高中数学-直线方程的几种形式精讲精练

2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率

高中数学-直线方程的几种形式精讲精练

典题精讲

例1 已知三点A(1，-1)、B(3，3)、C(4，5)，求证:A 、B 、C 三点共线.

思路分析：如果三点在一条直线上，那么任取两点得到的斜率应该是相同的(都是这条直线的斜率).

证法一:利用斜率公式.

∵k AB =1313-+=2，k AC =1

415-+=2,∴k AB =k AC . ∴A、B 、C 三点共线.

证法二:利用直线方程.

设AB:y=kx+b ，则???+=+=-,33,1b k b k ∴???-==.

3,2b k

∴直线AB 的方程为y=2x-3.

当x=4时，y=2×4-3=5，

故点C(4，5)在AB 上.∴A、B 、C 三点共线.

绿色通道：判定三个点在一条直线上，通常有下面几种方法:一是任取两点得到的直线斜率是相同的；二是过任两点直线的方程是相同的；三是根据两点求出直线方程，判定第三点在这条直线上.显然第一种方法最简单.

变式训练1若三点A(2，2)、B(a,0)、C(0,4)共线，则a 的值等于_______________. 思路解析:因为k AB =

220--a ，k BC =a --004，又因为三点A 、B 、C 共线，所以k AB =k BC ，即220--a =a

--004，解得a=4.

答案:4

例2 设过定点A 的直线l 1的倾斜角为α.现将直线l 1绕点A 按逆时针方向旋转45°得到直线l 2,设直线l 2的倾斜角为β,请用α表示β的值.

思路解析：

先画出示意图,根据图形求解.

答案：画出如图2-2-(1,2)-1的示意图,从图中可得

图2-2-(1,2)-1

当0°≤α＜135°时,β=α+45°；

当135°≤α＜180°时,β=α+45°-180°=α-135°.

黑色陷阱：解答本题时,一些同学容易误解为β=α+45°.事实上,由于直线的倾斜角的范围为0°≤α＜180°,故当135°≤α＜180°时,180°≤α+45°＜225°.故作为直线的倾斜角应减去180°.所以解决该类问题决不能想当然地加或减去某个角.

变式训练2 如图2-2-(1,2)-2，直线l 1的倾斜角α1=30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率

.

图2-2-(1,2)-2

解：l 1的斜率k 1=tanα1=tan30°=3

3，∵l 2的倾斜角α2=90°+30°=120°， ∴l 2的斜率k 2=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°=3-.

例3设直线l 的方程为(m 2-2m-3)x+(2m 2

+m-1)y=2m-6，若直线在x 轴上的截距是-3，试确定m 的值.

思路分析：要熟悉直线方程的一般形式与其他形式间的联系.记清特殊形式的直线方程与一般方程的直线形式的转化条件. 解：令y=0，由题意得?????-=---≠--)2(,33

262)1(,03222m m m m m 由①式，得m≠3且m≠-1.由②式，得3m 2-4m-15=0，

解得m=3或m=53-.因为m≠3，所以m=5

3-. 绿色通道：掌握截距的概念，如本题求直线在x 轴上的截距，只需令y=0，就可解得.要注意“或”与“且”两字的区别.如本题中的不等式m 2-2m-3≠0的解是m≠3且m≠-1；而方程

3m 2-4m-15=0的解是m=3或m=53-. 变式训练3已知直线ax+by+c=0的图形如图2-2-(1,2)-3，则( )

图2-2-(1,2)-3

A.若c ＞0，则a ＞0，b ＞0

B.若c ＞0，则a ＜0，b ＞0

C.若c ＜0，则a ＞0，b ＜0

D.若c ＜0，则a ＞0，b ＞0

思路解析：∵直线ax+by+c=0的斜率k=b

a -

＜0， ∴ab＞0.又∵直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a c -与b c -， ∴a c -＞0，b c -＞0.∴ac＜0，bc ＜0.若c ＞0，则a ＜0，b ＜0；若c ＜0，则a ＞0，b ＞0.选D.

答案:D

例4求直线2x+(3k-1)y+k-1=0在x 、y 轴上的截距.

思路分析：

按照截距的定义求解,即在方程中令y=0,则x 的取值即为直线在x 轴上的截距;令x=0,则y 的取值即为直线在y 轴上的截距.

解:令y=0,则x=

21k -,于是直线在x 轴上的截距为21k -； 令x=0,则(3k-1)y+k-1=0,于是直线在y 轴上的截距为1

31--k k ； 当k=31时,直线在y 轴上的截距不存在. 黑色陷阱：解答本题时,容易忽视对y 轴截距是否存在的讨论，即忽视了k=

31的情形而造成错解.事实上，当k=31时，分式1

31--k k 无意义，此时的直线在y 轴上的截距不存在. 变式训练4一条直线经过点M(2,3),则在两坐标轴上的截距相等的直线方程是____________.

