不等式
七年级数学14
1.不等式－3≤5－2x ＜3的正整数解集是______.
2.三角形的三边长分别是 6、9、x ，则 x 的取值范围是______.
3．已知-4是不等式ax>-5的解集中的一个值，则a 的范围为______； 4．若关于x 的不等式3x-a ≤0只有六个正整数解，则a 应满足______. 5．若不等式组
有解，则m 应满足______；
6.若不等式组 无解 ，则m 应满足______；
7．已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集为x<3,则bx+a<0的解集为______.
8.已知机器工作时，每小时耗油9kg,现油箱中存油多于36 kg 但少于45 kg ，问这油箱中的油大约可供这台机器工作___________ 小时.
9. 从小明家到学校的路程是2400米，如果小明早上7点离家，要在7点30分到40分之间到达学校，设步行速度为x 米/分，则可列不等式组为__________________，小明步行的速度范围是_________.
10. 若??
?
??<<>< 11. 解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． （1） 41 18)1(3--<+y y ； （2）312,34 2. x x x x --??-+>-?≤ （3）不等式组4160, 360 x x +>??-≤?的非负整数解. 12.若关于x 的方程组? ? ?-=++=+134123p y x p y x 的解满足x >y ，求P 的取值范围. 13.关于x 不等式2x-m ≥0的负整数解满足下列情况，分别求出m 的范围. （1）负整数解只为-1，-2 （2）负整数解包括-1，-2 （3）负整数解不存在 （4）负整数解都比-5大 14. 已知关于x 的不等式组 的整数解共5个，求a 的取值范围． 15. 已知472,34-=+= x b x a ，并且a b ＜2 5 2≤.请求出x 的取值范围，并将这个范围在数轴上表示出来. 16.一元一次不等式和不等式组的应用题 1.工人张力4月份计划生产零件176个，前10天每天平均生产4个，后来改进技术，提前3天并且超额完成任务，则张力10天后平均每天至少生产零件多少个？ 2.李明在第一次数学考试中得76分，在第二次数学考试中得92分，则他在第三次考试中的得分x 应满足怎样的关系式，才能使平均分不低于85分？ 1 x>m 3 3.若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件；若每人分4件，则最后一人得到的玩具不足3件，求小朋友的人数和玩具数. 4.在1千克含有40克食盐的海水中，在加入食盐，使他成为浓度不底于20%的食盐水，问：至少加入多少食盐？ 5.某同学要在4小时内，从甲地赶到相距15公里的乙地，他从甲地出发后，以每小时3公里的速度走了1小时，以后至少平均每小时要走多少公里，才能按计划到达乙地？ 6.解放军某连队在一次执行任务时，准备将战士编成8个组，如果每组人数比预定人数多1名，那么战士人数将超过100人，如果每组人数比预定人数少1名，那么战士人数将不到90人，求预定每组分配战士的人数. 7.某校三年级五班班主任带领该班学生去东山旅游，甲旅行社说：“如果班主任买全票，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括班主任在内全部按全票价的 6 折优惠”，若全票为每张 240 元. ①问学生多少人时，甲、乙两家旅行社收费一样多？ ②就学生数讨论哪一旅行社更合算. 8. 某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的 用不超过72元， （1）设需用x千克甲种原料，写出x应满足的不等式组。 （2）按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内？ 一、选择题： 1．下列统计中，能用“全面调查”的是（） A、某厂生产的电灯使用寿命 B、全国初中生的视力情况 C、某校七年级学生的身高情况 D、“娃哈哈”产品的合格率 2．下列调查中，用全面调查方式收集数据的是（）． ①为了了解全校学生对任课教师的意见，学校向全校学生进行问卷调查 ②为了了解初中生上网情况，某市团委对10所初中的部分学生进行调查 ③某班学生拟组织一次春游活动，为了确定春游的地点，向同学进行调查 ④了解全班同学的作业完成情况，对学号为奇数的学生进行调查 A、①③ B、①② C、②④ D、②③ 3．某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图，该校七、八、九三个年级共有学生800人。甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高。”乙说：“八年级共有学生264人。”丙说：“九年级的体育达标率最高。”甲、乙、丙三个同学中，说法正确的是（） A、甲和乙 B、乙和丙 C、甲和丙 D、甲和乙及丙 4．依据某校九年级一班在体育毕业考试中全班所有学生成绩，制成的频数分布直方图如图(学生 成绩取整数)，则成绩在21.5～24.5这一分数段的频数和频率分别是（） A、4,0.1 B、10,0.1 C、10,0.2 D、20,0.2 5 在频数分布直方图中，有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形面 积的和的 1 4 ，且数据有160个，则中间一组的频数为（） A、32 B、0.2 C、40 D、0.25 6．