初高中衔接之因式分解的常用方法

因式分解的常用方法

【方法总结】

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；

(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；

(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；

(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bn bm an am +++

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102

练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：ay ax y x ++-22

例4、分解因式：2222c b ab a -+-

练习：分解因式（1）y y x x 3922--- （2）yz z y x 2222---

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例5、分解因式：652++x x

例6、分解因式：672+-x x

练习 分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x

（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2

例7、分解因式：101132

+-x x

练习 分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x

（3）317102+-x x （4）101162++-y y

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：221288b ab a --

练习 分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a --

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x

练习 分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a

思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222

五、换元法。

例11、分解因式2005)12005(20052

2---x x

练习 分解因式（1）)(4)(22222y x xy y xy x +-++

（2）90)384)(23(22+++++x x x x

（3）222222)3(4)5()1(+-+++a a a

六、添项、拆项、配方法

例12、分解因式（1）4323+-x x （2）3369-++x x x

练习 分解因式

（1）893+-x x （2）22412a ax x x -+++

（3） 444)(y x y x +++ （4）444222222222c b a c b c a b a ---++

【巩固练习】

1：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22

（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-

（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--

（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a

（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+

（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++

2、（1）17836--x x （2）22151112y xy x --

（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a

（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m

（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++

（9）10364422-++--y y x xy x （10）

2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++

初高中数学衔接计划

数学初高中衔接计划 初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。 1.环境和心理的变化。 2.初高中教材梯度过大。 3.课时的变化。 4.高一新生普遍不适应高中数学教师的方法。 5.高一学生的学习方法不适应高中数学学习。 做好初高中衔接的主要措施： 1.注重基础。 2.突出对数学思想方法的掌握。 3.改进学法、培养良好的学习习惯。 4.向45分钟课堂要效益。 5.体验成功，发展学习兴趣。

初高中衔接复习知识点计划如下： 1.实数的运算（1课时） 2.幂的运算（1课时） 3.因式分解 ①提取公因式（1课时） ②十字相乘法（2课时） 4.一元二次方程（3课时） ①配方法 ②公式法 ③十字相乘法 5.二次函数（4课时） ①配方法 ②图像与性质 6.一次函数图像与性质（2课时） 7.反比例函数图像与性质（1课时） 8.一次方程、二元一次方程、不等式组（2课时） 总之，教师要引导好学生养成好的学习习惯，如：认真预习的习惯；专心听课的习惯；及时复习的习惯；独立思考和独立作业的习惯；练后反思的习惯；生生互动的习惯；归纳总结的习惯。

《 初、高中衔接：因式分解》教案

分 解 因 式 因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法。 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222 ()2a b a a b b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233 ()()a b a a b b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233 ()()a b a a b b a b -++=-； （3）三数和平方公式 222 2()2()a b c a b c a b b c a c ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223 ()33a b a a b a b b +=+++； （5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 说明：前面有*的供选用 1．提取公因式法与分组分解法、公式法 例1 分解因式： （1）2（y －x ）2+3（x －y ） （2）mn （m －n ）－m （n －m ）2 22223 2 2 3 2 92442456()(1)x y xy a ab b a b x x y xy y a b a ab b --+++----++---（3）（4）（）（） 2．十字相乘法 例2 分解因式： （1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-． 解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有 x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)． －1 －2 x x 图1．2－1 －1 －2 1 1 图1．2－2 －2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4

