短时傅里叶变换及其应用

短时傅里叶变换及其应用

1 引言

传统傅里叶变换（Fourier Transform）分析方法已经在众多的领域内产生巨大影响。特别在1965年之后，快速傅里叶变换（FFT）算法的发现及改进使得离散傅里叶变换（DFT）实现了高效的数学实现，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了条件，加速了离散时间信号与系统分析技术的发展。但长久以来，人们也发现了傅里叶分析方法存在的一些不足，正如詹姆斯·凯塞（James F. Kaiser）曾经说过，“最多被使用的信号处理工具是FFT，而最多被滥用的信号处理工具也是FFT”。从20世纪80年代以来，数字信号处理技术在联合时频分析（Joint Time-frequency Analysis）方法方面有了很大的发展，各种联合时频分析方法得到了广泛的研究和应用，并逐渐形成了一套独特的理论体系。它的主要研究对象是非平稳信号或时变信号，主要的任务是描述信号的频谱含量是怎样随时间变化的。短时傅立叶变换（Short-time Fourier Transform，STFT）就是其中的一种最简单的联合时频分析方法。本文具体研究了短时傅里叶分析与综合，测不准原理，STFT 的分辨率，STFT的优缺点和窗函数的相关内容，最后借助MATLAB进行了相应的仿真并对仿真结果进行分析。

2 传统傅里叶变换

2.1 傅里叶变换的定义

连续时间信号s(t)的傅里叶变换（Fourier Transform）的数学表达式：

（2-1）式（2-1）所表示的傅里叶正变换也称为傅里叶分析。

信号s(t)的傅里叶变换的逆变换的数学表达式：

（2-2）

- 1 -

式（2-2）所表示的傅里叶逆变换也称为傅里叶综合。

2.2 傅里叶变换的意义

热的传播与扩散现象是导致傅里叶研究成果的实际物理背景。由式（2-1）可以看出傅里叶变换是一种线性的积分变换，它能够将满足一定条件的某个函数表示成为一组复指数函数的积分。由式（2-2）可以看出S(jω)告诉我们将s(t)表示为不同频率正弦信号的线性组合（就是积分）所需要的信息。傅里叶变换及其逆变换可以将信号的时域描述和频域描述联系起来。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如离散时间傅里叶变换（DTFT）和离散傅里叶变换（DFT）。由式（2-2）容易求出傅里叶变换的逆变换，而且逆变换的形式与正变换非常类似。对用线性常系数微分方程表征的系统运用傅里叶变换的微分性质，这样可容易地求得系统的频率响应。另外在对线性时不变的物理可实现系统进行分析时，系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。卷积定理还指出：傅里叶变换可以化简复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段。离散傅里叶变换可以利用数字计算机快速的实现（FFT）。

基于以上良好的性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

2.3 傅里叶变换的缺陷

2.3.1 不适用于非平稳信号

若一个随机过程ξ(t)的任意的有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数Δ，有

（2-3）则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。可见平稳随机过程具有简明的数字特征：均值与时间t无关，为常数；自相关函数只与时间间隔τ有关。实际中把同时满足这两个条件的过程定义为广义平稳随机过程[1]。如果一个信号不

是广义平稳的，则称它是非平稳的或时变的。

对于非平稳信号而言，由于其频谱含量随时间有较大的变化，要求分析方法能够准确的反映出信号的这种局部时变频谱特性，只了解信号在时域或者频域的全局特性是远远不够的，或者说是不适合的。而傅立叶变换及其逆变换是一种信号的整体变换，要么完全在时域进行分析处理，要么完全在频域进行分析处理，无法给出信号频谱含量随时间的变化规律。为了分析和处理非平稳信号，就需要使用信号的时域和频域的二维联合表示，即联合时频分析方法。

2.3.2 没有局域性

傅里叶变换及其逆变换可以将信号的时域描述和频域描述联系起来。但是通过傅里叶变换建立起来的时域-频域关系无“定位”能力，即若需知道某一频率ω0处的S(jω0)，则需要知道s(t)在-∞

2.3.3 时域与频域分割

傅里叶变换及其逆变换使用的是一种全局的线性处理方法，要么完全在时域，要么完全在频域。尽管时间信息隐含在傅里叶变换结果的相位描述中，但通常是不便于理解的[3]。即单凭傅里叶变换，我们难以弄清楚信号的频率成分随时间是怎样变化的。从时域波形中很难发现它的频率特性；同样的，在频谱图中也难知道具体频率是发生在哪些时间段。

2.4 本章小结

传统傅里叶变换在众多领域产生巨大影响，然而它本身也存在不适用于非平稳信号，没有局域性以及时域与频域分割的缺陷。要克服这些缺陷，就需要寻求联合时频分析方法。

3 短时傅里叶分析及其综合

3.1 STFT提出的背景与基本思想

鉴于传统傅里叶变换的缺陷提出了联合时频分析方法。此概念由尤金·维格纳（Eugene Wigner）于1932年提出，即找到一个二维函数，它可以把信号的时域

分析和频域分析结合起来，联合时频分析的结果既反映了信号的频率内容，也反映了频率内容随时间变化的规律。该方法大体可分为两类：线性联合时频分析方法和非线性联合时频分析方法。线性联合时频分析方法主要包括短时傅里叶变换、Gabor展开及小波变换。对于非线性联合时频分析方法，它包括Wigner-Ville分布和广义的双线性时频分布等[2]。

在1946年，丹尼斯·加博尔（Dennis Gabor）提出了短时傅里叶变换和Gabor 展开的概念。短时傅里叶变换，其基本思想是将信号加窗，将加窗后的信号再进行傅里叶变换。加窗处理使得变换结果为时刻t附近的很小时间段上的局部谱，窗函数可以根据时间t的变化在整个时间轴上平移，即利用窗函数可以将任意时刻t附近的频谱实现时间局域化，从而构成信号的二维时频谱。即使信号s(t)是非平稳的或时变的，但加窗处理将它分成许多小段后，可以假定每一小段的信号都是平稳的，所以短时傅里叶变换也可以用于非平稳信号或时变信号的分析。

3.2 短时傅里叶分析

3.2.1 连续时间短时傅里叶变换

3.2.1.1 数学表达式

连续时间信号s(t)的短时傅里叶变换（Continuous-time STFT）的数学表达式[3]为

（3-1）

上式中为窗函数,通常是实偶的。另有对于连续时间信号s(t)，

，称为内积或点积[3]。

对于连续时间信号s(t)的短时傅里叶变换，其实现原理可以利用图（3-1）所示

的框图表示[2]。

图3-1 Continuous-time STFT的实现原理框图

3.2.1.2 公式涵义

在时域用窗函数去截信号s(t)，同时认为截取下来的局部信号是平稳的。然后对截取下来的局部信号作傅里叶变换，即在t时刻附近计算信号的傅里叶变换；再不断地改变t的数值，也即不断地移动窗函数的中心位置，即可得到不同时刻附近的傅立叶变换，这些傅立叶变换的集合即是STFT(t,ω)。STFT(t,ω)是一个二维的复函数，它表示信号s(t)随时间和频率变化的幅度和相位。短时傅里叶变换可以看成是用基函数来代替傅里叶变换公式中的基函数。

