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概率论与数理统计05(1)

第五章 大数定理和中心极限定理

1. 据以往经验, 某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布, 现在随机地取16只, 设它们的寿命是相互独立的, 求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率. 解: 设第i 只寿命为X i (1≤i ≤16), 则 E (X i )=100,

D (X i )=1002(l =1, 2, ??? , 16).

由独立同分布的中心极限定理知随机变量 10041600

100

161610016

1

2

161

?-=

??-=

∑∑==i i

i i

X X Z

近似服从正态分布N (0, 1), 于是

)100

416001920100

41600

()1920(16

16

1

?->?-=>∑∑==i i

i i X P X P

)8.0400

1600

(

16

>-=∑=i i

X P

2119.07881.01)8.0(1=-=Φ-≈.

2. 一部件包括10部分, 每部分的长度是一个随机变量, 它们相互独立且服从同一分布, 其数学期望为2mm , 均方差为0.05mm , 规定总长度为20±0.1mm 时产品合格, 试求产品合格的概率.

解: 设X i 表示该部件第i 部分的长度(i =1, 2, ??? , 100), 由题意知E (X i )=2, D (X i )=0.052, X 1, X 2, ???, X n 独立同分布, 由中心极限定理知,

∑=10

1i i

X 近似服从N (10?2, 10?0.052

)分布, 要求概率

)1.209.19(10

1

<<∑=i i X P .

)1.209.19(10

1

<<∑=i i X P

)05

.0102101.2005.0102

1005

.0102109.19(10

1

??-

??-=∑=i i

X P

)6325.005

.0102

106325.0(10

1

-=∑=i i

X P

1)6325.0(2)6325.0()6325.0(-Φ=-Φ-Φ≈ 4714.017325.02=-?≈.

3. 计算器在进行加法时, 对每个加数舍入最靠近它的整数. 设所有舍入误差是独立的且在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布.

(1)若将1500个数相加, 问误差总和的绝对值超过15的概率是多少?

(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90?

解: (1)设取整误差为X i (i =1, 2, ??? , 1500), 它们都在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布. 于是

02

5.05.0)(=+-==p X E i ,

12

1

12)]5.0(5.0[)(2=--=

i X D , 0)(=i X nE ,

18.1112512

11500)(==?=i X nD ,

)15|(|1)15|(|1500

1

15001

≤-=>∑∑==i i i i X P X P

)1515(11500

1≤≤--=∑=i i X P

)18

.111518.1118.1115(

11500

1

≤≤--=∑=i i

X

P )]34.1()34.1([1-Φ-Φ-=

1802.0]9099.01[2)]34.1(1[2=-?=Φ-=.

(2)求使得90.0)10|(|1

≥<∑=n

i i X P 成立的n , 而

)1210|

|12(

)10|(|1

1

n

n

X P X P n

i i n

i i ?<=<∑∑==

90.01)1210(2≥-?Φ≈n

,

即 95.0)320(≥?Φn

,

64.1320>?n

,

故 44664

.134002≈?≤n .

4. 设各零件的重量都是随机变量, 它们相互独立, 且服从相同的分布, 其数学期望为0.5kg , 均方差为0.1kg , 问5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是多少?

解: 设X i (i =1, 2, ??? , 5000)表示第i 个零件的重量, 则X 1, X 2, ???, X 5000独立同分布, 且E (X i )=0.5, D (X i )=0.12, 由独立同分布的中心极限定理知

502500

1

.050005.0500050001

2

5000

1

-=

??-∑∑==i i

i i

X X

近似服从正态分布N (0, 1). 于是

)50

2500251050

2500

()2510(5000

1

5000

1

-≥-=>∑∑==i i

i i X P X P

0973.09207.01)2(1)50

10(1=-=Φ-=Φ-≈.

5. 有一批建筑房屋用的木柱, 其中80%的长度不小于3m , 现从这批木柱中随机地取出100根, 问其中至少有30根短于3m 的 概率是多少? 解: 设

?

??=3m 03m

1根木柱长度不小于若所取的第根木柱长度小于若所取的第i i X (i =1, 2, ??? 100),

则X i ~b (1, 0.2). 记X =X 1+X 2+ ??? +X 100, 则X ~b (100, 0.2). 由德莫佛-普拉斯中心极限定理知 P (X ≥30)=1-P (X <30)

)8

.02.01002.0100308.02.01002.0100(1???-≤???--=X P

)5.28

.02.01002.0100(1≤???--=X P

0062.09938.01)5.2(1=-=Φ-=.

6. 一食品厂有三种蛋糕出售, 由于售出哪一种蛋糕是随机的, 因而售出的一只蛋糕的价格是一个随机变量, 它取1(元), 1.2(元), 1.5(元)各个值的概率分别为0.3, 0.2, 0.5. 某天售出300只蛋糕: (1)求这天收敛入至少400元的概率; (2)求这天售出价格为1.2(元)的蛋糕多于60只的概率.