某班主任老师想了解本班学生平均每月有多少零用钱，随机抽取了10名同学进行调查，他们每 月的零用钱数目是（单位：元）10，20，20，30，20，30，10，10，50，100，则该班学生每月平 均零用钱约为（） A、10元 B、20元 C、30元 D、40元 7．今年我市有9万名初中毕业生参加升学考试，为了了解9万名考生的数学成绩，从中抽取2000 名考生数学成绩进行统计分析．在这个问题中总体是（） A、9万名考生 B、2000名考生 C、9万名考生的数学成绩 D、2000名考生的数学成绩 8．某市社会调查队对城区内一个社区居民的家庭经济状况进行调查. 调查的结果是, 该社区共有 500户, 高收入、中等收入和低收入家庭分别有125户、280户和95户. 已知该市有100万户家庭 下列表述正确的是 ( ) A、该市高收入家庭约25万户 B、该市中等收入家庭约56万户 C、该市低收入家庭业19万户 D、因城市社区家庭经济状况好，所以不能据此估计全市所有家庭经济状况 9．某校为了了解九年级全体男生的身体发育情况，对20名男生的身高进行了测量（测量结果均为 整数，单位：厘米）. 则下列结论中：（1a＝0.30；（3）身 高167cm（包括167cm）的男生有9人，正确的有（） A、（1）（2）（3） B、（1）（2） C、(1)(3) D、（2）（3） 10．某市股票七个月之内增长率的变化状况如图，从图上看，下列结论错误的是（） A、2～6月股票月增长率逐渐减少 B、7月份股票月增长率开始回升 C、这七个月中，每月的股票不断上涨 D、这七个月，股票有涨有跌 二、填空题 11．已知小明家五月份总支出共计1200元，各项支出如图所示，那么其 中用于教育上的支出是____________元。 12．某地区有一条长100千米，宽0.5千米的防护林.有关部门为统计该 防护林的树林量，从中选出5块防护林（每块长1 千米，宽0.5千米）进 行统计，每块防护林的树木数量如下（单位：颗）：65100，63200，64600， 64700，67400.那么根据以上的数据估算这一防护林总共约有颗 树. 13．在扇形统计图中，有两个扇形的圆心角度数之比为3∶4，且较小扇形表示24本课本书，则 较大扇形表示________本课本书. 14．一组数据共50个，分别落在5个小组内，第一、二、三、四 组的数据分别为2、8、15、20，则第五小组的频数和频率分别为 ________、_________。 15．对某班最近一次数学测试成绩（得分取整数）进行统计分析， 将所有成绩由低到高分成五组，并绘制成如图4所示的频数分布直 方图，根据直方图提供的信息，在这次测试中，成绩为A等（80 分以上，不含80分）的百分率为。 衣服 10%其他 24% 18% 教育 36% 食物 12% 医疗 50.560.570.580.590.5100.5 5 7 9 10 15 人数 成绩(分) 不印发参考答案： 一、选择题 1．C 2．A 3．B 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．B 10．D 二、填空题 11．216 12．650000 13．32 14．5，0.1 15．37％ 第三章不等式 定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y； ②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z； ③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z； ④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则） 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。 ②如果不等式F （x ） ＜ G （x ）的定义域被解析式H （ x ）的定义域所包含，那么不等式 F （x ）＜G （x ）与不等式F （x ）＋H （x ）＜G （x ）＋H （x ）同解。 ③如果不等式F （x ）＜G （x ） 的定义域被解析式H （x ）的定义域所包含，并且H （x ）＞0，那么不等式F(x)＜G （x ）与不等式H （x ）F （x ）＜H （ x ）G （x ） 同解；如果H （x ）＜0，那么不等式F （x ）＜G （x ）与不等式H (x)F （x ）＞H （x ）G （x ）同解。 ④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式 0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解 不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式 3-3-1 均值不等式 1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数： n 1 n 21n )a ...a a (G = 3、算术平均数： n )a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ，有2ab b a 22≥+ (当且仅当a=b 时 取“=”号) 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ §06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +≤（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 初中精品数学精选精讲 学科：数学任课教师：授课时间：年月姓名年级课时 教学课题不等式与不等式组 教学目标 （知识点、考点、能力、方法）知识点：不等式及性质，一元一次不等式，一元一次不等式组。 