曲面的参数方程

第二章 曲面论

第二节 曲面的参数方程

一、 曲面的参数方程

设曲面∑是由显式

D y x y x f z ∈=),(),,( 所表示。

设),,(z y x 是曲面∑上的点， 记向量),,(z y x r = ，则它们可构成一一对应。

于是曲面∑上的点可以用向量值函数 D y x y x f y x r ∈=),()),,(,,( 来表示，

也可以写为参数形式

?????===),(,

,y x f z y y x x D y x ∈),(。

一般地，设3),(R v u r r ∈= ，

其中参数?∈),(v u ，

这里?是2R 中的一个区域。

我们称由

3),(R v u r r ∈= ，?∈),(v u ，

所构成的3R 中点集∑为一张参数曲

面，（即曲面∑，可以表示为参数方程表示的点集。）

记为?∈=∑),(),,(:v u v u r r ，（1）

把（1）用分量表示出来，就是 ?????===),(),(),,(v u z z v u y y v u x x ，?∈),(v u （2）

通常，我们称（1）是曲面∑的向量方程，而（2）是曲面∑的参数方程。

显然方程（1）和（2）之间的转换是直截了当的，所以我们可以认为（1）与（2）是一回事。

二、 几个常见曲面的

参数方程表示

例1 平面的参数方程

设30000),,(R z y x p ∈= 是一个固定的点，

),,(321a a a a = 与),,(321b b b b = 是自0p 出发的两个不平行的向量。这时，由a 与b 张成的平面可以用向量方程， 20),(,R

v u b v a u p r ∈++=

来表示；

写成分量表示为

v b u a x x 110++=，

v b u a y y 220++=，

v b u a z z 330++=，

即方程组

0)()(1)(110=-+-+?-v b u a x x ，

0)()(1)(220=-+-+?-v b u a y y ，

0)()(1)(330=-+-+?-v b u a z z

有非零解),,1(v u --，

所以，有

032

1321

000

=---b b b a a a z z y y x x 。 例2、 圆柱面222:x y a ∑+=

的参数方程为

(cos ,sin ,)r a a z θθ=，

其中参数的变化范围是

02θπ≤≤，z -∞<<+∞ 。

例3、 球心在坐标原点，半径为a 的球面2222:a z y x =++∑， 有参数方程

(sin cos ,sin sin ,cos )r a a a θ?θ?θ=， 其中参数的变化范围是

0,02θπ?π≤≤≤≤，

参数?θ,的意义，分别表示纬度和经度，见图所示。

例4、 椭球面1:22

2222=++∑c z b y a x ， 的参数方程表示为

,cos sin ?θa x =

,sin sin ?θb y =

,cos θc z =

这里πθ≤≤0，π?20≤≤ 。 例5、考虑xOz 平面上的一曲线 :()0,(),x x t z z t a t b Γ=>=≤≤。 把此曲线绕z 轴旋转一周， 则得一曲面∑，称∑为旋转曲面。

∑的参数表示为

()cos x x t θ=，

()sin ,y x t θ=

(),z z t =

或(()cos ,()sin ,())r x t x t z t θθ=。 这里02θπ≤≤， a

t b ≤≤。 例6、圆曲线

)0()(222b a a z b x ≤<=+- 绕z 轴旋转所得旋转曲面∑称为圆环面，∑的方程为

)0()(22222b a a z b y x ≤<=+-+； ∑的参数表示为：?ψcos )cos (a b x +=，?ψsin )cos (a b y +=，ψsin a z =， π?20≤≤，πψπ≤≤-； 常数=?时曲面上的曲线称为经线，常数=ψ时曲面上的曲线称为纬线。

三、 曲面参数方程表示的几何意

义。（曲线坐标）

1. 平面到曲面的映射

曲面?????===∑)

