高考常用数列不等式的证明方法

高考常用数列不等式的证明方法

知识点

一、放缩为等比数列 1．证明：

2311111 (313131312)

n ++++<++++ 二、裂项放缩

（一）<

=<= （二）2211111114

2

2

n b n

n n n =<

=

-

-

-+ （)121121(21

44441+--=-<==

n n n n n b n ）

2．求证：2221115

1 (233)

n +

+++<

3.

求证：21<++<

4．求证：)

12(2167)12(151311222-->-++++n n （2≥n ）；

5．求证：n

n 412141361161412-<++++ ；

三、构造函数放缩

5.ln(x +1)≤x 证明：设*

2N n n ∈≥时，，求证：

1!

ln !33ln !22ln <++n n

7．求证：6

6

5333ln 44ln 33ln 22ln +-

<++++n n n n （*∈N n ）．．

8．证明：4

)

1(1ln 54ln 43ln 32ln -<+++++n n n n （*∈N n ，1>n ）．

9．（2012广东）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n =a n+1+1-2n+1，n ∈N ﹡,且a 1，a 2+5，a 3成等差数列。

（1）求a 1的值；（2）求数列{a n }的通项公式。 （3）证明：对一切正整数n ，有

12311113 (2)

n a a a a ++++<.

10．数列{}n a 中, 已知112(1)2

,().52n n n n a a a n N a n

*++=

=∈+ （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设11

(1)2

n n n n a a b n n ++?=+,求数列{}n b 的前n 项和n T ，求证:101

11．(2011年全国)设数列{}n a 满足10a =且111

1.11n n

a a +-=--

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设1

, 1.n

n n k n k b b S ===<∑记S 证明：

12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)

4,2,(2,)2

n n n n a S na n n N *-==+-≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列{}n b 满足：14b =，且21(1)2,()n n n b b n b n N *+=---∈

求证：,(2,)n n b a n n N *>≥∈； （3

）求证：233445

1

1111

(1)(1)(1)(1)n n b b b b b b b b ++

+++

<

13．已知数列{}n a 的首项135a =

，1321

n

n n a a a +=+，12n =，

，． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n

a x x x ??

-- ?++??

≥

，12n =，，； （Ⅲ）证明：2

121

n n a a a n +++>+．

14．已知11a =，点1(,)n n a a +在函数2()42f x x x =++的图象上，其中1,2,3,4,n =???

（1）证明：数列{lg(2)}n a +是等比数列；

（2）设数列{2}n a +的前n 项积为n T ，求n T 及数列{}n a 的通项公式； （3）已知n b 是

11n a +与1

3

n a +的等差中项，数列{}n b 的前n 项和为n S ， 求证：

3182

n S ≤≤．

15．已知函数)(:,6

1)(),ln()(3

x f y x y l b x x g a x x f ==+=+=与直线相切， （1）求a 的值

（2）若方程),0()()(+∞=在x g x f 上有且仅有两个解21,x x 求b 的取值范围，

并比较21211x x x x ++与的大小。 （3）设*

2N n n ∈≥时，，求证：

1!

ln !33ln !22ln <++n n

高考常用数列不等式的证明方法

4．【解析】∵

)1

21

121(21)12)(12(1)12(12+--=+->-n n n n n ，

∴

)1

2131(211)12131(211)

12(1

1

2

--+>+-+>-∑=n n i n

i ；

5．

)1

11(41)1211(414136116141222n n n -+<+++=++++ ； 6．证明：求导数可证ln(x +1) ≤x

1ln 2*-<∈≥n n N n n 时，，故，

!

1)!1(1!1!ln n n n n n n --=-<∴

1!

1

1)!1)!1(1()!31!21()!211(!ln !33ln !22ln <-=--++-+-<++∴

n n n n n 7．【解析】 先构造函数由x

x x x x 1

1ln 1ln -≤?-≤， 从而)3

1

3121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++ ；

∵

)3

112121()918171615141()3121(313121n n n n +++++++++++++=+++ 6

5)33323()279189()9363(65111n

n

n n n =+?++++++>--- ， ∴665365133

3ln 44ln 33ln 22ln +-

=--<++++n n n n n n ． 8．【解析】构造函数1)1()1ln()(+---=x x x f （1>x ），

求导可以得到：1

2111)('--=--=

x x

x x f ， 令0)('>x f ，有21<x ， ∴0)2()(=≤f x f ，

∴2)1ln(-≤-x x ，令12+=n x 有，1ln 22-≤n n ，

∴2

1

1ln -≤+n n n ， ∴

4

)

1(1ln 54ln 43ln 32ln -<+++++n n n n （*∈N n ，1>n ）． 9．解：（1）解得11a =，

（2）32n n n a =-

（3）∵1111132332233233n n n n n n n ------=?-?≥?-?=

∴ 1113n n a -≤ ∴21123111311111113...1 (1333213)

n n n a a a a -??

