第11章 稳恒磁场
习 题
一 选择题
11-1 边长为l 的正方形线圈,分别用图11-1中所示的两种方式通以电流I (其中ab 、cd 与正方形共面),在这两种情况下,线圈在其中心产生的磁感应强度的大小分别为:[ ]
(A )10B =,20B = (B )10B =
,02I
B l
π= (C
)01I
B l π=,20B = (D
)01I B l π=
,02I
B l
π= 答案:C
解析:有限长直导线在空间激发的磁感应强度大小为012(cos cos )4I
B d
μθθπ=
-,并结合右手螺旋定则判断磁感应强度方向,按照磁场的叠加原理,可计
算
01I
B l
π=
,20B =。故正确答案为(C )。 11-2 两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置,一个处于竖直位置,两个线圈的圆心重合,如图11-2所示,则在圆心O 处的磁感应强度大小为多少
(A )0 (B )R I 2/0μ (C )R I 2/20μ (D )R I /0μ 答案:C
习题11-1图
习题11-2图
解析:圆线圈在圆心处的磁感应强度大小为120/2B B I R μ==,按照右手螺旋定
则判断知1B v 和2B v
的方向相互垂直,依照磁场的矢量叠加原理,计算可得圆心O
处的磁感应强度大小为0/2B I R =。
11-3 如图11-3所示,在均匀磁场B 中,有一个半径为R 的半球面S ,S 边线所在平面的单位法线矢量n 与磁感应强度B 的夹角为α,则通过该半球面的磁通量的大小为[ ]
(A )B R 2π (B )B R 22π (C )2cos R B πα (D )2sin R B πα 答案:C
解析:通过半球面的磁感应线线必通过底面,因此2cos m B S R B παΦ=?=v
v 。故正
确答案为(C )。
11-4 如图11-4所示,在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ,当曲面S 向长直导线靠近时,穿过曲面S 的磁通量Φ
B 将如何变化[ ]
(A )
Φ增大,B 也增大 (B )Φ不变,B 也不变 (C )Φ
增大,B 不变 (D )Φ不变,B 增大 答案:D
解析:根据磁场的高斯定理0S
BdS Φ==?v v ?,通过闭合曲面S 的磁感应强度始终
为0,保持不变。无限长载流直导线在空间中激发的磁感应强度大小为02I
B d
μπ=,曲面S 靠近长直导线时,距离d 减小,从而B 增大。故正确答案为(D )。
11-5下列说法正确的是[ ]
(A) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时,回路内一定没有电流穿过
(B) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时,回路内穿过电流的代数和必定为
I
习题11-4图
习题11-3图
零
(C) 磁感应强度沿闭合回路的积分为零时,回路上各点的磁感应强度必定为零
(D) 磁感应强度沿闭合回路的积分不为零时,回路上任意一点的磁感应强度都不可能为零 答案:B
解析:根据安培环路定理0d i l
i
B l I μ=∑?v
v ?,闭合回路上各点磁感应强度都为零表
示回路内电流的代数和为零。回路上各点的磁感应强度由所有电流有关,并非由磁感应强度沿闭合回路的积分所决定。故正确答案为(B )。
11-6 如图11-6所示,I 1和I 2为真空中的稳恒电流,
?
