2006年中考复习之三角函数的综合运用_4

2006年中考复习之三角函数的综合运用

知识考点：

本课时主要是解直角三角形的应用，涉及到的内容包括航空、航海、工程、测量等领域。要求能灵活地运用解直角三角形的有关知识，解决这些实际问题。熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念，常用的方法是通过数形结合、建立解直角三角形的数学模型。 精典例题：

【例1】如图，塔AB 和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为450和600，试求塔高与楼高（精确到0.01米）。

（参考数据：2＝1.41421…，3＝1.73205…）

分析：此题可先通过解Rt △ABD 求出塔高AB ，再利用CE ＝BD ＝80米，解Rt △AEC 求出AE ，最后求出CD ＝BE ＝AB －AE 。

解：在Rt △ABD 中，BD ＝80米，∠BAD ＝600

∴AB ＝56.13838060tan 0

≈=?BD （米） 在Rt △AEC 中，EC ＝BD ＝80米，∠ACE ＝450

∴AE ＝CE ＝80米

∴CD ＝BE ＝AB －AE ＝56.5880380≈-（米）

答：塔AB 的高约为138. 56米，楼CD 的高约为58. 56米。

【例2】如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO ＝450米，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为0

30=α，045=β，求大桥AB 的长（精确到1米，选用数据：2＝1.41，3＝1.73）

分析：要求AB ，只须求出OA 即可。可通过解Rt △POA 达到目的。 解：在Rt △PAO 中，∠PAO ＝0

30=α

∴OA ＝345030cot 450cot 0

==∠?PAO PO （米） 在Rt △PBO 中，∠PBO ＝0

45=β ∴OB ＝OP ＝450（米）

∴AB ＝OA －OB ＝3294503450≈-（米）

答：这座大桥的长度约为329米。

评注：例1和例2都是测量问题（测高、测宽等），解这类问题要理解仰角、俯角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。

【例3】一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东300方向，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？

分析：此题可先求出小岛C 与航向（直线AB ）的距离，再与10海里进行比较得出结论。 解：过C 作AB 的垂线CD 交AB 的延长线于点D

∵CD AD =

30cot ，CD

BC =0

60cot ∴0

30cot ?=CD AD ，0

60cot ?=CD BD ∴20)60cot 30(cot 0

=-=-CD BD AD ∴3103

3320=-

=

CD

∵310＞10

0450

60

例1图

F

E

D C

B

A 例2图

β

α

A

B O P

∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。

评注：此题是解直角三角形的应用问题中的一个重要题型——航海问题，解这类题要弄清方位角、方向角的概念，正确地画出示意图，然后根据条件解题。

300

60例3图

南

北

北

南

西

东

C

D

B

A 例4图

F

E D C

B

A

【例4】某水库大坝横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝3米，斜坡AD ＝16米，坝高8米，斜坡BC 的坡度i ＝1∶3，求斜坡AB 的坡角和坝底宽AB 。

分析：此题可通过作梯形的高，构造直角三角形使问题得以解决。

解：作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，在Rt △ADE 和Rt △BCF 中

∵2

1

168sin ===

AD DE A ∴∠A ＝300 又∵388162222=-=-=

DE AD AE ，3

1

==

BF CF i ∴BF ＝3CF ＝3×8＝24

∴AB ＝AE ＋EF ＋BF ＝24338++＝3827+（米） 答：斜坡AB 的坡角∠A ＝300，坝底宽AB 为)3827(+米。

评注：此类问题首先要弄清楚坡角与坡度的关系（坡度是坡角的正切值αtan =i ），其次是作适当的辅助线构造直角三角形。

探索与创新：

【问题一】如图，自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD ，AB ＝3米，BC ＝0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度0

60=θ，问此时车厢的最高点A 离地面多少米？（精确到1米）

分析：此题只需求出点A 到CE 的距离，于是过A 、D 分别作AG ⊥CE ，DF ⊥CE ，构造直角三角形，解Rt △AHD 和Rt △CDF 即可求解。

解：过点A 、D 分别作CE 的垂线AG 、DF ，垂足分别为G 、F ，过D 作DH ⊥AG 于H ，则有：

23

323360sin 0=

?