2017版步步高初高中数学衔接教材：第3课 因式分解(1)及答案

因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中它都有着重要的作用． 因式分解的方法较多，除了初中教材中涉及到的提取公因式法和运用公式法(只讲平方差公式和完全平方公式)外，还有运用公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法等．因式分解的问题形式多样，富有综合性与灵活性，因此，因式分解也是一种重要的基本技能．一、提取公因式法 例13x2－6x＋3. 二、公式法 例2(1)8＋x3；(2)x2＋2xy＋y2－z2. 三、分组分解法 例3(1)2ax－10ay＋5by－bx；(2)x3－x2＋x－1. 四、配方法 例4(1)x2＋6x－16；(2)x2＋2xy－3y2. 五、拆项添项法 例5(1)x3－3x2＋4；(2)x3－2x＋1. 六、求根公式法 例6(1)x2－x－1；(2)2x2－3x－1. 七、十字相乘法 (1)x2＋(p＋q)x＋pq型式子的因式分解 我们来讨论x2＋(p＋q)x＋pq这类二次三项式的因式分解．这类式子在许多问题中经常出现，它的特点是 (1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和． 对这个式子先去括号，得到x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq，于是便会想到继续用分组分解法分解因式，即x2＋px＋qx＋pq＝(x2＋px)＋(qx＋pq)＝x(x＋p)＋q(x＋p)＝(x＋p)(x＋q)． 因此，x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)． 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例7把下列各式分解因式： (1)x2＋3x＋2；(2)x2－x－20； (3)x2－5 2x＋1；(4)x 2＋11x＋24. 八、ax2＋bx＋c型因式分解我们知道， (a1x＋c1)(a2x＋c2)

初高中衔接(因式分解)

初高中衔接课程 第二讲 因式分解（基本计算能力培养） 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能． 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等． 还记得我们上节课算得立方数和平方数吗？ 一、公式法(立方和、立方差公式) 在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式： 2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： 3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++ 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 38x + (2) 30.12527b - 【例2】分解因式： (1) 34381a b b - (2) 76 a a b - 二、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的

关键在于如何分组． 1．分组后能提取公因式 【例3】把2105ax ay by bx -+-分解因式． 【例4】把2222()()ab c d a b cd ---分解因式． 2．分组后能直接运用公式 【例5】把22 x y ax ay -++分解因式． 【例6】把2222428x xy y z ++-分解因式． 三、十字相乘法 1．2 ()x p q x pq +++型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例7】把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 2 1336x x ++

初高中衔接_第二讲_因式分解

第二讲 因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能． 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等． 一、公式法(立方和、立方差公式) 在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式： 2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： 3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++ 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 3 8x + (2) 3 0.12527b - 分析： (1)中，3 82=，(2)中3 3 3 0.1250.5,27(3)b b ==． 解：(1) 3 3 3 2 82(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2) 3 3 3 2 2 0.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+?+ 2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++ 说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如 3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时， 一定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式： (1) 3 4 381a b b - (2) 76 a a b - 分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现6 6 a b -， 可看着是32 32 ()()a b -或23 23 ()()a b -． 解：(1) 3 4 3 3 2 2 3813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．

初高中数学衔接因式分解

第二讲 因式分解 知识清单 一、常用的运算公式 1、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 2、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+ 3、立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++- 4、立方和公式： 3322))((b a b ab a b a +=+-+ 5、完全平方公式：()2222222,2)(b ab a b a b ab a b a +-=-++=+ 6、三个数的完全平方公式：ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 7完全立方公式：()322333223333.33)(b ab b a a b a b ab b a a b a -+-=-+++=+ 二、常用的因式分解 1.因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式） 2.因式分解的常用方法：提取公因式法：公式法（乘法公式、求根公式）；十字相乘法；分组分解法。 自主练习： 问题1：平方差公式

下列各式：①)1)(1(+--a a ；②)1)(1(a a +-；③)1)(1(+--a a ；④)1)(1(+---a a 能利用平方差公式计算的是 问题2：完全平方公式 若31=+a a ，求2)1(a a -的值 问题3：立方和（差）公式 设0422=+-x x ，求93+x 的值 问题4：提取公因式法分解因式： （1）2242ab b a - （2）)5()5(2b a b a -+- 问题5：公式法分解因式 （1）412+-x x （2）162+-a （3）142+-x x 问题6：十字相乘法分解因式： （1）232+-x x （2）2762+-x x 问题7：分组分解法分解因式：y x xy x 332+-- 例题讲解 例1：化简： 例2：已知4,4=++=++ca bc ab c b a ，求222c b a ++的值