3.2.2 离散时间短时傅里叶变换

离散时间信号s[n]的短时傅里叶变换（Discrete-time STFT）的数学表达式[2]：

（3-2）

3.2.3 离散短时傅里叶变换

在数字信号处理的应用中，有必要将连续时间信号的STFT中每段窗内信号的连续时间傅里叶变换用离散傅里叶变换代替，结果得到的短时傅里叶变换在时间上和频率上都是离散的，这样将便于数字计算机实现。离散短时傅里叶变换

（Discrete STFT）的数学表达式[3]为

（3-3）公式（3-3）中，窗函数每次平移的步长为1点。另有

（3-4）式（3-4）中Δt表示采样时间间隔。是L点的窗函数。容易得出离散短时傅里叶变换在频率上具有周期性，即

（3-5）

其中k=0,±1,±2,±3,…

3.3 短时傅里叶综合

3.3.1 综合的条件[3]

短时傅里叶变换也可以看作是时域到时间-频率域的一个映射。对于任意的时域函数s(t)和窗函数γ(t),这样的映射总是存在的，但是对于短时傅里叶变换的逆变换（短时傅里叶综合）却并不总是这样。换句话说，给定一个函数γ(t)和一个任意的二维函数B(t,ω)，并不一定存在这样一个信号s(t)，使它的短时傅里叶变换等于B(t,ω)。这时，二维函数B(t,ω)就不是一个有效的短时傅里叶变换。

一个简单的例子如下：

（3-6）

4.1节的内容将证明：如果一个信号在时域是有限长的，则该信号在频域即为无限长；反之，如果信号在频域为有限长，则它在时域是无限长的。也就是说，没有信号可以同时满足在时域及频域都是有限长的。那么显然，式（3-6）中的B(t,ω)不是一个有效的时间-频率描述。

一个有效的短时傅里叶变换B(t,ω)的傅里叶逆变换是可分离的，即

（3-7）

式（3-7）中μ和t是等效的时间变量。

3.3.2 一维逆变换表示

如果用短时傅里叶变换的一维逆变换表示，即有

（3-8）在式（3-8）中，μ和t是等效的时间变量，若令μ=t，则

（3-9）3.3.3 二维逆变换表示

考虑

（3-10）若h*(t-τ)=γ(t-τ),则

（3-11）其中

（3-12）

式（3-12）用短时傅里叶变换的二维逆变换来表示s(t)。这里的理解可以是，信号s(t)用基函数展开，而是在时频点（τ,ω）的邻域内对信号s(t)的贡献。

3.4 本章小结

本章首先讨论了短时傅里叶变换提出的背景及基本思想，再研究了STFT的分析与综合。连续时间短时傅里叶变换存在很高的冗余度，而离散短时傅里叶变换则改善了该问题，并且它便于用数字计算机实现，是在工程实践中所采用的分析方法。同样，工程上使用离散短时傅里叶综合，所利用的方法是Gabor展开[3]。

4 测不准原理

测不准原理（Uncertainty Principle），又名不确定性原理，是量子力学的一个基本原理。关于该原理的一个典型的例子就是一个粒子的位置和动量。根据测不准原理，一个粒子的位置（动量）越确定，那么它的动量（位置）就越不确定。测不准原理是大自然最基本的现象之一。

傅里叶变换为测不准原理提供了完美的数学模型，通过傅里叶变换可以解释测不准原理。

4.1 时间长度和频带宽度的关系

由于信号的时域描述与频域描述可以通过傅里叶变换联系起来，因此信号的时间和频率特性就不是相互独立的。当信号具有有限的时间长度，它的频带宽度必然无限宽，反之亦然。即没有信号同时具有有限的时间长度和有限的频带宽度[3]。

为了证明这一事实，可以先反向假设。即假设存在一个非零的信号s(t)同时具有有限的时间长度T和有限的频带宽度B。即s(t)满足式（4-1），

，（4-1）

又由假设条件可得，在时间T的范围内，应该至少能找到一点t0使，即有

，（4-2）将

（4-3）代入式（4-2），则有

，（4-4）再由傅里叶变换的微分性质有

，，（4-5）因此s(t0)总是等于零的，这与假设矛盾，所以假设不成立，从而证明了结论。

4.2 测不准原理

4.2.1 窗的中心和半径

4.2.1.1 时窗

对时窗函数，可仿照力学中的重心和转动惯量来定义时窗中心和时窗半径。时窗中心的数学表达式如式（4-6）所示，

（4-6）时窗半径的数学表达式如式（4-7）所示，

（4-7）这样定义的时窗函数γ(t)的窗口为[]，窗口宽度为。

可以按定义推导出时窗函数γ(t-τ)的时窗中心及时窗半径的数学表达式：

（4-8）

（4-9）4.2.1.2 频窗

时窗函数γ(t)的傅里叶变换Г(jω)为频窗函数。定义频窗中心为

（4-10）频窗半径为

（4-11）这样定义的频窗函数Г(jω)的窗口为[]，窗口宽度为。当频窗平移η后，频窗为Г[j(ω-η)]，相应的频窗中心和频窗半径为

（4-12）

（4-13）4.2.1.3 时-频窗

为了从几何上直观地描述时频局部化，引入了时-频窗。从定义知，γ(t)和Г(jω)分别起着时窗和频窗的作用，在时间－频率坐标系中，时-频窗的构成是时窗和频窗共同作用的结果。用时窗中心、时窗半径、频窗中心和频窗半径表示的时-频窗的窗口为[]×[]，面积为。

4.2.2 测不准原理的证明[3]

设时窗中心及频窗中心均为零，则式（4-7）、式（4-11）变为

（4-14）

（4-15）用代入式（4-15），得到

（4-16）再由帕斯瓦尔（Parseval）定理，

（4-17）由傅里叶变换的微分性质，，则式（4-17）变为

（4-18）所以

（4-19）另由柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）可得，

（4-20）

因此

（4-21）上式中

（4-22）所以

（4-23）

另从式（4-20）可以看出，有当且仅当时，亦即γ(t)的数学表达式是高斯型函数（）时，式（4-20）和式（4-23）中的等号成立，这时时窗半径与频窗半径乘积最小。

式（4-23）说明，决不能同时知道某信号存在的瞬时时刻及其瞬时频率。这在联合时频分析中称为测不准原理或不确定性原理。从物理意义上讲，若Δt是时间的不确定性，那么Δω就是(角)频率的不确定性。同理，若信号是空间变量x的函数s(x)，则其傅里叶变换S(jk)就是空间频率k的函数。于是也就有

（4-24）

再根据波粒二象性关系E=hω，p=hk，则式（4-23）、式（4-24）变为

（4-25）

（4-26）

式（4-25）、式（4-26）就是量子力学中的海森堡(Heisenberg)测不准原理。

4.3 本章小结

本章首先讨论了信号的时域持续时间与频带宽度的关系，即没有信号同时具有有限的时间长度和有限的频带宽度。再研究了联合时频分析中的测不准原理，该原理说明决不能同时知道某信号存在的瞬时时刻及其瞬时频率。为了证明测不准原理，首先介绍了窗函数的中心及半径这两个概念。本章内容为其它章节的论述提供了理论依据。