思路解析：设直线在两轴上的截距均为a.

若a=0,则所求直线方程为3x-2y=0；

若a≠0,则同上可求得直线方程为x+y=5.

答案:3x-2y=0或x+y=5

问题探究

问题1 常见的对称问题有哪些？具体的处理方法如何？

导思:对称问题包括以下四类：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称；直线关于直线的对称.也可归结为中心对称和轴对称两类，而这两类问题最终都可归结为点的对称问题.

若点P 1与P 2关于点M 对称，则点M 是P 1、P 2的中点.若已知其中任何两个点的坐标，都可以根据中点坐标公式求出另外一个点的坐标.

若点P 1与P 2关于直线l 对称，则直线l 是线段P 1P 2的中垂线，它应同时满足两个条件，即P 1、P 2的中点在直线l 上，且P 1P 2的连线与l 垂直，也就是说，P 1P 2的中点坐标满足直线l 的方程，且P 1P 2连线的斜率与直线l 的斜率互为倒数.

曲线是由点组成的，曲线关于点或直线的对称实质上就是点关于点或直线的对称. 探究：常见的对称问题有点关于点、点关于直线的对称问题以及曲线(含直线)关于点、曲线(含直线)关于直线的对称问题.具体的处理方法如下：

(1)点P(x 0,y 0)关于点M(a,b)的对称点为P(2a-x 0,2b-y 0);

(2)点P(a,b)不在直线l ：Ax+By+C=0上，P 关于直线l 的对称点为P′(x,y)的求法：因为PP′中点M(2,200y b x a ++)在l 上,PP′⊥l,所以由方程组

???????-=-?--=++?++?,1)(,0220

000B A a x b y C y b B x a A 可解出P′(x 0,y 0). (3)几种特殊对称：点(a,b)关于x 轴的对称点为(a,-b);点(a,b)关于y 轴的对称点为(-a,b);点(a,b)关于y=x 的对称点为(b,a);点(a,b)关于y=-x 的对称点为(-b,-a);点(a,b)关于x+y=t 的对称点为(t-b,t-a);点(a,b)关于x-y=m 的对称点为(m+b,a-m).

(4)“曲线关于点对称”问题可用“点关于点对称”的方法解决；“曲线关于直线对称”问题可转化为“点关于直线对称”问题来解决.

问题2一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫做直线系方程.直线系方程中除含变量x 、y 以外，还可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，

简称参数.由于参数取向不同，就得到不同的直线系.你能试举出一些直线系的例子吗? 导思:应用直线系解题，是指把待求的直线看成满足某种条件的直线的集合中的元素，再利用其他条件确定参数的值，是整体思想的具体运用.利用直线系解题可简化运算、提高解题效率、降低难度.

直线系y=kx+b 中，若b 为常数，它表示过定点(0,b)的直线系；若k 为常数，它表示平行线系.

平行线系关注的是斜率相等，垂直关注的是斜率互为负倒数.设出相关的直线系方程后，要明确直线系中参数是谁.

对于过两直线交点的直线系方程，求交点坐标时，可先把方程转化成f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的形式，再解方程组???==0

),(,0),(21y x f y x f 求交点；也可赋予参数两个具体的

值，将得到的两个方程联立方程组求交点坐标.

探究：几种常见的直线系：

(1)过定点的直线系

直线y=kx+b(其中k 为参数，b 为常数)，它表示过定点(0，b)的直线系，但不包括y 轴(即x=0).

经过定点M(x 0，y 0)的直线系y-y 0=k(x-x 0)(k 为参数)，

它表示经过定点(x 0，y 0)的直线系，但不包括平行于y 轴的那一条(即x=x 0).

(2)已知斜率的直线系

y=kx+b(k 为常数，b 为参数)，

它表示斜率为k 的平行直线系.

若已知直线l ：Ax+By+C=0，

与l 平行的直线系为Ax+By+m=0(m 为参数,且m≠C).

若已知直线l ：Ax+By+C=0，

与l 垂直的直线系为Bx-Ay+n=0(n 为参数).

(3)经过两条直线交点的直线系

经过两直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0(A 12+B 12≠0)与l 2：A 2x+B 2y+C 2=0(A 22+B 22

≠0)交点的直线系为m(A 1x+B 1y+C 1)+n(A 2x+B 2y+C 2)=0(其中m 、n 为参数，m 2+n 2≠0).

当m=1，n=0时，方程即为l 1的方程；

当m=0，n=1时，方程即为l 2的方程.

上面的直线系可改写成(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为实数).但是，方程中不包括直线l2，这个形式的直线系方程在解题中常见.