初高中衔接(一)因式分解复习

《因式分解复习》专题 2014年（ ）月（ ）日 班级： 姓名 不求快，不求多，不间断。 用提取公因式法分解因式： 8ab 2-16a 3b 3； -15xy-5x 2； a 3b 3+a 2b 2-ab ； nq np - xy y x y x +--223 x xy x 6422-+- ()()x y y y x x --- x x 442- ()()()()a b a b a b a b a 2325322----- （a +b ）-（a+b ）2； x （x-y ）+y （y-x ）； 6（m+n ）2-2（m+n ）； m （m-n ）2-n （n-m ）2； 6p （p+q ）-4q （q+p ）． 用平方差公式法分解因式. 642-x 22y x +- 2225b a - y y x 442- 22312y x - 224)(y y x --

1012-992 4a 2－(b ＋c)2 (a+b+c)2-(a-b-c)2 用完全平方公式法分解因式： x 2＋10x ＋25 2244y xy x ++ 9m 2－6mn ＋n 2 49x 2＋y 2－43 xy a 2－12ab ＋36b 2 a 2b 2－2ab ＋1 4a 2＋36ab ＋81b 2 －4xy －4x 2－y 2 22242b ab a ++ 322344xy y x y x ++ (x ＋y )2－18(x ＋y )＋81 16a 4－8a 2＋1 ()xy y x 42+- 216 12 11m m +- －49a 2＋112ab －64b 2 16－24(a －b )＋ 9(a －b )2 20042-4008×2005+20052 5522+-x x 利用十字相乘法因式分解 322++x x 1082+-x x 642--x x 18724-+x x 221610y xy x ++ 91024+-x x

(完整word版)初高中数学衔接教材(已整理精品)

初高中数学衔接教材 1.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++． 解法一：原式=2222 (1)(1)x x x ??-+-?? =242(1)(1)x x x -++ =61x -． 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -． 例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习 1．填空： （1）221111 ()9423 a b b a -=+（ ） ； （2）(4m + 22 )164(m m =++ )； (3 ) 2222 (2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题： （1）若2 1 2 x mx k + +是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2 m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22 248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 2．因式分解 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式： （1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．

初高中数学衔接知识点总结

初高中数学衔接读本 数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”： 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

目录 1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.４分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 一元二次不等式解法

1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >??==??-

因式分解初高中衔接讲义(含答案)

1. 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++． 例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 练 习 1．填空： （1）221111()9423 a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )； (3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题： （1）若212 x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213 m （D ） 2 116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数 也可以是负数 2 分解因式 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

初高中数学教材衔接的必要性与措施

初高中数学教材衔接的必要性与措施 仙桃中学高一数学组整理黄茂斌 近几年，随着我国教育体制改革步代加大，素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。仙桃市初中是率先使用课改新教材的县市之一，经过两届学生实验，结果表明：使用课改新教材的学生学习的自主性，思维的广阔性，师生的互动性明显增强，但思维的严谨性，推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨，教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 二、“脱节”知识点掌握情况调查 高一新生入学不久，在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后，我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查，统计情况如下：

初高中衔接教材数学

《初高中数学衔接教材》序言 童永奇 高一新生，你们好，祝贺大家考入临潼区马额中学！ 进入我校，同学们必须努力学好《初高中数学衔接教材》，理由如下：一方面，由于我校是普通农村高中学校，生源质量相对较差；另一方面，由于高中数学是初中数学的延伸与拓展，初中我们学到的知识、方法在高中会经常使用。 既然学习《初高中数学衔接教材》如此重要，那么我们应该如何学习呢？提几点建议： 一、“信心”是源泉。人缺乏信心，就丧失了驱动力，终将一事无成。 二、“恒心”是保障。人缺乏恒心，将“三天打鱼，两天晒网”。 三、“巧心”是支柱。人无巧心，就缺乏灵气和创造力。 最后，衷心祝愿同学们在《初高中数学衔接教材》的学习中获得成功，请将那么成功的经验及时告诉我们，以便让更多的朋友分享你们成功的喜悦！

