工程问题(小学数学培优)教师版
意义
工程问题是将一般的工作问题分数化，换句话说，就是从分率的角度研究工作总量、工作时间、工作效率三者之间关系的问题。
特征
工程问题的特点是将工作总量看成单位“1”，用分率表示工作效率，对做工的问题进行分析解答。 基本数量关系式
工作效率×工作时间＝工作总量
工作总量÷工作时间＝工作效率
工作总量÷工作效率＝工作时间
软件工程师运用某种型号的计算机若干台，可以在3天完成一项软件设计任务。若增加同种型号的计算机3台，则2天可完成这项任务。如果每台计算机工作速度相同，那么，只用一台计算机_______天可以完成任务。
【分析】知识点：工作总量÷工作效率＝工作时间。先找出对应关系。
难度：A 出处：《小学数学竞赛多功能题典》
【解答】设每台计算机工作效率为1，原有计算机x 台。
6
)3(23=+=x x x 则总任务量为1863=?，
∴ 1台计算机需要18118=÷（天）。
5台挖土机每天工作8小时，4天可挖长40米、宽20米、深3米的一条水沟，6台挖土机每天工作5小时，要挖长100米、宽15米、深3米的一条水沟，需要_______天。
【解答】每台挖土机的工作效率为1585432040=÷÷÷??（立方米／时），
∴ 如题需要101556315100=÷÷÷??（天）。
工程队有一项任务，如果甲先做5天，乙接着做3天，刚好完成任务；如果乙先做9天，甲接着做3天，也刚好完成任务。现在如果甲先做4天，再由乙接着做，那么乙还需要_______天才能完成任务。
【分析】知识点：工程问题中的等量关系，抓住工作总量不变。
难度：B 出处：《小升初数学试题汇编与训练》
【解答】由题可知，甲少做2天，乙就要多做6天，即甲2天的工作量与乙6天的相等，
那么甲1天的工作量就等于乙3天的工作量。
∴ 甲做4天，则乙接着需要做63)45(3=?-+（天）。
老师布置了一项实验任务，小明和小华一组完成。若小明先单独做30天，接着小华继续单独做5天，以后，他们两人再合作10天才能完成任务。若两人始终合作，则20天便可完成任务。假设小明和小华每人每天工作量是固定的，那么，小明单独完成这项任务需要_______天。
【解答】条件1：小明做401030=+（天），小华做15105=+（天）；
条件2：小明做20天，小华做20天。
小明少做20天，小华就多做5天，即小明20天的工作量等于小华5天的工作量。 ∴ 由小明单独完成需要 1002051540=÷?+（天）。
研究所开发一项实验工作，甲、乙两位研究员合作需12天完成。若甲先做3天后，再由乙做8天，共完成这件工作的12
5。如果这件工作由甲、乙单独做，甲需要多少天？乙需要多少天？
分析：可以看作甲乙先合作3天，再由乙单独做5天。
【分析】知识点：工程问题中的合作问题。
难度：B 出处：2013年春季五年级竞赛底稿
【解答】共同完成工作的12
5需要甲、乙共同做5天，其中乙做了8天，多做了3天； 甲做了3天，少做了2天；则甲做两天的量，乙做了3天。
则甲做12天，乙需要做18)212(3=÷?天，若乙单独做需要12+18=30天
乙做12天，甲需要做8)312(2=÷?天，若甲单独做需要12+8=20天。
甲乙两队合作20天可以完成一项工程，如果两队合作8天后，乙队再单独做4天，还
剩下这项工程的
15
8没有完成。求甲、乙两队工作效率之比。 【解答】工作总效率是201，两队合作8天完成工作量为5
28201=? 乙单独做4天完成的量为151158521=--，
乙的工作量为 6014151=÷，甲的工作量为 301601201=-， 甲、乙两队工作效率之比12601301:=：。
某公司甲、乙两名职员要完成一项任务，这项任务甲单独完成需要12小时完成，乙单独完成需要18小时。现在甲、乙先合作1小时，然后由甲工作1小时，再由乙工作1小时，……两人如此交替工作，完成任务一共需多少时间？
【分析】知识点：工程问题中的合作问题
难度：B 出处：2013年春季五年级竞赛底稿
【解答】甲、乙合作1小时完成工作量为36
5181121=+，还剩3631， 接下来每两小时完成总量得365，6个2小时完成总量的36
30， 最后361由甲完成，需要时间3
1121361=÷小时， 合作1小时后，还需要3
1123126=+?（小时）， ∴ 一共需要3
11331121=+（小时）。
工厂要加工一批零件，甲、乙合作24天完成。现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的40%没有完成。已知甲每天比乙多加工4个零件，这批零件共多少个？
【解答】可以看作甲乙合作12天之后，再由甲单做4天。5
3%60%401==-， 甲的工作效率401)1216()1224153(=-÷?-，乙的工作效率60
1401241=- ， ∴ 这批零件共480)60
1401(4=-÷（个）。
建筑公司有一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，乙、丙两队合作需9天完成，甲、丙两队合作需15天完成。如果甲、乙、丙三队合作需要多少天完成？
【分析】知识点：工程问题中三人合作问题。