???- ?

? ?????+++≤++++=<-

10．解: （1）112(1)21

22(1)n n n n n n

n a a n a a n a n a ++++=

?=

++ 11121111112(2),222n n n n n n n

a n n n n n n

a a a a a a +++++++?

=?=?+?-=- 111

111111222(2)()2222212n n

n n n n n n n n n n n a a a a +-++?∴-=-=?=+=∴=+ （2）由111212

2111()(1)2(12)(12)21212

n n n n n n n n n a a b n n ++++++===-+++++ 知2111()2512n n T +=-+，所以10

1

1.n a n

=-

（II

）1

1

1 1.n n

n k k k S b ===

==<∑∑

12．解：（1）当3n ≥时，(1)

22

n n n n S na -=+-

， 11(1)(2)(1)22n n n n S n a ----=-+-

，可得：11

(1)22

n n n n a na n a --=---?，

11(3,)n n a a n n -∴-=≥∈N *．

122221,a a a +=+-2 3.a ∴=可得，4,(1)

1.(2,)

n n a n n n =?=?+≥∈?N *

（2）1?当n 2=时，22122143b b a =-=>=，不等式成立．

2?假设当(2,)n k k k =≥∈N *时，不等式成立，即 1.k b k >+那么，

当1n k =+时，21(1)2(1)2222(1)222,k k k k k k b b k b b b k b k k k +=---=-+->->+-=≥+ 所以当1n k =+时，不等式也成立.

根据（1?），（2?）可知，当2,n n ≥∈N *时，.n n b a >

（3）设1()1(1),()10,11x

f x n x x f x x x

-'=+-=-=<++ ()f x ∴在(0,)+∞上单调递减，()(0),1(1).f x f n x x ∴<∴+<

∵当2,n n ≥∈N *时，111

,1

n n b a n <

=+

1111111

ln(1)(1)(2)12n n n n b b b b n n n n ++∴+<<=-++++，

2334111

1ln(1)1(1)ln(1)n n n b b b b b b +∴++++++

11

11111

34

12323

n n n <-++

-=-<+++

13．（Ⅰ）332n n n a ∴=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3032

n

n n

a =>+，……………………5分 21121(1)3n x x x ??

-- ?++??2112111(1)3n x x x ??=-+-- ?++??2

111(1)1(1)n x x x a ??

=--+??++??

2112(1)1n a x x =-?+++ 2

111n n n a a a x ??

=--+ ?+??

n a ≤， ∴原不等式成立．………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的0x >，有

12222

21121121121(1)31(1)31(1)3n n

a a a x x x x x x x x x ????

??

+++--+--++

-- ?

? ?++++++????

??

≥

22122

21(1)333n n nx x x ??=

-+++

- ?++??

． ……………………10分 2334

111

1(1)(1)(1)n n b b b b b b +∴+

++

<

∴取2

2111222113311333313n n n x n n n ??- ???????=

+++==- ? ???????

- ???

，…………12分

则22

121111

11133n n

n n n n a a a n n n ++

+=>

+??+-+- ???

≥． ∴原不等式成立． (14)

14．解：（1）证明：由已知2

142n n n a a a +=++，∴212(2)n n a a ++=+ 2分

∵1121n a a =?+>，两边取对数，得1lg(2)2lg(2)n n a a ++=+ 1分 ∴{lg(2)}n a +是等比数列，公比为2，首项为1lg(2)lg3a += 1分 （2）由（1）得1

12lg(2)2lg3lg3n n n a --+==，∴1

2

32n n a -=- 2分

∵1212lg lg[(2)(2)(2)]lg(2)lg(2)lg(2)n n n T a a a a a a =++???+=++++???++

21(21)lg3

lg321

n n --==- ∴213n n T -=

（3）∵1

111222222111111311

()()21323131313131

n n n n n n

n n n b a a ----=+=+==-++-+--- 111

11

n n a a +=

-

++

3分

（另法：1111111()()2131213

n n n n n n b a a a a a =

+=--+++++ 21111111

1(1)(3)14311

n n n n n n n n a a a a a a a a +=

-=-=-

++++++++） ∴1212231111111(

)()()111111

n n n n S b b b a a a a a a +=++???+=-+-+???+-++++++

2111111

11231

n

n a a +=

-=-++- 1分

显然0n b >，∴138n S S ≥=

，又2111

22

31n n S =-<-，∴3182n S ≤<

15．（1）设切点),(00y x ，则00x y =，a x x f +=

1)(0'

，11)(00'

=+==a

x x f k 0)ln(,1000=+==+∴a x y a x 且 ，1,00==∴a x ……………………3分 （2）由b x a x +=

+361)ln(，得0)1ln(6

1

3=++-b x x 令=)(x h b x x ++-)1ln(613，)

2(2)22)(1()1(22112)(2232'

+++-=

+-+=+-=x x x x x x x x x x h 在（0，1）上，0)('

x h ，故)(x h 在（1，∞+）单调增

若使)(x h 图像),0(+∞在内与x 轴有两个不同的交点，则需??