高中数学知识点精讲精析 不等关系

13.1 不等关系 （一）不等关系与不等式 1. 用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式。 2. 数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。 3. 对于任意两个实数a 和b ，在三种关系中有且只有一种关系成立。 4. 这组关系告诉我们比较两个实数的大小，可以通过判断它们的差 的符号来确定。 5. 若a 、b ∈R ＋，则 这组关系告诉我们比较两个正实数的大小，可以通 过判断它们的商与“1”的大小关系来确定。 （二）不等式的性质 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础，证明这些性质必须是严格的，不能盲目地乱用。保证每一步推理都有理论根据，否则可能导致推理错误。 1. 等式两边同乘以同一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数a （或代数式），结果有三种： （1）当a ＞0时，得同向不等式。 （2）当a ＝0时，得等式。 （3）当 a ＜0时，得异向不等式。 a b,a b,a b =><

2. 不等式性质，有同向不等式相加，得同向不等式，并无相减。若 或.这个结论常用，不妨记为：“大数减小数大于 小数减大数。” 3. 不等式性质，有均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除。若 ，这个结论也常用。不妨记为：“大正数除以小正 数大于小正数除以大正数。” 4. 不等式性质有 .不能忽略a 、b 均为正数 这个条件，即由 是不一定成立的。 5. 由 成立。但不一定成立。反过来也不一定成立。事实上。 （三）均值不等式 1. 对于任意实数a ，b 都有 ，当且仅当a ＝ b 时等号成立。 2. 对于任意正实数a ，b ，当且仅当a ＝ b 时等号成立。 3. 对于任意正实数a, b 都有 ，当且仅当a ＝ b 时等号成立。 4. 的几何解释：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 上任意一点，DE 是过C 点垂直于AB 的弦。若AC ＝a, BC ＝b 则AB ＝a ＋ b ，⊙O 的半径 ， Rt △ACD ∽Rt △BCD ，,。 a b,c d a c b d >>?->- c b d a ->-a a b 0,c d 0d >>>>? >b c d c b a > 或n n a b 0a b (n N,n 1)>>?>∈>n n a b a b (n N,n 1)>?>∈>11a b 0a b >>? <11a b a b >?<11a b a b 11 a b ab 0a b >>? < 且22a b 2ab +≥a b 2+2 a b ab 2+??≤ ? ??a b 2+a b r 2+= 2 CD AC CB ab =?=CD =

必修二直线的方程典型题目

1．直线10x y -+=的倾斜角为 ． 【答案】45? 【解析】 试题分析：方程10x y -+=可化为斜截式1+=x y ，所以斜率1=k ，所以倾斜角 45 考点：直线方程、直线的倾斜角与斜率 2．已知ABC ?的三个顶点分别是()2,2A ，(0,1)B ，()4,3C ，点(,1)D m 在边BC 的高所在的直线上，则实数m ＝________. 【答案】52 【解析】 试题分析：因为，ABC ?的三个顶点分别是()2,2A ，(0,1)B ，()4,3C ，点(,1)D m 在边BC 的高所在的直线上，所以，高线的斜率为12122AD BC k m k -= =-=--，故m=5 2 . 考点：直线斜率的坐标计算公式，直线垂直的条件。 点评：简单题，两直线垂直，斜率乘积等于-1，或一条直线的斜率为0，另一直线的斜率不存在。 3．.经过点(0,1)P -作直线l ,若直线l 与连接(1,2),(2,1)A B -的线段没有公共点,则直线l 的斜率k 的取值X 围为 . 【答案】()()+∞-∞-,11, 【解析】略 4．已知点P （0，-1），点Q 在直线01=+-y x 上，若直线PQ 垂直于直线052=-+y x ，则点Q 的坐标是 . 【答案】(2,3) 【解析】 试题分析：根据点Q 在直线x-y+1=0上设Q （x ，x+1），由已知的直线方程求出斜率，再利用两直线垂直斜率之积为-1，以及两点间的斜率公式求出x 的值，再求出点Q 的坐标。解：由于点Q 在直线x-y+1=0上，故设Q （x ，x+1），∵直线x+2y-5=0的斜率为-1 2 ，且与直线PQ 垂直，∴k PQ =2=1(1) x x +--- ，解得x=2，即Q （2，3）．故答案为(2,3) 考点：两条直线垂直

高中数学精讲精练(新人教A版)第03章三角函数B

2013高中数学精讲精练 第三章 三角函数B 第5课 三角函数的图像和性质（一） 【考点导读】 1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22 ππ - 上的性质； 2.了解函数sin()y A x ω?=+的实际意义，能画出sin()y A x ω?=+的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【基础练习】 1. 已知简谐运动()2sin( )()3 2 f x x π π ??=+< 的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期 T =_________；初相?=__________． 2. 三角方程2sin( 2 π －x )=1的解集为_______________________． 3. 函数),2 ,0)(sin(R x x A y ∈π ω?+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为 ______________________． 4. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π?? =- ?3?? 的图象向右平移__________个单位． 【范例解析】 例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ??-???? 上的图象，长度为一个周期； （Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 例2.已知正弦函数sin()y A x ω?=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式1()f x ； （2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ； （3）作出函数12()()y f x f x =+的图像的简图． 第3题