临潼区马额中学高一数学校本教材 童永奇 结合我校学生的实际情况——基础知识较差，能力较差，没有掌握较好的学习方法，特设计适合我校高一学生使用的校本教材。主要包括以下两个容：一是《怎样学好数学》，二是《初高中数学衔接》。 怎样学好数学？ A.要学好数学，就应该了解数学本身具有的三大特点。（一）抽象性：数学的抽象性是无条件的，它的概念一经产生和定义之后，就稳定下来并且被看作是已知的，它们与现实的比较不是数学本身，而是它的应用问题。（二）严谨性：由于数学的严谨性，人们往往认为数学是一种“冷而严肃的美”。罗素说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也是具有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。”（三）应用的广泛性：在任何一个领域，只要能从数学的角度提出问题，数学就能给出与所提问题的精确度相符合的答案，数学的这种威力恰恰是来源于它的抽象性。 B.要学好数学，就应该重视数学思想方法的学习。数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，是在多次领悟、反复应用的基础上形成的，所以一道题做完后，就应该进行反思，回味解题中所使用的思想方法。这正是一个理想的领悟机会，也是我们自己反思、归纳、总结，提炼升华的基础。解析几何的创建者笛卡儿说得好：“走过两遍的路就是方法”。解题时走了一遍，解题后又走了一遍，这就是两遍。这么一来，这道题在你手里就不再是一道题，而是一种方法。 C.要学好数学，就应该学会解题时如何进行思维。从心理学角度说，解题过程是解题者面临新问题，而自己没有现存对策时所引起寻求解决问题办法的一种心理活动，主要是思维过程对思维活动这一系列过程的反映，在信息上就是收集、存储、加工和应用；在知识体系上就是联系、转换和应用过程；在解题策略上就是方法的选择和调整过程。 D．要学好数学，就应该培养自己迎难而上、顽强拼搏的精神。比如：数学大师——欧拉，60多岁双目失明，一场大火又吞没了他的研究成果，他毫不气馁，发誓说：“如果命运是块玩石，我就化作大铁锤，将它砸得粉碎！”此后17年，他在黑暗中摸索奋斗，又发表了400多篇论文和多部专著。 E.要学好数学，就应该学会辩证思维。所谓辩证思维，就是用运动的和寻求联系的观点、方法来思考，用辩证法来揭示事物的本质，这种思维方法能使学习和研究问题更加深入，更加触及数学本质；它既是思维发展最活跃，最富有创造性的高级阶段，也是辩证法在中学数学中的生动体现。因此，在解题时，应善于运用辩证思维方法分析问题，从而制定解题策略，把握解题规律。 F.要学好数学，就应该有意识地提高自己的自学能力。有了自学能力，就能广泛猎取知识，见多识广，利于开发智力，提高逻辑思维能力、空间想象能力、推理论证能力、独创思维能力以及运用能力等。 .G要学好数学，就应该加强训练。要真真正正地做到：勤于动手，勤于动脑，积极思考，勇于探索，大胆实践。 .H要学好数学，还应该注重多看一些有关的参考资料。目的：加深对教材知识的理解，开阔自己的知识视野，进一步提高自己分析问题、解决问题的能力，进一步领会灵活运用各种技巧、定理、公式在解题中的重要作用。对于一些好的解（证）法也应单独摘录出来；对于一些归纳、总结性的结论及一些常用技巧等也应摘录出来（此外，对于自己做题中所出现的一些典型错误，不但要摘录出来，而且要彻底搞清错误的根源及如何准确求解）。这样做，对于学习数学来说，也是一种提高！ 最后，愿与各位同学共勉：相信自我，战胜自我，超越自我！！ 要踏，就请踏一路青春的风采；要走，就请走一程无怨无悔的人生！ 初高中数学衔接