考点：不等式的解集，一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，列一元一次不等式组解实际问题。 能力：能判断及解不等式组及不等式组，通过具体实例建立不等式，探索不等式的基本性质。 方法：了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念；然后具体研究一元一次不等式、一元一次不等式组的解、解集、 难点 重点 一元一次不等式及一元一次不等式组的解法.实际问题与一元一次不等式（组） 课堂教学过程 课前 检查 作业完成情况：优□良□中□差□建议______________________________________________ 一、知识点大集锦 不等式与不等式组 １.熟悉知识体系 ２．不等式与不等式组的概念 不等式：用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式。 不等式组：几个不等式联立起来，叫做不等式组．（注意：当有A 性质l:不等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），不等号的方向不变； 性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变； 性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变２． ５.解不等式组 解不等式组，可以先把其中的不等式逐条算出各自的解集，然后分别在数轴上表示出来。 （1） 求出不等式组中每个不等式的解集 （2） 借助数轴找出各解集的公共部分 （3） 写出不等式组的解集 求公共部分的规律:大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解. 以两条不等式组成的不等式组为例， ①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小” ②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同大取大” ③若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。若x 表示不等式的解集，此时一般表示为a 第九章不等式与不等式组 第一节、知识梳理 一、学习目标 1.掌握不等式及其解（解集）的概念，理解不等式的意义. 2.理解不等式的性质并会用不等式基本性质解简单的不等式. 3.会用数轴表示出不等式的解集. 二、知识概要 1.不等式：一般地，用不等号“＞”、“＜”表示不等关系的式子叫做不等式. 2.不等式的解：一般地，在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 3.不等式的解集：一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称之为此不等式的解集. 4.一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 5.不等式的性质： 性质一：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 性质二：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 性质三：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变. 6.三角形中任意两边之差小于第三边. 三、重点难点 重点是不等式的基本性质及其应用，难点是不等式和不等式解集的理解. 四、知识链接 本周知识由以前学过的比较大小拓展而来，又为解决实际问题提供了一个解题的工具，并为以后学的不等式组打下基础. 五、中考视点 不等式也是经常考到的内容，经常出现在选择题、填空题中，以解不等式为主.有时在一些解答题中也要用到不等式，利用不等关系求范围等. 1. 常用的不等号有哪些？ 常用的不等号有五种，其读法和意义是： （1）“≠”读作“不等于”，它说明两个量是不相等的，但不能明确哪个大哪个小. （2）“＞”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大. （3）“＜”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小. （4）“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量. （5）“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量. 2. 如何恰当地列不等式表示不等关系？ （1）找准题中不等关系的两个量，并用代数式表示. （2）正确理解题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过、非负数、至多、至少等的确切含义. （3）选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量的代数式连接起来. 根据下列关系列不等式：a的2倍与b的的和不大于3.前者用代数式表示是2a+ b.“不大于”就是“小于或等于”. 列不等式为：2a+b≤3. 3. 用数轴表示不等式注意什么？ 用数轴表示不等式要注意两点：一是边界；二是方向.若边界点在范围内则用实心点表示，若边界点不在范围内，则用空心圆圈表示；方向是对于边界点而言，大于向右画，而小于则向左画. 