,(),(),,(:v u z z v u y y v u x x ，?∈),(v u （2） 即映射∑=?→?)(:r r ，

也就是说，任给定一点

?∈),(00v u ,代入方程（2）可算得∑ 上的一点),,(0000z y x p =，

其中

),(),,(),,(000000000v u z z v u y y v u x x ===。

当然，不同的参数对可能对应着∑上的同一点，这时曲面∑出现自交的现象。

2. 曲线坐标网

用分别平行于u 轴和v 轴的直线，将?分成网格，则在曲面∑得到对应的曲线网。

实例，切菜条（对菜体面的横切线、竖切），切土豆丝（土豆曲面的横切线、竖切），

撑开的鱼网面上的网线，编织袋曲面上的网线，

棉布面上的网线，军事伪装网面上的网线等。

现在，令0u u =，在参数区域?上，这是一段平行于v 轴的直线，这时，将0u u =代入方程，得出

),(),,(),,(000v u z z v u y y v u x x ===， 它是单参数v 的方程，对应着曲面∑上的一段曲线，这类曲线被称为曲面∑上的v 曲线（因为只有参数v 在变化），不同的0u u =就对应着不同的v 曲线，所有的v 曲线族就覆盖住了曲面∑。

类似地，若令0v v =，那么曲面∑上的曲线

),(),,(),,(000v u z z v u y y v u x x === 称为∑上的u 曲线（因为只有参数u 在变化），不同的0v v =就对应着不同的u 曲线，所有的u 曲线族就覆盖住了整个曲面∑。

一般地说，曲面∑上的一点，只有一条u 曲线和一条v 曲线通过。

例如说，过曲面∑上的点),(00v u r 只有u 曲线0v v =（即0(,)r u v ）和v 曲线0u u =（0(,)r u v ）通过。

我们说，),(00v u 是曲面∑上的点),(00v u r 的曲线坐标，以后，我们干脆称?∈),(00v u 是曲面上的点。

让我们来看例2，这时球面上的θ曲线的方程是常数=?，它们是球面上的经线；而球面上的?曲线的方程

是常数=θ，它们是球面上的纬线；当常数θ属于)2,0(π时，是北纬线； 当常数θ属于),2(ππ时，是南纬线。 很明显，除了南极和北极两点之外，球面上的其他点只有唯一的一条经线和唯一的一条纬线通过。

四、 曲面的切平面和法向量

0000(,)((,),(,),(,))r u v x u v y u v z u v = 是曲面∑上的u 曲线，

偏导向量

00000(,)(,)((,),(,),(,))r u v dr u v x y z u v u v u v u du u u u

????==???? 是曲面∑上的u 曲线0v v =（0(,)r u v ）的切向量；

类似地， 00000(,)(,)((,),(,),(,))r u v dr u v x y z u v u v u v v dv v v v

????==???? 是曲面∑上的v 曲线0u u =0((,))r u v 的切

向量。

特别地，偏导向量00(,),r u v u ??00(,),r u v v ??

分别是曲面∑上的点00(,)r u v 处的u 曲线的切向量和v 曲线的切向量。

为了进一步认识这两个向量和几何意义，我们继续开展下面的讨论。 设)(),(t v v t u u ==是?中的一段曲线，并设

?∈),(00v u ，

)(),(0000t v v t u u ==。 这一段曲线在映射r 之下，变成曲面∑上的一条曲线，它经过∑上的点),(000v u r p =，所以，我们可以直接称)(),(t v v t u u ==是∑上过),(000v u r p =这一点的曲线，它的向量方程是))(),((t v t u r r =，

对t 求导，由链式法则，可得 )()(t v v

r t u u r dt r d '??+'??= ，

将0t t =代入上式，我们有 )(),()()(|00000,00t v v u v

r t u v u u r dt r d t t '??+'??== ， 此式表示：曲面∑上过点)

