历年高考数学压轴题集锦
高考数学压轴题集锦
1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2 2 ，相应于焦点F（c,0）（c0）的准线l与x轴相交于点A，OF =2FA，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；
uuur uuur
（2）若OP OQ=0，求直线PQ的方程；
uuur uuur
（3）设AP =AQ（1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证
uuuur uuur
明FM =-FQ . （14 分）
2．已知函数f（x）对任意实数x都有f（x+1）+ f（x）=1，且当x[0,2]时，f（x）=| x -1| 。
（1）x[2k,2k + 2]（k Z）时，求f（x）的表达式。
（2）证明f（x）是偶函数。
（3）试问方程f（x）+log 1= 0是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有4x 实数根，请说明理由。
3．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：x2+（y-3）2=1。
1）若动点M 到点 F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹 E 的方程；
2）过点 F 的直线g 交轨迹 E 于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值；
3）过轨迹 E 上一点P 作圆 C 的切线，切点为A、B，要使四边形PACB 的面积S 最小，求点P 的坐标及S 的最小值。
x2
4.
以椭圆+ y2＝1（a>1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试a2
nn a n
是等差数列吗？请给予证明；
n
（Ⅲ
）
令
判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.
5
已知，二次函数 f （ x ）＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 及一次函数 g （x ）＝－ bx ，其中 a 、b 、c ∈R ，a >b >c ，
a ＋
b ＋
c ＝0.
（Ⅰ）求证：f （x ）及 g （x ）两函数图象相交于相异两点；
（Ⅱ）设 f （x ）、 g （x ）两图象交于 A 、B 两点，当 AB 线段在 x 轴上射影为 A 1B 1时，试求|A 1B 1| 的取值范围.
6
已知过函数 f （x ）= x 3 + ax 2 +1的图象上一点 B （1，b ）的切线的斜率为－3。
（1） 求 a 、b 的值；
（2） 求 A 的取值范围，使不等式 f （x ）≤A －1987 对于 x ∈［－1，4］恒成立； （3） 令 g （x ） = - f （x ）- 3x 2 + tx +1。是否存在一个实数 t ，使得当 x
（0,1］时，
g （x ）有
最大值 1？
→→
7
已知两点 M （－2，0）， N （2，0），动点 P 在 y 轴上的射影为 H ，︱ PH ︱是 2 和 PM
PN 的等比中项。
（1） 求动点 P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
（2） 若以点 M 、N 为焦点的双曲线 C 过直线 x+y=1 上的点 Q ，求实轴最长的双曲线 C 的方程。
1）求数列｛b n ｝的通项公式；
7 2）设数列｛b n ｝的前项和为 S n ，试比较 S n 与 7
的大小，并证明你的结论.
8
9．已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点 A （0, 2） 为 圆
心，1 为半径的圆相切，又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 y = x 对称．
（Ⅰ）求双曲线 C 的方程；
（Ⅱ）设直线 y = mx +1与双曲线 C 的左支交于 A ，B 两点，另一直线l 经过 M （-2，0） 及
AB 的中点，求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围；
（Ⅲ）若 Q 是双曲线 C 上的任一点，F 1F 2 为双曲线 C 的左，右两个焦点，从 F 1 引 F 1QF 2
的平分线的垂线，垂足为 N ，试求点 N 的轨迹方程．
10. f (x ) 对任意 x
R 都有 f (x ) + f (1- x ) = 1.
(Ⅰ)求 f (1) 和 f (1) + f (n -1) (n
N ) 的值．
2
n n
( Ⅱ ) 数 列
a n
满足
8．已知数列｛a n ｝满足 a
= 3a (a 0),a
22
an + a
,设b n = 2an a n
- a an + a
a n = f (0) + f (1) + f (2) +
+ f (n -1) + f (1) ， 数 列
4an -1,T n =b 1 +b 2 +b 3 + +b n ,S n =32- n 试比较T n 与S n 的大小．
11. ：如图，设 OA 、OB 是过抛物线 y 2＝2px 顶点 O 的两条弦，且O →A ·O →B ＝0，求以 OA 、OB 为
直径的两圆的另一个交点 P 的轨迹.(13 分)
9
12.知函数 f (x )＝log 3(x 2－2mx ＋2m 2＋ 2 )的定义域为 R m －3 (1)求实数 m 的取值集合M ；
(2)求证：对 m ∈M 所确定的所有函数 f (x )中，其函数值最小的一个是 2，并求使函数值等于 2 的 m 的
值和 x 的值.
4 x - t 13.设关于x 的方程2x 2-tx-2=0的两根为,(
),函数f(x)= 4x -t .
x 2 + 1
(1). 求 f(
)和f ()的值。 (2)。证明：f(x)在[
,
] 上是增函数。
(3) 。对任意正数x 1、x 2,求证： f (x 1+ x 2) - f ( x 1+ x 2)
2
-
x + x x +x
14．已知数列｛a n ｝各项均为正数，S n 为其前 n 项的和.对于任意的
n
N * ，都有
4Sn =(an +1)2.
I 、求数列a 的通项公式.
II 、若
2n tS 对于任意的n
N *恒成立，求实数t 的最大值.
15.( 12 分)已知点 H (－3，0)，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 PQ 上，
3
且满足
HP · PM =0， PM =－ 3 MQ ，
(1)当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C ；
(2)过点T (－1，0)作直线 l 与轨迹 C 交于A 、B 两点，若在 x 轴上存在一点 E (x 0,0)，使 得△ABE 为等边三角形，求 x 0的值.
16.(14分)设f 1(x )= 2 ,定义f n +1 (x )=f 1[f n (x )],a n = fn (0)-1 ,其中n ∈N *.
1 1+ x
n +1 I n n
f n (0)+2
I 求数列｛a n ｝的通项公式；
n
4a n
4n 2
+ n
(2)若T 2n =a 1+2a 2+3a 3+…+2na 2n ,Q n = 4
n +n
,其中n ∈N *,试比较9T 2n 与 Q n 的大小.
4n 2 + 4n + 1
→ → → → → → 17． 已知 a =(x,0)， b =(1，y)，( a + 3 b ) ⊥ ( a – 3 b )．
(I ) 求点
(x ，y )的轨迹 C 的方程；
(II) 若直线L ：y=kx+m(m
0)与曲线C 交于A 、B 两点，D(0，–1)，且有 |AD|=|BD|， 试求 m 的取
值范围．
18．已知函数 f (x )对任意实数p 、q 都满足 f (p
+q )= f (p ) f (q ),且f (1)=1.
n
设a n =nf (n )
(n
N +),求证：
a k 3; k =1 4 nn (n N +), Sn =
bk ,试比较 1 与6的大小．
k =1 k =1 S k
19．已知函数 f (x )=log a x (a 0且a
1),若数列：2, f (a 1), f (a 2),…，
f (a n ),2n + 4(n N ) 成等差数列.