在同一个数轴上表示下列两个不等式：x＞-3；x≤2. 实用文档 【§5.6含绝对值符号不等式与三角形不等式证明】 班级 姓名 学号 例1．已知|a n －l |>1，求证：|a n |>1－|l |. 例2．△ABC 中，求证： 3 π ≥++++c b a cC bB aA . 例3．已知a,b ∈R ，求证： | |1| |||1||||1||b b a a b a b a ++ +≤+++. 例4．△ABC 中，求证：sinA+sinB+sinC ≤ 2 3 3. 【备用题】 已知a,b,c ∈R ，函数f(x)=ax 2+bx+c,g(x)=ax+b,当－1≤x ≤1时，|f(x)|≤1， 求证：①|c|≤1 ②当－1≤x ≤1时，|g(x)|≤2. 【基础训练】 1．设x<3则下列不等式一定成立的是 （ ） A ．|3 1lg |3|3 1lg | 实用文档 2．ab>0，则①|a+b|>|a| ②|a+b+<|b| ③|a+b|<|a －b| ④|a+b|>|a －b|四个式中正确的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．②④ 3．x 为实数，且|x －5|+|x －3| 专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤ 第九章 不等式与不等式组 一、知识结构图 二、知识要点 （一、）不等式的概念 1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。 2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。 4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。 ????????????????????????????????与实际问题 组一元一次不等式法 一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(321 （二、）不等式的基本性质 不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。 用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。 用字母表示为： 如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或c b c a >)；如果0,> 谷老师赠言：① 目标以提升热忱,毅力以磨平高山。③练习就是高考，高考就是练习 ④ 每道错题做三遍。第一遍：讲评时；第二遍：一周后；第三遍：考试前。 ⑤失败不是成功之母，总结和反思才是成功之母；⑥有高水平的集体，才有高水平的个人。 1、当天的任务当天完成，不积攒； 2、不会的要问，即使不问也要老师知道；3不会的重点标记，认真听；4、一定要复习，一定要再看几遍。 《不等式》测试题 一．填空题： (32%) 1. 设2x -3 ＜7,则 x ＜ ; 2. 5－＞0且＋1≥0 解集的区间表示为___ ______ ； 3. | x 3 |＞1解集的区间表示为________________; 4.已知集合A = [2,4],集合B = (-3,3] ,则A ∩ B = ,A ∪B = . 5.不等式x 2 ＞2 x 的解集为_______ _____;不等式2x 2 －3x －2＜0的解集为________________. 6. 当X 时,代数式 有意义. 二．选择题：(20%) 7.设 、、均为实数，且＜，下列结论正确的是( )。 (A) ＜ (B) ＜ (C)－＜－ (D)＜ 8.设a ＞＞0且＞＞0，则下列结论不正确的是( )。 (A) ＋＞＋ (B)－＞－ (C)－＞－ (D) ＞ 9.下列不等式中，解集是空集的是( )。 (A)x 2 - 3 x –4 ＞0 (B) x 2 - 3 x + 4≥ 0 (C) x 2 - 3 x + 4＜0 (D) x 2 - 4x + 4≥0 10.一元二次方程x 2 – mx + 4 = 0 有实数解的条件是m ∈（ ） （A ）（－４,４） （B ）［－４,４］ （C ）（－∞，－４）∪（４, ＋∞） （D ）（－∞，－４］∪［４, ＋∞） 三．解答题(48%) 11.比较大小：2x 2 －7x ＋ 2与x 2 －5x (8%) 12 .解不等式组(8%) 2 x - 1 ≥3 x - 4≤ 7 12.解下列不等式，并将结果用集合和区间两种形式表示：(20%) (1) | 2 x – 3 |≥5 （2） - x 2 + 2 x – 3 ＞0 13.某商品商品售价为10元时，销售量为1000件，每件价格每提高0.2元,会少卖出10件,如果要使销售收入不低于10000元,求这种图书的最高定价.(12%) 不等式的有关概念 1、不等式定义:用符号“<”、“≤”、“>”、“≥”、“≠”连接而成的数学式子,叫做不等 式。这5个用来连接的符号统称不等号。只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。 2、列不等式:步骤如下 (1)根据所给条件中的关系确定不等式两边的代数式; (2)选择与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来。 3、用数轴表示不等式 (1)a 不等式与不等式组知识概念 1.用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成 6.了一个一元一次不等式组。 7.