2006年中考复习之三角函数的综合运用
知识考点:
本课时主要是解直角三角形的应用,涉及到的内容包括航空、航海、工程、测量等领域。要求能灵活地运用解直角三角形的有关知识,解决这些实际问题。熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念,常用的方法是通过数形结合、建立解直角三角形的数学模型。 精典例题:
【例1】如图,塔AB 和楼CD 的水平距离为80米,从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为450和600,试求塔高与楼高(精确到0.01米)。
(参考数据:2=1.41421…,3=1.73205…)
分析:此题可先通过解Rt △ABD 求出塔高AB ,再利用CE =BD =80米,解Rt △AEC 求出AE ,最后求出CD =BE =AB -AE 。
解:在Rt △ABD 中,BD =80米,∠BAD =600
∴AB =56.13838060tan 0
≈=?BD (米) 在Rt △AEC 中,EC =BD =80米,∠ACE =450
∴AE =CE =80米
∴CD =BE =AB -AE =56.5880380≈-(米)
答:塔AB 的高约为138. 56米,楼CD 的高约为58. 56米。
【例2】如图,直升飞机在跨河大桥AB 的上方P 点处,此时飞机离地面的高度PO =450米,且A 、B 、O 三点在一条直线上,测得大桥两端的俯角分别为0
30=α,045=β,求大桥AB 的长(精确到1米,选用数据:2=1.41,3=1.73)
分析:要求AB ,只须求出OA 即可。可通过解Rt △POA 达到目的。 解:在Rt △PAO 中,∠PAO =0
30=α
∴OA =345030cot 450cot 0
==∠?PAO PO (米) 在Rt △PBO 中,∠PBO =0
45=β ∴OB =OP =450(米)
∴AB =OA -OB =3294503450≈-(米)
答:这座大桥的长度约为329米。
评注:例1和例2都是测量问题(测高、测宽等),解这类问题要理解仰角、俯角的概念,合理选择关系式,按要求正确地取近似值。
【例3】一艘渔船正以30海里/小时的速度由西向东追赶鱼群,在A 处看见小岛C 在船的北偏东600方向,40分钟后,渔船行至B 处,此时看见小岛C 在船的北偏东300方向,已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区,问这艘渔船继续向东追赶鱼群,是否有进入危险区域的可能?
分析:此题可先求出小岛C 与航向(直线AB )的距离,再与10海里进行比较得出结论。 解:过C 作AB 的垂线CD 交AB 的延长线于点D
∵CD AD =
30cot ,CD
BC =0
60cot ∴0
30cot ?=CD AD ,0
60cot ?=CD BD ∴20)60cot 30(cot 0
=-=-CD BD AD ∴3103
3320=-
=
CD
∵310>10
0450
60
例1图
F
E
D C
B
A 例2图
β
α
A
B O P
∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。
评注:此题是解直角三角形的应用问题中的一个重要题型——航海问题,解这类题要弄清方位角、方向角的概念,正确地画出示意图,然后根据条件解题。
300
60例3图
南
北
北
南
西
东
C
D
B
A 例4图
F
E D C
B
A
【例4】某水库大坝横断面是梯形ABCD ,坝顶宽CD =3米,斜坡AD =16米,坝高8米,斜坡BC 的坡度i =1∶3,求斜坡AB 的坡角和坝底宽AB 。
分析:此题可通过作梯形的高,构造直角三角形使问题得以解决。
解:作DE ⊥AB ,CF ⊥AB ,垂足分别为E 、F ,在Rt △ADE 和Rt △BCF 中
∵2
1
168sin ===
AD DE A ∴∠A =300 又∵388162222=-=-=
DE AD AE ,3
1
==
BF CF i ∴BF =3CF =3×8=24
∴AB =AE +EF +BF =24338++=3827+(米) 答:斜坡AB 的坡角∠A =300,坝底宽AB 为)3827(+米。
评注:此类问题首先要弄清楚坡角与坡度的关系(坡度是坡角的正切值αtan =i ),其次是作适当的辅助线构造直角三角形。
探索与创新:
【问题一】如图,自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD ,AB =3米,BC =0.5米,车厢底部离地面1.2米,卸货时,车厢倾斜的角度0
60=θ,问此时车厢的最高点A 离地面多少米?(精确到1米)
分析:此题只需求出点A 到CE 的距离,于是过A 、D 分别作AG ⊥CE ,DF ⊥CE ,构造直角三角形,解Rt △AHD 和Rt △CDF 即可求解。
解:过点A 、D 分别作CE 的垂线AG 、DF ,垂足分别为G 、F ,过D 作DH ⊥AG 于H ,则有:
23
323360sin 0=
?
=?=CD DF 4
1
215.060cos 0=?
