问题。 关键：将实际问题转化为数学模型，利用所学的知识来进行解答。 【教法与学法】 （一）教法分析 为了突出教学重点，突破教学难点，按照学生的认知规律和心理特征，在教学过程中，我采用了以下的教学方法：．采用情境教学法。整节课围绕测量物体高度这个问题展开，按照从易到难层层推进。在数学教学中，注重创设相

中考复习之相似三角形(二)

年中考复习之相似三角形（二） 知识考点： 本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用 精典例题： 【例1】如图，在△ABC 中，AB ＝14cm ，9 5 =BD AD ， DE ∥BC ，CD ⊥AB ，CD ＝12cm ，求△ADE 的面积和周长。 分析：由AB ＝14cm ，CD ＝12cm 得ABC S ?＝84，再由DE ∥BC 可得△ABC ∽△ADE ， 有2 ?? ? ??=??AB AD S S ABC ADE 可求得ADE S ?，利用勾股定理求出BC 、AC ，再用相似三角形的性质可得△ADE 的周长。 答案：△ADE 的面积为 7 75cm 2 ，周长为15 cm 。 【例2】如图，正方形DEMF 内接于△ABC ，若1=?ADE S ，4=DEFM S 正方形，求ABC S ? 分析：首先利用正方形的面积求出其边长，过A 点作AQ ⊥BC 于Q ，交DE 于P ，利用ADE S ?可得AP 及AQ 的长，再由△ADE ∽△ABC 求出BC ，从而求得ABC S ?。 解：∵正方形的面积为4，∴DE ＝MF ＝2。过A 点作AQ ⊥BC 于Q ，交DE 于P ∵1=?ADE S ，∴AP ＝1 ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴ BC DE AQ AP =，即BC 2 31= ∴BC ＝6，故ABC S ?＝9 变式1：如图，已知菱形AMNP 内接于△ABC ，M 、N 、P 分别在AB 、BC 、AC 上， 如果AB ＝21 cm ，CA ＝15 cm ，求菱形AMNP 的周长。 例1图 E D C B A 例2图 Q P M F E D C B A 变式1图 P N M C B A

中考相似三角形专题复习

中考相似三角形专题复习 1、比例 对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相 等，如a c b d = (即ab ＝bc )，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 1.若a c b d =, 则a c b d =； 2．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ） A ．2，5，10，25 B ．4，7，4，7 C ．2，0.5，0.5，4 D ．a c b d =，a c b d =，a c b d =，a c b d = 3．若a c b d =∶3 =a c b d =∶4 =a c b d =∶5 , 且a c b d =, 则a c b d =； 4．：若a c b d =, 则a c b d = 5、已知 ，求代数式 的值． 2、平行线分线段成比例、 定理： 推论： 练习1、如下图，EF ∥BC ，若AE ∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM ∶AN=____,B N ∶NC=_____ 2、已知：如图，ABCD ，E 为BC 的中点，BF ︰FA ＝1︰2，EF 与对角线BD 相交于G ， 求BG ︰BD 。 3、如图，在ΔABC 中，EF//DC ，DE//BC ，求证： （1）AF ︰FD ＝AD ︰DB ； （2）AD 2 ＝AF ·AB 。 3 、相似三角形的判定方法

判定0.平行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交，所截得的三角形与 判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________． 判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________． 判定4.斜边和 对应成比例的两个直角三角形相似 常见的相似形式： 1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则______________． 2.子母三角形（1） 射影定理：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形） (2)∠ABD=∠c ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2 =__ ____． E A D C B E A D C B A D C B 练习 1、如图，已知∠ADE=∠B ，则△AED ∽__________ 2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于D ，则△ADE ∽_________ 3、如图；在∠C=∠B ，则_________ ∽_________,__________ ∽_________ 4.如图，具备下列哪个条件可以使⊿ACD ∽⊿BCA （ ） A a c b d = B a c b d = C a c b d = D a c b d = 5.下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ ） 6、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值（ ） A. 只有1个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个 4 、相似三角形的性质与应用 1. 相似三角形的对应边_________，对应角________． 2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示． 3. 相似三角形的对应边上的_______?线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________． O A C B A C B A B E C D E E D D A B C D

相似三角形应用题

经开学习中心学科教师辅导讲义

考点二：利用相似测量几何物体 1、如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm ，到屏幕的距离为60cm ，且幻灯片中的图形的高度为6cm ，则屏幕上图形的高度为 cm ． 2、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h 为 ． 3．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？ 4.在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由． 5.如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高． 6.如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．