定理与性质 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 本章内容要求学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。 第十章数据的收集、整理与描述 一．知识框架 1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2.抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。 3.总体：要考察的全体对象称为总体。 4.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。 5.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。 6.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。 7.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 8.频率：频数与数据总数的比为频率。 9.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。 本章要求通过实际参与收集、整理、描述和分析数据的活动，经历统计的一般过程，感受统计在生活和生产中的作用，增强学习统计的兴趣，初步建立统计的观念，培养重视调查研究的良好习惯和科学态度。 特殊数字符号大全-常用到的word 数学符号列举: 一x集合不等式方程A={x|x≤2}、B={x|x≥a}，< ＞A∩B={2} t>0 n∈N n≥2．: 二x函数三角函数f(x) f-1(x) x2 √3 y=ax2+bx+c (a≠0) θ1、θ2，60° Asin(ωx+φ)+P π h1、h2， 三x矢量a、b 四x数据排列｛an｝a1=1 3tSn-(2t-3) Sn-1=3t 五x剖析几何P′(x′,y′) ⊙C b2x2+a2y2=a2b2 （A）AB （B）BC （C）CD （D）DA 更多的符号: 1、几何符号⊥∥∠⌒⊙≡ ≌△°|a| ⊥∽∠∟ ‖|| … ω (1)⑵(3)【】α β γ 2、代数符号&ra2uo; ∞ ∧∨～∫ ≤ ≥1x16 ≈ ∞ ∶〔〕〈〉《》「」『』】【〖三、运算符号× ÷ √ ± ≠ ≡ ≮≯4、集合符号A ∪∩B ∈Φ Ø ￠φ 五、特殊符号∑ π（圆周率）＠＃☆★○●◎◇◆□■▓⊿※￥Γ Δ Θ Λ Ξ Ο Π Σ Φ Χ φ Ω ∏ 六、推理符号← ↑ → ↓ ↖↗↘↙∴∵∶∷Þ Û Ü 7、标点符号` ˉ ˇ ¨ 、·｀＇8、数码符号ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫⅰⅱⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹ九、其他& ; §℃№ ＄￡￥‰ ℉♂ ♀ ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩(1)⑵(3)⑷(5)⑹Γ Δ Θ Λ Ξ Ο Π Σ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω ∈∏ ∑ ∕ √ ∝∞ ∟ ∠∣∥∧∨∩ ∪∫ ∮∴∵∶∷∽≈ ≌≒≠ ≡ ≤ ≥ ≦≧≮≯⊕⊙⊥⊿⌒指数0123：º¹²³ 〃¼ ½ ¾符号意义∞ 无穷大π 圆周率|x| 函数的绝对值∪集归并∩ 集合交≥ 大于等于≤ 小于等于≡ 恒等于或者同余ln(x) 以e为底的对数lg(x) 以10为底的对数floor(x) 上取整函数ceil(x) 下取整函数x mod y 求余数{x} 小数部分x - floor(x) ∫f(x)δx 不定积分∫[a:b]f(x)δx a到b的定积分∑[1≤k≤n]f(k) 对n进行求和,可以拓广至很多情况，如：∑[n is prime][n <10]f(n) ∑∑[1≤i≤j≤n]n^2 lim f(x) (x→∞) 求极限C(n:m) 组合数,n中取m P(n:m) 排列数m|n m整除n (m,n)=1 m与n互质 a ∈A a归属集合A Card(A) 集合A中的元素个数为了方便，也做些约定！x的平方，可以打成x^2 （其它的以资类推）x+1的开方，可以打成√(x+1)，记住加括号；x分之一，可以输入1xx;要是是x+1分之一，请输入1x(x+1)，分子、分母请加括号<> 或者>< 表示不等于例：a<>b 即a不等于b；<= 表示小于等于（半大于）例：a<=b 即a半大于b；>= 表示大于等于（不小于）例：a>=b 即a不小于b；表示乘方例：a^b 即a的b次方, 也可用于开根号，例：a^(1x2) 表示a的平方根* 表示乘x 表示浮点除例：3x2=1x5 \ 表示整除例：3\2=1……1（）广义括号，允许多重嵌套，无大、中、小之分，优先级无上 一元一次不等式和一元一次不等式组（三） 一．选择题 1.下列各式，是一元一次不等式的为（） A.x+2y+2020>0 B.-x>2009 C.2009/y-5<0 D.(x-2008)(x+2009)>0 2.下列说法中错误的是（） A.10不是x≥11的解 B.0是x<1的解 C.x>1是不等式x+2008>2008 D.x=-2009是x+2008<0 3.下列几种说法中正确的是（） A.如果a>b,则ac2>bc2(c≠0) B.如果ax>-a,则x C.如果a 不等式与不等式组知识点归纳 一、不等式的概念 1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5．用数轴表示不等式的解集。 