5 STFT的分辨率

5.1 时间分辨率和频率分辨率互相矛盾

由4.2.1.3节，用和分别表示窗函数的时窗中心和频窗中心，用Δt和Δω分别表示窗函数的时窗半径和频窗半径，则时-频窗的窗口为

[]×[]，面积为。信号s(t)的短时傅里叶变

换STFT(t,ω)描述了信号在时频点(t,ω)的邻域范围内的联合时频特性。为了进行准确的度量，自然希望该邻域的面积尽可能地小，相应地，也就希望Δt和Δω应该尽可能的窄。短时傅里叶变换的分辨率完全取决于窗函数的时窗半径Δt和频窗半径Δω。但是通过第四章的分析可知，窗函数的时窗半径Δt和频窗半径Δω的取值并不是相互独立的。重写测不准原理表达式如下，

（5-1）

可以看出，对于短时傅里叶变换，其时间分辨率和频率分辨率总是互相矛盾的[3]。在信号的时频谱中，不能同时获得高的时间分辨力和频率分辨率，其中一个变窄，另一个就必定变宽。这意味着只能牺牲时间分辨率以换取更高的频率分辨率，或者反过来用频率分辨率的降低来换取时间分辨率的提高。当且仅当γ(t)是高斯型函数时，式（5-1）中等号成立，时窗半径与频窗半径的乘积取得下限。

时间分辨率和频率分辨率的关系可由图（5-1）说明。

图5-1 STFT的分辨率

5.2 理想的时间分辨率

时窗窗口越窄，短时傅里叶分析获得的时频谱的时间分辨率越高。典型的情况就是窗函数取单位冲激信号δ(t)，此时短时傅里叶变换的表达式为：

（5-2）

从式（5-2）可以得出，短时傅里叶变换已经退化为信号，它保留了信号的时间变换，但不提供任何的频率分辨率。

5.3 理想的频率分辨率

当窗函数不变时，即窗函数。此时短时傅里叶变换的表达式为：

（5-3）从式（5-3）可以得出，短时傅里叶变换已退化为傅里叶变换，不提供任何时间分辨力。

5.4 本章小结

以测不准原理为理论依据，本章在5.1节说明了短时傅里叶变换的时间分辨率

和频率分辨率之间的关系，即两者总是相互矛盾的。5.2节和5.3节分别讨论了在两种理想情况下的短时傅里叶变换的分辨率。

6 STFT的优缺点

6.1 短时傅里叶变换的优点

短时傅里叶变换是一种线性的联合时频分析方法，避免了高次型非平稳分析方法中出现的交叉项干扰，适用于多分量信号分析[2]。另外，短时傅里叶变换采用固定的窗函数进行分析且计算方法相对简单，因此与其它的联合时频分析方法相比，短时傅里叶变换在克服了传统傅里叶变换的缺陷的同时也更易于实现。

6.2 短时傅里叶变换的缺陷

6.2.1 不适用于信号编码

信号编码的一个主要任务就是减少冗余，提高编码效率。短时傅里叶变换不适合直接应用于信号编码的关键点是短时傅里叶变换导致数据量的明显增加[4]，从而使冗余度增加。STFT的这一缺陷将在8.1.2节讨论。

6.2.2 时频的聚集性有限

短时傅里叶变换的分析效果很大程度上取决于加窗函数，而鉴于测不准原理，窗函数的时窗半径Δt和频窗半径Δω的乘积存在一个下限，并且两者相互制约。即短时傅里叶变换时频表示的时间分辨率和频率分辨率相互制约，不能兼顾时间分辨率与频率分辨率的需求；另外当且仅当γ(t)是高斯型函数时，时窗半径与频窗半径的乘积取得下限。这样短时傅里叶分析时频表示的时频聚集性便受到影响，即短时傅里叶变换时频表示的时频聚集性是有限的[4]。

6.2.3不具有自适应性

对于短时傅里叶变换，窗函数一旦选定，则在整个分析过程中都使用相同的窗，则其分辨率在时间-频率平面上的所有局域都是相同的[6]。即短时傅里叶变换不具备自适应性，如果要改变分辨率，则需要重新选择窗函数。而对于强时变信号，其频率成分随着时间变化的前后差异比较大，如果对这个信号采用统一的窗函数进行短时傅里叶分析，往往得不到满意的分析结果。短时傅里叶变换的这一

缺陷可通过图（6-1）说明。

图6-1 STFT不具有自适应性

6.3 本章小结

本章主要研究短时傅里叶变换的优点和缺陷。STFT具有便于实现，无交叉项干扰的优点；但作为最简单的联合时频分析方法，STFT存在高冗余，时频聚集性有限和缺乏自适应性的缺陷。要克服这些缺陷，则需要寻求更高级的联合时频分析方法。

7 窗函数（Window Function）

7.1 加窗对原信号的影响

离散时间信号s[n]，时窗函数γ[n]，重写离散时间短时傅里叶变换公式，

（7-1）为了简便，在式（7-1）中令n=0，则有

（7-2）由离散时间傅里叶变换的相乘性质可得

（7-3）式（7-3）中是s[n]的离散时间傅里叶变换，是γ[n]的离散时间傅里叶变换，是与ω等效的频率变量。

由式（7-3）可以看出，零时刻附近的短时傅里叶联合时频分析结果STFT(0,ω)等于s[n]的离散时间傅里叶变换和γ[n]的离散时间傅里叶变换在频域上的卷积。

由上述可见，截断后的序列的频谱与原序列的频谱必然存在差别，这种差别对谱分析的影响主要表现在频谱泄露和谱间干扰两个方面[5]。频谱泄露使频谱分量从其正常频谱扩展开来，即截断后序列的频谱展宽，因此频谱将变模糊，频谱分辨率降低。频谱泄露程度与窗函数幅度频率谱的主瓣宽度直接相关。加窗后，主谱的两边形成很多旁瓣，引起不同频率分量之间的干扰，特别是强信号谱的旁瓣可能湮没弱信号的主谱，或者把强信号谱的旁瓣误认为是另一频率的信号的谱。

7.2 窗函数选取及构造

通过上述分析，在实际的信号分析中，选取或者构造恰当的窗函数是非常重要的，窗函数的特性及参数直接影响短时傅里叶分析结果的优劣。增加窗函数γ[n]的点数N可以使其幅度频率特性的主瓣变窄，减小频谱泄露，从而提高了频率分辨率，但旁瓣的相对幅度并不会减小。为了减小谱间干扰，应选择其它形状的窗函数或构造新的窗函数。但在窗函数γ[n]的点数N一定时，旁瓣幅度越小的窗函数，其主瓣就越宽[5]。另外鉴于测不准原理，窗函数γ[n]的点数N越大，频率分辨率获得了提高，但短时傅里叶变分析结果的时间分辨率就会降低。