,(000v u r p =的任何一条曲线，它在),(000v u r p =处

的切向量，都是),(),(000,0v u v r v u u r ???? 的线

性组合，也就是说，曲面∑上过点),(000v u r p =的任何一条曲线在),(000v u r p =处的切线在同一平面上，它就是由),(),(000,0v u v

r v u u r ???? 这两个向量张成的平面，当然要设这两个向量不共线。

我们把这个平面定义为曲面∑在处),(000v u r p =的切平面，切平面方程为

),()(000,00v u v

r v u u r p r ??+??+= μλ， 其中2),(R ∈μλ 。

也可以写出切平面方程的一般形式。

而把向量),()(000,0v u v r v u u r ????? 当成曲

面∑在点),(000v u r p =处的一个法向量，因此，曲面∑在点),(000v u r p =处有法向量),()(000,0v u v r v u u r ????? 。

法线的方程亦可写出来。

法向量的计算公式：

(,,)u r x y z r u u u u

????==????， (,,)v r x y z r v v v v

????==????， u v r r ?v x v x v x

u z u y u x k j i

????????????=

（将此行列式按第一行展开）

k v u y x j v u x z i v u z y ),(),(),(),(),(),(??+??+??= 。

五、 曲面的第一基本量

由于

2222

||||||||||||sin (,)u v u v u v r r r r r r ?=22222||||||||||||||||cos (,)u v u v u v r r r r r r =-222

||||||||()u v u v r r r r =-?，

记 2222||||()()()u x y z E r u u u ???==++???， u v F r r =?

),,(u

z u y u x ??????=),,(v z v y v x ??????? u y v x u x ??+????=v z u z v y ????+??，

2

222||||()()()v x y z G r v v v ???==++???。 我们把G F E 和,，称为曲面∑的第一基本量。

因此，

||||u v r r EG ?= 。

从而

1||||u v u v u v r r r r r r EG ?=?? 是曲面∑上的单位法向量，

用n 来记，即||||u v u v

r r n r r ?=? ； ||||u v u v r r r r ?-?也是曲面∑上的单位法向量。

我们令||||u v u v r r n r r ?=±?。

六、正则曲面

设曲面∑的参数方程为

?∈=∑),(),,(:v u v u r r ， ),(v u r 具有一阶连续偏导数，设?∈),(00v u ，若00(,)|0u v u v r r ?≠，则称00(,)r u v 为曲面的∑上的正则点；否则，称为奇点；

当曲面∑上的所有点都是正则点时，称∑为正则曲面。

今后，凡是讲到曲面，都是指正则曲面。我们附加“正则”这一条件的原因，在于保证曲面上处处存在着切平面和法向量。

七、举例

例3 求球面2

222:a z y x =++∑

的法向量。

解：方法一

设2222),,(a z y x z y x F -++=， 曲面0),,(:=∑z y x F ， 法向量：),,(2,,z y x z F y F x F =???

? ????????， 单位外法向量为),,(a z a y a x n =； 方法二：

(sin cos ,sin sin ,cos )r a a a θ?θ?θ=， (cos cos ,cos sin ,sin )r a θθ?θ?θ=-， (sin sin ,sin cos ,0)r a ?θ?θ?=-，

所以 22E r a θ== ，

0F r r θ?=?= ，

(,r r θ?即与正交称为正交曲线网） 222sin G r a ?θ==，

得出θsin 22a F EG =-，

并且

2sin (sin cos ,sin sin ,cos )r r a θ?θθ?θ?θ?= 因此，球面的单位法向量是 (sin cos ,sin sin ,cos )θ?θ?θ， 对照球面的参数方程，

),,(1,,z y x a

a z a y a x =??? ??=上式， 这是球面上的点的径向量除以球的半径，正好是球的单位外法向量。

4.5常见曲面的参数方程

§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径，即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ，则 )())(())((112 1212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ??? ????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ???? ??<≤≤≤πθ20b t a （4.5.1） 特别地，当母线P 为坐标面XOZ 上的径线 )(0) (t h Z Y t f X === 时,（4.5.1）成为