?

??

<-+=>=02ln 61

)1(0)0(b h b h ，此时02ln 22

9)3(>+-=b h 所求b 的范围是2ln 6

1

0+-<

由上知，方程),0()()(+∞=在x g x f 上有且仅有两个解x x x ,1，满足1,1021><

0)1)(1()(1212121<--=+-+x x x x x x ，∴)(12121x x x x +<+

（3）求导数可证f (x )≤x ，即ln(x +1) ≤x …………………………… 10分

1ln 2*-<∈≥n n N n n 时，，故，

!

1

)!1(1!1!ln n n n n n n --=-<∴

…………………… 12分 1!

11)!1)!1(1()!31!21()!211(!ln !33ln !22ln <-=--++-+-<++∴

n n n n n

2ln 6

1

0+-<<∴b

构造法证明不等式

1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点．

2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．

一、移项法构造函数

【例1】已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(1

1

1． 【分析】 本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数11

1

)1ln()(-++

+=x x x g ，从其导数入手即可证明． 【解析】由题意得：1

111)(+-=-+=

'x x x x f ，∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0 , 1(-∈x 上为增函数；当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在) , 0(∞+∈x 上为减函数；故函数()

f x 的单调递增区间为)0 , 1(-，单调递减区间) , 0(∞+；于是函数()f x 在) , 1(∞+-上的最大值为

0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ，∴x

x ≤+)1ln(（右面得证）．

现证左面，令11

1

)1ln()(-++

+=x x x g ，22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则，当)0 , 1(-∈x 时，0)('x g ，即)(x g 在)0 , 1(-∈x 上为减函数，在) , 0(∞+∈x 上为增函数，故函数)(x g 在) , 1(∞+-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1->x 时，

0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x ，∴1

11)1ln(+-≥+x x ．综上可知：当1->x 时，有x x x ≤+≤-+)1ln(11

1

． 【点评】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证．

2、作差法构造函数证明

【例2】已知函数x x x f ln 2

1)(2

+=，求证：在区间), 1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x

x g =的图象的下方．

【分析】函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方?不等式)()(x g x f <在), 1(∞+上恒成立问题，即

3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有323

2

ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F -=，) , 1(∞+∈x ，考虑到06

1

)1(>=F ，要证不等式转化变为：当1>x 时，

)1()(F x F >，这只要证明：)(x g 在区间), 1(∞+是增函数即可．

【解析】设)()()(x f x g x F -=，即x x x x F ln 2

132)(2

3--=

，则x x x x x x x x F )12)(1(12)('22

++-=--=；当1>x 时，0)12)(1()('2>++-=x x x x x F ，

从而)(x F 在),1(∞+上为增函数，∴06

1

)1()(>=

>F x F ，∴当1>x 时，0)()(>-x f x g ，即)()(x g x f <，故在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数3

3

2)(x x g =的图象的下方．

【点评】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式．读者也可以设)()()(x g x f x F -=做一做，深刻体会其中的思想方法．

3、换元法构造函数证明

【例3】（2007年山东卷）证明：对任意的正整数n ，不等式321

1)11ln(

n n n ->+都成立． 【分析】本题是山东卷的第（2）问，从所证结构出发，只需令x n

=1

，则问题转化为：当0>x 时，

恒有32)1ln(x x x ->+成立，现构造函数)1ln()(23++-=x x x x h ，求导即可达到证明．

【解析】 令)1ln()(2

3

++-=x x x x h ，则1

)1(31123)(2

32

+-+=

++-='x x x x x x x h 在) , 0(∞+∈x 上恒正，∴函数)(x h 在) , 0(∞+上单调递增，∴) , 0(∞+∈x 时，恒有

0)0()(=>h x h ，即0)1ln(23>++-x x x ，∴32)1ln(x x x ->+，对任意正整数n ，

取) , 0(1∞+∈=

n x ，则有3211)11ln(n

n n ->+． 【点评】我们知道，当()F x 在] , [b a 上单调递增，则x a >时，有()F x ()F a >．如果()f a ＝()a ?，要证明当x a >时，()f x >()x ?，那么，只要令()F x ＝()f x －()x ?，就可以利用()F x 的单调增性来推导．也就是说，在()F x 可导的前提下，只要证明'()F x >0即可．