因此对于窗函数的选取及构造而言，减小频谱泄露和减小谱间干扰，提高频率分辨率和提高时间分辨率，这两对要求是相互矛盾的。在工程实践中，要根据实际需要进行折衷的选择。在联合时频分析领域一直存在这样的观点，即对低频信号用宽时窗，对高频信号用窄时窗。这一观点的基本出发点是考虑到不同频率

成分的时间持续性。一般，对高频信号，我们希望它有好的时间分辨率以观察其快变部分（如尖脉冲等），即窗函数的时窗半径Δt要小，由于受时窗半径Δt和频窗半径Δω相互制约的影响，这样，频率分辨率必定要下降。反之，对于低频信号，我们希望在低频处有好的频率分辨率，但不可避免的要降低时间分辨率。

7.3 常见窗函数

为了定量地比较各种常见窗函数的性能，给出三个基本频域指标：主瓣宽度B g、旁瓣峰值αn（窗函数的幅度频率谱的最大旁瓣的最大值相对于主瓣最大值的衰减）、阻带最小衰减αs。常见窗函数的基本参数见表（7-1）。

表7-1 窗函数的基本参数[2]

窗函数旁瓣峰值αn/dB主瓣宽度B g阻带最小衰减

αs/dB 矩形窗-13 4π/N21

三角窗-25 8π/N25

汉宁窗-31 8π/N44

海明窗-41 8π/N53

布莱克曼窗-57 12π/N74

凯塞窗可调可调可调

切比雪夫窗可调可调可调

从表（7-1）可以看出，矩形窗（Rectangular Window）的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了谱间干扰和频谱泄漏，甚至出现负频谱现象。三角窗（Bartlett Window）与矩形窗比较，主瓣宽度约等于矩形窗的两倍，但旁瓣却小得多，而且无负旁瓣。升余弦窗——汉宁窗（Hanning Window）、改进的升余弦窗——海明窗（Hamming Window）和二阶升余弦窗——布莱克曼窗（Blackman Window）的幅度频率谱的旁瓣进一步被压缩，但主瓣宽度更宽。凯塞窗（Kaiser Window）全面反映了主瓣和旁瓣衰减之间的变换关系，它定义了一组可调的由零阶贝塞尔（Bessel）函数构成的窗函数，通过调整参数可以在主瓣宽度和旁瓣衰减之间自由选择它们的比重。切比雪夫窗是由一个切比雪夫多项式在单

位圆上作N点等间隔抽样，然后再作DFT反变换得到的[2]。在给定旁瓣高度下，切比雪夫窗的主瓣宽度最小，且具有等波动性，也就是说，其所有的旁瓣都具有相等的高度。

常见窗函数的MATLAB仿真结果比较参见8.2.1节。

7.4 窗函数改进的探讨

短时傅里叶变换固定的时窗宽度使得时间分辨率和频率分辨率也是固定的，而许多工程信号的时变性是很强的，如果仍然用固定的窗函数进行短时傅里叶分析就显得不再合适。因此工程实践当中，用固定的窗函数进行短时傅里叶分析，往往不能在整个时间-频率平面都获得良好的聚集性。

应用短时傅里叶变换分析方法，在对非平稳或时变信号做加窗的局域处理时，认为窗函数内的信号是基本平稳的，这就有了信号的“局部平稳长度[7]”的概念。因此我们可以根据信号的“局部平稳长度”来优化窗函数的时间长度，即在确保窗函数覆盖内容为局部平稳信号的前提下改变窗函数的时间长度，以提高整体分析效果。具体是根据“局部平稳长度”的变化特征把信号分割成相应时间段内的子信号，再采用每个时间段内设计的窗函数对每个子信号分别进行短时傅里叶分析，最后把每个时间段上求得的时频分布拼接成被分析信号的整体时频谱。另外可以根据信号局部特征设计窗函数的类型。但必须考虑的是，如果划分的信号段过多，势必造成信号过多不必要的截断，引起信号变换发生畸变。

相应的MATLAB仿真举例参见8.2.2节。

7.5 本章小结

鉴于窗函数在短时傅里叶分析方法中的重要性，本章重点讨论了加窗对原始信号的影响，窗函数的选取及构造要点，常见窗函数的特点；并在本章最后就根据信号的“局部平稳长度”的变化特征来设定时窗宽度的一种改进的分析方法做了探讨。

8 短时傅里叶变换的应用

8.1 MATLAB仿真中的问题

8.1.1 重叠点数及时间损失

用MATLAB进行STFT仿真分析，用到的函数为spectrogram()，或者是时频分析工具箱中的tfrstft()函数。在两者的调用过程中，都需要设定因移动窗函数而产生的各段子信号的重叠点数，相应地，也就设定了窗函数γ[n]的中心每次平移的点数。M ATLAB默认的分段重叠的点数为窗函数长度点数的一半。由于MATLAB函数spectrogram()的调用格式[b,f,t]=spec trogram(…)返回的时间向量t是窗函数中心位置与信号相交的各个时刻值组成的向量。所以，向量t的第一个值不为0，最后一个值也不对应信号的结束时刻。因此，如果直接对原始信号的序列作加窗处理，则会导致在序列的开始和结束处损失一些数据，从而导致分析结果在时间长度上的损失。

例如，对某信号进行采样，采样频率为12000Hz，得到的序列长度N=24001，作短时傅里叶分析的窗函数长度M=4096，各分段的重叠点数L=4064。则时窗函数平移的次数K需要满足，

（8-1）由式（8-1）可得K=623。进一步可计算出，经过K次平移后窗函数的第2048个点的位置与序列的第21952个点的位置相同。再通过计算得出，序列第21952个点对应的时间约为1.8293s,另外窗函数中心第一次与序列相交的时刻约为0.1707s，则仿真分析获得时频谱时间轴长度约为1.6586s，而原序列的对应的时间长度为2s。因此，在MATLAB仿真得到的时频谱的时间轴上会有总共大约0.3414s的时间损失。为了补回时间的损失，可采用将原序列开始端和结束端补零延长的方法。如在本例中，可以先将原序列从开始端向前补2048个0，再从原序列的结束端向后补2048个0。这样处理原序列后，调用函数spectrogram()返回的向量t的第一个值为0.1707，最后一个值为2.1707，即时间长度为2s。再将向量t各个值减去0.1707得到新的向量，以此向量作为调用mesh()函数时的x轴的变量。仿真结果表明，由上述方法可以补回时间损失，但采取该方法也进一步增大了短时傅里叶分析的计算量。