高中数学知识点精讲极限和导数

第十二章 极限和导数 第十四章 极限与导数 一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞ →+∞ →， 另外)(lim 0 x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。类似地)(lim 0 x f x x -→表示x 小 于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。 2 极限的四则运算：如果0 lim x x →f(x)=a, 0 lim x x →g(x)=b ，那么0 lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, lim x x →[f(x)?g(x)]=ab, 0 lim x x →).0()()(≠=b b a x g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0 lim x x →f(x)存在，并且0 lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。 4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因

变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若x y x ??→?0lim 存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限 值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或 x dx dy ，即 00) ()(lim )('0 x x x f x f x f x x --=→。由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。若f(x)在 区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。 6．几个常用函数的导数：（1）)'(c =0（c 为常数）；（2）1 )'(-=a a ax x （a 为任意常数）；（3） ;cos )'(sin x x =(4)x x sin )'(cos -=;(5)a a a x x ln )'(=;(6)x x e e =)'(;（7）)'(log x a x x a log 1 = ；（8）.1)'(ln x x = 7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x 处可导，且u(x)≠0,则 （1）)(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±；（2）)(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=；（3）)(')]'([x u c x cu ?=（c 为常数）；（4）)()(']')(1[ 2x u x u x u -=；（5）) () ()(')(')(]')()([2 x u x v x u x v x u x u x u -=。 8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=?(x)，已知?(x)在x 处可导，f(u)在对应的点u(u=?(x))处可导，则复合函数y=f[?(x)]在点x 处可导，且（f[?(x)])'=)(')](['x x f ??. 9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I 上可导，则f(x)在I 上连续；（2）若对一切x ∈(a,b)有0)('>x f ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x ∈(a,b)有0)('x f ，则f(x)在x 0处取得极小值；（2）若0)(''0

高中数学排列组合典型例题精讲

概念形成 1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺．．．． 序．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． 。 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关） （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 合作探究二 排列数的定义及公式 3、排列数：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号m n A 表示 议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ 4、排列数公式推导 探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？m A n 呢？ )1()2)(1(+-?--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤） 说明：公式特征：（1）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个 因数是1n m -+，共有m 个因数； （2）,,m n N m n *∈≤ 即学即练: 1.计算 (1）410A ； (2）25A ；(3)3355A A ÷ 2.已知101095m A =???，那么m = 3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----用排列数符号表示为( ) A ．5079k k A -- B ．2979k A - C ．3079k A - D ．3050k A - 例1． 计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。 5 、全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的全排列。 此时在排列数公式中， m = n 全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--?=（叫做n 的阶乘）. 即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）334A （2）44A （3）)!1(-?n n 排列数公式的另一种形式： )! (!m n n A m n -= 另外，我们规定 0! =1 .

高中数学必修五,等差数列题型精讲精练

第七章 数列 第一节 等差数列 题型73、等差数列基本运算 ? 知识点摘要： ? 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做 等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． ? 等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． ? 等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2，其中A 叫做a ，b 的等差中项． ? 等差中项的推论：在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． 若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)． ? 前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n ) 2. ? 等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 1. 集合当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列． 2. 公差不为0时，S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0. ? 典型例题精讲精练： 1. (2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )B A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 2. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( )D A ．3 B ．7 C ．9 D ．10 3. (2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )B A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( )D A ．420 B ．340 C ．－420 D ．－340 5. 在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( )C A ．12 B ．18 C ．24 D ．30

高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结

知识点归纳概括 题型归纳分析 题型1：直线的倾斜角与斜率

考点1：直线的倾斜角 例1、过点),2(a M -和)4,(a N 的直线的斜率等于1, 则a 的值为( ) A 、1 B 、4 C 、1或3 D 、1或4 变式1：已知点)3,1(A 、)33,1(-B ，则直线AB 的倾斜角是（ ） A 、?60 B 、?30 C 、?120 D 、?150 变式2：已知两点()2,3A ，()1,4-B ，求过点()1,0-C 的直线l 与线段AB 有公共点求直线l 的斜率k 的取值范围 考点2：直线的斜率及应用 斜率公式1 21 2x x y y k --= 与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中的前后次序相同； 斜率变化分两段， 2 π 是分界线，遇到斜率要特别谨慎 例1、三点共线——若三点()2,2A 、()0,a B 、()b C ,0，()0≠ab 共线，则b a 1 1+的值等于 变式1：若()3,2-A 、()2,3-B 、?? ? ??m C ,21三点在同一直线上，则m 的值为（ ） A 、2- B 、2 C 、2 1 - D 、 2 1 考点3：两条直线的平行和垂直 对于斜率都存在且不重合的两条直线21l l 、，2121//k k l l =?，12121-=??⊥k k l l 。若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少要特别注意 例、已知点()2,2M ，()2,5-N ，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标。 (1)OPN MOP ∠=∠(O 是坐标原点)；(2) MPN ∠是直角