初高中数学衔接课程教案3.5因式分解⑴

3.5 因式分解⑴ 同学们,大家好: 今天和大家一起来复习因式分解.在初中我们学过哪些分解因式的方法? 1.提公因式法如果一个多项式各项含有公因式,就把这个公因式提出来,这种分解因 式的方法叫提公因式法. 注:①提公因式时,要把能提出的公因式全部提出来,若某一项全部提出,括号内保留“1”. 2.公式法将乘法公式:(a+b)(a－b)=a2－b2,(a±b)2=a2±2ab+b2逆向变换,就得到因式分 解中的公式 ⑴平方差公式:a2－b2=(a+b)(a－b). ⑵完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2, a2－2ab+b2=(a－b)2. 例1 分解因式⑴3x2y－6xy2－3xy; ⑵a(2a－b)－3b(b－2a). ⑶x2－9y2; ⑷2x3－4x2y+2xy2; ⑸x4－2x2y2+y4 解:⑴原式=3xy(x－2y－1); ⑵原式=a(2a－b)+3b(2a－b)=(2a－b)(a+3b); ⑶原式=x2－(3y)2=(x+3y)(x－3y); ⑷原式=2x(x2－2xy+y2)=2x(x－y)2; ⑸原式=(x2)2－2x2y2+(y2)2=(x2－y2)2=[(x+y)(x－y)]2=(x+y)2(x－y)2. 注:②分解因式一定要分解到不能再分解为止. 我们前面刚学过几个乘法公式,将它们逆向变换,以可以得到因式分解中的公式,不过三数和平方公式,完全立方公式中,左边的多项式项数比较多,如果利用它们来分解因式,太困难,我们后面会学习用分组分解法,来解此类题.高中我们主要用到因式分解中的立方和,立方差公式. ⑶立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2). 立方差公式:a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2) 例2 分解因式⑴x3－8; ⑵a4b+ab; ⑶a6－b6; 解:⑴原式=x3－23=(x－2)(x2+2x+4); ⑵原式=ab(a3+1)=ab(a+1)(a2－a+1);

2015初高中数学衔接教程：第一讲--因式分解

2015初高中数学衔接教程：第一讲--因式分解

第一讲 因式分解 一、知识归纳 1、公式法分解因式：用公式法因式分解，要掌握如下公式： （1）))((22 b a b a b a -+=-； （2）2 22 )(2b a b ab a ±+±； （3）3 3223 )(33b a b ab b a a ±=±+±； （4）2 222 )(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； （5）))((3222333 ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++； （6）* 1221);)((N ??n b ab b a a b a b a n n n n n n ∈++?+?+-=-----； （7）当n 为正奇数时) )((1221----+-+-+=+n n n n n n b ab b a a b a b a 当n 为正偶数时) )((1221-----++-+=-n n n n n n b ab b a a b a b a 2、十字相乘法因式分解 3、待定系数法因式分解 4、添项与拆项法因式分解 5、长除法 二、例题讲解 例1：因式分解：3 762 --x x

例5：利用添项法、拆项法因式分解 （1） 7 63 -+x x （2） 1 5 ++x x 例6：已知0 132 =--x x ，求1987 57623 +-+x x x 的值。 三、课堂练习

1、分解因式 （1）)()(6 6 x y z y z y x x --+-+ （2）2 2222 4)1(b a b a --+ （3）8 32434 --+m m m 分解因式 （1）4 4 +x （2）8 93 +-x x 3、分解因式 （1）2 33222 +++-+y x y xy x （2）2 5335222 -++--y x y xy x 4、已知多项式133 +++bx ax x 能被1 2 +x 整除，且商式是1 3+x 则=-b a )( 。 5、多项式b x ax x x +++-732224 能被2 2 -+x x 整除，求b a 的值。