上例中涉及的*.m文件程序代码见附录A，原序列和补零延长后的序列的

傅里叶变换到计算机实现

傅里叶变换到计算机实现 2013/8/16 Guan Jun 就拿我自身的例子来说，开始接触FFT （快速傅里叶变换）的时候并不是很熟悉，但是这种计算方法的确实很好用。那么，这个doc 我想说的就是，如何从三角变换到FFT 。 01 11 ()(c o s ()s i n ()) n n n f x a a n t b n t ωω+∞ ==++∑,这是说一个周期性函数(T 1)可以分解为不同频率的三角函数的叠加，1 1 1 1 11cos()(e e )/2,sin()(e e )/2jn t jn t jn t jn t n t n t j ωωωωωω--=+=-，带到原函数中，经过整理，令1()()/2n n F n a jb ω=-，1 1()()e jn t f x F n ωω+∞-∞ =∑，再把,n n a b 的表达式（高数书或者 信号与系统说的很清楚）带入1()F n ω中，我们就可以得到11 111 ()()e jn t T F n f x dt T ωω-= ?。以上是周期性函数的傅里叶变换，注意的是1()F n ω画出来的图是：在x 轴上频率ω的坐标为 11111...2,1,0,1,2... n ωωωωωω==--,即一系列间隔为1ω的点，另外也就是说，周期函数的傅里叶变换为频域之后，是分立的频谱，不是连续的。举个栗子，cos(2)x π函数是周期性函数吧，其频率（角频率）为2π，也可写成1，也就是在11f ω±±或者会有值，其余地方就没有。其实到这里，真的不难，因为求1()F n ω也就是带入公式的事么，不借助软件我们都能算好。但是，偏偏有那么一些人没事干非要去研究非周期性函数的傅里叶函数，然后搞出一大堆理论，让我们去学… 废话不多说，如果是非周期性，是不是可以理解为周期无限大？这里的非周期函数也可由周期函数组成，例如在-1x ≤≤1上，()cos(2)f x x π=，其余等0.这是不是非周期性函数？答案很显然.如果非周期性，那么公式不再适用，为什么？这得问数学系的人了。怎么办，把公式变变，1T 移到左边，1n ωω写成(此时频谱是连续的了，为什么，我也不晓得…)那么我 们就将看到最为熟悉的函数：+-()()e j t F f x dt ωω∞ -∞ = ? ，+-1 ()()e 2j t f x F d ωωωπ ∞ ∞ = ?(也有书本写成： +2-()()e j ft F f f x dt π∞ -∞ = ? ，+2-()()e j ft f x F f d f π∞ ∞ = ?).就是把f ωπ写成2，而()() F F f ω中的坐标换成 自此，我们就开始学习一大堆公式，性质啊,我觉得这些性质不是不重要，而是没有实际的 应用！为什么我这么说，因为我们用傅里叶变换，是为了什么？服务于我们的数据，没错，是数据！一堆数据给你，你能看出这函数包含的频率？你能提炼出原函数吗？Okay ，你什么都没有，怎么办，望洋兴叹。 最近写的论文中，我就用到了FFT ，我有图像的曲线，有曲线的数据，而且曲线明显是正余弦函数(只相差/2π相位).大概的频率我也能看出来，但是！这个曲线并不完美，有瑕疵，但是我束手无策，这时计算机粉墨登场了，经过分析我也看出原来还是有很小的其他频率成分包含在里面。也许对傅里叶变换感兴趣的童鞋看过不少人的介绍，说时间连续，时间不连续，频谱连续，频谱不连续。2?2=4，这4种绕来绕去足以崩溃你（这里崩溃作动词).其实，时间连续，就是我上面讲的两种，但一个是周期性函数，一个是非周期，对应的频谱就是分立，连续。那么时间（有时候不一定是时间，也可能是位置）不连续怎么办，其实大多数应用的就是这种方法，就是我们说的采谱，说简单点就是每隔一段时间（距离）采一个点，采点间隔相同，一个点一个值.

MAtlab傅里叶变换实验报告

班级信工142 学号 22 姓名何岩实验组别实验日期室温报告日期成绩报告内容：(目的和要求，原理，步骤，数据，计算，小结等) 1.求信号的离散时间傅立叶变换并分析其周期性和对称性； 给定正弦信号x(t)=2*cos(2*pi*10*t),fs=100HZ,求其DTFT。 (a)代码： f=10;T=1/f;w=-10:0.2:10; t1=0:0.0001:1;t2=0:0.01:1; n1=-2;n2=8;n0=0;n=n1:0.01:n2; x5=[n>=0.01]; x1=2*cos(2*f*pi*t1); x2=2*cos(2*f*pi*t2); x3=(exp(-j).^(t2'*w)); x4=x2*x3; subplot(2,2,1);plot(t1,x1); axis([0 1 1.1*min(x2) 1.1*max(x2)]); xlabel('x(n)');ylabel('x(n)'); title('原信号x1'); xlabel('t');ylabel('x1'); subplot(2,2,3);stem(t2,x2); axis([0 1 1.1*min(x2) 1.1*max(x2)]); title('原信号采样结果x2'); xlabel('t');ylabel('x2'); subplot(2,2,2);stem(n,x5); axis([0 1 1.1*min(x5) 1.1*max(x5)]); xlabel('n');ylabel('x2'); title('采样函数x2'); subplot(2,2,4);stem(t2,x4); axis([0 1 -0.2+1.1*min(x4) 1.1*max(x4)]); xlabel('t');ylabel('x4'); title('DTFT结果x4'); （b）结果： 2.用以下两个有限长序列来验证DTFT的线性、卷积和共轭特性； (n) x1(n)=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12];x2(n)=R 10 (1)线性:（a）代码： w=linspace(-8,8,10000); nx1=[0:11]; nx2=[0:9]; x1=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12];

短时傅立叶变换试验

短时傅立叶变换试验 为了克服傅立叶变换的时频局部化方面的不足，也是为了对时域信号作局部分析，D.Gabor 于1946年提出了窗口傅立叶变换（简记为WFT ）。 WFT 的公式形式 ()(,)()()j w t R G f w b f t w t b e d t -=-?()(,)()()j w t R G f w b f t w t b e d t -=-? 其中，实函数w(t)为是时窗函数，窗函数w(t)具有较强的衰减性，所以要精心选择窗函数。 下面是一个短时傅立叶变换的代码程序 function timefreq(x,Nw,window) % 待分析信号，行向量，Nw 时窗宽度 subplot(2,2,1); plot(real(x));%描绘待分析信号 X=fft(x);%快速傅里叶变换 X=fftshift(X);%调整0频位置 subplot(2,2,2); plot(abs(X));%描绘幅度谱 Lap=Nw/2;%重叠宽度 Tn=(length(x)-Lap)/(Nw-Lap);%计算分段数目 nfft=2^ceil(log2(Nw));%做fft 的点数 TF=zeros(Tn,nfft);%时频矩阵 for i=1:Tn if(strcmp(window,'rec')) Xw=x((i-1)*10+1:i*10+10);%加窗矩形处理 elseif(strcmp(window,'Hamming')) Xw=x((i-1)*10+1:i*10+10).*Hamming(Nw)';%加hamming 处理 elseif(strcmp(window,'Blackman')) Xw=x((i-1)*10+1:i*10+10).*Blackman(Nw)';%加black 处理 elseif(strcmp(window,'Gauss')) Xw=x((i-1)*10+1:i*10+10).*Gauss(Nw)';%加Gauss 处理 else return; end temp=fft(Xw,nfft);%求fft temp=fftshift(temp);%调整0频位置 TF(i,:)=temp;%保存分段fft 结果 end %绘制时频分析结果 subplot(2,2,3); fnew=((1:nfft)-nfft/2)/nfft; tnew=(1:Tn)*Lap; [F,T]=meshgrid(fnew,tnew); mesh(T,F,abs(TF)); xlabel('n');ylabel('w');zlabel('Gf');