=?=AD AH 于是A 点离地面的高度为42.14
1
233≈++(米)
答:车厢的最高点A 离地面约为4米。
【问题二】如图1所示是某立式家具(角书橱)的横断面,请你设计一个方案(角书橱高2米,房间高2.6米,所以不从高度方面考虑方案的设计),按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间,在图2中把你的设计方案画成草图,并说明按此方案可把家具搬入房间的理由(注:搬动过程中不准拆卸家具,不准损坏墙壁)。
问题一图
H
G F
D
C
B A
问题二图
1
问题二图
2
略解:设计方案草图如图所示。说明:如说理图所示,作直线AB ,延长DC 交AB 于E ,由题意可知,△ACE 是等腰直
角三角形,所以CE =0.5,DE =DC +CE =2,作DH ⊥AB 于H ,则245sin 2sin 0
=
=∠?=HED DE DH
∵5.12<
∴可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间。
设计方案图
设计方案说理图
跟踪训练: 一、选择题:
1、河堤的横断面如图所示,堤高BC 是5米,迎水斜坡AB 的长是13米,那么斜坡AB 的坡度i 是( ) A 、1∶3 B 、1∶2.6 C 、1∶2.4 D 、1∶2
2、如图,某渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东600方向,这艘渔船以28海里/小时的速度向正东航行半小时到B 处,在B 处看见灯塔M 在北偏东150方向,此时灯塔M 与渔船的距离是( ) A 、27海里 B 、214海里 C 、7海里 D 、14海里
第1题图
C
B
A
150
60
第2题图
北
东
北
M
B
A
45
30
第3题图
C D B
A
3、如图,从山顶A 望地面C 、D 两点,测得它们的俯角分别为450和300,已知CD =100米,点C 在BD 上,则山高AB =( ) A 、100米 B 、350米 C 、250米 D 、)13(50+米
4、重庆市“旧城改造”中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮,以美化环境。已知这种草皮每平方米售价a 元,则购买这种草皮至少需要( )
A 、a 450元
B 、a 225元
C 、a 150元
D 、a 300元
120
选择第4题图 30m
20m
=i 填空第1题图
填空第2题图 C
D
B
A
二、填空题:
1、如图,一铁路路基的横断面为等腰梯形,根据图示数据计算路基下底AB = 米。
2、小明想测量电线杆AB 的高度(如图),发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上,量得CD =4米,BC =10
米,CD 与地面成300角,且此时测得1米杆的影长为2米,则电线杆的高度为 米(结果保留两位有效数字,2=1.41,3=1.73)
三、解答题:
1、在数学活动课上,老师带领学生去测河宽,如图,某学生在点A 处观测到河对岸水边处有一点C ,并测得∠CAD =450,在距离A 点30米的B 处测得∠CBD =300,求河宽CD (结果可带根号)。
第1题图
第2题图 A
第3题图 C B A
2、如图:在小山的东侧A 处有一热气球,以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为300的方向飞行,半小时后到达C 处,这时气球上的人发现,在A 处的正西方向有一处着火点B ,5分钟后,在D 处测得着火点B 的府角是150,求热气球升空点A 与着火点B 的距离。(结果保留根号,参考数据:4
2615sin 0
-=
,42615cos 0
+=,3215tan 0-=,
3215cot 0+=)
3、如图:某海域直径为30海里的圆形暗礁区中心有一哨所A ,值班人员发现有一轮船从哨所正西方向45海里的B 处向
哨所驶来。哨所及时向轮船发出危险信号,但轮船没有收到信号,又继续前进15海里到达C 点,才收到此时哨所第二次发出的紧急危险信号。
①若轮船收到第一次危险信号后为避免触礁,应立即改变航向,航向改变的角度应最大为北偏东α,求αsin 的值; ②当轮船收到第二次危险信号时,为避免触礁,轮船立即改变航向。这时轮船航向改变的角度应最大为南偏东多少度? 4、如图,客轮沿折线A →B →C ,从A 出发经B 再到C 匀速航行,货轮从AC 的中点D 出发沿某一方向匀速直线航行,将一批物品送达客轮。两船同时起航,并同时到达折线A →B →C 上的某一点E 处。已知AB =BC =200海里,∠ABC =900,客轮速度是货轮速度的2倍。
(1)两船相遇之处E 点( ) A 、在线段AB 上 B 、在线段BC 上
C 、在线段AB 上,也可以在线段BC 上
(2)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?(结果保留根号)
?
第4题图
D C B
A
跟踪训练参考答案
一、选择题:CADC 二、填空题:
1、34米;
2、8.7米; 三、解答题:
1、)15315(+米;
2、)31(980+米;
3、①3
1
sin =
α;②300; 4、(1)B ;(2))3
6
100200(-
海里。