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仿射变换下的区域面积之比

仿射变换下的区域面积之比

缪 选 民

江苏省泰州市海陵区教育局教研室 225300

中图分类号:O123.1 文献标识码:A 文章编号:0488-7395

2007年高考江苏卷出了一道耐人寻味的小题:

在平面直角坐标系xO y 中,已知平面区域A 1),{(≤+=y x y x ,且

}0,0≥≥y x ,则平面区域B }),(),{(A y x y x y x ∈-+=的面积为( )

A.2 B.1 C.

12

D.

14

这道题貌似线性规划的问题,本质上却是以仿射几何为背景,求一封闭图形区域经过仿射变换后图形区域的面积,本文将对它的解法与拓展作些探讨。

1.代点法。考试结束后,一学生告诉我,他是这样解的:A 是一个三角形区域,它的三个顶点坐标是O(0,0)、M(1,0)、N(0,1),将这三点的坐标代入

),(y x y x -+中得:O ’(0,0)、M ’(1,1)、N ’(1,-1),画出由O ’、M ’、N ’三点确

定的三角形区域B ,求得区域B 的面积为1,从而选B 。这种解法很巧妙,因为给定的变换),(),(y x y x y x -+→为仿射变换,其将直线仍变成直线,所以也将?OMN 围成的区域变成了?O ’M ’N ’所围区域。该解法的巧妙之处在于回避了线性规划问题中边界交点问题,直接根据顶点来确定三角形的面积。

2.常规解法。令???=-=+t y x s y x ,则???-=+=t s y t s x 22,由区域A 的条件???

??≥≥≤+0

01

y x y x 得

??

?

??≥-≥+≤001t s t s s ,用线性规划的方法不难画出区域B ,求得其面积为1,答案选择B 。

这个问题的实质是将面积为21

的区域A , 经过仿射变换?

??-=+=y x t y

x s 后变成

仿射变换下的区域面积之比

了面积为1的区域B 。(如下图)

仿射变换下的区域面积之比

3.高等数学的解法。如果用高等几何的方法来解答本题,过程非常简单,不必画出区域B 。根据定理“两个三角形面积之比是仿射不变量”,仿射变换

?

?

?-=+=y x t y

x s 对应的行列式1

111-的绝对值是2,区域A 的面积是

2

1,

2=的面积

区域的面积区域A B ,故区域B 的面积是1。值得一提的是,近年来,具有高等数

学背景的试题日益增多,本题是一个极好的典例。

4.两点拓展。从高等几何学的知识可以知道,仿射变换的表达式一旦确定下来,那么变换后的区域B 的面积与变换前的区域A 的面积之比就确定了。在本题中,区域A 的面积

2

1是固定的,区域B 的面积完全取决于什么样的仿射

变换。由这一结论,我们根据高考题的模式作如下拓展:

拓展一:

在平面直角坐标系xO y 中,已知平面区域A 1),{(≤+=y x y x ,且

}0,0≥≥y x ,求平面区域E }),(),{(A y x dy cx by ax ∈++=()0≠-bc ad 的面积。

它的高等几何解法为:仿射变换?

??+=+=dy cx t by ax s 对应的行列式绝对值为

d

c

b a =b

c a

d -,区域A 的面积是

2

1,故区域E 的面积为

bc ad -2

1,这是高

仿射变换

X

题的一般结论。

它的初等解法涉及烦琐的字母运算,所以我们借用行列式来求解。假设三角形区域A 的三个顶点为),(),,(),,(332211y x y x y x ,则区域A 的面积为

A=

11223

3

1

112

1

x y x y x y =21

,经过仿射变换???+=+=dy cx t by

ax s 后,三个顶点为),(),,(2211t s t s ,

),,(33t s ,根据仿射变换不改变区域A 的形状,区域E 的面积为:

E=

11223

3

1112

1

s t s t s t =

111122223333

11

12

1a x b y c x d y a x b y c x d y a x b y c x d y ++++++=112

23

31 c 01

1 b d 020 0 1

1x y a x y x y ? =1

12

23

3

11

()12

1

x y ad bc x y x y -?=

bc ad -2

1。

拓展二:

在仿射变换?

??++=++=f dy cx t e

by ax s 下,区域A 不限于三角形(江苏卷中的高考题

只是三角形中的简单情形,三个顶点非常特殊,且仿射变换中的f e ,均等于0),

对于四边形及一般封闭图形,“

c b d

c 0

b d 0e f 1

a B A a =

=

区域的面积区域的面积

”,结论仍成立,

变换前后的区域面积之比只与d c b a ,,,有关。利用仿射变换的这一性质,可以方

便地求出椭圆的面积。设区域A }0,1)

,{(2

22

2>>≤+

=b a b

y a

x y x ,则区域

B }),(),{(A y x y b

a x ∈=是一个以原点为圆心,a 为半径的圆,由于仿射变换

?

?

?

??==y b a t x s 对应的行列式绝对值b a b

a =00

1,所以

b

a A B =

的面积区域的面积区域,圆的面积(区

域B )是2

a π,从而椭圆的面积(区域A )a

b π=。

5.一点说明。上面的“代点法”仅适用于给出的变换是仿射变换的情形,如果不是仿射变换就不能用“代点法”。如:在平面直角坐标系x O y 中,已知平

面区域A 1),{(≤+=y x y x ,且}0,0≥≥y x ,则平面区域B }),(),{(2

2A y x y x ∈=

的面积是 。在这个问题中,区域A 的三个顶点O(0,0)、M(1,0)、N(0,1)

经过变换?????==2

2

y

t x

s 后分别变成了(0,0)、(1,0)、(0,1),但区域B 不是这三点所

确定的三角形,因而不能用三角形的面积公式求解,它是位于第一象限的星形线和两坐标轴所围成的曲边三角形区域(如图),可表示

为B }0,0,1)

,{(≥≥≤+=y x y x y x ,其面积要用积分法求得:S=6

1)1(2

1

=

-

?dx x 。

仿射变换下的区域面积之比