傅里叶变换在信号处理中的应用

傅里叶变换在信号处理中的应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、

概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。 尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是，现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质，使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇： 1.傅立叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子； 2.傅立叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似； 3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； 4.著名的卷积定理指出：傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； 5.离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅立叶变换算法（FFT)). 正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

有関傅立叶变换的FPGA实现 傅立叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。然而，快速傅立叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。 离散傅里叶变换的应用 DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。需要指出的是，所有DFT的实际应用都依赖于计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法，即快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（即FFT）是计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法。）。 1.频谱分析 DFT是连续傅里叶变换的近似。因此可以对连续信号x(t)均匀采样并截断以得到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号x(t)频谱的性质。前面还提到DFT应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏。可以通过选择适当的采样频率（见奈奎斯特频率）消减混叠。选择适当的序列长度并加窗可以抑制频谱泄漏。 2.数据压缩 由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用

傅立叶变换的原理、意义和应用

傅立叶变换的原理、意义和应用 1概念：编辑 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。 参考《数字信号处理》杨毅明著，机械工业出版社2012年发行。 定义 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换 中文译名 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译

名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。 相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； * 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).[1] 2性质编辑 线性性质 傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于

短时傅里叶变换matlab程序

function [Spec,Freq]=STFT(Sig,nLevel,WinLen,SampFreq) %计算离散信号的短时傅里叶变换； % Sig 待分析信号； % nLevel 频率轴长度划分（默认值512）； % WinLen 汉宁窗长度（默认值64）； % SampFreq 信号的采样频率（默认值1）； if (nargin <1), error('At least one parameter required!'); end; Sig=real(Sig); SigLen=length(Sig); if (nargin <4), SampFreq=1; end if (nargin <3), WinLen=64; end if (nargin <2), nLevel=513; end nLevel=ceil(nLevel/2)*2+1; WinLen=ceil(WinLen/2)*2+1; WinFun=exp(-6*linspace(-1,1,WinLen).^2); WinFun=WinFun/norm(WinFun); Lh=(WinLen-1)/2; Ln=(nLevel-1)/2; Spec=zeros(nLevel,SigLen); wait=waitbar(0,'Under calculation,please wait...'); for iLoop=1:SigLen, waitbar(iLoop/SigLen,wait); iLeft=min([iLoop-1,Lh,Ln]); iRight=min([SigLen-iLoop,Lh,Ln]); iIndex=-iLeft:iRight; iIndex1=iIndex+iLoop; iIndex2=iIndex+Lh+1; Index=iIndex+Ln+1; Spec(Index,iLoop)=Sig(iIndex1).*conj(WinFun(iIndex2)); end; close(wait); Spec=fft(Spec); Spec=abs(Spec(1:(end-1)/2,:));

傅里叶变换在信号处理中的应用

傅里叶变换在信号处理中的应用 姓名董柱班级电气工程及其自动化学号1109141013 摘要： 傅里叶变换是一种特殊的积分变换。通过傅里叶变换把信号的从时域变换到频域研究，采用频域法较之经典时域的方法有很多突出的优点，虽然傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法，但是不得不承认，在此领域中，傅里叶变换分析始终有着广泛的应用，通过傅里叶变换实现信号的滤波，调制，抽样是傅里叶变换在信号处理中最主要的作用。通过对信号的调制可以将信号的低频成分调制到高频，实现频谱搬移，减少马间串扰，提高抗噪声新能，有利于信号的远距离传输，另外，对信号采样可以使连续信号离散化，有利于用计算机对信号进行处理，总之，傅里叶变换在信号处理中有着非常重要的作用。傅里叶变换是学习其他频域变换的基础。 关键词： 傅里叶变换，时域，频域，信号处理，信息科学与技术，滤波，调制，抽样。 一傅里叶变换 1.定义 f(t）是t的函数，如果t满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅立叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅立叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ① 傅里叶变换 傅里叶逆变换 2.分类 连续傅立叶变换：一般情况下，若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅立叶变换”。“连续傅立叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。 f(t) = \mathcal^[F（ω）] = \frac{\sqrt{2π}} \int\limits_{-\infty}^\infty F（ω）e^{iωt}\,dω.

快速傅里叶变换(FFT)原理及源程序

《测试信号分析及处理》课程作业 快速傅里叶变换 一、程序设计思路 快速傅里叶变换的目的是减少运算量，其用到的方法是分级进行运算。全部计算分解为M 级，其中N M 2log =；在输入序列()i x 中是按码位倒序排列的，输出序列()k X 是按顺序排列；每级包含2N 个蝶形单元，第i 级有i N 2 个群，每个群有12-i 个蝶形单元； 每个蝶形单元都包含乘r N W 和r N W -系数的运算，每个蝶形 单元数据的间隔为12-i ，i 为第i 级； 同一级中各个群的系数W 分布规律完全相同。 将输入序列()i x 按码位倒序排列时，用到的是倒序算法——雷德算法。 自然序排列的二进制数，其下面一个数总比上面的数大1，而倒序二进制数的下面一个数是上面一个数在最高位加1并由高位向低位仅为而得到的。 若已知某数的倒序数是J ，求下一个倒序数，应先判断J 的最高位是否为0，与2 N k =进行比较即可得到结果。如果J k >，说明最高位为0，应把其变成1，即2 N J +，这样就得到倒序数了。如果J k ≤，即J 的最高位为1，将最高位化为0，即2N J -，再判断次高位；与4N k =进行比较，若为0，将其变位1，即4 N J +，即得到倒序数，如果次高位为1，将其化为0，再判断下一位……即从高位到低位依次判断其是否为1，为1将其变位0，若这一位为0，将其变位1，即可得到倒序数。若倒序数小于顺序数，进行换位，否则不变，防治重复交换，变回原数。 注：因为0的倒序数为0，所以可从1开始进行求解。 二、程序设计框图 （1）倒序算法——雷德算法流程图

(2)FFT算法流程

傅里叶变换

研究生课程论文（作业）封面 （ 2014 至 2015 学年度第 1 学期） 课程名称：__________________ 课程编号：__________________ 学生姓名：__________________ 学号：__________________ 年级：__________________ 提交日期：年月日 成绩：__________________ 教师签字：__________________ 开课---结课：第周---第周 评阅日期：年月日 东北农业大学研究生部制

积分变换在工程上的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的积分变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用，并在分离变数法中对齐次方程及非齐次方程进行了区分。傅里叶变换在不同的领域有不同的形式，诸如现代声学，语音通讯，声纳，地震，核科学，乃至生物医学工程等信号的研究发挥着重要的作用。 关键词：傅里叶变换；偏微分方程；数字信号处理 1 概要介绍 积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 1.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。——（1） 2.傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。 3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。 ()()()()()()?? ? ??-++=-? ? ∞ +∞ +∞ -.,200,]cos [1 其它连续点处， 在t f t f t f t f d d t f ωττωτπ 当()t f 满足一定条件时，在()t f 的连续点处有：

