ex6-1

习 题 6.1

⒈ 求下列不定积分：

⑴ ()x x x dx 3225+-?; ⑵ (sin e )x dx x +?3;

⑶ ()x a dx a x +?;

⑷ ?+dx x )cot 2(2

;

⑸ ?-dx x x x )tan sec csc 2(2

;

⑹ ()x dx 232-?;

⑺ ()x x

dx +?1

2;

⑻ ????? ??+???? ??++dx x

x x 111132; ⑼ ???? ?

?

+dx x x 2

312;

⑽ 23523?-??

x x

x

dx ; ⑾ cos cos sin 2x

x x

dx -?

; ⑿ ????

?

??--+dx x x 221312; ⒀ ()12-?x x x dx ;

⒁ cos cos sin 222x

x x

dx ?

.

解（1

）3

3

2

3

2

4321210(225433

x x dx x dx x dx x x x C +-=+-=+-+???。

（2）(sin e )x dx x +?3=sin 3cos 3x x xdx e dx x e C +=-++??。

（3）()x a dx a x +?=1

1(1)1ln x

a

x

a a x dx a dx x C a a a

++=

++≠+??。 （4）?+dx x )cot 2(2=2(1csc )cot x dx x x C +=-+?。

（5）?-dx x x x )tan sec csc 2(2=22csc sec tan 2cot sec xdx x xdx x x C -=--+??。 （6）()x dx 232-?=6427531

6(6128)487

5

x x x dx x x x x C -+-=-+-+?。 （7）()x x

dx +?1

2=232111(2)23x dx x x C x x

++=+-+?。 （8）????? ?

?+???? ??

++dx x x x 11113

2

=(22dx x C +=?。

（9）???? ?

?+dx x x

2

312=???? ??+?+dx x x x 91)32(24

12211

4()ln 4ln 2ln 33ln 99x x x

C =

+-+-。 （10）23523?-??x x x dx =25225()2()3ln 2ln 33x x

dx dx x C -=-?+-??。 （11）cos cos sin 2x

x x

dx -?

=(cos sin )sin cos x x dx x x C +=-+?。 （12）????

? ?

?--+dx x x 22

13

12

=2232arctan 3arcsin 1dx x x C x -=-++?。 （13）()12

-?x x x dx =3

11715

4

4

4

444()715x x dx x x C -=-+?。

（14）cos cos sin 222x x x

dx ?=?-dx x x x x 2222sin cos sin cos =??-xdx xdx 2

2sec csc cot tan 2csc 2x x C x C =--+=-+。

⒉ 曲线y f x =()经过点(e,)-1，且在任一点处的切线斜率为该点横坐

标的倒数，求该曲线的方程。

解 由题意，曲线y f x =()在点),(y x 处的切线斜率为

x

dx dy 1

=，于是 ln dx

y x C x

==+?

，将点(e,)-1代入，得 2C =-，所以曲线的方程为 2ln -=x y 。

3．已知曲线y f x =()在任意一点))(,(x f x 处的切线斜率都比该点横坐标

的立方根少1，

（1） 求出该曲线方程的所有可能形式，并在直角坐标系中画出示意

图；

（2） 若已知该曲线经过(,)11

点，求该曲线的方程。 解（1）由题意可得 13-=x dx dy ，所以

4331)4

y dx x x C ==-+?，这

就是所求曲线方程的所有可能形式。

（2）将点(,)11代入上述方程，可得5

4

C =，所以过点(,)11的曲线方

程为4

54334

+-=x x y 。