1)求数列｛a n ｝的通项a n ；
2)若
a 1,数列｛a n ｝的前n 项和为S n
，求lim S n ；
n
n →
n
3)若
a = 2,令
b n =a n f (a n )，对任意n N ,都有b n f -1(t ) ,求实数t 的取值范围.
20．已知△OFQ 的面积为
2 6,且OF FQ =m .
1)设 6
m 4 6, 求向量OF 与FQ 的夹角
正切值的取值范围；
2)设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q (如图)，| OF |= c ,m = ( 6 -1)c 2，
当| OQ |取得最小值时，求此双曲线的方程.
3) 设 F 1为(2)中所求双曲线的左焦点，若 A 、B 分别为此双曲线渐近线 l 1、l 2上的动 点，且
2|AB|=5|F 1F|，求线段 AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
1)
当n N 时，求 f (n )的表达式；
2)
3) 设bn =nf f (n (n +)1)
21、已知函数f(x)=3x2+bx+1是偶函数，g(x) = 5x + c是奇函数，正数数列a满足
a n =1,f(a n +a n+1)-g(a n+1a n +a n2)=1
① 求a n的通项公式；
②若a n的前n项和为S n，求lim S n . n n n→n
31
22、直角梯形ABCD中∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝，BC＝．椭圆C以A、B为焦
22 点且经过点D．
(1)建立适当坐标系，求椭圆C的方程；
1
(2)若点E满足EC = 1AB，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且2
| ME |=| NE | ，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由．
23、．设函数f (x) = x1 ,
4 x + 2
(1)求证：对一切x R, f (x) + f (1- x) 为定值；
(2)记an = f(0)+ f(1)+ f(2)+ + f(n-1)+ f(1) (n N*),求数列｛an｝的通
n n n
项公式及前n 项和.
24. 已知函数f (x)是定义在R 上的偶函数.当X 0 时, f (x)=
7x
x + x + 1
(I) 求当X<0 时, f (x)的解析式;
(II) 试确定函数y = f (x) (X 0)在1,+
)的单调性，并证明你的结论. (III) 若x 2 且x 2 ，证明：| f (x ) －f (x ) |<2.
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x
25、已知抛物线
y 2 = 4x 的准线与x 轴交于M 点，过M 作直线与抛物线交于A 、B 两点，若 线段
AB 的垂直平分线与X 轴交于 D （X 0,0）
⑴求 X 0的取值范围。 ⑵△ABD 能否是正三角形？若能求出 X 0的值，若不能，说明理由。
26、已知□ABCD ，A （-2，0）， B （2，0），且∣
AD
∣=2 ⑴求□ABCD 对角线交点 E 的轨迹方程。
8
⑵过A 作直线交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，且∣MN ∣=
8
2 ，MN 的中点到Y 轴的距 3
4
离为 ，求椭圆的方程。
3
x 2
27．（ 14分）（理）已知椭圆
+ y 2 =1（a
1），直线 l 过点A （－a ，0）和点 B （a ，ta ）
a 2
t >0）交椭圆于 M.直线 MO 交椭圆于 N.（1）用 a ，t 表示△AMN 的面积 S ；
2）若 t ∈[1，2]，a 为定值，求 S 的最大值.
28．已知函数 f (x )= 的图象过原点，且关于点(-1，1)成中心对称.
( 1)求函数f(x) 的解析式；
( 2)若数列｛a n｝( n∈N*)满足：a n>0，a1=1，a n+1= [f( a n)] ，求数列｛a n｝的通项公式a n，并证明你的结论.
30、已知点集L=｛(x,y)| y =m n｝,其中m=(2x-b,1),n=(1,b+1),点列P n(a n,b n)在L 中，P为L与y轴的交点，等差数列｛a n｝的公差为1，n N。
(1)求数列｛a n｝，｛b n｝的通项公式；
5
(2)若c n = 5 (n2),求lim(c1+c2+ +c n)；
n n| P1P n | n→ 1 2 n
a (n = 2k - 1)
(3)若f (n) = n(k N ),是否存在k N使得f(k+11)=2f(k),若存
b n(n= 2k) + +
在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
21．经过抛物线y2= 4x的焦点F的直线l与该抛物线交于A、B两点. (12分)
(1)若线段AB的中点为M(x,y),直线的斜率为k,试求点M的坐标,并求点M的轨迹方程
(2)若直线l的斜率k 2 ,且点M到直线3x+4y+m=0的距离为1,试确定m的取值范
5
围.
所以直线PQ 的方程为x - 5y -3=0或x + 5y -3=0
uuur uuur
(3，理工类考生做)证明： AP = (x -3, y ), AQ =(x -3, y )。由已知得方程组
x -3= (x
-3),
y 1=
y 2,
x
1 + y
1 =1, 62
5
-1
注意
1，解得 x = -
因F (2, 0),M (x 1, - y 1)，故
uuuur
1--1
FM =(x 1-2, - y 1) = (
(x 2 - 3) +1, -y 1) =(1-, -y 1)=-(-1
, y 2)。
22 FQ =(x 2-2, y 2)=( , y 2)，所以FM
而
= -
FQ 。
1）解：由题意，可设椭圆的方程为
x
+ y =1（a 2）。 a 2 2
a 2
解得 a =6, c =2 c =2(a -c ). 由已知得 c
2）解：由（1）可得 A （3，0）。 设直线PQ 的方程为y = k （ x - 3） 。由方程组 62 y =k (x -3) 得(3k 2
+1)x 2
-18k 2
x +27k 2
-6=0，依题意=12(2-3k 2
)0，得- k 3
k 18k 2 27k 2
- 6 设P (x 1
, y 1
), Q (x 2
, y 2
)，则x 1+x 2= 2k ， ① x 1x 2= k 2 - 。 ② 由直线 PQ 的方程得 y = k (x -3), y = k (x -3)。于是 y y =k 2(x -3)(x -3)=k 2
[xx -3(x +x )+9]。 ③ uuur uuur ∵ OP OQ =0 ，∴ x x +y y =0 。 ④
uuur - 1 uuuur uuur 62
2
①f(x)= x - 2k -1 (2k ≦x ≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在［1，4］上有4个实根
①x 2=4y ②x 1x 2=-4
⑶P(±2,1) S MIN = 7
.解：因a >1，不防设短轴一端点为B （0，1） 设BC ∶y ＝kx ＋1（k >0） 则AB ∶y ＝－ 1 x ＋
1
k
把BC 方程代入椭圆， 是（1＋a 2k 2）x 2＋2a 2kx ＝0 ∴|BC |＝ 1+ k
2 2a k
，同理|AB |＝ 1+ k
2
1 + a k
由|AB |＝|BC |，得 k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝0
（k －1）［ k 2＋（1－a 2）k ＋1］＝0 ∴k ＝1或k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0