题型2：直线方程 考点1：直线方程的求法 例1、若()() 013442 2 =+?+-+?-y m m x m 表示直线，则（ ） A 、2±≠m 且1≠m ，3≠m B 、2±≠m C 、1≠m 且3≠m D 、m 可取任意实数 变式1：直线0632=--y x 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则（ ） A 、2,3==b a B 、2,3-==b a C 、2,3=-=b a D 、2,3-=-=b a 变式2：过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 ； 在两轴上的截距相等的直线方程 变式3：过点)1,2(-P ，在x 轴和y 轴上的截距分别为b a 、，且满足b a 3=的直线方程是 考点2：用一般式方程判定直线的位置关系 两条直线位置关系的判定，已知直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，则 (1) 0//122121=-?B A B A l l 且01221≠-C A C A (2) 0212121=+?⊥B B A A l l

高中数学-二项式定理精讲精练

高中数学-二项式定理精讲精练 1．二项式定理 （1）二项式定理 011()C C C C ()n n n k n k k n n n n n n a b a a b a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，共有____________项，其中各项的系数_____________叫做二项式系数. 说明：二项式定理中的,a b 既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.在二项式定理中，如果设1,a b x ==，则得到公式： 0122(1)C C C C C n k k n n n n n n n x x x x x +=++++++L L . （2）二项展开式的通项 二项展开式中的C k n k k n a b -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第 __________项：1C k n k k k n T a b -+=. 2．“杨辉三角”与二项式系数的性质 （1）杨辉三角 当n 依次取1,2，3，…时，()n a b +展开式的二项式系数可以表示成如下形式： 该表称为“杨辉三角”，它蕴含着许多规律：例如：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之_______. （2）二项式系数的性质

①对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数_________.事实上，这一性质可直接 由公式C C m n m n n -=得到. ②增减性与最大值.当12n k +< 时，二项式系数是逐渐增大的；当1 2 n k +>时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数_________最大；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数_________相等且最大. ③各二项式系数的和.已知0122(1)C C C C C n k k n n n n n n n x x x x x +=++++++L L .令1x =， 则0122C C C C n n n n n n =++++L .也就是说，()n a b +的展开式的各个二项式系数的和为 _________. K 知识参考答案： 1．（1）n +1C ({0,1,2,,})k n k n ∈L （2）1k + 2．（1）和（2）①相等②2C n n 1122C ,C n n n n -+③2n K —重点 二项式定理及二项展开式的通项公式 K —难点 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 K —易错 容易混淆项与项的系数，项的系数与项的二项式系数 一、二项展开式中特定项（项的系数）的计算 求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（0,1,2,,k n =L ）.一定要记准二项式的展开式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷. 【例1】已知在 的展开式中，第6项为常数项. （1）求含的项的系数； （2）求展开式中所有的有理项.

高中数学导数典型例题精讲(详细版)

导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限:(１）1 lim 0n n →∞=,lim 0n n a →∞=（||1a <);(2)00lim x x x x →=，0011lim x x x x →= . 两个重要的极限 ：（1)0sin lim 1x x x →=;（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? （ｅ=2.7182818４５…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=,则 (１)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????;（2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;（3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==,则(１)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞?=?（3)()lim 0n n n a a b b b →∞ =≠(４)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?（ c 是常数) )(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='．x x sin )(cos -=' (4） x x 1 )(ln = '；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='． 导数的运算法则 (1）' ' ' ()u v u v ±=±．（2)' ' ' ()uv u v uv =+.（3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点Ｕ处有导数 ''()u y f u =,则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且''' x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1． ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力．