2.2常见曲线的参数方程

2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程 一椭圆的参数方程 1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22 221(0)x y a b a b +=>>的椭圆的参数方程 为cos (sin x a y b ? ??=??=? 为参数） 同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22 221(0)y x a b a b +=>>的椭圆的参 数方程为cos (sin x b y a ? ??=??=? 为参数） 2、椭圆参数方程的推导 如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，和小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。 设以Ox 为始边，OA 为终边的角为?，点M 的坐标是(,)x y 。那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点,A B 都在角?的终边上，由三角函数的定义有 cos cos ,sin sin x OA a y OB b ????==== 3 当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ? ?? =??=?为 参数） 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 3、椭圆的参数方程中参数?的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θ θθ =?? =?为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆 的参数方程cos (sin x a y b ? ?? =?? =?为参数）中的参数?不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点 (,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋 转角，通常规定[)0,2?π∈ 4、椭圆参数方程和普通方程的互化

常见的空间曲面与方程

常见的空间曲面与方程 常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面。 1. 平面 空间中平面的一般方程为 0a x b y c z d +++= 其中,,a b c 均为常数，且,,a b c 不全为零。 例如，1x y z ++=（图8-6（a ）），0x =（图8-6（b ））均表示空间中的平面， z yoz 平面（x =0） y y x 图8-6（a ） 图8-6 (b) 图8-6 2. 柱面 与给定直线L 平行的动直线l 沿着某给定的曲线C 移动所得到空间曲面，称为柱面， l 为母线，C 为准线。 如图8-7所示 图8-7 图8-8

例如，222x y R +=表示空间中母线平行于z 轴，准线是xoy 平面上的圆222x y R +=的 圆柱面的方程，简称圆柱面图（8-8）。 3. 二次曲面 三元二次方程 222 1231 2 31230a x a y a z b x y b y z b z x c x c y c z d +++ ++++++= 所表示的曲面称为二次曲面，其中,,(1,2,3),i i i a b c i d =均为常数，且,,i i i a b c 不全为0. 二次曲面有以下几种标准形式，它们分别为： 球面： 图8-9 椭球面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c ++=>图8-10 图8-9 图8-10 单叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c -+=>图8-11 双叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c +-=->图8-12 2222(0)x y z R R + += >x z

高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人教B版选修44

高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人 教B 版选修44 学习目标：1.了解圆的渐开线和摆线的参数方程．(重点)2.了解渐开线与摆线的参数方程的推导过程．(难点) 1．摆线 (1)定义 一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点M 的轨迹称为摆线． (2)参数方程 ????? x ＝a (t －sin t )y ＝a (1－cos t ) (t 是参数)． 2．圆的渐开线 (1)定义 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆． (2)参数方程 ? ?? ?? x ＝a (cos t ＋t sin t )y ＝a (sin t －t cos t )(t 是参数)． 思考：圆的渐开线和摆线的参数方程中，参数t 的几何意义是什么？ [提示] 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母a 是指基圆的半径，而参数t 是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B 转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角 t .显然点M 由参数t 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐 标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单． 同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母a 是指定圆的半径，参数t 是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．

1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线 B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形 C ．正方形也可以有渐开线 D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 [解析] 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同． [答案] C 2．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π [解析] 根据条件可知圆的摆线的参数方程为? ?? ?? x ＝3t －3sin t y ＝3－3cos t (t 为参数)，把y ＝0代 入可得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3t －3sin t ＝6k π(k ∈Z )．根据选项可知应选C. [答案] C 3．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________． [解析] 将a ＝4代入圆的渐开线方程即可． [答案] ? ?? ?? x ＝4(cos t ＋t sin t ) y ＝4(sin t －t cos t ) 4．给出某渐开线的参数方程? ?? ?? x ＝3cos t ＋3t sin t y ＝3sin t －3t cos t (t 为参数)，根据参数方程可以看 出该渐开线的基圆半径是______，当参数t 取π 2 时，对应的曲线上的点的坐标是________． [解析] 与渐开线的参数方程进行对照可知，a ＝3，即基圆半径是3，然后把t ＝π 2代入， 可得????? x ＝3π2，y ＝3. [答案] (3π 2 ，3)