当k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0时，Δ＝（a 2－1）2－4 由Δ<0，得1 由Δ＝0，得a ＝ 3 ，此时，k ＝1 故，由Δ≤0，即10即a > 3 时有三解 解：依题意，知a 、b ≠0 ∵a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0 ∴a >0且c <0 （Ⅰ）令f （x ）＝g （x ）， 得ax 2＋2bx ＋c ＝0.（*） Δ＝4（b 2－ac ） ∵a >0，c <0，∴ac <0，∴Δ>0 ∴f （x ）、 g （x ）相交于相异两点 （Ⅱ）设x 1、x 2为交点A 、B 之横坐标 则|A 1B 1|2＝|x 1－x 2|2，由方程（*），知 = (a + c + ac ) a 2 = 4 ( c )2 + c + 1 (**) aa 2a 2 k 2 + a 2 x 1、x 2 2 4b 2 - 4ac 4(a + c ) 2 - 4ac a 2 a 2 c 2a + c 0，而 a >0，∴ -2 a ∴ c - 1 ∴ - a 2 1 - 2 ∴4［（ c ）2＋ c ＋1］∈（3，12） aa ∴|A 1B 1|∈（ 3 ，2 3 ） 6、解：（1） f ' （x ）=3x 2 + 2ax 依题意得 k= f ' （1） =3+2a=－3， ∴a=－ 3 f （x ） = x 3 - 3x 2 +1，把 B （1，b ）代入得 b= f （1） = -1 ∴a=－3，b=－1 （2）令 f ' （x ） =3x 2 －6x=0 得 x=0 或 x=2 ∵f（0）=1，f （2）=23－3×22＋1=－3 f （－1）=－3，f （4）=17 ∴x∈［－1，4］，－3≤f（x ）≤17 要使 f （x ）≤A －1987 对于 x ∈［－1，4］恒成立，则 f （x ）的最大值 17≤A －1987 ∴A≥2004。 （1） 已知 g （x ）=－ （x - 3x +1）- 3x + tx +1 = -x + tx ∴ g （x ） = -3x + t ∵0 g '（x ） ∴g （x ）在（0.1］上为增函数， g （x ）的最大值 g （1）=t －1=1,得 t=2（不合题意,舍去） ② 当 0≤t≤3 时, g （x ） = -3x + t 列表如下: 令 g ' （x ） =0,得 x= a + b + c = 0 a b a + b + c = a + 2c 0， -2 c x (0, 3)3t( 3,1] g'(x) ＋ 0－g（x）↗极大值↘ ③当t<0时，g' （x）=-3x2+ t <0，∴g（x）在（0.1]上为减函数，∴g（x）在（0.1] 上为增函数， ∴存在一个a= ，使g（x）在（0.1] 上有最大值1。 7、解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）, PH = （-x,0）,PM =（－2－x,－y）→ PN =（2－x,－y） →→ ∴ PM· PN =（－2－x,－y）·（2－x,－y）= x2- 4 + y2 → PH = x →→ 由题意得∣PH∣2=2· PM· PN 即x2=2 （x2-4+ y2） 即x + y = 1 ，所求点P 的轨迹为椭圆 84 （2）由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1 的对称点E（1，－1），则∣QE∣=∣QN∣ 双曲线的C实轴长2a= QM - QN = QM - QE ME = 10 （当且仅当Q、E、M共线时 取“=”），此时，实轴长2a最大为10 g（x）在x= 所以，双曲线 C 的实半轴长 a= 10 2 又 c = 1 NM =2,b 2 =c 2 -a 2 x 2 ∴双曲线C 的方程式为 x 2 1 + 1 + 1 + +)-1 (1 + 1 1 + 1 1 +)-1= 16 -1=0 28 216 8 16 24 2 24 22 8 1 8 1 - 2 8.(1)bn 1 2n -1 9．解：(Ⅰ)设双曲线 C 的渐近线方程为 y=kx ，则 kx-y=0 ∵该直线与圆x 2 +(y - 2)2 =1相切， ∴双曲线 C 的两条渐近线方程为 y=±x ．……………… 故设双曲线C 的方程为 x - y =1． a 2 a 2 又双曲线 C 的一个焦点为 ( 2,0) ∴ 2a 2 = 2， a 2 = 1． ∴双曲线C 的方程为x 2 -y 2 = 1 ．……………………… y = mx + 1 得(1-m 2)x 2 -2mx -2=0． x 2 - y 2 = 1 Ⅱ)由 2分 4分 令 f (x ) = (1- m 2)x 2 - 2mx - 2 直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 f(x)=0在(-,0) 上有两个不等实根． 0 因此 2 m 2m 0 解得1 m 2 ． 1-m 2 -2 0 1-m 2 m 1 又AB 中点为( m 2 , 1 2)， 1- m 2 1- m 2 1 ∴直线 l 的方程为 y = ( x + 2) ．…… -2m 2 + m + 2 22 令 x=0，得 b = 2 = -2m 2 +m +2 -2(m -1)2 +17 6分 ∵ m (1, 2) ， ∴-2(m -1)2 +17 (-2+ 2,1) y 2=1 3 2 2) S n ∴ b (- ,-2 - 2) (2,+)．……………………………………… (Ⅲ)若Q 在双曲线的右 支上，则延长QF 到T ，使| QT |=| QF |， 若 Q 在双曲线的左支上，则在QF 上取一点 T ，使| QT |=| QF | ． 根据双曲线的定义| TF 2 |= 2 ，所以点T 在以F ( 2,0)为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程是 (x - 2)2 + y 2 =4(x 0) ①……………………… 由于点 N 是线段FT 的中点，设N (x , y )，T (x ,y )． x - 2 x = T 2 y =y 2T 则 ，即 x = 2 x + 2 yT = 2 y 8分 10分 代入①并整理得点 N 的轨迹方程为 x 2 + y 2 =1．(x - 2 ) ……………… 10 解：(Ⅰ)因为 f (1 ) + f (1-1)= f (1)+ f (1)= 1．所以 f (1)= 1．……2分 令x = 1 ，得 f (1)+ f (1-1)= 1，即 f (1)+ f (n -1)= 1． n n n 2 n n 2 1 n - 1 (Ⅱ)a n = f (0)+ f (1)+ + f (n -1)+ f (1) nn n - 1 1 又a n = f (1)+ f (n -1)+ + f (1)+ f (0) nn 12 分 4分 5分 两式相加 1 n -1 n + 1 2a n =[f (0)+ f (1)]+[f (1)+ f (n -1)]+ +[f (1)+ f (0)] = n +1 n n 2 n +1 所以a n = ,n N ，………… n 4 n + 1 + 1 n +1 1 又 a n +1 - a n = - = ．故数列{a n } 是等差数列． n +1 n 4 4 4 n 44 (Ⅲ) bn = = n 4a n - 1 n Tn =b 12 +b 22 + +bn 2 = 16(1+ 1 + 1 + + 1 ) 22 32 n 2 16[1+ 1 + 1 + + 1 ] ………… 1 2 2 3 n (n -1) =16[1+(1-1)+(1 -1)+ +( 1 -1)]… 2 2 3 n -1 n =16(2- 1) =32-16 = S n nn 所以Tn Sn ……………………………………… 11．设直线 OA 的斜率为 k ，显然 k 存在且不等于 0 则 OA 的方程为 y ＝ kx 7分 9分 10 分 12分 14分 由 y 2＝2px 解得A （k 2 ， k ） 1 又由，知 OA ⊥OB ，所以 OB 的方程为 y ＝－ x k 1 y ＝－ x 由 k 解得B （2pk 2，－2pk ） y 2＝2px 从而 OA 的中点为 A ' ，OB 的中点为 B '（pk 2，－pk ） 所以，以 OA 、OB 为直径的圆的方程分别为 2 2 2px 2py x 2 ＋y 2－ k 2 － k ＝0 ……① x 2＋y 2－2pk 2x ＋2pky ＝0 ……② ∵P （x ，y ）是异于 O 点的两圆交点，所以 x ≠0，y ≠0 1 由①－②并化简得 y ＝（k － ）x ……③ k 1 将③代入①，并化简得 x （k 2＋ 2 －1）＝2p ……④ 由③④消去 k ，有 x 2＋y 2－2px ＝0 ∴点 P 的轨迹为以（p ，0）为圆心，p 为半径的圆（除去原点）. 9 12．（1）由题意，有 x 2 －2mx ＋2m 2 ＋ 2 >0 对任意的 x ∈R 恒成立 m －3 4分 4分 6分 10 分 13 分 9 所以△＝4m 2－4（2m 2＋ 2 ）<0 m －3 即－m 2－m 2－3<0 3 (m 2 －3)2＋27 m 2 －3 >0 由于分子恒大于 0，只需 m 2－3>0 即可 所以 m <－ 3或 m > 3 ∴M ＝{m |m <－ 3或 m > 3} (2)x 2－2mx ＋2m 2 ＋ 9 m 2 －3 （x －m ）2 ＋m 2＋ 29 ≥m 2 m －3 9 m 2 －3 当且仅当 x ＝m 时等号成立. 9 所 以，题设对数函数的真数的最小值为 m 2＋ 2 m －3 又因为以 3 为底的对数函数为增函数 ∴f (x )≥log 3(m 2＋ 9 m 2 －3 9 ∴ 当且仅当 x ＝m （m ∈M ）时，f （x ）有最小值为 log 3（m 2＋ 2 ） m －3 又当 m ∈M 时，m 2－3>0 4分 7分 10 分 9 9 9 2 ＝ m 2－ 3 ＋ 2 ＋ 3≥ 2 (m 2 － 3) · 2 ＋ 3 ＝ 9 m －3 m －3 m －3 当且仅当 m 2－3＝ 29 ，即 m ＝± 6时， m －3 99 log 3（m 2 ＋ 2 ）有最小值 log 3（6＋ ）＝log 39＝2 m －3 6－3 ∴当 x ＝m ＝± 6时，其函数有最小值 2. 13．解析：（1）。