解: (1)设X 表示售出一只蛋糕的价格, 则X 的可能取值为1, 1.2, 1.5, 且

P (X =1)=0.3, P (X =1.2)=0.2, P (X =1.5)=0.5. 于是 E (X )=1?0.3+1.2?0.2+1.5?0.5=1.29, D (X )=E (X 2)-[E (X )]2

=12?0.3+1.22?0.2+1.52?0.5-1.292=0.0489.

设X i (i =1, 2, ??? , 300)是售出的第i 只蛋糕的价格, 则X 1, X 2, ???, X 300与X 同分布, 由林德贝格-列维中心极限定理得 )0489.030029.130********.030029

.1300()400(300

1

300

1

??-≥??-=≥∑∑==i i

i i X P X P

)394.3(1)0489

.030029.1300400(1Φ==??-Φ-=

=1-0.9997≈0.0003.

(2)设N 1, N 2, N 3分别表示售出的蛋糕中1(元), 1.2(元), 1.5(元)蛋糕的只数, 则N 1+N 2+N 3=300; N i ~b (300, p i )(i =1, 2, 3),

由德莫佛-普拉斯中心极限定理知

))

1(30030060)1(300300()60(222

22222p p p p p p N P N P -?->-?-=>

)8

.02.03002.0300608.02.0300300(2

2

???->???-=p N P 5.05.01)0(1=-=Φ-≈,

故这天售出价格为1.2(元)的蛋糕多于60只的概率近似为0.5.

7. (1)一复杂的系统由100个互相独立起作用的部件所组成, 在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10, 为了整个系统起作用, 至少有85个部件正常工作. 求整个系统工作的概率. (2)一个复杂的系统由n 个互相独立起作用的部件所组成,

每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为0.90. 且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作, 问n 至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95. 解: (1)设

?

??=个部件损坏不工作第个部件正常工作

第i i X i 01(i =1,2, ??? , 100),

则X 1, X 2, ???, X 100独立同服从b (1, 0.9). 设X =X 1+X 2+ ??? +X 100, 则 X 表示系统中正常工作的部件数, X ~b (100, 0.9), 由德莫佛-普拉斯中心极限定理知

)85(1)85()85.0100

(<-=≥=≥X P X P X P

)9

.01.01009.0100859.01.01009.0100(1???-

)9

.01.01009.010085(1???-Φ-=

9525.0)3

5()35(1=-Φ=-Φ-=.

(2)要求n , 使95.0)8.0(≥≥n

X P , 由德莫佛-普拉斯中心极限

定理知

)8.0(1)8.0()8.0(n X P n X P n

X P <-=≥=≥

)9

.01.09.08.09.01.09.0(1??-

95.0)3

(1≥-Φ-=n ,

所以 64.13

≥n ,

n ≥9?1. 642=24.21,

故当n 至少为25时才能使系统可靠性不低于0.95.

8. 随机地取两组学生, 每组80人, 分别在两个实验室里测量某种化合物的PH 值, 各人测量的结果是随机变量, 它们相互独立, 且服从同一分布, 其数学期望为5, 方差为0.3, 以Y X ,分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均. (1)求)1.59.4(<

解: (1)∑==n i i X n X 1

1, n =80, X 1, X 2, ???, X n 独立且与X 同分布, E (X i )=5, D (X i )=0.3(i =1, 2, ???, n ). 由林德贝格-列维中心极限定理知

)80

3.051.5803.05803.059.4()1.59.4(-<-<-=<

)63.180

3.0563.1()1.59.4(<-<-=<<=X P X P

1)63.1(2)63.1()63.1(-Φ=-Φ-Φ= =2?0.9484-1=0. 8968. (2))1.01.0(<-<-Y X P

)80

3.03.01.0803.03.0803.03.01.0(+<

+-<+-=Y X P 1)155.1(2)155.1()155.1(-Φ=-Φ-Φ= =2×0.8749-1=0.7498.

9. 某种电子器件的寿命(小时)具有数学期望μ(未知), 方差σ 2=400为了估计μ, 随机地取n 只这种器件, 在时刻t =0投入测试(设测试是相互独立的)直到失败, 测得其寿命X 1, ??? , X n ,

以∑==n i i X n X 1

1作为μ的估计, 为使,95.0|)(|≥-μX P 问n 至少为多少?

解: 由中心极限定理知, 当n 很大时 )1 ,0(~2

21

N n n X n n n X n

i i

σ

μ

σμ

-=

-∑=, )((1|(|2

22σσμσμn n n n X n n n P X P <-<-=<- )()(22σ

σn n n n -Φ-Φ≈

=95.01)20

(2≥-Φn ,

所以975.0)20

(≥Φn , 查标准正态分布表知

96.120

≥n ,

n ≥1536.64, 即n 至少取1537.