4、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数)(x f y =在R 上可导，且满足不等式)()('x f x xf ->恒成立，常数a 、b 满足b a >，

求证：)()(b bf a af >．

【解析】由已知：0)()('>+x f x xf ，∴构造函数)()(x xf x F =，则0)()(')('>+=x f x xf x F ，

从而)(x F 在R 上为增函数，∵b a >，∴)()(b F a F >，即)()(b bf a af >．

【点评】由条件移项后)()(x f x f x +'，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数)()(x xf x F =，求导即可完成证明．若题目中的条件改为)()(x f x f x >'，则移项后)()(x f x f x -'，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结．

5、主元法构造函数

【例5】已知函数x x x f -+=)1ln(

)(，x x x g ln )(=． （1）求函数)(x f 的最大值；

（2）设b a <<0，证明：2ln )()2

(

2)()(0a b b

a g

b g a g -<+-+<． 【分析】 对于第（2）小问，绝大部分的学生都会望而生畏．学生的盲点也主要就在对所给函数用不上．如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的．

【解析】（1）过程略；

（2）对x x x g ln )(=求导，则1ln )('+=x x g ．在)2

(2)()(b

a g

b g a g +-+中以b 为主变元构造函数，设)2(

2)()()(x

a g x g a g x F +-+=，则2

ln ln )]'2([2)(')('x a x x a g x g x F +-=+-=．当a x <<0时，0)('时，0)('>x F ，因此)

(x F 在) , (∞+a 上为增函数．从而当a x =时，)(x F 有极小值)(a F ，∵0)(=a F ，a b >，∴

0)(>b F ，即0)2

(

2)()(>+-+b

a g

b g a g ．又设2ln )()()(a x x F x G --=，则)ln(ln 2ln 2

ln

ln )('x a x x

a x x G +-=-+-=；当0>x 时，0)('

, 0(∞+上为减函数，∵0)(=a G ，a b >，∴0)(

(

2)()(a b b

a g

b g a g -<+-+． 6、构造二阶导函数证明函数的单调性（二次求导）

【例6】已知函数2

1()2

x

f x ae x =-

． （1）若)(x f 在R 上为增函数，求a 的取值范围； （2）若1=a ，求证：当0>x 时，x x f +>1)(．

【解析】（1）x ae x f x -=)('，∵)(x f 在R 上为增函数，∴0)('≥x f 对R x ∈恒成立，

即x xe a -≥对R x ∈恒成立；记x xe x g -=)(，则x x x e x xe e x g ----=-=)1()('； 当1>x 时，0)('x g ． 知)(x g 在)1 , (-∞上为增函数，在) , 1(∞+上为减函数， ∴)(x g 在1=x 时，取得最大值，即e g x g 1)1()(max ==，∴e

a 1

≥，即a 的取值范围是) , 1[∞+e ．

（2）记12

1)1()()(2

---

=+-=x x e x x f x F x

（0>x ），则1)('--=x e x F x ， 令1)(')(--==x e x F x h x ，则1)('-=x e x h ；当0>x 时，0)('>x h ， ∴)(x h 在) , 0(∞+上为增函数，又)(x h 在0=x 处连续，

∴0)0()(=>h x h ，即0)('>x F ，

∴)(x F 在) , 0(∞+上为增函数，又)(x F 在0=x 处连续， ∴0)0()(=>F x F ，即x x f +>1)(．

【点评】当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为)(x f m >（或)(x f m <）恒成立，于是m 大于)(x f 的最大值（或m 小于

)(x f 的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最

值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法．

7、对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）

【例7】证明：当0>x 时，2

11

1)

1(x x

e x +

+<+．

【解析】 对不等式两边取对数得2

1)1ln()11(x

x x

+

<++，化简为22)1ln()1(2x x x x +<++， 设辅助函数)1ln()1(22)(2x x x x x f ++-+=（0≥x ）

，)1l n (22)('x x x f +-=， 又012)(''>+=

x

x

x f （0>x ），易知)('x f 在) , 0(∞+上严格单调增加，从而0)0(')('=>f x f （0>x ），又由)(x f 在) , 0[∞+上连续，且0)('>x f ，得)(x f 在) , 0[∞+上严格单调增加， ∴0)0()(=>f x f （0>x ），即0)1ln()1(222>++-+x x x x ，)1ln()1(222x x x x ++>+， 故211

1)1(x

x e x ++<+（0>x ）．

1、（2007年，安徽卷）设0≥a ，x a x x x f ln 2ln 1)(2+--=． 求证：当1>x 时，恒有1ln 2ln 2+->x a x x ．