，由根与系数的关系得， + = t ,= -1. f ()= 42 -t = 4 -2 2(+ ) = 2 = 8 =-1(t + t 2 +16). 2 + 1 2 - t - t 2 +16 2 同法得f( )=1( t 2 +16-t ). 2x 2-tx-2=2(x- )(x - ) 0,故当 x [,]时, f /(x)≥0, 函数 f(x)在[,] 上是增函数。 3)。证明： x 1 +x 2 -= x 2 ( -) 0,x 1 +x 2 -= x 1 ( - ) 0, x +x x + x x + x x +x x + x x + x 1 2 , 同理 1 2 . x +x x + x f () f ( x 1 + x 2 ) f (),故- f ()-f (x 1 +x 2 )-f (). x + x x + x 又f( ) f ( x 1 + x 2 ) f ().两式相加得: x + x -[f ()- f ()] f (x 1 +x 2 )- f (x 1+ x 2) f ()- f (), x +x x + x 即 f (x 1+x 2)- f ( x 1+ x 2) f ()- f (). x + x x + x 而由(1)， f( ) = -2, f () = -2 且f( )- f ()= f ()- f () , f (x 1 +x 2 )- f (x 1+ x 2) 2 - . x + x x + x 14(I) Q 4S = 4a = (a +1)2,a = 1. 当 n 2 ∴m 2 (2).证明： f /(x)= 4(x +1)-(4x -t )2x = -2(2x -tx -2),而当x [, ]时， (x 2 + 1)2 (x 2 + 1)2 3 y x 15.（1）设点M 的坐标为（x ,y ），由PM =－ 3 MQ ,得P （0,－ y ）,Q （ x ,0）, 2 2 3 2 分 由HP ·PM =0，得（3，－ y ）（x , 3y ）=0,又得y 2=4x , 5 分 22 由点 Q 在 x 轴的正半轴上，得 x >0, 所以，动点M 的轨迹C 是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点. 6分 （2）设直线 l :y =k （x +1）,其中 k ≠0,代入 y 2=4x ,得 k 2x 2+2（k 2－2）x +k 2=0,① 7 分 设 A （ x 1,y 1） ,B （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程①的两个实根，∴x 1+x 2=－ 2（k -2） ,x 1x 2=1, k 2 2- k 2 2 所以，线段AB 的中点坐标为（ 2 - k ,2 ）, 8分 k 2 k 2 1 2- k 2 线段 AB 的垂直平分线方程为 y － =－ （x － ）, 9 分 k k k 2 22 令 y =0,x 0= +1, 所以点 E 的坐标为 （ +1,0） k 2 k 2 因为△ABE 为正三角形，所以点 E （ 2 +1,0）到直线 AB 的距离等于 3 ｜AB ｜, k 2 2 时,4an =4Sn -4Sn - 1= (an +1) -(an -1+1) , 2(an +an -1)=an 2-an -12,又｛a n ｝各项均为正数, an -an -1 =2.数列 an 是等差数列, a = 2n -1. (II) S =n 2 ,若2 n tS 对于任意的n N * 恒成立,则t min 2 .令b n n n 2 n = 2n 2 ,.当 n 2 n 3 时 b 2n 2n 2+ (n - 1)n + n n +1 = = 1 b (n + 1)2n 2 + 2n + 1 b 1 = 2,b 2 = 1,b 3 min bn =min 2n n 2 88 8 . t 的最大值是 8 . 99 2 k 2 而｜AB ｜= (x 1 - x 2) +(y 1 - y 2) = · 1+ k , 2 3 1-k 4 2 1+ k 2 所以， k 2 解得k =± 23 ,得x 0=131. 10分 11 分 12 分 当 n =1 时，22n =4,(2n +1)2=9, ∴ 9T 2n < Q n ; 当 n =2 时，22n =16,(2n +1)2=25, ∴ 9T 2n < Q n ; 13分 当 n ≥ 3 时，22n = [( 1+1 ) n ] 2 =(C 0n +C 1n +C n 2 +…+C n n )2>(2n +1)2,∴9T 2n >Q n . 17．解(I) a + 3 b =(x,0)+ 3 (1,y)=(x+ 3 , 3 y), a – 3 b = ( x, 0 ) - 3 (1,y)= (x - 3 ,– 3 y). ( a + 3 b ) ⊥ ( a - 3 b ), ( a + 3 b )·( a - 3 b )=0, (x+ 3 )( x - 3 )+ 3 y·( - 3 y)=0, 2-1 16.(1)f 1(0)=2,a 1=22+-12 1 ,f n +1 (0)=f 1 4 f n (0)] 2 1+ f n (0) -1 f n +1(0)-1 1+ f n (0) 1- f n (0) a n +1= = = n +1 f n +1(0) + 2 2 + 2 4+2f n (0) 1+ f n (0) +2 1 f n (0) -1 1 2 f n (0)+2 =－ 2 an , 4分 ∴数列｛a n ｝是首项为4 ,公比为－ 2的等比数列，∴a n = 4 （－ 2 ） . 6分 2)T 2n =a 1+2a 2+3a 3+…+(2n －1)a 2n －1+2na 2n , － T 2n =( － a 1)+( － )2a 2+( － )3a 3+ …+( － )(2n － 1)a 2n 2 2 2 2 2 =a 2+2a 3+…+(2n －1)a 2n －na 2n , 3 两式相减得 T 2n =a 1+a 2+a 3+…+a 2n +na 2n , 2 1 1- 4 所以，32 T 2n = +n ×14(－12) 2n －1 1+1 2 2n = 1 －1 (－ 1 )2n + n (－ 1 )2n －1= 1 (1－3n +1). 9 9 2 6 2 9 22n Q n =1 3n + 1 (2n + 1)2 n －1 +(－ )·2na 2n 2 1 ( － 1 )2n + n 6 24 ∴9T 2n =1 8分 (－12)2n －1 3n + 1 22n 10分 12分 14分 x 2 故P 点的轨迹方程为 x 3 -y 2 =1． ６分） 2n II )考虑方程组 消去 y ，得(1–3k 2)x 2-6kmx-3m 2-3=0 (*) x 2 2 3 -y 2 =1, 显然 1-3k 2 0, =(6km)2-4(1-3k 2)( -3m 2-3)=12(m 2+1-3k 2)>0. 设 x 1,x 2 为方程*的两根，则 x 1+x 2= 6 km ，x 0= x 1 + x 2 = 3km , y 0=kx 0+m= m 1-3k 2 2 = 1-3k 2 1-3k 2 故 AB 中点 M 的坐标为( 3km ， m ) , 1- 3k 2 1-3k 2 线段AB 的垂直平分线方程为y - m =（- 1 ） 1- 3k 2 k 将 D （0，–1）坐标代入，化简得 4m=3k 2 -1, 11 又 4m=3k 2 - 1> - 1, m - , 故m (- ,0) (4,+ )． (１２分) 44 11 18．(1)解 由已知得 f (n )= f (n -1) f (1)=1 f (n -1)=(1)2 f (n -2)=L S n = b k = (1+2+L +n ) = k =1 3 6 (x - 3km 1-3k 2 ) k 满足 m 2+1-3k 2 0, 4m =3k 2 -1, 消去 k 2 得 m 2 - 4m>0, 解得 m<0 或 m>4. =(1)n -1 f (1)=(1)n ． (4分) （2）证明 由(1)可 知 a n =n (1)n ,设T n = a k 3 k =1 1 1 1 则T n =1 1 +2 (1)2+L +n (1)n 1 T n =1(1)2+2(1)3+L +(n -1) 1 +n (1)n + 1 两式相减得2 T =1+(1)2+(1)3+…+(1)n -n (1)n +1 = 2 1 - 31 T n = a k = 4 - 4 k =1 n 2 (13)n 43 ． 9 分） 3）解 由（1）可知 b = 1 n . n 3 - 完美WORD 格式 则1= 6=6(1- 1), S n(n +1) nn+ 1 n1 故有k S1k =6(1-1+ 1-1+L 223 +1- 1 ) =6(1-1 )6． nn+1 n + 1 １４分) 19．( 1) 2n+4=2+(n+2-1)d ,d =2,f(a )=2+(n+1-1)2=2n+2,a = a2n+2 2) lim S n =lim a4(1-a22n) = a42 . n → n →1- a21- a2 3) b n =a n f(a n)=(2n+2)a2n+2=(2n+2)22n+2=(n+1)22n+3. b n+1 = n+2 4 1 bn n +1 bn+1 bn . {b n}为递增数列b n中最小项为b1=225=26, f-1(t)=2t ,262t ,t 6. 