二、不等式的基本性质 1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 说明： ①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。 ②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。 例: 1．已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是 。 2．已知关于x 的不等式组???-≥->-1250 x a x 无解，则a 的取值范围是 。 3．不等式组??? ??>+≤+022 10 42x x 的整数解为 。 4．如果关于x 的不等式（a-1）x 元一次不等式和一元一次不等式组 概念： 定义1：一般地，用符号“V” （或“W”），“>”（或“》”）连接的式子叫做不等式。 定义2：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。（不等式的解有时有无数个，有时有有限个，有时无解。）定义3：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 定义5：左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式。 定义6：一般地, 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起, 就组成一个一元一次不等式组。 定义7：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 定义8：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 基本性质： 等式的基本性质”和“不等式的基本性质” 1）等式的基本性质：等式基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，等式仍旧成立女口果a=b, 那么a± c=b± c 等式基本性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，等式仍旧成女口果a=b，那么ac=bc, a*c = b*c （c工0）2）不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些异同点不等式的基本性质有三条，等式的基本性质有两条；两个性质中在两边都加上（或都减去）同一个整式时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个正数时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个负数时，结果不同 三、相关知识归纳： 一）、将不等式的解集表示在数轴上时，要注意：1、指示线的方向, “>”向右, “<”向左. 2、不等式的解集在数轴上表示时，当解集的符号是“》”或“W”时，用实心圆点表示，当解集的符号是“>”或“V”时，用空心圆圈表示。 3、不等式的解与解集的联系与区别: 二者的区别在于, 不等式的解是指能使不等式成立的每一个值; 不等式的解集是指所有解的全体。联系是不等式的所有解组成一个解集, 或者说不等式的解集包含不等式的每一个解。 4、将不等式的解集表示在数轴上,一般分三步:一是正确地画数轴,注意数轴的三要素;二是确定界点,注意区分实心圆点还是空心圆圈;三是辨别方向,大于指向界点的右方, 小于指向界点的左方。 二）、解一元一次不等式的一般步骤： 1）去分母不等式性质2或3 注意： ①勿漏乘不含分母的项； ②分子是两项或两项以上的代数式时要加括号； ③若两边同时乘以一个负数，须注意不等号的方向要改变 2）去括号——去括号法则和分配律 注意： ①勿漏乘括号内每一项； ②括号前面是“-”号，括号内各项要变号 3）移项——移项法则（不等式性质1） 注意：移项要变号. 基本不等式 一、知识梳理 二、极值定理 （1）两个正数的和为常数时，它们的积有 ； 若0,0,a b a b M >>+=，M 为常数，则ab ≤ ；当且仅当 ，等号成立.简述为，当0,0,a b a b M >>+= ，M 为常数，max ()ab = . （2）两个正数的积为常数时，它们的和有 ； 若0,0,a b ab P >>=，P 为常数，则a b +≥ ；当且仅当 ，等号成立.简述为，当0,0,a b ab P >>= ，M 为常数，min ()a b += . (,)2 a b a b R ++≤ ∈，求最值时应注意以下三个条件： 应用基本不等式的经典方法 方法一、直接利用基本不等式解题 例1、（1）若0,0,4a b a b >>+=，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1 1 2ab > B ．1 1 1a b +≤ C 2≥ D. 2211+8a b ≤ （2）不等式2162a b x x b a +<+对任意(),0,a b ∈+∞ 恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(2,0)? B ．(,2)(0,)?∞?+∞ C ．(4,2)? D ．(,4)(2,)?∞?+∞ （3）设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,x y a b a b +，则11 x y +的最大值为 ( ) A ．2 B ．32 C ．1 D ．12 方法二：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件，通过乘或除常数、拆因式、平方等方式进行构造） 例2、（1）已知54x <，求函数1 445y x x =+?