第三章 常见曲面球面和旋转面

第三章 常 见 曲 面 §3.1 球面和旋转面 1.1球面的普通方程 球面方程的建立 首先建立球心在点()0000,,z y x M ，半径为0R ≥的球面方程。根据以下充分必要条件 (,,)M x y z 在球面上0M M R ?=， 得 ()()()2 2 2 2 000x x y y z z R -+-+-=， （3.1） 展开得 2221232220,x y z b x b y b z c ++++++= （3.2） 其中， 2222102030,000,,b x b y b z c x y z R =-=-=-=++-。 (3.1)或(3.2)就是所求球面方程，它是一个三元二次方程，没有交叉项(yz xz xy ,,项),平方项的系数相同。反之，任一形如（3.2）的方程经过配方后可写成： ()()(),0232221232221=---++++++b b b c b z b y b x 当c b b b >++2 32 22 1时，它表示一个球心在()321,,b b b ---，半径为c b b b -++2 32 22 1的 球面；当c b b b =++2 32221时，它表示一个点() 32,1,b b b ---；当c b b b <++2 32221时，它没有轨迹(或者说它表示一个虚球面）。 1.2球面的参数方程，点的球面坐标 如果球心在原点，半径为R ，在球面上任取一点()z y x M ,,,从M 作xOy 面的垂线，垂

足为N N ，连,O M O N 。设x 轴到ON 的角度为?，ON 到OM 的角度为θ(M 在xOy 面上方时，θ为正，反之为负)，则有 cos cos ,cos sin ,02,.2 2 sin ,x R y R z R θ?π π θ??πθθ=?? =≤<- ≤≤ ??=? （3.3） (3.3)称为球心在原点，半径为R 的球面的参数方程，有两个参数θ?,，其中?称为经度，θ称为纬度。 球面上的每一个点(除去它与z 轴的交点)对应唯一的对实数()?θ,，因此()?θ,称为球面上点的曲纹坐标。 因为空间中任一点()z y x M ,,必在以原点为球心，以R OM =为半径的球面上，而球面上点（除去它与z 轴的交点外）又由它的曲纹坐标()?θ,唯一确定，因此，除去z 轴外，空间中的点M 由有序三元实数组()?θ,,R 唯一确定。我们把()?θ,,R 称为空间中点M 的球面坐标（或空间极坐标），其中0R ≥，,022 2 π π θ?π-≤≤ ≤≤。 点M 的球面坐标()?θ,,R 与M 的直角坐标()z y x ,,的关系为 cos cos , 0,cos sin , - ,22 sin , 02x R R y R z R θ?π π θ?θθ?π =≥??? =≤≤ ??=≤≤?? （3.4） 1.3曲面和曲线的普通方程、参数方程 从球面的方程（3.2）和球面的参数方程（3.3）看到，一般来说，曲面的普通方程是一个三元方程()z y x F ,,=0，曲面的参数方程是含有两个参数的方程： (,),(,), ,,(,),x x u v y y u v a u b c v d z z u v =?? =≤≤≤≤??=? （3.5） 其中，对于()v u ,的每一对值，由（3.5）确定的点()z y x ,,在此曲面上；而此曲面上任一点的坐标都可由()v u ,的某一对值（3.5）表示。于是通过曲面的参数方程（3.5），曲面上的

5常见曲面的参数方程

§ 常见曲面的参数方程 本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径，即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ，则 )())(())((112 1212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ??? ????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ???? ??<≤≤≤πθ20b t a （4.5.1） 特别地，当母线P 为坐标面XOZ 上的径线

4.5常见曲面的参数方程

§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径，即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ，则 )())(())((1121212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ???????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ??? ? ??<≤≤≤πθ20b t a （4.5.1） 特别地，当母线P 为坐标面XOZ 上的径线 )(0) (t h Z Y t f X === 时,（4.5.1）成为