20．( 1) 1|OF ||FQ |sin(-)=2 6 2 | OF | | FQ | cos = m tan= 4 6, 6 m 4 6 1tan 4. m arctan 4. x 2 y 2 2)设所求的双曲线方程为x - y =1(a 0,b0),Q(x1,y1),则FQ=(x1-c,y1) a 2 b2 1 1 1 1 S OFQ = 2|OF || y1 |=2 6,y1 =c又由OF FQ =(c ,0)(x1 -c,y1)= (x1-c )c=( -1)c ,x1= c ,| OQ |= x1+ y1= 96+3c212. c 28 当且仅当c=4 时，| OQ |最小，此时Q的坐标为( 6, 6)或( 6,- 6) a2 - b2 =1 a2+ b2=16 a = 4所求方程为x - y = 1. b2= 12 4 12 3)设A(x ,y ),B(x ,y ) l1的方程为y = 3x,l的方程为y =- 3x则有y = 3x①y =- 3x ② 2| AB |= 5| FF | 2 (x -x )2+(y - y )2=52c =40 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性； 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) （7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ =，则cos2α= (A) （B ） (C) (D) （8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2= (A)1 4（B） 3 5 (C) 3 4 (D) 4 5 （9）已知x=lnπ，y=log52， 1 2 z=e，则 (A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x (10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝ （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 （11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （A）12种（B）18种（C）24种（D）36种 （12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝7 3。动点P从 E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为 （A）16（B）14（C）12(D)10 二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若x，y 满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。 （14）当函数取得最大值时，x=___________。 （15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________。 （16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c。 2014年包九中数学压轴模拟卷一（理科） （试卷总分150分 考试时间120分钟） 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集{2}x M x y ==,集合2{|lg(2)}N x y x x ==-,则M N =（ ） A ．(0,2) B ．),2(+∞ C ．),0[+∞ D ．),2()0,(+∞?-∞ 2． 在复平面内，复数311z i i =--，则复数z 对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．关于直线m ，n 与平面 α，β，有下列四个命题： ①m ∥α，n ∥β 且 α∥β，则m ∥n ； ②m ⊥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ⊥n ； ③m ⊥α，n ∥β 且 α∥β，则m ⊥n ； ④m ∥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ∥n ． 其中真命题的序号是( )． A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 4.已知)(x g 为三次函数cx ax x a x f ++=233 )(的导函数，则函数)(x g 与)(x f 的图像可能是（ ） 5.已知数列12463579{}1(),18,log ()n n n a a a n N a a a a a a ++=+∈++=++满足且则等于（ ） A ．2 B ．3 C ．—3 D ．—2 6．执行右面的程序框图，如果输出的是341a =，那么判断框（ ） A ．4?k < B ．5?k < C ．6?k < D ．7?k < 7． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓 度在20—80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上 三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下 罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以 上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三 个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上 2000元以下罚款． 据《法制晚报》报道，2013年8月15日至8 历年高考物理压轴题精选 （一） 一、力学 2001年全国理综（江苏、安徽、福建卷） 31．（28分）太阳现正处于主序星演化阶段。它主要是由电子和H 11、He 4 2等原子核组成。 维持太阳辐射的是它内部的核聚变反应，核反应方程是2e+4H 11→He 4 2+释放的核能，这些核能最后转化为辐射能。根据目前关于恒星演化的理论，若由于聚变反应而使太阳中的H 11核数目从现有数减少10％，太阳将离开主序垦阶段而转入红巨星的演化阶段。为了简化，假定目前太阳全部由电子和H 11核组成。 （1）为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M 。已知地球半径R =6.4×106 m ，地球质量m =6.0×1024 kg ，日地中心的距离r =1.5×1011 m ，地球表面处的重力加速度g =10 m/s 2，1年约为3.2×107秒。试估算目前太阳的质量M 。 （2）已知质子质量m p =1.6726×10 －27 kg ，He 42质量m α=6.6458×10 －27 kg ，电子质量m e =0.9 ×10－ 30 kg ，光速c =3×108 m/s 。求每发生一次题中所述的核聚变反应所释放的核能。 （3）又知地球上与太阳光垂直的每平方米截面上，每秒通过的太阳辐射能w =1.35×103 W/m 2。试估算太阳继续保持在主序星阶段还有多少年的寿命。 （估算结果只要求一位有效数字。） 参考解答： （1）估算太阳的质量M 设T 为地球绕日心运动的周期，则由万有引力定律和牛顿定律可知 ① 地球表面处的重力加速度 2 R m G g ② 由①、②式联立解得 ③ 以题给数值代入，得M ＝2×1030 kg ④ 历年高考真题（数学文化） 1.（2019湖北·理）常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数， 如他们研究过图1中的1， 3， 6， 10， …， 由于这些数能表示成三角形， 将其称为三角形数；类似地， 称图2中的1， 4， 9， 16…这样的数为正方形数， 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.（2019湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337 升 3.（2019湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 升. 4.（2019?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之， 九而一， 所得开立方除之， 即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V ， 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π =3.14159…..