=?=CD DF 4

1

215.060cos 0=?

=?=AD AH 于是A 点离地面的高度为42.14

1

233≈++（米）

答：车厢的最高点A 离地面约为4米。

【问题二】如图1所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，房间高2.6米，所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间，在图2中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）。

问题一图

H

G F

D

C

B A

问题二图

1

问题二图

2

略解：设计方案草图如图所示。说明：如说理图所示，作直线AB ，延长DC 交AB 于E ，由题意可知，△ACE 是等腰直

角三角形，所以CE ＝0.5，DE ＝DC ＋CE ＝2，作DH ⊥AB 于H ，则245sin 2sin 0

=

=∠?=HED DE DH

∵5.12<

∴可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间。

设计方案图

设计方案说理图

跟踪训练： 一、选择题：

1、河堤的横断面如图所示，堤高BC 是5米，迎水斜坡AB 的长是13米，那么斜坡AB 的坡度i 是（ ） A 、1∶3 B 、1∶2.6 C 、1∶2.4 D 、1∶2

2、如图，某渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东600方向，这艘渔船以28海里／小时的速度向正东航行半小时到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东150方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（ ） A 、27海里 B 、214海里 C 、7海里 D 、14海里

第1题图

C

B

A

150

60

第2题图

北

东

北

M

B

A

45

30

第3题图

C D B

A

3、如图，从山顶A 望地面C 、D 两点，测得它们的俯角分别为450和300，已知CD ＝100米，点C 在BD 上，则山高AB ＝（ ） A 、100米 B 、350米 C 、250米 D 、)13(50+米

4、重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）

A 、a 450元

B 、a 225元

C 、a 150元

D 、a 300元

120

选择第4题图 30m

20m

=i 填空第1题图

填空第2题图 C

D

B

A

二、填空题：

1、如图，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基下底AB ＝ 米。

2、小明想测量电线杆AB 的高度（如图），发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD ＝4米，BC ＝10

米，CD 与地面成300角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 米（结果保留两位有效数字，2＝1.41，3＝1.73）

三、解答题：

1、在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点A 处观测到河对岸水边处有一点C ，并测得∠CAD ＝450，在距离A 点30米的B 处测得∠CBD ＝300，求河宽CD （结果可带根号）。

第1题图

第2题图 A

第3题图 C B A

2、如图：在小山的东侧A 处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为300的方向飞行，半小时后到达C 处，这时气球上的人发现，在A 处的正西方向有一处着火点B ，5分钟后，在D 处测得着火点B 的府角是150，求热气球升空点A 与着火点B 的距离。（结果保留根号，参考数据：4

2615sin 0

-=

，42615cos 0

+=，3215tan 0-=，

3215cot 0+=）

3、如图：某海域直径为30海里的圆形暗礁区中心有一哨所A ，值班人员发现有一轮船从哨所正西方向45海里的B 处向

哨所驶来。哨所及时向轮船发出危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进15海里到达C 点，才收到此时哨所第二次发出的紧急危险信号。

①若轮船收到第一次危险信号后为避免触礁，应立即改变航向，航向改变的角度应最大为北偏东α，求αsin 的值； ②当轮船收到第二次危险信号时，为避免触礁，轮船立即改变航向。这时轮船航向改变的角度应最大为南偏东多少度？ 4、如图，客轮沿折线A →B →C ，从A 出发经B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮。两船同时起航，并同时到达折线A →B →C 上的某一点E 处。已知AB ＝BC ＝200海里，∠ABC ＝900，客轮速度是货轮速度的2倍。

（1）两船相遇之处E 点（ ） A 、在线段AB 上 B 、在线段BC 上

C 、在线段AB 上，也可以在线段BC 上

（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）

?

第4题图

D C B

A

跟踪训练参考答案

一、选择题：CADC 二、填空题：

1、34米；

2、8.7米； 三、解答题：

1、)15315(+米；

2、)31(980+米；

3、①3

1

sin =

α；②300； 4、（1）B ；（2）)3

6

100200(-

海里。