2、（2007年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函数ax x x f 22

1)(2

+=

，b x a x g +=ln 3)(2，其中0>a ，且a a a b ln 32

522

-=

，求证：)()(x g x f ≥． 3、已知函数x x x x f +-+=1)1ln()(，求证：对任意的正数a 、b ，恒有a b

b a -≥-1ln ln ．

4、（2007年，陕西卷）)(x f 是定义在) , 0(∞+上的非负可导函数，且满足0)()('≤-x f x xf ，对任意正数a 、b ，若b a <，则必有（ ）

A ．)()(a bf b af ≤

B ．)()(b af a bf ≤

C ．)()(b f a af ≤

D ．)()(a f b bf ≤

【参考答案】

1、【解析】x a x x x f 2ln 21)(+-

='，当1>x ，0≥a 时，不难证明1ln 2

x

，∴0)(>'x f ，即)(x f 在),0(+∞内单调递增，故当1>x 时，0)1()(=>f x f ，∴当1>x 时，恒有1ln 2ln 2+->x a x x ． 2、【解析】设b x a ax x x f x g x F --+=

-=ln 322

1)()()(22

，则x

a x a x x a a x x F )

3)((32)('2+-=

-+=（0>x ），∵0>a ，∴当a x =时，0)('=x F ， 故)(x F 在) , 0(a 上为减函数，在) , (∞+a 上为增函数，于是函数)(x F 在) , 0(∞+上的最小值是

0)()()(=-=a g a f a F ，故当0>x 时，有0)()(≥-x g x f ，即)()(x g x f ≥．

3、【解析】函数)(x f 的定义域为) , 1(∞+-，2

2)1()1(111)('x x

x x x f +=+-+=

，∴当01<<-x 时，0)('x 时，0)('>x f ，即)(x f 在) , 0(∞+∈x 上为增函数；因此在0=x 时，)(x f 取得极小值0)0(=f ，而且是最小值，于是0)0()(=≥f x f ，从而x x x +≥

+1)1ln(，即x x +-≥+111)1ln(，令01>=+b a x ，则a

b

x -=+-

1111，于是a b b a -≥1ln ，因此a

b b a -≥-1ln ln ． 4、【解析】

x x f x F )()(=

，0

)

()(')('2≤-=x x f x xf x F ，故

x x f x F )()(=在) , 0(∞+上是减函数，由b a <有b b f a

a f )()(≥

?)()(a bf b af ≤，故选A ．

高中不等式的证明方法

不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+

利用放缩法证明数列型不等式压轴题

利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体： 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的

不等式典型例题之基本不等式的证明

5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新????

浅谈中学几种常用证明不等式的方法

成绩： 江西科技师范大学 毕业论文 题目：浅谈中学几种常用证明不等式的方法 （外文）：On the method commonly used in Middle School to prove inequality 院（系）：数学与计算机科学学院 专业：数学与应用数学 学生姓名：吴丹 学号：20091741 指导教师：樊陈 2013年3月20日

目录 1引言 (1) 2放缩法证明不等式 (1) 2.1放缩法 (1) 2.2（改变分子分母）放缩法 (1) 2.3拆补放缩法 (2) 2.4编组放缩法 (3) 2.5寻找“中介量”放缩法 (4) 3反正法证明不等式 (4) 3.1反证法定义 (4) 3.2反证法步骤 (5) 4．换元法证明不等式 (6) 4.1利用对称性换元，化繁为简 (6) 4.2三角换元法 (7) 4.3和差换元法 (8) 4.4分式换元法 (8) 5．综合法证明不等式 (9) 5.1综合法证明不等式的依据 (9) 5.2用综合法证明不等式的应用 (9) 5.3综合法与比较法的内在联系 (10) 6.分析法 (11) 6.1分析法的定义 (11) 6.2分析法证明不等式的方法与步骤 (11) 6.3分析法证明不等式的应用 (11) 7．构造法证明不等式 (13) 7.1构造函数模型 (13) 7.2构造数列模型 (14) 8．数学归纳法证明不等式 (15) 8.1分析综合法 (16) 8.2放缩法 (16) 8.3递推法 (17) 9.判别式法证明不等式 (17) 10.导数法证明不等式 (18) 10.1利用函数的单调性证明不等式 (18) 9.2利用极值（或最值） (20) 11比较法证明不等式 (20) 11.1差值比较法 (20) 11.2商值比较法 (21) 11.3比较法的应用范围 (22) 12结束语： (22) 参考文献 (22)

证明不等式的种方法

证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1．排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证： ()22229 1. a b c abc +++≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈，试证：2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 323235 x y +≤++.. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6．抽屉原理