蒋王中学初高中衔接教材教案1—因式分解

分 解 因 式 教学目标:1．掌握相关基本的乘法公式，并会简单的运用； 2．理解并掌握因式分解的主要方法：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字 相乘法，另外还应了解求根法. 一、课前自学与诊断 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 =-+))((b a b a ； （2）完全平方公式 =±2)(b a ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 33b a += ； （2）立方差公式 3 3b a -= ； （3）三数和平方公式 =++2)(c b a ； 二、问题探究 例1、分解因式：（1）67ab a -（2）xy y x 292 2+-- 例2、分解因式： （1）)(3)22y x x y -+-（ （2）2)()(m n m n m mn --- （3）b a b ab a 424422--++（4）2)1)((b ab a b a ---+（5）3223y xy y x x +-- 例3、分解因式： （1）232+-x x ； （2）1242-+x x ； （3）22()x a b xy aby -++； （4）22 62x xy y +-

练习：因式分解 （1）2282y xy x -+ （2）)(22a a x x --+ （3）338b a - （4）862++x x (5)424139x x -+ （6）22215x xy y -- （7）422473320b b a a +- （8）96)5(10)5(222--+-x x x x 例4、把下列关于x 的二次多项式分解因式： （1）221x x +-； （2）2244x xy y +-． 练习：把下列关于x 的二次多项式分解因式： （1）253x x -+ ； （2）2 3x --； （3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+． 三、小结与答疑

初高中衔接教材之--因式分解

二、因式分解 2-1因式与倍式 如同因子与倍数的概念，如果代数式A 可以写成代数式B 与代数式C 的乘积，即 A = B ? C 。 此时，我们说B 与C 是A 的因式，而A 是B 与C 的倍式。例如：由232(1)(2)x x x x ++=++，可知1x +与2x +皆为232x x ++的因式，而 232x x ++为1x +与2x +的倍式；由22()()x y x y x y -=+-，可知x y +与 x y -皆为22x y -的因式，而22x y -为x y +与x y -的倍式。下面就让我们先从多项式的除法来认识因式与倍式。 【多项式的除法】 在小学时，我们会以下列的长除法（直式算法）来求出58除以13的商数为4，余数6： - 同时，我们也知道： 58=13 ? 4+6 类似于自然数的除法，多项式的除法运算也有直式算法（长除法）；为 了简化计算，也常使用分离系数法。事实上，这两种方法的差别在于计算过程中，有没有将文字符号写出来而已。 【范例1】求2(42)(1)x x x ++÷+的商式及余式。 4 : 13）58 52 6

【解】 方法一：直式算法 方法二：分离系数法 ： 答：商式为3x +，余式为1-。 在自然数的除法，我们有下列的规则： 其中，商数和余数为非负整数，且余数小于除数。同样的，在多项式的除法中，我们也有类似的规则： / 且余式的次数要小于除式的次数或为零多项式。 在完成多项式的除法后，为了验证所得结果是否正确，除了重新检视运算过程外，也常用上述「被除式 = 除式 ? 商式+余式」的概念来验算。例如： (1)(3)(1)x x +++- （除式?商式+余式） =2431x x ++- =242x x ++ （被除式） 【范例2】求32(255)(2)x x x x +++÷+的商式及余式。 【解】 》 1+3 1+1 ）1+4+2 … 1+1 3+2 3+3 -1 2+1-1 1+2 ）2+5+1+5 { 2+4 1+1 1+2 -1+5 -1-2 . x +3