快速傅里叶变换原理及其应用(快速入门)

快速傅里叶变换的原理及其应用 摘要 快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换. 虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。 关键词快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用

Abstract Fast Fourier Transform (FFT), is a discrete fast Fourier transform algorithm, which is based on the Discrete Fourier Transform of odd and even, false, false, and other characteristics of the Discrete Fourier Transform algorithms improvements obtained. Its Fourier transform theory has not found a new, but in the computer system or the application of digital systems Discrete Fourier Transform can be said to be a big step into. Fourier transform theory and methods in the "mathematical equation" and "linear systems analysis" and "signal processing, simulation," and many other areas have a wide range of applications, as the computer can only handle a limited length of the sequence of discrete, so true On the computer's operation is a discrete Fourier transform. Fourier Although all aspects of computing in the calculation has an important role, but its calculation was too complicated, a lot of computing system for calculating the burden is too large for some Less power consumption, the slow speed of operation of its system at arm's length, however, have the fast Fourier transform, Fourier transform greatly simplifying the making, not in power at the expense of the conditions to increase the speed of computing systems, and enhance the system The comprehensive ability to improve the speed of operation, the Fast Fourier Transform in the production and life have a very important role in learning to master all have great significance. Key words Fast Fourier Transform; fast algorithm; simplified; widely used

傅里叶变换及应用

傅里叶变换在MATLZB里的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。 关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种

傅里叶变换在信号与系统系统中的应用

河北联合大学 本科毕业设计（论文） 题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 院系理学院 专业班级07数学一班 学生姓名刘帅 学生学号200710050113 指导教师佟玉霞 2011年5月24日

题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 专业数学与应用数学姓名刘帅学号200710050113 主要内容、基本要求、主要参考资料等 主要内容 傅里叶变换是一种重要的变换，且在与通信相关的信号与系统中有着广泛的应用。本文主要研究傅里叶变换的基本原理；其次，掌握其在滤波，调制、解调，抽样等方面中的应用。分析了信号在通信系统中的处理方法，通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理，由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍。 基本要求 通过傅里叶变换实现一个高通滤波，低通滤波，带通滤波。用傅里叶变换推导出信号调制解调的原理。通过抽样实现连续信号离散化，简化计算。另外利用调制的原理推导出通信系统中的时分复用和频分复用。 参考资料 [1]《信号与系统理论、方法和应用》徐守时著中国科技大学出版社 2006年3月修订二版 [2]《信号与系统》第二版上、下册郑君里、应启珩、杨为理著高等教育出版社 [3]《通信系统》第四版 Simon Haykin 著宋铁成、徐平平、徐智勇等译沈 连丰审校电子工业出版社 [4]《信号与系统—连续与离散》第四版 Rodger E.Ziemer 等著肖志涛等译 腾建辅审校电子工业出版社 [5]《现代通信原理》陶亚雄主编电子工业出版社 [6]《信号与系统》乐正友著清华大学出版社 [7]《信号与线性系统》阎鸿森、王新风、田惠生编西安交通大学出版社 [8]《信号与线性系统》张卫钢主编郑晶、徐琨、徐建民副主编西安电 子科技大学出版社 [9] https://www.wendangku.net/doc/c75866232.html,/view/191871.htm//百度百科傅里叶变换 [10]《通信原理》第六版樊昌信曹丽娜编著国防工业出版社 [11]A．V．Oppenheim,A.S.Willsky with S.H.Nawab.Siganals and systems(Second edition).Prentice-Hall,1997.中译：刘树棠。信号与系统。西安交通工业大学出版社 完成期限 指导教师 专业负责人

短时傅里叶变换

短时距傅里叶变换(英文：short-time Fourier transform, STFT，又称short-term Fourier transform)是和傅里叶变换相关的一种数学变换关系，用以决定时变信号其局部段落之弦波成份的频率与相位。 简单来说，在连续时间的例子，一个函数可以先乘上仅在一段时间不为零的窗函数(window function)再进行一维的傅里叶变换。再将这个窗函数沿着时间轴挪移，所得到一系列的傅里叶变换结果排开则成为二维表象。数学上，这样的操作可写为： 其中w(t)是窗函数，通常是翰氏窗函数(Hann window)或高斯函数的“丘型”分布，中心点在零，而x(t)是待变换的信号。X(τ,ω)本质上是x(t)w(t?τ)的傅里叶变换，乃一个复函数代表了信号在时间与频率上的强度与相位。 短时傅里叶变换（STFT，short-time Fourier transform，或 short-term Fourier transform)）是和傅里叶变换相关的一种数学变换，用以确定时变信号其局部区域正弦波的频率与相位。 它的思想是：选择一个时频局部化的窗函数，假定分析窗函数g(t)在一个短时间间隔内是平稳（伪平稳）的，移动窗函数，使f(t)g(t)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。短时傅里叶变换使用一个固定的窗函数，窗函数一旦确定了以后，其形状就不再发生改变，短时傅里叶变换的分辨率也就确定了。如果要改变分辨率，则需要重新选择窗函数。短时傅里叶变换用来分析分段平稳信号或者近似平稳信号犹可，但是对于非平稳信号，当信号变化剧烈时，要求窗函数有较高的时间分辨率；而波形变化比较平缓的时刻，主要是低频信号，则要求窗函数有较高的频率分辨率。短时傅里叶变换不能兼顾频率与时间分辨率的需求。短时傅里叶变换窗函数受到W.Heisenberg不确定准则的限制，时频窗的面积不小于2。这也就从另一个侧面说明了短时傅里叶变换窗函数的时间与频率分辨率不能同时达到最优。

傅里叶变换的应用

傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 3.图像特征提取： 形状特征：傅里叶描述子 纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征 其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩 可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换； 傅立叶变换 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）; 时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变； 频移性：函数在时域中乘以e^jwt，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）； 卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里面这个是个重点） 信号在频率域的表现 在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化