判断， 下列近似公式中最精确的一个是（ ） A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.（2019?湖北）在平面直角坐标系中， 若点P （x ， y ）的坐标x ， y 均为整数， 则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点， 则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ， 其内部的格点数记为N ， 边界上的格点数记为L ．例如图中△ABC 是格点三角形， 对应的S=1， N=0， L=4． （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的S ， N ， L 分别是________； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a ， b ， c 为常数．若某格点多边形对应的N=71， L=18， 则S=________（用数值作答）． 6.（2019?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土， 这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“囷盖”的术：置如其周， 令相乘也， 又以高乘之， 三十六成一， 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ， 计算其体积 历年高考物理压轴题精选（三） （宁夏卷） 23.（15分） 天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G ） 24.(17分) 如图所示，在xOy 平面的第一象限有一匀强电场，电场的方向平行于y 轴向下；在x 轴和第四象限的射线OC 之间有一匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，方向垂直于纸面向外。有一质量为m ，带有电荷量+q 的质点由电场左侧平行于x 轴射入电场。 质点到达x 轴上A 点时，速度方向与x 轴的夹角?，A 点与原点O 的距离为d 。接着，质点进入磁场，并垂直于OC 飞离磁场。不计重力影响。若OC 与x 轴的夹角为?，求 （1）粒子在磁场中运动速度的大小： （2）匀强电场的场强大小。 24.（17分） (1)质点在磁场中的轨迹为一圆弧。由于质点飞离磁场时，速度垂直于OC ，故圆弧的圆心在OC 上。依题意，质点轨迹与x 轴的交点为A ，过A 点作与A 点的 速度方向垂直的直线，与OC 交于O ＇。由几何关系知，AO ＇垂直于OC ＇，O ＇是圆弧的圆心。设圆弧的半径为R ，则有 R =dsin ? ? 由洛化兹力公式和牛顿第二定律得 R v m qvB 2 = ② 将?式代入②式，得 ?sin m qBd v = ③ (2)质点在电场中的运动为类平抛运动。设质点射入电场的速度为v 0，在电场中的加速度为a ，运动时间为t ，则有 v 0＝v cos ? ④ v sin ?＝at ⑤ d =v 0t ⑥ 联立④⑤⑥得 d v a ??cos sin 2= ⑦ 设电场强度的大小为E ，由牛顿第二定律得 qE ＝ma ⑧ 联立③⑦⑧得 ??cos 3sin 2m d qB E = ⑨ （海南卷） 16.如图，空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向为y 轴正方向，磁场方向垂直于xy 平面(纸面)向外，电场和磁场都可以随意加上或撤除，重新加上的电场或磁场与撤除前的一样.一带正电荷的粒子从P(x=0，y=h)点以一定的速度平行于x 轴正向入射.这时若只有磁场，粒子将做半径为R 0的圆周运动；若同时存在电场和磁场，粒子恰好做直线运动.现在，只加电场，当粒子从P 点运动到x=R 0平面(图中虚线所示)时，立即撤除电场同时加上磁场，粒子继续运动，其轨迹与x 轴交于M 点.不计重力.求 (I)粒子到达x=R 0平面时速度方向与x 轴的夹角以及粒子到x 轴的距离； (Ⅱ)M 点的横坐标x M . 16.(I)设粒子质量、带电量和入射速度分别为m 、q 和v 0，则电场的场强E 和磁场的磁感应强度B 应满足下述条件 qE=qv o B ① 高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0OP OQ ?=，求直线PQ 的方程； （3）设AP AQ λ=（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证 明FM FQ λ=-. (14分) 2． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。 （1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。 （2） 证明)(x f 是偶函数。 （3） 试问方程01 log )(4=+x x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。 3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2 2 =-+y x 。 （1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g （3） 过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S 4.以椭圆2 22y a x +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试 判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 6 已知过函数f （x ）=12 3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。 （1） 求a 、b 的值； （2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3） 令()()132 ++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有 最大值1？ 7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→ → ?PN PM 的等比中项。 （1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； （2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程。 8．已知数列{a n }满足a a a a b a a a a a a a n n n n n n +-=+=>=+设,2),0(322 11 （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与 8 7 的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围； （Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程． 10. )(x f 对任意R x ∈都有.2 1)1()(= -+x f x f 历年高考数学真题(全国卷整理版) 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()() P A B P A P B +=+ 2 4S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 3 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、 复数131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A U B ＝ A, 则m= A 0或 3 B 0或 3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为 x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212 x +28 y =1 C 28 x +24 y =1 D 212 x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A)100101 (B) 99 101 (C) 99100 (D) 101100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) （7）已知α为第二象限角，sin α＋sin β3则cos2α= (A) 5 （B ） 5 (C) 5 5（8）已知F1、F2为双曲线C ：x 2-y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2= 最近两年全国各地高考物理压轴题汇集（详细解析63题） 1（20分） 如图12所示，PR 是一块长为L =4 m 的绝缘平板固定在水平地面上，整个空间有一个平行于PR 的匀强电场E ，在板的右半部分有一个垂直于纸面向外的匀强磁场B ，一个质量为m =0．