?L
B d l 的值为[ ]
(A )01
2()I
I μ+ (B )012()I I μ
-+ (C )012()I I
μ-- (D )012()I I μ-
答案:C
解析:根据安培环路定理0d i l
i
B l I μ=∑?v v ?,并按照右手
螺旋定则可判断I 1取负值,I 2为正,因此012d ()L
B l I I μ?=--?v
v ?。
11-7 如图11-7所示,一根很长的电缆线由两个同轴的圆柱面导体组成,若这两个圆柱面的半径分别为R 1和R 2(R 1 (A ) (B ) (C ) (D ) 习题11-6图 1 2 R 1 1 2 R 1 2 R 习题11-7图 答案:C 解析:根据安培环路定理0d i l i B l I μ=∑?v v ?,可得同轴的圆柱面导体的磁感应强度 分布为1012220, 0,, 0r R B I R r R B r r R B μπ<<=??? <<=?? >=??,作B-r 图可得答案(C )。 11-8一运动电荷q ,质量为m ,垂直于磁场方向进入均匀磁场中,则[ ] (A )其动能改变,动量不变 (B )其动能不变,动量可以改变 (C )其动能和动量都改变 (D )其动能和动量都不变 答案:B 解析:垂直于磁场方向进入均匀磁场的电荷受到洛伦兹力的作用,仅提供向心力,改变电荷速度的方向,而不改变速度的大小,从而其动能不变,而动量改变。故正确答案为(B )。 11-9 如图11-9所示,一根载流导线被弯成半径为R 的1/4圆弧,放在磁感应强度为B 的均匀磁场中,则载流导线所受的安培力为[ ] (A )2BIR ,竖直向下 (B )BIR ,竖直向上 (C )2BIR ,竖直向上 (D )BIR ,竖直向下 答案:C 解析:连接ab 形成一闭合回路,由于此回路所在平面垂直于磁感应强度方向,因此,回路受力为零,则弧线受力与直线ab 受力大小相等,方向相反。直导线ab 受力为2ab F BIl BIR ==,方向竖直向下,因此载流弧线所受的安培力2BIR ,方向为竖直向上。 11-10 用细导线均匀密绕成长为l 、半径为a (l >>a )、总匝数为N 的螺线 习题11-9图 管,通以稳恒电流I ,当管内充满相对磁导率为r μ的均匀介质后,管中任意一点磁感应强度大小为[ ] (A )0/r NI l μμ (B )l NI r /μ (C )l NI /0μ (D )l NI / 答案:A 解析:根据由磁介质时的安培环路定理d i l i H l I =∑?v v ?,得螺线管内磁场强度大小 为NI H l = ,因此管中任意一点磁感应强度大小为00/r r B H NI l μμμμ==。故正确答案为(A )。 二 填空题 11-11 一无限长载流直导线,沿空间直角坐标的Oy 轴放置,电流沿y 正向。在原点O 处取一电流元I d l ,则该电流元在(a ,0,0)点处的磁感应强度大小为_______________,方向为_____________。 答案: 02 d 4I l a μπ;沿z 轴负方向 解析:根据毕奥-萨伐尔定律03 d 4Idl r B r μπ?=v v ,Idl v 与r v 的方向相互垂直,夹角为90°电流元激发的磁感应强度大小为0032 d sin d d 44I l a I l B a a μθμππ??== ,按照右手螺旋定则可判断方向沿z 轴负方向。 11-12 无限长的导线弯成如图11-12所示形状,通电流为I ,BC 为半径R 的半圆,则O 点的磁感应强度大小 ,方向为 答案: 0044I I R R μμπ+;垂直纸面向里 解析:根据磁感应强度的叠加原理,O 点的磁 感应强度由三部分组成。 0AB B =,0,4BC I B R μ= 方向垂直纸面向里,0,4CD I B R μπ= 方向垂直纸面向里。因此,O 点的磁感应强度大小0044AB BC CD I I B B B B R R μμπ=++= + ,方向为垂直纸面向里。 11-13 两根长度相同的细导线分别密绕在半径为R 和r 的两个长直圆筒上形成两个螺线管,两个螺线管的长度相同,R =2r ,螺线管通过的电流相同为I ,则螺线管中的磁感应强度大小:R r B B = 。 