常见曲面的参数方程

§４、5 常见曲面得参数方程 本节重点:掌握空间中得三种坐标系:直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面得参数方程得建立。 掌握直纹面得参数方程、 本节难点:旋转曲面得参数方程。直纹面得参数方程。 在第二章中,我们已经引进一般曲面与曲线得参数方程得概念、并给出简单曲面与曲线得参数表示,例如球面与圆柱螺旋线,直线得参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面得参数方程,同时给出空间中另外两种坐标系:球坐标系与柱坐标系。 (一)旋转曲面得参数方程,球坐标与柱坐标 设旋转曲面得轴为轴,母线得参数方程就是 则此旋转曲面可由上每一点生成得纬圆所构成得、由于这纬圆上动点与它在坐标面上得投影具有相同得坐标,所以上任一点生成得纬圆得参数方程就是 其中就是纬圆半径,即到轴得距离,而参数就是轴到得转角、设对应得参数就是,则 再让在其取值范围内变动,即得这旋转曲面得参数方程 (4、5.1) 特别地,当母线为坐标面上得径线 时,(4。５、１)成为 (4.5.２) 例１、如图,以原点为中心,为半径得球面可瞧作就是由坐标面上得半圆, ()绕轴旋转所生成得,由(4.5。２)得其参数方程为 (4、5。3) 它与§2。１中得球面参数方程得形式就是相同得。 (４、５、3)中得参数分别叫做经度与纬度,序对叫做地理坐标、显然,除两极外,球面上得点与序对一一对应。这种利用曲面参数方程中得两个参数来表示曲面上得点得坐标叫做曲纹坐标,它对于曲面理论得进一步研究有着重要得作用。 利用球面得这种曲纹坐标还可以引入空间得另一种坐标系。设为空间任意一点,它到原点得距离为,过作以原点为中心,以为半径得球面,则在这球面上具有地理坐标,可令点Ｐ对应有序数组;反之,由非负实数可确定所在得球面,再由在这球面上确定点。空间中点得这种坐标叫做球坐标。显然,轴上点得球坐标可取任意值、 把(４.5。3)中得常数换为变数,就成为球坐标与直角坐标得变换式,即 (4、5。４) 反之,有 (4。5.５) 当时,＝0,于就是,对坐标面上得点,只需序对即可确定、这里不就是别得,正就是大家熟知得极坐标。这时原点就是极点,轴就是极轴,因此,球坐标可以瞧作就是平面极坐标在空间中得一种推广。 例2、如图4-17,以轴为对称轴,半径为得圆柱面可瞧作就是由坐标面上得直线: ,

常用的参数曲面

六、Bezier曲面 基于Bezier曲线的讨论，我们可以方便地可以给出Bezier曲面的定义和性质，Bezier 曲线的一些算法也可以很容易扩展到Bezier曲面的情况。 1．定义 设为个空间点列，则次张量积形式的Bezier曲面定义为： 其中，是Bernstein基函数。依次用线 段连接点列中相邻两点所形成的空间网格，称之为特征网格。Bezier曲面的矩阵表示式是： 在一般实际应用中，不大于4。 2．性质 除变差减小性质外，Bezier曲线的其它性质可推广到Bezier曲面： （1）Bezier曲面特征网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点，即 ，，，。 （2）Bezier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界； Bezier曲面边界的跨界切矢只与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关，且 P00P10P01、、和（图打上斜线的三角形）；其跨界二阶导矢只与定义该边界的顶点及相邻两排顶点有关。 （3）几何不变性。 （4）对称性。 （5）凸包性。