1 kg ，带电量为q =0．5 C 的物体，从板的P 端由静止开始在电场力和摩擦力的作用下向右做匀加速运动，进入磁场后恰能做匀速运动。当物体碰到板R 端的挡板后被弹回，若在碰撞瞬间撤去电场，物体返回时在磁场中仍做匀速运动，离开磁场后做匀减速运动停在C 点，PC =L/4，物体与平板间的动摩擦因数为μ=0．4，取g=10m/s 2 ，求： （1）判断物体带电性质，正电荷还是负电荷？ （2）物体与挡板碰撞前后的速度v 1和v 2 （3）磁感应强度B 的大小 （4）电场强度E 的大小和方向 2(10分)如图2—14所示，光滑水平桌面上有长L=2m 的木板C ，质量m c =5kg ，在其正中央并排放着两个小滑块A 和B ，m A =1kg ，m B =4kg ，开始时三物都静止．在A 、B 间有少量塑胶炸药，爆炸后A 以速度6m ／s 水平向左运动，A 、B 中任一块与挡板碰撞后，都粘在一起，不计摩擦和碰撞时间，求： (1)当两滑块A 、B 都与挡板碰撞后，C 的速度是多大? (2)到A 、B 都与挡板碰撞为止，C 的位移为多少? 3（10分）为了测量小木板和斜面间的摩擦因数，某同学设计如图所示实验，在小木板上固定一个轻弹簧，弹簧下端吊一个光滑小球，弹簧长度方向与斜面平行，现将木板连同弹簧、小球放在斜面上，用手固定木板时，弹簧示数为F 1，放手后，木板沿斜面下滑，稳定后弹簧示数为F 2，测得斜面斜角为θ，则木板与斜面间动摩擦因数为多少？（斜面体固定在地面上） 4有一倾角为θ的斜面，其底端固定一挡板M ，另有三个木块A 、B 和C ，它们的质 量分别为m A =m B =m ，m C =3 m ，它们与斜面间的动摩擦因数都相同.其中木块A 连接一轻弹簧放于斜面上，并通过轻弹 簧与挡板M 相连，如图所示.开始时，木块A 静止在P 处，弹簧处于自然伸长状态.木块B 在Q 点以初速度v 0向下运动，P 、Q 间的距离为L.已知木块B 在下滑过程中做匀速直线运动，与木块A 相碰后立刻一起向下运动，但不粘连，它们到达一个最低点后又向上运动，木块B 向上运动恰好能回到Q 点.若木块A 静止于P 点，木块C 从Q 点开始以初速度03 2 v 向下运动，经历同样过程，最后木块C 停在斜面上的R 点，求P 、R 间的距离L ′的大小。 5如图，足够长的水平传送带始终以大小为v ＝3m/s 的速度向左运动，传送带上有一质量为M ＝2kg 的小木图12 历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分） 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3 a d π ==，求集合S ； （2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素； （3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的 值． 二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数. 设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值； （2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围． 参考公式：如 果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A B ) P(A)P(B) S 4R2 如果事件A、B相互独立，那么P(A B)P(A)P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么V 3 4 R3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 P(k)C n k n p k(1p)n k(k 0,1,2,…n) 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、复数 13i 1i = A2+I B2-I C1+2i D1-2i 2、已知集合A＝{1.3.m}，B＝{1，m},A B＝A,则m= A0或3B0 或3C1或3D1或3 3椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为x2y2x2y2 A+=1 B+=1 1612128 x2y2x2y2 C+=1D+=1 84124 4已知正四棱柱ABCD-A B C D中，AB=2，CC= 11111与平面BED的距离为22E为CC的中点，则直线AC 1 1 A2B3C2D1 （5）已知等差数列{a}的前n项和为S，a =5，S=15，则数列 n n55 的前100项和为 (A)100 101 (B) 99 101 (C) 99101 (D) 100100 （6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) 3 （7）已知α 为第二象限角，sin α ＋sin β = ，则 cos2α = (A) - 5 3 （B ） - 5 5 5 9 9 3 （8）已知 F1、F2 为双曲线 C ：x 2-y 2=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，则 cos ∠F1PF2= 1 3 3 4 (A) 4 （B ） 5 (C) 4 (D) 5 1 （9）已知 x=ln π ，y=log52， ，则 (A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x (10) 已知函数 y ＝x 2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c ＝ （A ）-2 或 2 （B ）-9 或 3 （C ）-1 或 1 （D ）-3 或 1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同， 则不同的排列方法共有 （A ）12 种（B ）18 种（C ）24 种（D ）36 种 7 （12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AE ＝BF ＝ 。动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入 射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若 x ，y 满足约束条件 （14）当函数 则 z=3x-y 的最小值为_________。 取得最大值时，x=___________。 （15）若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 _________。 （16）三菱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分 10 分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知 cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求 c 。 3 (C) (D) z=e 2 3 历年高考数学压轴题题选 （2012文） 23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5 （1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =） （3）设100m =，常数1,12a ?? ∈ ??? ，若(1)22 (1) n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列， 求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +- （2012理） 23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于数集{}121,,,...,n X x x x =-，其中120...n x x x <<<<，2n ≥，定义向量集{} (,),,Y a a s t s X t X ==∈∈，若对任意1a Y ∈，存在2a Y ∈，使得120a a ?=，则称X 具有性质P ，例如{}1,1,2-具有性质P （1）若2x >，且{}1,1,2,x -具有性质P ，求x 的值 （2）若X 具有性质P ，求证：1X ∈，且当1n x >时，11x = （3）若X 具有性质P ，且11x =、2x q =（q 为常数），求有穷数列12,,...,n x x x 的通项公式 φQ R P O y E φA φ B C 24、在半径为R 的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向 垂直于纸面，磁感应强度为B。