的最大值； （2）已知，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 方法三：“1”的巧妙代换 命题点1、“1”的整体代换 例3、（1）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是( ) A ．245 B ．285 C ．5 D ．6 （2）已知0,0,x y >>且21x y +=,求1 1 x y +的最小值. 0,2b a ab >>=2 2 a b a b +?(],4?∞?(),4?∞?(],2?∞?(),2?∞? 初中数学 不等式与不等式组 中考试题（含答案） 一、 填空题 1.（2009年北京市）不等式325x +≥的解集是 . 2.（2009年泸州）关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是 3．（2009年吉林省）不等式23x x >-的解集为． 4、（2009年遂宁）把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，那么这个不等式组的解集是 . 5．(2009年云南省)不等式组40320x x ->??+>? 的解集 是 . 6.（2009年包头）不等式组3(2)412 1.3 x x x x --?? +?>-??≥，的解集是 ． 7.（2009年莆田）甲、乙两位同学参加跳高训练，在相同条件下各跳10次，统计各自成绩 的方差得22 S S <乙甲，则成绩较稳定的同学是___________．（填“甲”或“乙”） 8．(2009年南充)不等式5(1)31x x -<+的解集是 ． 9.(2009年南充)不等式5(1)31x x -<+的解集是 ． 1-．（2009年甘肃白银）不等式组103x x +>??>-? ，的解集是 ． 11.（2009年宁波市）不等式组60 20x x -? 的解是 ． 12.(2009年义乌)不等式组 210 x o x -≤?? >?的解是 13、（2009江西）不等式组23732 x x +>??->-?， 的解集是 ． 14（2009年湘西自治州）3.如果x －y ＜0，那么x 与y 的大小关系是x y ．（填＜或＞符号） 15.（2009年烟台市）如果不等式组2 223 x a x b ?+???-?的解是 ． 17.（2009年新疆乌鲁木齐市）某公司打算至多用1200元印制广告单．已知制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x （张）满足的不等式为 ． 18．（2009年孝感）关于x 的不等式组12 x m x m >->+?? ?的解集是1x >-，则m = ▲ ． 19．（2009年厦门市）已知2ab =．（1）若3-≤b ≤1-，则a 的取值范围是____________．（2）若0b >，且2 2 5a b +=，则a b +=____________． 20．(2009武汉)．如图，直线y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点，则不等式 1 22 x kx b >+>-的解集为 ． 专题二《方程与不等式》 ●中考点击 考点分析： 命题预测：方程与方程组始终是中考命题的重点内容，近几年全国各地的中考试题中，考查方程和方程组的分值平均占到25%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法；一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的简单运用；列方程和方程组解应用题三大类问题．其中列一元一次方程求解商品利润问题以选择题为主；一元二次方程的解法以选择题和解答题为主；根的判别式及根与系数的关系以选择题和解答题为主，但难度一般不大；列二元一次方程组解应用题以解答题为主，主要考查解工程类、方案设计类及愉策类问题．结合2007－2008年的中考题不难看出，课改区对方程（组）的考题难度已经有所降低，如根与系数关系的运用，课改区几乎不再考查． 不等式与不等式组的分值一般占到5－8%左右，其常见形式有一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主；列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题，以解答题为主．近年试题显示，不等式（组）的考查热点是其应用，即列不等式（组）求解实际生活中的常见问题． 由此可见，在方程（组）与不等式（组）这一专题中，命题趋势将会是弱化纯知识性的考题，而更加热衷于数学知识在生活中的应用问题． ●难点透视 例1解方程： 2 241 1 1 x x x x - = -+- ． 【考点要求】本题考查了分式方程的解法． 【思路点拨】去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母即可． 原方程变形为 ) 1)(1(41 21 -+= +- -x x x x x 方程两边都乘以)1)(1(-+x x ，去分母并整 理得022 =--x x ，解这个方程得1,221-==x x ．经检验，2=x 是原方程的根，1 -=x 是原方程的增根．∴原方程的根是2=x ． 【答案】2=x ． 【方法点拨】部分学生在解分式方程时，往往不能拿到全部分数，其中很多人是因为忘记检验．突破方法：牢牢记住分式方程必须验根，检验这一步不可缺少．(完整版)高中数学不等式归纳讲解
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