在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x ->+7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证：9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证： 4 ≤. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中，首项132 a = ，且对任意*1,n n N >∈，均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+<

数列不等式的证明方法

数列型不等式的证明 数列型不等式问题在近年逐渐成为高考热点，数列型不等式问题常被设置为高考压轴题，能力要求较高。因其仍然是不等式问题，可用处理不等式的方法：基本不等式法；比较法；放缩法，函数单调性法等都是常用的方法；但数列型不等式与自然数有关，因而还有一种行之有效的方法：数学归纳法。 1、重要不等式法 若数列不等式形如下式，可用均值不等式法求证。 （1）),(222R b a ab b a ∈≥+; （2） ),(2 +∈≥+R b a ab b a （3） ),,,(2121321+∈???????????≥+??????+++R x x x x x x n n x x x x n n n n 2、比较法 比较法是证明不等式的基本方法，可以作差比较也可以作商比较，是一种易于掌握的方法。 3、放缩法 常用的放缩结论： ①、 ,111)1(11)1(11112k k k k k k k k k --=-<<+=+-其中（2≥k ） ②、 ;)12)(12(1)12(12+->-n n n ;)12)(32(1)12(12--<-n n n ) 22(21 )12(12+<+n n n ③、 1 211 2-+< < ++k k k k k 用放缩法解题的途径一般有两条，一是先求和再放缩，二是先放缩再求和。 （1）、先求和再放缩 一般先分析数列的通项公式，如果此数列的前n 项和能直接求和或通过变形后可以求和，则采用先求和再放缩的方法证明不等式。数列求和的方法较多，我们在数列求和的专题中有具体的讲解，主要用的有公式法、裂项法、倒序相加法、分组求和法等方法。 例1、已知函数)(x f 对任意实数q p ,都满足)()()(q f p f q p f ?=+，且3 1 )1(=f ， （1）当+∈N n 时，求)(n f 的表达式；（2）设))((+∈=N n n nf a n ，n T 是其前n 项和，试证明4 3

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所 有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

证明不等式的几种常用方法

证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以

不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．

数列型不等式的证明.docx

数列型不等式证明的常用方法 一． 放缩法 数列型不等式证明是前见年高考中的一个热点，在多 省试题中常常作为压轴题出现。放缩法是数列不等式证明的 一个重要方法，它具有很强的技巧性的特点，学生往往无从 下手，下面总结放缩法证明的一些常用技巧， 例如 归一技巧、 抓大放小技巧、回头追溯技巧、利用函数性质技巧 ，仅供参 考 . 1 归一技巧 归一技巧，指的是将不容易求和的和式中的所有项或 若干项全部转化为 同一项 ，或是将和式的通项中的一部分转 化为 同一个式子 （或数值），既达到放缩的目的，使新的和 式容易求和 . 归一技巧有 整体归一、分段归一。 例如 1 1 1 1 设 n 是正整数，求证 n 1 n 2 1． 2 2n 1 1 1 【证明】 n 1 n 2 L 2n 1 1 1 1 1 . 2n 2n 2n 2n 2 14444244443 个 1 n 2n 1 1 L 1 另外： n 1 n 2 2n 1 1 1 1 n n n n 1 . 144424443 n 个 1 n 1 1 【说明】在这个证明中，第一次我们把 n 1 、 n 2 、

1 1 L 2n 这些含 n 的式子都 “归一” 为 2n ，此时式子同时变小， 1 1 L 1 1 顺利把不易求和的 n 1 n 2 2n 变成了 n 个 2n 的 和，既将式子缩小，同时也使缩小后的式子非常容易求和， 这就是 “归一” 所达到的效果。 而不等式右边的证明也类似 . 1.1 整体归一 放缩法中，如果通过将所有项转化为同一项而达到放缩目的的，称之为“整体归一” . 例 1. 数列 a n 的各项均为正数， S n 为其前 n 项和，对于任 意 n N * ，总有 a n , S n ,a n 2 成等差数列 . ( Ⅰ ) 求数列 a n 的通项公式； ( Ⅱ ) 设数列 b n 的前 n 项和为 T n ，且 b n ln n x ，求证:对 2 a n 任意实数 x 1, e （ e 是常数， e ＝ ）和任意正整数 n ， 总有 T n 2 ； （Ⅰ）解：由已知：对于 n N * ，总有 2S n a n a n 2 ①成立 ∴ 2S n 1 a n 1 a n 1 2 （n ≥ 2 ）② ① -- ②得 2a n a n a n 2 a n 1 a n 1 2 ∴ a n a n 1 a n a n 1 a n a n 1 ∵ a n , a n 1 均为正数， ∴ a n a n 1 1 （n ≥ 2） ∴数列 a n 是公差为 1 的等差数列