高中数学知识点精讲精析 数学符号

3 数学符号 1．数学符号的来历 例如加号曾经有好几种，现在通用“＋”号。 “＋”号是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的。十六世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文“plu”（加的意思）的第一个字母表示加，草为“μ”最后都变成了“＋”号。 “－”号是从拉丁文“minus”（“减”的意思）演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了“－”了。 也有人说，卖酒的商人用“－”表示酒桶里的酒卖了多少。以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“－”上加一竖，意思是把原线条勾销，这样就成了个“＋”号。 到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定：“＋”用作加号，“－”用作减号。 乘号曾经用过十几种，现在通用两种。一个是“×”，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是“·”，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为：“×”号象拉丁字母“X”，加以反对，而赞成用“·”号。他自己还提出用“п”表示相乘。可是这个符号现在应用到集合论中去了。 到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把“×”作为乘号。他认为“×”是“＋”斜起来写，是另一种表示增加的符号。 “÷”最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用“：”表示除或比，另外有人用“－”（除线）表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才根据群众创造，正式将“÷”作为除号。 平方根号曾经用拉丁文“Radix”（根）的首尾两个字母合并起来表示，十七世纪初叶，法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中，第一次用“√”表示根号。“√”是由拉丁字线“r”变，“——”是括线。 十六世纪法国数学家维叶特用“＝”表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号“＝”就从1540年开始使用起来。 1591年，法国数学家韦达在菱形中大量使用这个符号，才逐渐为人们接受。十

高二数学必修二直线方程练习题综合题

直线与方程练习题 一、填空题(5分×18=90分) 1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为 ； 2. 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是 ； 3.两条直线023 m y x 和0323)1(2 m y x m 的位置关系是 ； 4.直线02 b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是 ； 5. 经过点(－2,－3) , 在x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是 ； 6．已知直线0323 y x 和016 my x 互相平行，则它们之间的距离是: 7、过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是: 8.三直线ax +2y +8=0，4x +3y =10，2x －y =10相交于一点，则a 的值是: 9．已知点)2,1( A ，)2,2( B ，)3,0(C ，若点),(b a M )0( a 是线段AB 上的一点，则直线CM 的斜率的取值范围是: 10．若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l ：07 y x 和2l ：05 y x 上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为: 11.与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线有______条. 12．直线l 过原点，且平分□ABCD 的面积，若B (1, 4)、D (5, 0)，则直线l 的方程是 ． 13．当10k 2 时，两条直线1 k y kx 、k x ky 2 的交点在 象限． 14．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ； 15.直线y=2 1x 关于直线x ＝1对称的直线方程是 ; 16.已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上， 则AC 所在直线方程是____________． 17.光线从点 3,2A 射出在直线01: y x l 上，反射光线经过点 1,1B , 则反射光线所在直线的方程 18．点A （1，3），B （5，－2），点P 在x 轴上使|AP |－|BP |最大，则P 的坐标为: 二.解答题(10分×4+15分×2=70分)

高中数学函数及其表示典型经典例题精讲精练

函数及其表示 考点一 求定义域的几种情况 ①若ｆ（x)是整式，则函数的定义域是实数集Ｒ； ②若ｆ（x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于０的实数集合； ④若ｆ(ｘ)是对数函数,真数应大于零。 ⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。 ⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑦若f(x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题 考点二 映射个数公式 C ａrd(A)=m ，card(B)=ｎ, m,n ∈N * ，则从A 到B 的映射个数为 n m 。简单说成“前指后底”。 方法技巧清单 方法一 函数定义域的求法 2.（2００9江西卷理)函数 2 34 y x x = --+的定义域为? ?? ( ) Ａ．(4,1)-- B ．(4,1)- C.(1,1)- Ｄ.(1,1]- 解析 由2 10 1 1141 340x x x x x x +>>-????-<??.故选C ５.求下列函数的定义域。①y= 22+?-x x .②ｙ＝ () x x x -+12 .③y= x x -+-11 6.已知函数f(x)的定义域为(),51，求函数F （x)=f(3ｘ-1)-ｆ（3ｘ+1)的定义域。 1. 下列各组函数中表示同一函数的是（ )A.y=5 5 x 和 x y 2 = B ．y ＝ｌn e x 和 e x y ln = Ｃ. ()()() ()3131+=-+-= x y x x x y 和 D. x x y y 0 1 = = 和 ２．函数y=f(ｘ)的图像与直线x ＝２的公共点个数为 A. 0个Ｂ． 1个 Ｃ. ０个或1个 D. 不能确定 ３．已知函数y= 22 -x 定义域为{}2,1.0,1-，则其值域为 方法三 分段函数的考察 ⅰ 求分段函数的定义域和值域 ２ｘ+２ x []0,1-∈ 1求函数f(ｘ)= x 2 1- ｘ()2,0∈ 的定义域和值域 3 x [)+∞∈ ,2

高中数学知识点精讲精析 独立性

2.3独立性 1．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件。 独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的。 2．公式 (1)两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P （A·B ）=P （A ）·P （B ）； 推广：若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P(A 1·A 2…A n )=P(A 1)·P(A 2)·…·P(n )。 (2)如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：P n (k)=C P k (1－P)n-k 。 1． 设有一个均匀的正四面体，第一，二，三面分别涂上红，黄，兰一种颜色，第四面涂上红，黄，兰三种颜色。现以A,B,C 分别记投一次四面体底面出现红，黄，兰颜色的事件，问A ，B ，C 事件相互独立吗？ 【解析】 所以A,B,C 两两独立，但 因而A,B,C 不相互独立。 2． 设有四张形状，大小，质量完全一样的卡片，上面分别标有数字112，121，211，222，现从四张卡片中任抽一张，以随机变量X,Y ,Z 分别表示抽到卡片上的第一，二，三位数字，问X ，Y ，Z 事件相互独立吗？ 【解析】 k n 41)()()(,21)()()(==== ==BC P AC P AB P C P B P A P )()()(8141)(C P B P A P ABC P =≠=

