河南省商丘市九校2017-2018学年高一数学上学期期末联考试题

2017—2018学年上期期末联考

高一数学试题

一、选择题（每小题5分，共60分）

1. 设集合A ＝{x |x 2

－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( )

A.?

????－3，－32 B.?

????－3，32

C.? ??

??1，32

D.? ??

??32，3 2. 函数f （x ）=2x

e x +-的零点所在的一个区间是( ) A.（-2,-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2）

3．已知直线a x y l 2:1+-=与直线2)2(:2

2+-=x a y l 平行，则a 的值为( ) A ．3± B. 1± C. 1 D. 1-

4. 设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A. 若l m ⊥，m α?，则l α⊥ B. 若l α⊥，l m //，则m α⊥ C. 若l α//，m α?，则l m // D. 若l α//，m α//，则l m //

5. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几

何体的体积是

A ．4 cm 3

B ．5 cm 3

C ．6 cm 3

D ．7 cm 3

6. 设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x

＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )

A ．1 B.－1 C ．－3

D.3

7. 由直线1y x =+上的一点向圆2

2

680x y x +-+=引切线，则切线长的最小值为

B C 1 D 3

8、若()f x 是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，?12,x x ∈[0，＋∞)且（12x x ≠）

2121

()()

0f x f x x x -<-，则( )

A ．(3)(1)(2)f f f <<- B. (3)(2)(1)f f f <-< C ．(2)(1)(3)f f f -<<

D. (1)(2)(3)f f f <-<

9、光线由点P （2，3）射到直线1-=+y x 上，反射后过点Q （1，1），则反射光线所在的直

线方程为（）

A 、0154=+-y x

B 、0=+-y x

C 、3410x y -+=

D 、5410x y --=

10. 已知三棱锥P ABC -的三条棱PA ,PB ,PC 长分别是3、4、5，三条棱PA ,PB ,PC 两

两垂直，且该棱锥4个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 ( ) A ．25π B.50π C. 125π D.都不对

11. 四面体S ABC -中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，,E F 分别是SC 和AB 的中点，

则异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）

A ．090

B ．060

C ．045

D ．030

12．已知函数1

2

32,2

()log (1),2

x e x f x x x -?

二、填空题 (每小题5分，共20分)

13. 知函数()f x 是上?的奇函数，且0x >

时，()1f x =。则当0x <时，()f x =

14．函数f (x )＝log 2(x 2

－1)的单调递减区间为________．

15．边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则折叠后AC 的长为________． 16．已知圆锥的表面积为a ，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的体积是

三、解答题（共70分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知集合{

}

2

-450A x x x =-≥，集合{}

22B x a x a =≤≤+。 （1）若1a =-，求A B ?和A B U （2）若A B B ?=，求实数a 的取值范围。

18.(12分)已知直线:322420l x y x y λλλ+-+++= （1）求证：直线l 过定点。

（2）求过(1)的定点且垂直于直线3240x y -+=直线方程。

19. （12分）在三棱锥V -ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC

＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点． (1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V -ABC 的体积．

20、(12分) 某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.(注：利润和投资单位：万元)

① ②

(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？

21．（12分）已知线段AB 的端点A 的坐标为）

，（34，端点B 是圆O :2

2

(4)(1)4x y -+-= 上的动点。

（1）求过A 点且与圆O 相交时的弦长为l 的方程。 （2）求线段AB 中点M 的轨迹方程，并说明它是什么图形。

22.(12分)已知函数()x

x

f x e e

-=-(x e ∈?且为自然对数的底数）。

（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明。 (2)证明函数()f x 在(),-∞+∞是增函数。

(3)若不等式2

1

()()02

f x t f x -+-≥对一切x ∈?恒成立， 求满足条件的实数t 的取值范围。

高一数学试题答案

一、选择题

二、填空题

13、()1f x = 14、(),1-∞- 15、 2 16 三 、解答题

17、（1）若1a =-，则{}

21B x x =-≤≤。{}

15A x x x =≤-≥或---------2分

∴{}21A B x x ?=-≤≤-，{}

15A B x x x =≤≥U 或-----------4分

（2）因为 A B B ?=,B A ∴?------------------------5分

若B φ=，则22a a >+，2a ∴>-------------6分 若B φ≠，则221a a ≤??