高等数学中不等式的证明方法

高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.wendangku.net/doc/c65634064.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.wendangku.net/doc/c65634064.html,) 原文地址： https://www.wendangku.net/doc/c65634064.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公

浅谈不等式的证明

浅谈不等式的证明 不等式问题是高中数学的重要内容之一，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目占有一定的比例，命题主要涉及解不等式、不等式的证明、不等式的应用这三方面，现将不等式的证明进行研究。 证明不等式有利于提高学生的分析与综合能力，证明不等式没有固定的程序，一个不等式的证法往往不止一种，证明过程往往是几种方法的综合运用，但无论是哪种方法，都离不开不等式的基本性质，另外在教材中提到了平均值不等式、排序不等式、三角不等式，如果能熟记并能运用的话，在证明不等式的过程中会有很大的帮助。下面将详细列举证明不等式的方法。 一、比较法 比较法是证明不等式的一种最基本也是最重要的方法，主要有作差比较和作商比较两种形式。 （1）作差比较法的步骤一般为：①作差式②差式变形③判断差式的正负④下结论；在这些步骤中，最难的就是差式变形，常用到的有配方法、通分法、因式分解法等等。 （2）作商比较法的步骤为：①作商式②商式变形③判断商式的值是大于1、小于1还是等于1④下结论。 （3）当不等式两边为多项式、分式或对数形式时，往往选择作差法；当不等式两边为指数时，常采用作商法。下面将列举例子进行

分析，以进一步加深对比较法的认识。 例1 若40πβα< <<，则ββααcos sin cos sin +<+ 证明 β βααβαβαβαβαβαβαπβαβαππβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ βααcos sin cos sin 02 sin 2cos 2sin 22 sin 222cos ,02sin 420,02840)2 sin 2(cos 2sin 22 cos 2sin 22sin 2cos 2) cos (cos )sin (sin cos sin cos sin +<+<+-+-+>>+<-<+<<-<-<<<+-+-=-+--+=-+-=+-+即）（所以得于是有，所以因为 二、放缩法 放缩法是证明不等式所特有的方法，把要证的不等式中的一部分量进行放大或缩小，形成新的不等式，而这个新的不等式必须是比原不等式更容易证明的，同时，由新的不等式成立可以推出原不等式成立。另外，放缩目标必须明确，从实际出发，从原不等式过渡到新的不等式是证明的关键。下面就实际例子进行分析。 例2 若，求证：且3,0,,≥++>zx yz xy z y x

高中数学基本不等式证明

不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--

浅谈中学数学不等式的证明方法

本科生毕业论文 学院数学与计算机科学学院 专业数学与应用数学 届别 2015 届 题目浅谈中学数学不等式的证明方法 学生姓名徐亚娟 学号 201111401138 指导教师吴万勤 教务处制

云南民族大学毕业论文(设计)原创性声明 本人郑重声明：所呈交的毕业论文(设计)，是本人在指导教师的指导下进行研究工作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，本论文没有抄袭、剽窃他人已经发表的研究成果。本声明的法律结果由本人承担。 毕业论文(设计)作者签名： 日期：年月日 …………………………………………………………………………… 关于毕业论文(设计)使用授权的说明 本人完全了解云南民族大学有关保留、使用毕业论文(设计)的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文(设计)的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文(设计)。 （保密论文在解密后应遵守） 指导教师签名：论文(设计)作者签名： 日期：年月日

目录

摘要 (4) 引言 (6) 1、预备知识 (6) 1.1不等式的概念 (6) 1.2不等式的性质 (6) 1.3基本不等式 (7) 1.4几个重要不等式 (7) 1.4.1柯西不等式 (7) 1.4.2伯努利不等式 (7) 2、证明不等式的常用方法 (7) 2.1比较法 (8) 2.1.1求差法 (8) 2.1.2求商法 (8) 2.1.3过度比较法 (8) 2.2分析法 (9) 2.3综合法 (9) 2.4缩放法 (10) 2.4.1放缩法的常见技巧 (10) 2.5反推法 (10) 2.6数学归纳法 (11) 2.7反证法 (11) 2.7.1反证法的基本思路 (11) 2.7.2反证法的步骤 (11) 2.8判别式法 (12) 2.9等式法 (12) 2.10中值定理法 (12) 2.11排序法 (12) 2.12分解法 (13) 2.13函数极值法 (13) 3 .利用构造法证明不等式 (13) 3.1构造函数模型 (13) 3.1.1构造一次函数模型 (14) 3.1.2构造二次函数模型 (14) 3.1.3构造单调函数证明不等式 (14) 3.2构造复数模型 (14) 3.3构造方程法 (15) 4.换元法证明不等式 (15) 4.1.三角换元法 (15) 4.2均值换元 (16)