3．Bezier曲面片的拼接 如图所示，设两张m×n次Bezier曲面片 分别由控制顶点和定义。 如果要求两曲面片达到连续，则它们有公共的边界，即： 于是有。

如果又要求沿该公共边界达到连续，则两曲面片在该边界上有公共的切平面，因此曲面 的法向应当是跨界连续的，即： 下面来研究满足这个方程的两种方法。 （1）鉴于式 ，最简单的取解是： 这相当于要求合成曲面上v 为常数的所有曲线，在跨界时有切向的连续性。为了保证等式两边关于v 的多项式次数相同，必须取 （一个正常数）。于是有： 即 。 （2）方法一使得两张曲面片在边界达到 连续时， 只涉及曲面 和 的两 列控制顶点，比较容易控制。用这种方法匹配合成的曲面的边界，u 向和v 向是光滑连续的。但实际上它的限制是苛刻的。 为了构造合成曲面时有更大的灵活性，Bezier 在1972年应用了更具普遍性的连续 条件： 这仅仅要求 位于 和 所在的同一个平面内，也就是曲面片 边界上相应点处的切平面，这样就有了大得多的余地，但跨界切矢在跨越曲面片的边界时就不再连续了。 同样，为了保证等式两边关于v 的多项式次数相同，须为任意正常数，是v 的 任意线性函数。 4．Bezier 曲面的de Casteljau 生成算法 Bezier 曲线的递推(de Casteljau)算法，可以推广到Bezier 曲面的情形。若给定Bezier 曲面特征网格的控制顶点 和一对参数值（u0,v0），则递推公式为： ?? ???==+-==+-===-+--+-) ,,2,1,()1()0;,,2,1()1()0(1 ,1,01,,00,1,10,1,,n l m k vP P v l m k uP P u l k P P l m j l m j k j i k ij ij l k j i

第二章第二节曲面的参数方程

第二章 曲面论 第二节 曲面的参数方程 一、 曲面的参数方程 设曲面∑是由显式 D y x y x f z ∈=),(),,( 所表示。 设),,(z y x 是曲面∑上的点，记向量),,(z y x r = ，则它们可构成一一对应。 于是曲面∑上的点可以用向量值函数 D y x y x f y x r ∈=),()),,(,,( 来表示， 也可以写为参数形式 ?????===),(, ,y x f z y y x x D y x ∈),(。

一般地，设3),(R v u r r ∈= ，其中参 数?∈),(v u ，这里?是2R 中的一 个区域。 我们称由3),(R v u r r ∈= ， ?∈),(v u ，所构成的3R 中点集∑为一张参数曲面，（即曲面∑，可以表示为参数方程表示的点集。） 记为?∈=∑),(),,(:v u v u r r ，（1） 把（1）用分量表示出来，就是 ?? ???===),(),(),,(v u z z v u y y v u x x ，?∈),(v u （2） 通常，我们称（1）是曲面∑的向量方程，而（2）是曲面∑的参数方程。 显然方程（1）和（2）之间的转换是直截了当的，所以我们可以认为（1）与（2）是一回事。

二、 几个用参数方程表示的常见 曲面 例1 平面的参数方程， 设30000),,(R z y x p ∈= 是一个固定的点， ),,(321a a a a = 与),,(321b b b b = 是自0p 出发的两个不平行的向量。这时，由a 与b 张成的平面可以用向量方程， 20),(,R v u b v a u p r ∈++= 来表示； 写成分量表示为 v b u a x x 110++=， v b u a y y 220++=， v b u a z z 330++=，

旋转曲面的参数方程(利用正交变换作旋转)

旋转曲面的参数方程 ---------利用正交变换作旋转 众所周知，yOz 坐标面上的曲线(,)0F y z =绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为 ()0F z = （1） （见同济大学《高等数学》（5版上册），313页）。 如果以上曲线的方程能写成显函数()y f z =（a z b ≤≤），则该旋转曲面的方程为 ()f z =或 222[()]x y f z += （2） 这个方程的几何意义是：对曲线上的每一点(0,,)P y z ，这个方程给出圆心在(0,0,)z ，半径为()f z 的一个垂直于z 轴的圆。当z 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 如果曲线的方程是显函数()y f z =（a z b ≤≤），我们也可以用参数方程来表示这个旋转面： ()c o s ()s i n x f z y f z z z θθ?=?=??=? （02θπ≤≤，a z b ≤≤） （3） 这个方程的几何意义是：对每一个[,]z a b ∈，参数方程给出一个半径为()f z 的垂直于z 轴的圆。当z 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 如果曲线的方程能写成参数方程() ()y f t z g t =??=?（a t b ≤≤），则旋转曲面的参数方程为： ()cos ()sin ()x f t y f t z g t θ θ?=? =??=? （02θπ≤≤，a t b ≤≤） （4） 这个方程的几何意义是：对每一个[,]t a b ∈，参数方程给出一个半径为()f t 的垂直于z 轴的圆。当t 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 推而广之，如果该曲线是空间曲线，其参数方程为() ()()x h t y f t z g t =??=??=? （a t b ≤≤），则此曲线绕z 轴旋转而成的旋转曲面的参数方程为：