答案:1:2 解析:螺线管中的磁感应强度大小0 N B I l μ=,其中长度l 与电流I 相同,因此B 与总匝数N 成正比。两根导线的长度L 相同,绕在半径不同的长直圆筒上,可得:::1:222R r L L N N r R R r ππ= ==,因此:1:2R r B B =。 11-14 如图11-14所示,均匀磁场的磁感应强度为B = T ,方向沿x 轴正方向,则通过abod 面的磁通量为_________,通过befo 过aefd 面的磁通量为_______。 答案:;0Wb ; 解析:根据磁通量的定义式cos m B S BS θΦ=?=v v , 磁感应强度与 abod 面面积矢量的夹角为1180θ=o , 与befo 面面积矢量的夹角290θ=o ,与aefd 面 面积矢量的夹角为34 cos 5 θ= 。因此,1cos 0.024Wb abod abod BS θΦ==-,2cos 0Wb befo befo BS θΦ==,3cos 0.024Wb aefd aefd BS θΦ==。 11-15如图11-15所示,一长直导线通以电流I ,在离导线a 处有一电子,电量为e ,以速度v 为 ,方向为 。 答案: 02e Iv a μπ;水平向右 习题11-14图 解析:无限长直导线在离导线a 处激发的磁感应强度大小 为02I B a μπ= ,方向垂直纸面向里;作用在电子上的洛伦兹力 的大小0sin 2e Iv F qvB a μθπ== ,按照右手螺旋定则判断电子受力方向为水平向右。 11-16 如图11-16所示,A 和B 是两根固定的直导线,通以同方向的电流1I 和 2I ,且1I >2I ,C 是一根放置在它们中间可以左右移动 的直导线(三者在同一平面内),若它通以反方向的电流I 时,导线C 将____________(填向A 移动、向B 移动、保持静止)。 答案:向B 移动 解析:根据右手螺旋定则判断导线A 施加给C 的力AC F v 的方向为指向B ,同理导线B 施加给C 的力BC F v 的方向为指向A 。安培力02i I F BIL IL d μπ==,因为1I >2I ,因此AC BC F F >v v ,从而导线C 所受合力与AC F v 相 同,因此,导线C 向B 移动。 11-17 一带电粒子以速度v 垂直于均匀磁场B 射入,在磁场中的运动轨迹是半径为R 的圆,若要使运动半径变为2R ,则磁场B 的大小应变为原来的 倍。 答案:2 解析:垂直于均匀磁场射入的带电粒子将在磁场中作匀速率圆周运动,圆周的半径为mv r qB = ,与B 成反比。现运动半径变为原来的1/2,则磁场B 的大小应变为原来的2倍。 11-18 一1/4圆周回路abca ,通有电流I ,圆弧部分的半径为R ,置于磁感应强度为B 的均匀磁场中,磁感线与回路平面平行,如图11-18所示,则圆弧ab 段导线所受的安培力大小为 ,回路所受的磁力矩大小为 ,方向为 。 习题11-18图 R B c b a 答案:BIR ;21 4BIR π;竖直向下 解析:ab ca bc F F F =+v v v ,由于0bc F =,因此ab ca F F BIR == 根据磁力矩定义式M m B =?v v v ,m v 的方向垂直纸面向里, 与B v 方向的夹角为90°,回路所受的磁力矩大小21 sin 4M BIS BIR ?π==,按照 右手螺旋定则,方向为竖直向下。 11-19 如图11-19所示,一无限长直圆柱导体筒,内外半径分别为12R R 和,电流I 均匀通过导体的横截面,123L L L 、、是以圆柱轴线为中心的三个圆形回路半径分别为123r r r 、、(1112232r R R r R r R <<<>、、)回路绕行方向见图示,则磁场强度在三个回路上的环流分别为: ? ?1 L H d l =_____; ? ?H d l =_____; ? ?3 L H d l =_____ 。 答案:0;22 2122 21 r R I R R --;I - 解析: 按照右手螺旋定则,L 1所包围电流为0,L 2所包围电流为22 2122 21 r R I R R --, L 3所包围电流为I -。 根据有磁介质的安培环路定理d i l i H l I =∑?v v ?, 1 d 0L H l ?