所以X,Y ,Z 两两独立，但 因而X,Y ,Z 不相互独立。 41 )1,1()1,1()1,1(2 1 )1()1()1(= ==============Z Y P Z X P Y X P Z P Y P X P )1()1()1(810)1,1,1(====≠====Z P Y P X P Z Y X P

人教版高中数学必修二直线与方程题库

（数学2必修）第三章 直线与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ） A ．0 B ．8- C ．2 D ．10 4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．0 45,1 B ．0 135,1- C ．090，不存在 D ．0 180，不存在 6．若方程014)()32(2 2 =+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．2 3 - ≠m C ．1≠m D ．1≠m ，2 3 - ≠m ，0≠m 二、填空题 1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________. 2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;

人教A版数学必修一必修①精讲精练答案

第1练 §1.1.1 集合的含义与表示 【第1练】 1～5 BCCCD 6. a B ∈ 7. 0,1,3x ≠- 8. （1）{|2}y y ≥；（2）{|2}x x ≠± 9. {1,2,4,5,7} 提示：分31,2,4x -=±±±等情况. 10. ④ 提示：集合①与②是等价的，它们均表示除去了四条直线外的所有的点；集合③表示整个坐标平面；集合④不能表示点（1，1）、（2，-3），集合④能表示所指定的集合． 第2练 §1.1.2 集合间的基本关系 【第2练】 1～5 DDAAD 6. 7个 7. －1，0 8. 2a =. 提示：联合2352a a -+=及26102a a -+=求解. 9. 3m ≤（注意区间端点及B =φ） 10.解：依题意可知，“孤立元素x ”是没有与x 相邻的，非“孤立元素x ”是指在集合中有与x 相邻的元素．因此所求问题的集合可分成如下两类： （1）4个元素连续的，有3个：{0，1，2，3}，{1，2，3，4}，{2，3，4，5}； （2）4个元素分两组，每组两个连续的，也有3个：{0，1，3，4}，{1，2，4，5}，{0，1，4，5}． 第3练 §1.1.3 集合的基本运算（一） 【第3练】 1～5 CDACB 6. {6} 7. {(3,1)}- 8. A ={1，3，5，7}，B ={2，3，4，6，8}. 提示：由Venn 图可知. 9. {|4}x x ≥, {|4}x x ≥. 10.解：（1）{1,4}B =. 当4a =时，{4}A =，则{1,4}A B =，{4}A B =； 当1a =时，{1,4}A =，则{1,4}A B =，{1,4}A B =； 当1a ≠且4a ≠时，{4,}A a =，则{1,4,}A B a =，{4}A B =. （2）若A B ?，由上易知4a =或1a =. （3）当5a =时，{1,5}A =，{1,4,5}A B =，其真子集有7个. {4}A B =，则满足{4}{1,4,5}P 刎的集合P 有：{1,4},{4,5}. 第4练 §1.1.3 集合的基本运算（二） 【第4练】 1～5 BDBBA 6. 1a ≥ 7. 80 提示：结合文氏图，易知()()()()n A B n A n B n A B =+-，则65352080+-= 8. {2,1,4}A B =-- 9. 2a = 提示：由集合元素的特征列方程组而解. 10. （1）A ※B ={3，4，5，2，1}，3+4+5+2+1=15．答案选A ． （2）先将A *B 化简即得 A *B ={x |x ∈A ∪B ，且x ?A ∩B }=()A B A B e∪∩． ∴(A *B )*A ={x |x ∈(A *B )∪A ，且x ?(A *B )∩A }={x |x ∈A ∪B ，且x ?()A A B e∩}=B ． （3）S ＝(1＋2＋3＋…＋100)－(6＋12＋18＋…＋96)＝5050－816＝4234 第5练 §1.2.1 函数的概念 【第5练】 1～5 CDBBC 6. 3＋2, 57 7. －1 8. （1）(,1) (1,2]-∞；（2）定义域1{|}3x x ≠，值域2{|}3y y ≠-. 9. 211()22 f x x x =+ 10. 解：令x y =得22()()(0)f x g y g +=. 再令0x =，即得(0)0,1g =. 若(0)0g =，令1x y ==时，得(1)0f =不合题意，故(0)1g = ；(0)(11)(1)(1)(1)(1)g g g g f f =-=+，即21(1)1g =+，所以(1)0g =；那么(1)(01)(0)(1)(0g g g g f f -=-=+=，(2)[1(1)](1)(1)(1)(1)1g g g g f f =--=-+-=-.

