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高中数学必修4知识点
第一章 三角函数
??
???
正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角
2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落
在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。
第一象限角的集合为{}
36036090,k k k αα?<
第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?+
第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<
终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z
3、与角α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为集合{Z k k ∈?+=,360|
αββ} 4、弧度制：
（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。
半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l
r
α=． （2）度数与弧度数的换算：π2360o
=，π=
180 rad ，1 rad '185730.57)180
(
=≈=π
注：角度与弧度的相互转化：设一个角的角度为o
n ，弧度为α；
①角度化为弧度：
180180ππ
n n n o
o o =
?
=，②弧度化为角度：o
o 180180??
?
??=?=παπαα （3）若扇形的圆心角为α（α是角的弧度数），半径为r ，则： 弧长公式： ①,180
（用度表示的）π
n l =
② （用弧度表示的）r l ||α=； 扇形面积：①)(3602用度表示的扇r n s π=② lr r S 2
1
||212==α扇（用弧度表示的）
5、三角函数:
（1）定义①：设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点
是(),x y ，它与原点的距离是(
)
0r OP r ==>，
则sin y r α=
，cos x r α=，()tan 0y
x x
α=≠ 定义②：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α=y ;
u 叫做α的余 弦，记作cos α，即cos α=x ; 当α的终边不在y 轴上时，
x y 叫做α的正切，记作tan α, 即tan α=x
y . （2）三角函数值在各象限的符号：口诀：全正，S 正，T 正，C 正。
口诀：第一象限全为正；
二正三切四余弦. （3）特殊角的三角函数值
αsin
x
y +
+
_
_
O
x y + +
_
_ αcos
O
αtan
x
y
+
+
_ _
O
αsin
2
1 2
2 2
3 1 23 2
2 2
1 0
αcos
1 23 2
2 2
1 0
21- 22- 2
3- 1- αtan
3
3 1 3 不存在 3- 1-
3
3-
α的角度 ?210 ?225 ?240 ?270 ?300 ?315 ?330 ?360 α的弧度
6
7π 4
5π 3
4π 2
3π 35π 47π 6
11π
π2 αsin
21- 22- 23- 1-
2
3-
22
-
21- 0
αcos
23-
22
- 21-
2
1 2
2 2
3 1 αtan
3
3
1 3 不存在 3- 1-
3
3- 0
（4）三角函数线：如下图
（5）同角三角函数基本关系式
（１）平方关系：1cos sin 2
2
=+αα （２）商数关系：α
α
αcos sin tan =
6、三角函数的诱导公式：
()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．
口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等．
()()2sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．
()()3sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．
()()4sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()5sin 2sin παα-=-，()cos 2cos παα-=，()tan 2tan παα-=-．
口诀：函数名称不变，正负看象限．
()6sin cos 2π
αα??-=
???，cos sin 2παα??-= ???，tan cot 2παα??
-= ???． ()7sin cos 2π
αα??+=
???，cos sin 2παα??+=- ???，tan cot 2παα??
+=- ???
． 口诀：正弦与余弦互换，正负看象限．
诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。即将括号里面的角拆成α
βπ
+?=2k 的形式。
7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 函数
sin y x =
cos y x = tan y x =
图 象
定
R R
,2x x k k ππ??≠+∈Z ????
8、（1）()sin y x b ω?=A ++的图象与x y sin =图像的关系：
图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍
①振幅变换：x y sin = x A y sin =
②周期变换：x y sin =
x y ωsin =
③相位变换：x y sin = )sin(?+=x y
④平移变换：)sin(?ω+=x A y ()sin x b ω?=A ++
注：函数x y sin =的图象怎样变换得到函数()sin y A x B ω?=++的图象：（两种方法） ① sin y x = 平移||
?个单位
()sin y x ?=+
（左加右减）
纵坐标不变 )sin(?ω+=x y
横坐标变为原来的1
|
|ω
倍
横坐标不变
()sin y A x ω?=+
纵坐标变为原来的A 倍 平移||B 个单位 ()sin y A x B ω?=++
（上加下减）
② sin y x = 纵坐标不变 x y ωsin =
横坐标变为原来的1
||ω
倍
)sin(?ω+=x y 横坐标不变
()sin y A x ω?=+
纵坐标变为原来的A 倍 平移||B 个单位
()sin y A x B ω?=++
图象整体向左（0>?
）或向右（0
个单位
图象上每个点的横坐标变为原来的
ω
1倍，纵坐标不变
（上加下减）
（2）函数)0,0()sin(>>++=ω?ωA b
x A y 的性质：
①振幅：A ；②周期：2π
ω
T =；③频率：12f ω
π
=
=
T ；④相位：x ω?+；⑤初相：?． 定义域：R
值域：[],A b A b -++
当22
x k π
ω?π+=+()k ∈Z 时，max y A b =+； 当22
x k π
ω?π+=-
()k ∈Z 时，min y A b =-+．
周期性：函数)0,0()sin(>>++=ω?ωA b x A y 是周期函数；周期为ω
π
2=
T
单调性：x ω?+在2,22
2k k π
πππ??