=??,2 22 212221 d L r R H l I R R -?=-? ?,2d L H l I ?=-??。 11-20 磁介质有三种,1>r μ的称为___________,1 1>>r μ的称为__________。 答案:顺磁质;抗磁质;铁磁质 解析:按照磁介质定义,1>r μ的称为顺磁质,1 习题11-19图 三 计算题 11-21 如图11-21所示,几种载流导线在平面内分布,电流均为I ,它们在O 点的磁感应强度大小各为多少 解:(a )130, 0B B == 02,8I B R μ= 方向垂直纸面向外 123++,8I B B B B R μ∴== 方向垂直纸面向外 (b )01,4I B R μπ= 方向垂直纸面向外 02, 2I B R μ=方向垂直纸面向内 03,4I B R μπ= 方向垂直纸面向外 00213,22I I B B B B R R μμπ∴=--= - 方向垂直纸面向外 (c )01,4I B R μπ= 方向垂直纸面向内 02, 4I B R μ= 方向垂直纸面向内 03,4I B R μπ= 方向垂直纸面向内 00123+++ ,42I I B B B B R R μμπ∴== 方向垂直纸面向内 (a (b (c O I I 习题11-21图 1 13 11-22 载流导线形状如图11-22所示(图中直线部分导线延伸到无穷远处)。求O 点的磁感应强度B 。 解:根据右手螺旋定则,得 01020300012343843844I B k R I B i R I B j R I I I B B B B i j k R R R μπμμπμμμππ=-=-=-∴=++=---v v v v v v v v v v v v v 11-23 一无限长圆柱形铜导体(磁导率0μ),半径为R ,通有均匀分布的电流I (1)试求磁感应强度大小B 的分布; (2)今取一矩形平面(长为L ,宽为R ),位置如图11-23中阴影部分所示,求通过该矩形平面的磁通量。 解:(1)由磁场安培环路定理0i L i Bdl I μ=∑?v v ? 2 2 10022 2r Ir r R B r I R R ππμμπ≤?==当时, 012 2I B r R μπ∴= 202r R B r I πμ>?=当时, 022I B r μπ∴= (2)B v 与S v 方向相同,作微元d S ,宽度为d r ,则通过d S 的磁通量为: 0112 d d d d 2m Ir B S B L r L r R μπΦ=?== 00022 d d 224R R m Ir IL IL L r r r R R μμμπππ ∴Φ=== ?? 1 2 3 I R L 习题11-23图 d r r 11-24 有一同轴电缆,其尺寸如图11-24所示。两导体中的电流均为I , 但电流的流向相反,导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感应强度:(1) 1r R < ;(2)12R r R <<;(3)23R r R << ;(4 解:以中轴线为圆心作闭合圆形回路,半径为r 根据磁场安培环路定理0i L i Bdl I μ=∑?v v ? (1)2 2 1100 22 112r Ir r R B r I R R ππμμπ≤?==当时, 012 1 2I B r R μπ∴= (2)12202R r R B r I πμ<=当时, 022I B r μπ∴= (3)2222 3223300222 23232 2()R r r R R r R B r I I I R R R R πππμμππ--<=-=--当时, 22 03322 322I R r B r R R μπ-∴=- (4)3402()0r R B r I I πμ>?=-=当时, 40B ∴= 11-25 如图11-25所示,在半径为R =1.0 cm 的无限长半圆柱形导体面中均匀地通有电流I =5.0 A ,求圆柱轴线上任一点的磁感应强度B 的大小。 解:作俯视图如图所示,取微元d l , 电流垂直纸面向内,在圆心处的磁感 应强度为1d B v 。取微元于d l 其在圆心处的磁感应强度为2d B v 。合成 后的磁感应强度为d x B v ,沿x 轴方向。 