高中数学知识点精讲精析 对数

3.4对数 3·4·1 对数及其运算 1.对数及其运算： ①对数：一般地，如果的b 次幂等于N ，即，那么数b 就叫作以a 为底的N 的对数，记作： 其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数. 通常将以10为底的对数称为常用对数，N 的常用对数记作：lgN ； 将以自然常数e=2.71828…… 为底的对数称为自然对数，N 的自然对数记作：lnN. ②对数的运算性质： 如果则 1） ； 2） ； 3） 2 3. 重要公式： ⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ，1log =a a ⑶对数恒等式N a N a =log 例1 计算 （1）5log 25， （2）4.0log 1， （3）2log （74×5 2）， （4）lg 5100 解：（1）5log 25= 5log 25（2）4.0log （3）2log （74×25）= 2log 74+ 2log 5 2 (0,1)a a a >≠N a b =b N log a =0,1,0,0,a a N M >≠>>()log log log a a a MN M N =+)(log log R n M n M a n a ∈?=log log log a a a M M N N ?? =- ???

= 2log 7 22 ?+ 2log 5 2 = 2× （4）lg 5100= 5 2lg1052log10512==例2 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式： 3 2log )2(; (1)log z y x z xy a a 解：（1）z xy a log =a log （xy ）-a log z=a log x+a log y- a log z （2）3 2log z y x a =a log （2 x 3log )z y a - = a log 2 x +a log 3log z y a -=2a log x+z y a a log 3 1log 2 1-例4计算： (1)lg14-2lg 37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg (3)2 .1lg 10 lg 38lg 27lg -+ 说明：此例题可讲练结合. (1)解法一：lg14-2lg 3 7 +lg7-lg18 =lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(2 3×2) 解法二： lg14-2lg 37+lg7-lg18=lg14-lg 2 )3 7(+lg7-lg18 =lg 01lg 18)3 7(7 142 ==??评述：此题体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视. 253lg 23lg 53 lg 3lg 9lg 243lg )2(2 5===10 23lg ) 10lg(32lg )3lg(2.1lg 10lg 38lg 27lg ) 3(2 2 13 2 13 ?=+= -+2 3 12lg 23lg ) 12lg 23(lg 23 =-+-+=

自己整理的必修二直线方程的几种形式

1、下列命题中，所有真命题的序号为 ①方程 k x x y y =--0 表示过点()000,y x P 且斜率为k 的直线方程；②经过定点()000,y x P 的直线，都可 以用()00x x k y y -=-来表示；③经过()b A ,0的直线都可以用方程b kx y +=来表示； ④不经过原点的直线都可用方程 1=+b y a x 来表示；⑤直线l 过点()11,y x P ，倾斜角为090，则其方程为1x x =；⑥直线l 过点()11,y x P ，斜率为0，则其方程为1y y =；⑦经过任意不同两点()111,y x P ， ()222,y x P 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--来表示； 2、若方程0=++C By Ax 表示直线，则B A ,应满足的条件为（ ） A.0≠A B.0≠B C.0≠?B A D. 02 2≠+B A

例1：已知直线l 经过点()23-，，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程。 方法一：依题意，直线l 的斜率k 存在且不为0，设直线的方程为()32-=+x k y 令0=x ，得k y 32--=；令0=y ，得 32 += k x ()03201=+=-+y x y x 或 方法二： 设直线l 在两坐标轴上的截距均为a . 若0=a ，则直线l 过原点，此时l 的方程为032=+y x ； 若0≠a ，则l 的方程可设为 1=+a y a x 变式：经过点()2,1A ，并且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有（ ） A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 例2：已知直线过点()43，-，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的方程. 解：方法一：由题可知所求直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()()034≠+=-k x k y 当0=x 时，43+=k y ；当0=y 时，34 --=k x 由题可知124334=++-- k k ()()0413041132=-+?=--?k k k k ，4=∴k 或3 1-=k ∴所求直线l 的方程为()344+=-x y 或()33 1 4+-=-x y ，即0164=+-y x 或093=-+y x 方法二：由题可知所求直线l 在两坐标轴上的截距存在且不为零 设直线l 的方程为1=+b y a x ，则12=+b a ①， 又直线过点()43，-，14 3=+-∴ b a ② 由①②得?? ?==39b a 或???=-=16 4b a ∴所求直线l 的方程为139=+y x 或 1164=+-y x 例3：过点()1,0M 作直线l ，使它被两已知直线0103:1=+-y x l 和082:2=-+y x l 所截得的线段恰好被M 平分，求直线l 的一般式方程。 ()044=-+y x