难度：C 出处：2013年春季五年级竞赛底稿
【解答】甲、乙、丙的总效率180312190610152)1519161(=?++=÷++
， 合作需要时间 31
180180311=÷
31255=（天）。
食品厂生产一批产品，甲、乙两人合作1小时，完成了这批产品的6011，乙、丙两人接着生产1小时，又完成了203，甲、丙又合作2小时完成了3
1。剩下的任务，甲、乙、丙三人合作，还要多少小时完成？
【解答】甲、丙合作1小时完成61231=÷，甲、乙、丙的工作总效率4
12)612036011(=÷++， 还剩工作量是313120360111=---，还需要时间3
44131=÷（小时）。
经理需要让秘书打一份稿件，秘书甲单独打这份稿件需6小时完成，秘书乙单独打需10小时完成。现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。那么甲打这份稿件用了多少小时？
【分析】知识点：工程问题中的对应关系与合作问题。
难度：C 出处：2013年春季五年级竞赛底稿
【解答】假设7小时都由乙打，则还有10
3的工作量没完成， ∴ 甲打字用了5.415
1103)10161()71011(=÷=-÷?-（小时）。
一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需9天完成。如果甲先单独做若干天后，乙接着单独做，共用10天完成。甲做了几天？
【解答】假设全是乙做的，4)12
191()11091(=-
÷-?（天）。
游泳馆的一个水池，上面装有甲、乙两个注水管，下面装有一个放水管丙。空池时，单开甲管5分钟可注满，单开乙管10分钟可注满；水池装满水后，单开丙管15分钟可将水放完。如果在空池时，将甲、乙、丙三管齐开，2分钟后关闭乙管，还要多少分钟可注满水池？
【解答】两分钟后水池中水量为1572)15110151(=?-+，还需蓄水15
81571=- ， 这时只有甲管与丙管15
2158)15151(158÷=-÷4=（分钟）。
【教师备用】
（条件转化 较简单）
1. 原计划用24个工人挖一定数量的土方，按计划工作5天后，因为调走6人，于是剩下
的工人每天比原工作量多挖1方土才能如期完成任务，原计划每人每天挖土多少方？ 解：5天后还有24-6=18人，每人每天多挖1方土，他们多挖的土就是这6人在之后的时间里需要挖的土，所以每人每天挖土量为
36118=÷?（方）
答：原计划每人每天挖土3方。
（列方程）
2. 甲、乙两个长方形水池装满了水，两水池的高相等，已知甲池的排水管10分钟可以将
水排完，乙池的排水管6分钟可以将水排完。问，同时打开甲、乙两池的排水管，多长时间后甲池的水位高正好是乙池水位高的3倍？ 解：甲水池每分钟下降101，乙水池每分钟下降6
1，假设经过x 分钟后甲池的水位高正好是乙池水位高的3倍。则
??
? ???-?=?-x x 61131011 x x ?-=?-
2
131011 25
2=?x 5=x 答：5分钟后甲池的水位高正好是乙池水位高的3倍。
3. 甲、乙两项工程分别由一、二队来完成，在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完
成乙工程需要15天，在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要下降10%。结果两队同时完成这两项工程。那么，在施工的日子里，雨天有多少天？
解：设雨天有x 天，则
一队雨天完成的工作总量为
()x x ?=?-?20
1401121οο 晴天完成的工作总量为x ?-2011 晴天的天数为x x ?-=÷??? ??
?-531212
12011 二队雨天完成工作总量为()x x ?=?-?50
3101151οο 晴天完成的工作总量为x x ?-=???? ?
?
?-251541515312
125
154503=?-+?x x 5
1501=?x 10=x 答：在施工的日子里雨天有10天。
挖一条长165米的隧道，由甲、乙两个工程队从两端同时施工。甲队每天向前挖6米，乙队每天向前挖5米，挖通这条隧道需要多少天？ 【解答】15)56(165=+÷（天）。
工程队用3天修完一段路，第一天修的是第二天的
109，第三天修的是第二天的56倍，已知第三天比第一天多修270米。这段路长多少米？
【解答】第二天修900)10956(270=-
÷（米），这段路长2790)561109(900=++?（米）。
一项工作，甲单独做9天可以完成，乙单独做6天能做完，现在甲队先做3天，余下的由乙队继续做，还要做几天？
【解答】461)3911(=÷?-
（天）。
甲管注水速度是乙管的一半，同时开放甲、乙两个水管向游泳池注水，12小时可以注满。现在先开甲管向游泳池注水若干小时后，剩下的由乙管注水9小时将水注满。甲管的注水时间是多少？
【解答】甲乙的效率比为1:2，且甲乙的效率和为12
1， 所以甲的效率为36131121=?，乙的效率为18
132121=?， ∴ 甲的注水时间为1836
1)91811(=÷?-（小时）。