高考全国1卷理科数学试题及答案解析

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普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷5页， 23小题， 满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前， 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将

试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时， 选出每小题答案后， 用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动， 先划掉原来的答案， 然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后， 将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题， 每小题5分， 共60分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题

目要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}， B ={x |31x <}， 则 A ．{|0}A B x x =U

D ．A B =?I

2．如图， 正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是

A ．

14 B ．

π8 C ．12

D ．

π4

3．设有下面四个命题

1p ：若复数z 满足1

z ∈R ， 则z ∈R ；

2p ：若复数z 满足2z ∈R ， 则z ∈R ；

3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ， 则12z z =；

4p ：若复数z ∈R ， 则z ∈R .

其中的真命题为 A ．13,p p

B ．14,p p

C ．23,p p

D ．24,p p

4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=， 648S =， 则{}n a 的公差为

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减， 且为奇函数．若(11)f =-， 则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-

B ．[1,1]-

C ．[0,4]

D ．[1,3]

6．6

2

1(1)(1)x x

+

+展开式中2x 的系数为 A ．15

B ．20

C ．30

D ．35

7．某多面体的三视图如图所示， 其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成， 正方形的边长为2， 俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形， 这些梯形的面积之和为

A ．10

B ．12

C ．14

D ．16

8．右面程序框图是为了求出满足3n

?2n

>1000的最小偶数n ， 那么在和

两个空白框中， 可以分别填

入

A ．A >1 000和n =n +1

B ．A >1 000和n =n +2

C ．A ≤1 000和n =n +1

D ．A ≤1 000和n =n +2

9．已知曲线C 1：y =cos x ， C 2：y =sin (2x +

2π

3

)， 则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍， 纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移π

6

个单位长度， 得到曲线C 2

B ．把

C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍， 纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移π

12

个单位长度， 得到曲线C 2

C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍， 纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移π

6

个单位长度， 得到曲线C 2

D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍， 纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移π

12

个单位长度， 得到曲线C 2

10．已知F 为抛物线C ：y 2

=4x 的焦点， 过F 作两条互相垂直的直线l 1， l 2， 直线l 1与C 交于A 、B 两点，

直线l 2与C 交于D 、E 两点， 则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16

B ．14

C ．12

D ．10

11．设xyz 为正数， 且235x y z ==， 则

A ．2x <3y <5z

B ．5z <2x <3y

C ．3y <5z <2x

D ．3y <2x <5z

12．几位大学生响应国家的创业号召， 开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了“解

数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1， 1， 2， 1， 2， 4， 1， 2， 4， 8， 1， 2， 4， 8， 16， …， 其中第一项是20

， 接下来的两项是20

， 21

， 再接下来的三项是20

， 21

， 22

， 依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440

B ．330

C ．220

D ．110

二、填空题：本题共4小题， 每小题5分， 共20分。

13．已知向量a ， b 的夹角为60°， |a |=2， |b |=1， 则| a +2 b |= .

14．设x ， y 满足约束条件21

210x y x y x y +≤??

+≥-??-≤?

， 则32z x y =-的最小值为 .

15．已知双曲线C ：22

221x y a b

-=（a >0， b >0）的右顶点为A ， 以A 为圆心， b 为半径做圆A ， 圆A 与双

曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。若∠MAN =60°， 则C 的离心率为________。

16．如图， 圆形纸片的圆心为O ， 半径为5 cm ， 该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O 。D 、E 、F 为圆O

上的点， △DBC ， △ECA ， △FAB 分别是以BC ， CA ， AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后， 分

别以BC ， CA ， AB 为折痕折起△DBC ， △ECA ， △FAB ， 使得D 、E 、F 重合， 得到三棱锥。当△ABC 的边长变化时， 所得三棱锥体积（单位：cm 3

）的最大值为_______。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题， 每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题， 考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ， 已知△ABC 的面积为2

3sin a A

（1）求sin B sin C ;

（2）若6cos B cos C =1， a =3， 求△ABC 的周长. 18.（12分）

如图， 在四棱锥P-ABCD 中， AB//CD ， 且90BAP CDP ∠=∠=o .