初高中数学衔接教材：第3课 因式分解(1)及答案

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中它都有着重要的作用． 因式分解的方法较多，除了初中教材中涉及到的提取公因式法和运用公式法(只讲平方差公式和完全平方公式)外，还有运用公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法等．因式分解的问题形式多样，富有综合性与灵活性，因此，因式分解也是一种重要的基本技能．一、提取公因式法 例13x2－6x＋3. 二、公式法 例2(1)8＋x3；(2)x2＋2xy＋y2－z2. 三、分组分解法 例3(1)2ax－10ay＋5by－bx；(2)x3－x2＋x－1. 四、配方法 例4(1)x2＋6x－16；(2)x2＋2xy－3y2. 五、拆项添项法 例5(1)x3－3x2＋4；(2)x3－2x＋1. 六、求根公式法 例6(1)x2－x－1；(2)2x2－3x－1. 七、十字相乘法 (1)x2＋(p＋q)x＋pq型式子的因式分解 我们来讨论x2＋(p＋q)x＋pq这类二次三项式的因式分解．这类式子在许多问题中经常出现，它的特点是 (1)二次项系数是1； (2)常数项是两个数之积； (3)一次项系数是常数项的两个因数之和． 对这个式子先去括号，得到x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq，于是便会想到继续用分组分解法分解因式，即 x2＋px＋qx＋pq

＝(x 2＋px )＋(qx ＋pq ) ＝x (x ＋p )＋q (x ＋p ) ＝(x ＋p )(x ＋q )． 因此，x 2＋(p ＋q )x ＋pq ＝(x ＋p )(x ＋q )． 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例7 把下列各式分解因式： (1)x 2＋3x ＋2；(2)x 2－x －20； (3)x 2－52 x ＋1；(4)x 2＋11x ＋24. 八、ax 2＋bx ＋c 型因式分解 我们知道， (a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2) ＝a 1a 2x 2＋a 1c 2x ＋a 2c 1x ＋c 1c 2 ＝a 1a 2x 2＋(a 1c 2＋a 2c 1)x ＋c 1c 2. 反过来，就得到a 1a 2x 2＋(a 1c 2＋a 2c 1)x ＋c 1c 2 ＝(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)． 我们发现，二次项的系数a 分解成a 1×a 2，常数项c 分解成c 1×c 2，并且把a 1，a 2，c 1，c 2排列如图：，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a 1c 2＋a 2c 1，如果它正好等于ax 2＋bx ＋c 的一次项系数b ，那么ax 2＋bx ＋c 就可以分解成(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)，其中a 1，c 1位于上图上一行，a 2，c 2位于下一行． 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 例8 (1)6x 2＋5x ＋1；(2)6x 2＋11x －7； (3)42x 2－33x ＋6；(4)2x 4－5x 2＋3； (5)2t 6－14t 3－16. 1．把下列各式分解因式： (1)a 3＋27；(2)8－m 3；(3)－27x 3＋8；(4)－18p 3－164q 3；(5)8x 3y 3－1125；(6)1216x 3y 3＋127 c 3.

初高中数学衔接教材 时因式分解立方和差公式

初高中数学衔接教材 第二课时 课前练习： 解下列不等式：（1）21x -< （2）213x +> (3)13x x -+-＞4． 1.1乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+- 例题解析： 例1 计算：（1）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++． （2）42(2)(2)(416)a a a a +-++ 例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 例3.已知3 321,013x x x x +=+-求的值. 针对训练： 1.填空，使之符号立方和或立方差公式： (1)(x-3)( )＝x 3-27； (2)(2x+3)( )＝8x 3+27； (3)(x 2+2)( )＝x 6+8； (4)(3a-2)( )＝27a 3-8 2.填空，使之符号立言和或立方差公式： (1)( )(a 2+2ab+4b 2)＝__________； (2)( )(9a 2-6ab+4b 2)＝__________； (3) ( )( 4 1 -xy+4y 2)＝__________； (4)( )(m 4+4m 2+16)＝__________ 3.计算： (1)(y+3)(y 2-3y+9)； (2)(c+5)(25-5c+c 2)； (3)(2x-5)(4x 2+25+10x) (4)(2a+b)(4a 2-4ab+b 2) （5） （6） 3.已知x 2+y 2=6，xy=2，求x 6+y 6的值． 1.2 分解因式 1．分组分解法 例1 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）1242 2+--a b a