快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式

快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式 原理及公式 非周期性连续时间信号x(t)的傅里叶变换可以表示为 式中计算出来的是信号x(t)的连续频谱。但是，在实际的控制系统中能够得到的是连续信号x(t)的离散采样值x(nT)。因此需要利用离散信号x(nT)来计算信号x(t)的频谱。 有限长离散信号x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT定义为： 可以看出，DFT需要计算大约N2次乘法和N2次加法。当N较大时，这个计算量是很大的。利用WN的对称性和周期性，将N点DFT分解为两个N／2点 的DFT，这样两个N／2点DFT总的计算量只是原来的一半，即(N／2)2+(N／2)2=N2／2，这样可以继续分解下去，将N／2再分解为N／4点DFT等。对于N=2m点的DFT都可以分解为2点的DFT，这样其计算量可以减少为(N／2)log2N 次乘法和Nlog2N次加法。图1为FFT与DFT-所需运算量与计算点数的关系曲线。由图可以明显看出FFT算法的优越性。 将x(n)分解为偶数与奇数的两个序列之和，即

x1(n)和x2(n)的长度都是N／2，x1(n)是偶数序列，x2(n)是奇数序列，则 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N／2点DFT。由于X1(k)和X2(k)均以N／2为周期，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示为： 上式的运算可以用图2表示，根据其形状称之为蝶形运算。依此类推，经过m-1次分解，最后将N点DFT分解为N／2个两点DFT。图3为8点FFT的分解流程。 FFT算法的原理是通过许多小的更加容易进行的变换去实现大规模的变换，降低了运算要求，提高了与运算速度。FFT不是DFT的近似运算，它们完全是等效的。 关于FFT精度的说明： 因为这个变换采用了浮点运算，因此需要足够的精度，以使在出现舍入误差时，结果中的每个组成部分的准确整数值仍是可辨认的。为了FFT的舍入误差，应该允许增加几倍log2(log2N)位的二进制。以256为基数、长度为N字节的数

短时傅里叶变换的有关资料

短时傅里叶变换短时傅里叶变换（STFT，short-time Fourier transform，或short-term Fourier transform)）是和傅里叶变换相关的一种数学变换，用以确定时变信号其局部区域正弦波的频率与相位。它的思想是：选择一个时频局部化的窗函数，假定分析窗函数g(t)在一个短时间间隔内是平稳（伪平稳）的，移动窗函数，使f(t)g(t)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。短时傅里叶变换使用一个固定的窗函数，窗函数一旦确定了以后，其形状就不再发生改变，短时傅里叶变换的分辨率也就确定了。如果要改变分辨率，则需要重新选择窗函数。短时傅里叶变换用来分析分段平稳信号或者近似平稳信号犹可，但是对于非平稳信号，当信号变化剧烈时，要求窗函数有较高的时间分辨率；而波形变化比较平缓的时刻，主要是低频信号，则要求窗函数有较高的频率分辨率。短时傅里叶变换不能兼顾频率与时间分辨率的需求。短时傅里叶变换窗函数受到W.Heisenberg不确定准则的限制，时频窗的面积不小于2。这也就从另一个侧面说明了短时傅里叶变换窗函数的时间与频率分辨率不能同时达到最优。 短时距傅里叶变换 维基百科，自由的百科全书 汉漢▼

[编辑]与傅里叶转换在概念上的区别 将信号做傅里叶变换后得到的结果，并不能给予关于信号频率随时间改变的任何信息。以下的例子作为说明： 傅里叶变换后的频谱和短时距傅里叶转换后的结果如下： 傅里叶转换后, 横轴为频率(赫兹) 短时距傅里叶转换, 横轴为时间( 秒 ) ， 纵轴 为频率(赫兹) 由上图可发现，傅里叶转换只提供了有哪些频率成份的信息，却没有提供时间信息；而短时傅里叶转换则清楚的提供这两种信息。这种时频分析的方法有利于频率会随着时间改变的信号(例如:音乐信号、语音信号等)分析。 [编辑]定义 [编辑]数学定义 简单来说，在连续时间的例子，一个函数可以先乘上仅在一段时间不为零的窗函数再进行一维的傅里叶变换。再将这个窗函数沿着时间轴挪移，所得到一系列的傅里叶变换结果排开则成为二维表象。数学上，这样的操作可写为： 另外也可用角频率来表示：

图像傅里叶变换详解

图像傅里叶变换 冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样, 傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 Fourier theory讲的就是：任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号的叠加，在图像领域就是将图像brightness variation 作为正弦变量。比如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频率f、幅值A、相位γ这 三个value可以描述正弦图像中的所有信息。1.frequency frequency在空间域上可由亮度调节，例如左图的frequency比右图的frequency 低…… 2.幅值magnitude（amplitude）sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和最暗的峰值之间的差。（一个负幅值表示一个对比逆转，即明暗交换。） 3.相位表示相对于原始波形，这个波形的偏移量（左or右）。=================================================================一个傅里叶变换编码是一系列正弦曲线的编码，他们的频率从0开始（即没有调整，相位为0，平均亮度处），到尼奎斯特频率（即数字图像中可被编码的最高频率，它和像素大小、resolution有关）。傅里叶变换同时将图像中所有频率进行编码：一个只包含一个频率f1的信号在频谱上横坐标f为f1的点处绘制一个单峰值，峰值高度等于对应的振幅amplitude，或者正弦曲线信号的高度。如下图所示。

图像处理与傅里叶变换原理与运用

图像处理与傅里叶变换 1背景 傅里叶变换是一个非常复杂的理论，我们在图像处理中集中关注于其傅里叶离散变换离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform) 。 1.1离散傅立叶变换 图象是由灰度（RGB ）组成的二维离散数据矩阵，则对它进行傅立叶变换是离散的傅立叶变换。 对图像数据f(x,y)（x=0,1,… ,Ｍ-1； y=0,1,… ,N-1）。则其离散傅立叶变换定义可表示为： 式中，u=0,1,…, M-1;v= 0,1,…, N-1 其逆变换为 式中，x=0,1,…, M-1;y= 0,1,…, N-1 在图象处理中，一般总是选择方形数据，即Ｍ＝Ｎ 影像f(x,y)的振幅谱或傅立叶频谱： 相位谱： 能量谱（功率谱） ) 1(2exp ),(1),(101 ∑∑ -=-=????? ???? ??+-= M x N y N vy M ux i y x f MN v u F π) 2(2exp ),(1),(101 ∑∑ -=-=????? ???? ??+= M u N v N vy M ux i v u F MN y x f π) ,(),(),(2 2 v u I v u R v u F +=[] ),(/),(),(v u R v u I arctg v u =?) ,(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==

1.2快速傅里叶变化 可分离性的优点是二维的傅立叶变换或逆变换由两个连续的一维傅立叶变换变换来实现，对于一个影像f(x,y)，可以先沿着其每一列求一维傅立叶变换，再对其每一行再求一维变换 正变化 逆变换 由于二维的傅立叶变换具有可分离性，故只讨论一维快速傅立叶变换。 正变换 逆变换 由于计算机进行运算的时间主要取决于所用的乘法的次数。 按照上式进行一维离散由空间域向频率域傅立叶变换时，对于N 个F ∑ ∑∑∑ -=-=-=-=? ???? ? ?????? ? = ?? ???? +=1 1 0101 )(2exp ),(1 )(2exp ),(1 )(2exp ),(1),(N v N u N u N v N vy i v u F N N ux i v u F N N vy ux i v u F NN y x f πππ∑ -=?? ? ???-= 1 2exp )(1)(N x N ux i x f N u F π∑ ∑ ∑∑ -=-=-=-=? ???? ? -?????? ? -= ?? ???? +-= 1 1 101 )(2exp ),(1 )( 2exp ),(1 )(2exp ),(1),(N y N x N x N y N vy i y x f N N ux i y x f N N vy ux i y x f NN v u F πππ∑ -=?? ????= 1 2exp )(1)(N u N ux i u F N x f π