（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若PA =PD =AB =DC ， 90APD ∠=o ， 求二面角A -PB -C 的余弦值. 19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程， 检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件， 并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验， 可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2

(,)N μσ．

（1）假设生产状态正常， 记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数， 求(1)P X ≥及X 的数学期望；

（2）一天内抽检零件中， 如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件， 就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况， 需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96

9.96 10.01 9.92

9.98 10.04

10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

经计算得16119.9716i i x x ===∑， 16162

22211

11()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑， 其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸， 1,2,,16i =???．

用样本平均数x 作为μ的估计值?μ

， 用样本标准差s 作为σ的估计值?σ， 利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除????(3,3)μσμσ-+之外的数据， 用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．

附：若随机变量Z 服从正态分布2

(,)N μσ， 则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，

160.997 40.959 2=，0.0080.09≈．

20.（12分）

已知椭圆C ：22

22=1x y a b

+（a >b >0）， 四点P 1（1,1）， P 2（0,1）， P 3（–1， 32）， P 4（1， 32）

中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；

（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ， B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1， 证明：l 过定点. 21.（12分）

已知函数)f x =（a e 2x

+(a ﹣2) e x

﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点， 求a 的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中， 曲线C 的参数方程为3cos ,

sin ,x y θθ=??=?（θ为参数）， 直线l 的参数方程为

4,

1,x a t t y t =+??

=-?

（为参数）. （1）若a =?1， 求C 与l 的交点坐标；

（2）若C 上的点到l 17 求a. 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f （x ）=–x 2

+ax +4， g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时， 求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；

（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1， 1]， 求a 的取值范围.

新课标1理数答案

1.A

2.B

3.B

4.C

5.D

6.C

7.B

8.D

9.D 10.A 11.D 12.A 13. 235- 5.

23

3

16. 1517.解：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =， 即1sin 23sin a

c B A

=.

由正弦定理得

1sin sin sin 23sin A

C B A =

. 故2

sin sin 3

B C =.

（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-， 即1cos()2

B C +=-. 所以2π3B C +=

， 故π3

A =. 由题设得2

1sin 23sin a bc A A

=， 即8bc =.

由余弦定理得22

9b c bc +-=， 即2()39b c bc +-=， 得33b c +=故ABC △的周长为33318.解：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=?， 得AB ⊥AP ， CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ， 故AB ⊥PD ， 从而AB ⊥平面PAD . 又AB ?平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD . （2）在平面PAD 内做PF AD ⊥， 垂足为F ，

由（1）可知， AB ⊥平面PAD ， 故AB PF ⊥， 可得PF ⊥平面ABCD .

以F 为坐标原点， FA u u u r

的方向为x 轴正方向， ||AB uuu r 为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.

由（1）及已知可得22A ， 2(0,0,2P ， 2

2

B ， 2(2

C -. 所以22()PC =u u u r ， 2,0,0)CB =u u u r ， 22

()PA =u u u r ， (0,1,0)AB =u u u r . 设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量， 则

00

PC CB ??=?

?

?=??u u u r u u u r n n ， 即22020x y z x ?+=??=， 可取(0,1,2)=--n .

设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量， 则

00

PA AB ??=???=??u u u r u u u r m m ， 即22022

0x z y -=?

??=?

， 可取(1,0,1)=n .

则3

cos ,||||3

?=

=-

<>n m n m n m ， 所以二面角A PB C --的余弦值为3

19.【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974， 从而零件的尺寸在

(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026， 故~(16,0.0026)X B .因此 (1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-=.

X 的数学期望为160.00260.0416EX =?=.

（2）（i ）如果生产状态正常， 一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026， 一天内抽取的16个零件中， 出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408， 发生的概率很小.因此一旦发生这种情况， 就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况， 需对当天的生产过程进行检查， 可见上述监控生产过程的方法是合理的.

（ii ）由9.97,0.212x s =≈， 得μ的估计值为?9.97μ

=， σ的估计值为?0.212σ=， 由样本数据可以看出

有一个零件的尺寸在????(3,3)μ

σμσ-+之外， 因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除????(3,3)μ

σμσ-+之外的数据9.22， 剩下数据的平均数为1

(169.979.22)10.0215

?-=， 因此μ的估计值为10.02.