不等式的证明方法习题精选精讲

不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。 1．不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1：若0< B ．a b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 解：∵0<->-b a 。 由b a -< -11，b a 11>，∴（A ）成立。 由0<< b a ，||||b a >，∴（C ）成立。 由0>->-b a ，2 2 )()(b a ->-，2 2b a >，∴（D ）成立。 ∵0<->-a b a ， )(11b a a --<-，b a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。 例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<c ，在2 2c b c a >两边同乘以2 c ，不等式方向不变。∴b a >。 （3）错误。b a b a 1 1，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >?>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。 2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2232 >-+x x 与0432 >-+x x （2）13 8112++ >++ x x x 与82>x （3）35 7354-+>-+x x x 与74>x （4） 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 （2）482>?>x x ，44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。

浅谈高中数学不等式的证明方法

浅谈高中数学不等式的证明方法 姜堰市罗塘高级中学 李鑫 摘要：不等式是中学数学的重要知识，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解。 关键字：比较法，分析法，综合法，反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，均值不等式，柯西不等式，导数法 不等式在中学数学中占有重要地位，因此在历年高考中颇为重视。由于不等式的形式各异, 所以证明没有固定的程序可循，技巧多样，方法灵活，因此有关不等式的证明是中学数学的难点之一。本文从不等式的各个方面进行讲解和研究。 一．比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。 例1 已知：0>a ，0>b ，求证：ab b a ≥+2. 分析：两个多项式的大小比较可用作差法 证明 02 )(2222 ≥-=-+=-+b a ab b a ab b a ， 故得 ab b a ≥+2 . 例2 设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >. 分析：对于含有幂指数类的用作商法 证明 因为 0>>b a ， 所以 1>b a ，0>- b a . 而 1>??? ??=-b a a b b a b a b a b a ， 故 a b b a b a b a > 二．分析法 从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。

一个不等式的七种证明方法

一个不等式的七种证明方法 证明不等式就是证明所给不等式在给定条件下恒成立.由于不等式的形式是多种多样的,因此,不等式的证明方法也可谓是千姿百态.针对不等式证明,要具体问题具体分析,灵活选用证明方法,提高代数变形,推理论证能力,一题多解,有助于我们对辩证唯物主义观点有进一步的认识. 题目：已知a ,b ,c ,d ∈R ,求证:ac +bd ≤))((2222d c b a ++ 分析一:用分析法 证法一:(1)当ac +bd ≤0时,显然成立. (2)当ac +bd >0时,欲证原不等式成立, 只需证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2) 即证a 2c 2+2abcd +b 2d 2≤a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2 即证2abcd ≤b 2c 2+a 2d 2 即证0≤(bc -ad )2 因为a ,b ,c ,d ∈R ,所以上式恒成立, 综合(1)、(2)可知:原不等式成立. 分析二:用综合法 证法二: (a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2 =(a 2c 2+2abcd +b 2d 2)+(b 2c 2-2abcd +a 2d 2)

=(ac +bd )2+(bc -ad )2≥(ac +bd )2 ∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd . 故命题得证. 分析三:用比较法 证法三:∵(a 2+b 2)(c 2+d 2)-(ac +bd )2=(bc -ad )2≥0, ∴(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2 ∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd , 即ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析四:用放缩法 证法四:为了避免讨论,由ac +bd ≤|ac +bd |, 可以试证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2). 由证法1可知上式成立,从而有了证法四. 分析五:用三角代换法 证法五:不妨设???==???==ββ ααsin cos ,sin cos 2 211r d r c r b r a (r 1,r 2均为变量). 则ac +bd =r 1r 2cos αcos β+r 1r 2sin αsin β=r 1r 2cos （α-β） 又|r 1r 2|=|r 1|·|r 2|=))((22222222d c b a d c b a ++=+?+ 及r 1r cos （α-β）≤|r 1r 2| 所以ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析六:用换元法

放缩法证明数列不等式经典例题

放缩法证明数列不等式 主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- ==>= ==<= =<= == =< = = 5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121 n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+?

例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ， 且n c =（1）求n c ；（2）证明： 4444123111174n c c c c ++++ < 例2.证明：1611780<+ ++< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a + =，*n N ∈； （1）求证：数列{} 2n s 是等差数列； （2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++?+>- （3）记312311112,n n n n b s T b b b b = = ++++，证明：312n T <<

例4. 已知数列{}n a 满足：n a n ?????? 是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+； （1） 求n a ；（2 12n na +++< 例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-； （1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< 例6. 数列{}n a 满足：11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++； （1）设2n n n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162 n c c c c ≤++++<