-
+
???
?
()k ∈Z 上时是增函数； x ω?+在32,22
2k k π
πππ?
?
+
+
???
?
()k ∈Z 上时是减函数． 对称性：对称中心为(),0k k π?ω-??
∈Z
???
；对称轴为x ω?+()2k k ππ=+∈Z
第二章 平面向量
1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．
2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量平行的单位向量：
|
|a =．
4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作b a //；
规定0与任何向量平行．
5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.
注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点： 首尾相接
⑵平行四边形法则的特点： 起点相同 ⑶运算性质：
①交换律：a b b a +=+；
②结合律：()()
a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑷坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则
()1212,a b x x y y +=++．
7、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则
()1212,a b x x y y -=--．
设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则
()2121,x x y y AB =--．
8、向量数乘运算：
⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①
a a λλ=；
②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反； 当0λ=时，0a λ=．
⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()
a b a b λλλ+=+．
b
a
C B
A
a b C C -=A -AB =B
⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．
9、向量共线定理：向量()
0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()
b b ≠共线．
10、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）
11、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++??
?++??
．
12、平面向量的数量积：
⑴定义：()
cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??=．②当a 与b 同向时，a b a b ?=；当a 与b 反向时，a b a b ?=-；2
2
a a a a ?==或a a a =?．③a
b a b ?≤．
⑶运算律：①a b b a ?=?；②()()()
a b a b a b λλλ?=?=?；③()
a b c a c b c +?=?+?． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ?=+． 若(),a x y =，则2
2
2
a x y =+，或2a x y =
+
设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥?+=．
设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则
12
1
cos a b a b
x θ?=
=
+．
第三章 三角恒等变形
1、同角三角函数基本关系式
（１）平方关系：1cos sin 2
2
=+αα （２）商数关系：α
α
αcos sin tan =
（３）倒数关系：1cot tan =αα
ααα222
tan 1tan sin += ； α
α2
2
tan 11cos += 注意： αααtan ,cos ,sin 按照以上公式可以“知一求二”
2、两角和与差的正弦、余弦、正切
)(βα+S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ )(βα-S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- )(βα+C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(-=+a )(βα-C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(+=-a )(βα+T ： β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+
)(βα-T ： β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
-
正切和公式：)tan tan 1()tan(tan tan βαβαβα-?+=+ 3、辅助角公式：???
?
??
++++=+x b a b x b a a b a x b x a cos sin cos sin 2
22222 )sin()sin cos cos (sin 2222???+?+=?+?+=x b a x x b a
（其中?称为辅助角，?的终边过点),(b a ，a
b =?tan ）
4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： α2S ： αααcos sin 22sin =
α2C ： ααα22sin cos 2cos -=1cos 2sin 2122-=-=αα α2T ： α
α
α2tan 1tan 22tan -=
*二倍角公式的常用变形：①、|sin |22cos 1αα=
-，
|cos |22cos 1αα=+；
②、
|sin |2cos 2121αα=-， |cos |2cos 2
121αα=+ ③2
2sin 1cos sin 21cos sin 22
2
4
4
ααααα-=-=+；
ααα2cos sin cos 44=-；
*降次公式：ααα2sin 21cos sin =
212cos 2122cos 1sin 2+-=-=ααα 2
1
2cos 2122cos 1cos 2+=+=ααα
5、*半角的正弦、余弦和正切公式：
2cos 12
sin
αα
-±
= ； 2
cos 12cos αα+±=， α
αα
cos 1cos 12
tan
+-±
=αααα
cos 1sin sin cos 1+=-=
6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）
① αα2
2cos 1sin -=； αα2cos 1sin -±=；
αα22sin 1cos -=； αα2sin 1cos -±=； ②θ
θθθθθθ2sin 2
cos sin sin cos cot tan 22=+=+，
αα
α
ααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-
③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±； |cos sin |2sin 1ααα±=± 7、补充公式：
*①万能公式
2
tan
12
tan
2sin 2
α
α
α+=
； 2
tan
12tan 1cos 2
2
α
αα+-=
； 2
tan
12
tan 2tan 2
α
α
α-=
*②积化和差公式
)]sin()[sin(21
cos sin βαβαβα-++=
)]sin()[sin(21
sin cos βαβαβα--+=
)]cos()[cos(21
cos cos βαβαβα-++=
)]cos()[cos(2
1
sin sin βαβαβα--+-=
*③和差化积公式
2cos
2sin
2sin sin β
αβ
αβα-+=+； 2sin
2cos
2sin sin β
αβ
αβα-+=-
2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+；2
sin
2sin 2cos cos β
αβαβα-+-=- 注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式