16

2221

160.212169.971591.134i

i x

==?+?≈∑， 剔除????(3,3)μ

σμσ-+之外的数据9.22， 剩下数据的样本方差为

221

(1591.1349.221510.02)0.00815

--?≈， 因此σ0.0080.09≈. 20.（12分）解：

（1）由于3P ， 4P 两点关于y 轴对称， 故由题设知C 经过3P ， 4P 两点. 又由

2222

1113

4a b a b +>+

知， C 不经过点P 1， 所以点P 2在C 上. 因此2

221

11314b a

b ?=????+=??， 解得2241a b ?=??=??.

故C 的方程为2

214

x y +=.

（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1， k 2，

如果l 与x 轴垂直， 设l ：x =t ， 由题设知0t ≠， 且||2t <， 可得A ， B 的坐标分别为（t ，2

4t -，

（t ， 2

4t -.

则22124242

1t t k k ---++-=-， 得2t =， 不符合题设.

从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2

214x y +=得

222(41)8440k x kmx m +++-=

由题设可知22=16(41)0k m ?-+>.

设A （x 1， y 1）， B （x 2， y 2）， 则x 1+x 2=2841

km

k -+， x 1x 2=224441m k -+.

而12121211

y y k k x x --+=+

121211

kx m kx m x x +-+-=+

121212

2(1)()

kx x m x x x x +-+=

.

由题设121k k +=-， 故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.

即222448(21)(1)04141m km

k m k k --+?+-?=++.

解得1

2m k +=-.

当且仅当1m >-时， 0?>， 欲使l ：12m y x m +=-+， 即1

1(2)2

m y x ++=--， 所以l 过定点（2， 1-）

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

解：（1）曲线C 的普通方程为2

219

x y +=. 当1a =-时， 直线l 的普通方程为430x y +-=.

由22

430

1

9x y x y +-=???+=??解得30x y =??=?或2125

2425x y ?=-????=??

.

从而C 与l 的交点坐标为(3,0)， 2124

(,)2525

-

. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=， 故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为

17

d =

.

当4a ≥-时， d 171717

= 所以8a =；

当4a <-时， d 171717

= 所以16a =-. 综上， 8a =或16a =-.、 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

解：（1）当1a =时， 不等式()()f x g x ≥等价于2

|1||1|40x x x x -+++--≤.① 当1x <-时， ①式化为2340x x --≤， 无解；

当11x -≤≤时， ①式化为220x x --≤， 从而11x -≤≤； 当1x >时， ①式化为240x x +-≤， 从而117

1x -+<≤

. 所以()()f x g x ≥的解集为117

{|1}2

x x -+-<≤. （2）当[1,1]x ∈-时， ()2g x =.

所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-， 等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.

又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一， 所以(1)2f -≥且(1)2f ≥， 得11a -≤≤. 所以a 的取值范围为[1,1]-.

21.解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞， 2()2(2)1(1)(21)x x x x

f x ae a e ae e '=+--=-+，

（ⅰ）若0a ≤， 则()0f x '<， 所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >， 则由()0f x '=得ln x a =-.

当(,ln )x a ∈-∞-时， ()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时， ()0f x '>， 所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减， 在(ln ,)a -+∞单调递增.

（2）（ⅰ）若0a ≤， 由（1）知， ()f x 至多有一个零点.

（ⅱ）若0a >， 由（1）知， 当ln x a =-时， ()f x 取得最小值， 最小值为1

(ln )1ln f a a a

-=-+. ①当1a =时， 由于(ln )0f a -=， 故()f x 只有一个零点；

②当(1,)a ∈+∞时， 由于1

1ln 0a a

-+>， 即(ln )0f a ->， 故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时， 1

1ln 0a a

-+<， 即(ln )0f a -<. 又4

22(2)e

(2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>， 故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.

设正整数0n 满足03ln(1)n a

>-， 则00000000()e (e 2)e 20n n n n

f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a

->-， 因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上， a 的取值范围为(0,1).