常见曲面的参数方程

.常见曲面的参数方程

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§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=12 12121 21sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中 2121Y X +是纬圆半径，即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对 应的参数是1t ，则 )())(())((112 1212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ??? ????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2 222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ??? ? ??<≤≤≤πθ20b t a （4.5.1） 特别地，当母线P 为坐标面XOZ 上的径线 )(0) (t h Z Y t f X === 时,（4.5.1）成为

高中数学学案：常见曲线的参数方程

高中数学学案：常见曲线的参数方程 基础诊断 1. 方程 ???x ＝ t ，y ＝ 3t 3 (t 为 参 数 ) 表 示 的 曲 线 是 ________________________________________________________________________． 2. 直线???x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)与曲线???x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的公共点的个数为________． 3. 参数方程???x ＝3t 2＋2， y ＝t 2 －1 (t 为参数),且0≤t ≤5表示的曲线是________．(填序号)

①线段；②双曲线；③圆弧；④射线． 4. 直线?????x ＝1＋1 2t ，y ＝－33＋3 2t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点,则AB 的中点坐标为 ________． 范例导航 考向 例1 (1) 将参数方程??? ??x ＝2? ?? ??t ＋1t ，y ＝4? ?? ??t －1t (t 为参数)化为普通方程； (2) 将参数方程???x ＝2sin θ， y ＝1＋2cos 2 θ(θ为参数)化为普通方程． 在曲线C 1：???x ＝1＋cos θ， y ＝sin θ (θ为参数)上求一点,使它到直线C 2：?????x ＝－22＋1 2t ，y ＝1－12t (t 为参数)

的距离最小,并求出该点的坐标和最小距离． 考向 例2已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α＝6. (1) 写出直线l的参数方程； (2) 设直线l与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点,求点P到A、B两点的距离之积． 点P(x,y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点,求x＋2y的最大值．

4.5常见曲面的参数方程

4.5常见曲面的参数方程

§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ???????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θ θ )20(πθ<≤

),(?θ叫做地理坐标。显然，除两极外，球面上的点),,(Z Y X P 与序对),(?θ一一对应。这种利用曲面参数方程中的两个参数来表示曲面上的点的坐标叫做曲纹坐标，它对于曲面理论的进一步研究有着重要的作用。 利用球面的这种曲纹坐标还可以引入空间的另一种坐标系。设P 为空间任意一点，它到原点的距离为r ，过P 作以原点为中心，以r 为半径的球面，则P 在这球面上具有地理坐标?θ,，可令点P 对应有序数组),,(?θr ；反之，由非负实数r 可确定P 所在的球面，再由),(?θ在这球面上确定P 点。空间中点的这种坐标叫做球坐标。显然，Z 轴上点的球坐标θ可取任意值。 把(4.5.3)中的常数a 换为变数r ，就成为球坐标与直角坐标的变换式，即 ?????===?θ ?θ?sin sin cos cos cos r Z r Y r X ?????? ??<<-<≤≥22200πππθt r （4.5.4） 反之，有 ?????????++=+=+=++=2222222222arcsin sin cos Z Y X Z Y X X Y X X Z Y X r ?θθ (4.5.5)

45常见曲面的参数方程

§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点:掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中,我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线,直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程,同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴,母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标,所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径,即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ，则 )())(())((112 1212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ??? ????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ??? ? ??<≤≤≤πθ20b t a (４．5.１) 特别地,当母线P 为坐标面XOZ 上的径线 )(0) (t h Z Y t f X === 时,（４.５.1)成为