+≤-?或2

25

a a ≤??≥?，3a ∴≤------------9分

综上，23a a >≤-或-----------------10分

18、

解（1）根据题意将直线l 化为的342(242)0x y x y λ+-+++=。-------------2分

3420220x y x y +-=??

++=?解得2

2x y =-??=?

，所以直线过定点()2,2-。------------------6分 （2）由（1）知定点为()2,2-，设直线的斜率为k ，-----------------7分

且直线与3240x y -+=垂直，所以2

3

k =-

，-----------------10分 所以直线的方程为2320x y +-=。---------------------12分

19、(1)证明：因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB .----------------------

3分

又因为VB MOC ?平面,所以VB ∥平面MOC .---------------------- 5分 (2)证明：因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB . 又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ?平面ABC ，

所以OC ⊥平面VAB .

所以平面MOC ⊥平面VAB .-------------- --------8分 (3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1.

所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝3----------------------9分 又因为OC ⊥平面VAB ，

所以三棱锥CVAB 的体积等于13OC ·S △VAB ＝33

.

又因为三棱锥VABC 的体积与三棱锥CVAB 的体积相等，所以三棱锥VABC 的体积为3

3

.-----------------------12分 20、(1)根据题意可设()f x kx =

，g()x =。---------2分

则f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0).------------4分

(2)设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元． 则y ＝1

4(18－x )＋2x ，0≤x ≤18-------------------------5分

令x ＝t ，t ∈[0,32]，----------------6分

则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2

＋172.-----------------8分

所以当t ＝4时，y max ＝17

2＝8.5，-------------------------9分

此时x ＝16,18－x ＝2.

所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.--------------------------12分

21.解：（1）根据题意设直线的斜率为k ，-----------------------1分

则直线的方程为43y kx k =-+，且与圆O

相交的弦长为

，所以圆心到直线的距离为

1d =

==。-------------------------------3分

解得k =---------------------4分

所以直线l

3y --

30y +-=。-----------------6分 （2）设),(,),(00y x B y x M ∵M 是线段AB 的中点，又A （4,3）

∴???

????+=+=23

2400y y x x 得???-=-=324200y y x x -------------------9分

又),(00y x B 在圆2

2

(4)(1)4x y -+-=上，则满足圆的方程。

∴2

2

(244)(231)4x y --+--= 整理得 2

2

(4)(2)1x y -+-=为点M 的轨迹方程，--------------11分

点M 的轨迹是以（4，2）为圆心，半径为1的圆。-------------------12分 22、 （1）Q 定义域为?，关于原点对称，又()()()x

x x x f x e

e e e

f x ---=-=--=-，

∴ ()f x 为奇函数。---------------------（2分）

(2)任取1x , 2x (,)∈-∞+∞,且12x x <， 则21()()f x f x -=2

2

11

x x x x e e

e e

----+=212

1

12x x x x x x e e e e e +--+= 2112

1()(1)x x

x x e e e +-+，又

x y e =在?上为增函数且0x e >，--------------4分 ∴ 21x x e e >，∴ 2112

1()(1)0x x x x e e e

+-+

>，

∴ 21()()f x f x >,

∴ ()f x 在(,)-∞+∞上是增函数。-----------------------（6分）

(3)由（1）知()f x 在?上为奇函数且单调递增，由21

()()02

f x t f x -+-≥得

21

()(t )2

f x f x -≥--------------------------8分

由题意得21t 2x x -≥-，即21

t 2

x x ≤-+恒成立，------------10分

又21324x x -

+≥- 34t -∴≤

。综上得t 的取值范围是3,4?

?-∞- ??

?。---------12分