一质量为m，带有电量q 的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD 方向经P 点 （AP＝d）射入磁场（不计重力影响）。 A D ⑴如果粒子恰好从A 点射出磁场，求入射粒子的速度。 ⑵如果粒子经纸面内Q 点从磁场中射出，出射方向与半圆在 Q点切线方向的夹角为φ（如图）。求入射粒子的速度。 24、⑴由于粒子在 P 点垂直射入磁场，故圆弧轨道的圆心在 AP 上，AP 是直径。 设入射粒子的速度为 v1 v2 m1=qBv 1 d / 2 qBd φ Q R/ R 解得：v1 = 2m P D A O/ O ⑵设 O/是粒子在磁场中圆弧轨道的圆心，连接O/Q，设O/Q＝R/。 由几何关系得：∠OQO/= OO/=R/+R -d 由余弦定理得：(OO/ )2=R2+R/2 - 2RR/ cos 解得：R/ d (2R -d ) = 2[R(1+ cos) -d ] 设入射粒子的速度为 v，由m v R/ =qvB 解出：v = qBd (2R -d ) 2m[R(1+c os) -d] 24．（17 分）如图所示，在xOy 平面的第一象限有一匀强电场，电场的方 向平行于y 轴向下；在x 轴和第四象限的射线OC 之间有一匀强磁场， 磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向外。有一质量为m，带有电 荷量+q 的质点由电场左侧平行于x 轴射入电场。质点到达x 轴上A 点时， 速度方向与x 轴的夹角为φ，A 点与原点O 的距离为d。接着，质点 O x 进入磁场，并垂直于OC 飞离磁场。不计重力影响。若OC 与x 轴的夹 角也为φ，求：⑴质点在磁场中运动速度的大小；⑵匀强电场的场强大小。 24.质点在磁场中偏转90o，半径r=d sin=mv ，得v= qBd sin； qB m v 2 2019-2020 年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（五） 46.已知函数f ( x)x2ax 4 （ aＲ）的两个零点为x1, x2 , 设 x1 x2. （Ⅰ）当 a0 时，证明：2x1 0． （Ⅱ）若函数g (x)x2| f ( x) |在区间 (, 2)和(2,) 上均单调递增，求 a 的取值范围. 47.设函数 f ( x)2 R ）．x ax ln x （a （Ⅰ）若 a 1时,求函数 f (x)的单调区间； （Ⅱ）设函数 f ( x) 在[1 , ] 有两个零点，求实数 a 的取值范围． e e 48.已知函数 f ( x) ln( ax b) x ，g (x)x2ax ln x ． （Ⅰ）若 b 1,F ( x) f ( x) g (x) ，问：是否存在这样的负实数 a ，使得 F ( x) 在x1处存在切线且该切线与直线y 1 x 1平行，若存在，求a的值；若不存在，请说明理 23 由． （Ⅱ）已知 a 0 ，若在定义域内恒有 f (x) ln( ax b) x 0 ，求 a(a b) 的最大值． 49.设函数 f ( x) x ln x b(x 1 )2(b R)，曲线y f x在1,0处的切线与直线 2 y3x 平行．证明： （Ⅰ）函数 f ( x) 在 [1,) 上单调递增； （Ⅱ）当 0 x 1 时， f x1. 50.已知 f（ x） =a（ x-ln x）+2 x 1 ， a∈ R. x 2（I ）讨论 f（ x）的单调性； （II ）当 a=1 时，证明f（ x）＞ f’（ x） + 3 对于任意的x∈ [1,2] 恒成立。 2 2 51.已知函数f（x） =x +ax﹣ lnx， a∈ R． （1）若函数f（x）在 [1， 2]上是减函数，求实数 a 的取值范围； （2）令 g（ x） =f（ x）﹣ x2，是否存在实数a，当 x∈（ 0， e] （ e 是自然常数）时，函数g （x）的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由； （3）当 x∈（ 0， e]时，证明： e2x2－5 x＞ (x+1)ln x．2 全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A = 2015年10月18日姚杰的高中数学组卷 一．解答题（共10小题） 1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x 轴交于点E、A，与y轴交于点E、B． （1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值； （2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．2．（2010?江苏模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S． （Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域； （Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 3．（2013?越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程． 4．（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 5．（2009?福建）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标． （2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数）试判断他们的公共 点个数； （3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1． 6．（2009?东城区一模）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A （﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C； （Ⅱ）当时，求直线l的方程； （Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理 由． 7．（2009?天河区校级模拟）已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C 外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为（﹣3，0）． （1）若点D（0，3），求∠APB的正切值； （2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值； （3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由． 8．（2007?海南）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P （0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B． 2019年高考数学压轴题的解题思路 高考数学压轴题的解题思路。高考数学对于很多同学来说都是较难的一个科目，特别是对于文科生来说，简直是一个磨人的小妖精，历年高考数学结束后都会有人对数学怨声载道。一方面数学没有考好直接拉低了整体的高考分数，另外一方面数学的得分会明显拉大考生间的差距，小则几十分，大则百分。要知道在高考的战场上一分是可以压死千万人的，所以数学在高考中显得格外的重要。 在高考数学题中，最难的应该就是最后的一道压轴题，有一部分同学因为时间问题会直接错失答题机会，也有一部分同学会在解题过程中百思不得其解。那么关于压轴题怎么应用小技巧去解答？具体题目还是要具体分析，不能一一而谈，总体来说，思路如下： 一、复杂的问题简单化 就是把一个复杂的问题，分解为一系列简单的问题，把复杂的图形，分成几个基本图形，找相似，找直角，找特殊图形，慢慢求解，高考是分步得分的，这种思考方式尤为重要，即使你最后没有算出结果，但是如果步骤正确，还是会得相应的步骤分的。在高考数学的答题过程中我们需要秉承一个理念，那就是不放过任何一个得分步骤。 二、运动的问题静止化 对于动态的图形，先把不变的线段，不变的角找到，有没有 始终相等的线段，始终全等的图形，始终相似的图形，所有的运算都基于它们，在找到变化线段之间的联系，用代数式慢慢求解。 三、一般的问题特殊化 一有些一般的结论，找不到一般解法，先看特殊情况，比如动点问题，看看运动到中点怎样，运动到垂直又怎样，变成等腰三角形又会怎样，先找出结论，再慢慢求解。 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”[数学]数学高考压轴题大全
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