R 习题11-24图 习题11-25 l I 俯视图 00112sin sin d 2d cos()2d sin d d 2 x I B B B I R R μθμθ π θθθππ=-== = 50022 22 sin d d 6.3710T x I I B B R R ππμθμθππ-∴====??? 11-26 如图11-26所示,一宽为a 的薄长金属板,其电流为I ,在薄板所在平面内,距板一边为a 处有一点P ,电量为q 的带正电粒子以速度v 经过P 点,求:(1)点P 的磁感应强度大小;(2)带电粒子在点 向。 解:如图建立坐标系, 取微元dx ,则其在点P 的磁感应强度为: (1)0 0d d d 22P I I x a B x x a x μμππ= = 22000d d 22ln ln 2,22a a P P a a I x B B a x I I a a a a μπμμππ∴====?? 方向垂直纸面向内 (2), 90v B θ⊥∴=o v v Q 0sin ln 2,2qv I F qvB a μθπ∴== 方向向左 11-27 从太阳射出来的速率为6810m s ?的电子进入地球赤道上空高层艾伦辐射带中,该处磁场为74.010 T -?,此电子的回转轨道半径为多大若电子沿地球磁场的磁感线旋进到地磁北极附近,地磁北极附近磁场为52.010 T -?,其轨道半径又为多少 解:已知61931810/ 1.6109.1110v m s e C m kg --=?=?=? 7512410210B T B T --=?=? 习题11-26图 X 11 22 114m 2.28m mv R qB mv R qB = === 11-28 如图11-28所示,一根长直导线载有电流130 A I =,矩形回路载有电流220 A I = 。试计算作用在回路上的合力。已知 1.0 cm d =,8.0 cm b =, 0.12 m l =。 解:∵边2、4所受安培力大小相等,方向相反 ∴ 240F F +=v v 30111224 0122221.4410 N, 2 1.610 N, 2()I F B I l I l d I F B I l I l d b μπμπ--===?===?+方向向左 方向向右 312= 1.2810 N, F F F --=?方向向左 11-29 在原子结构的玻尔模型中,原子中的电子绕原子核做圆周运动,已知氢原子中电子的轨道半径为115.310 m -?,电子运动的速度为6710m s ?,求氢原子的轨道磁矩。 解:已知:115.310 m R -=?,6710m s v =? 氢原子的轨道磁矩为:(1)n m I Se =?v v 其中,2/2q e ev I t R v R ππ= == ,2S R π= 将上式代入(1)中,得氢原子的轨道磁矩为: 2191162232 22 1.610 5.310710A/m 2.9710A/m 2 ev evR m I S R R ππ---=?= =?????==? 11-30 如图11-30所示,半径为R 的圆形闭合线圈,通电流为I ,处在磁感 1 2 3 4 d I 应强度大小为B 的匀强磁场中,磁感线与线圈平面平行,求:(1)闭合线圈的磁矩的大小和方向;(2)闭合线圈所受的磁力矩大小和方向;(3)闭合线圈所受的合力。 解:(1)磁矩n m I Se =?v v 闭合线圈的磁矩的大小为:2m I S I R π=?= 根据右手螺旋定则,磁矩的方向为垂直纸面向外 (2)磁力矩M m B =?v v v ,m v 与B v 的夹角θ为90° 闭合线圈所受的磁力矩大小为:2sin M m B I R B θπ=?= 根据右手螺旋定则,磁力矩的方向为竖直向下 (3)如图所示,在线圈上取一段电流元d I l v ,在关于圆心对称的位置能够找到与d I l v 大 小相等,方向相反的电流元d I l -v ,根据安培力的定义d F I l B =?v v v ,则相对称的两端电流元 所受安培力的大小相等,方向相反,合力为零。则对于整个线圈,任意一段电流元,总能找到与之大小相等,方向相反的对称电流元,因此,线圈的合力0F =v 。 11-31 如图11-24所示的长直同轴电缆,在内、外导体之间充满磁介质,磁介质的相对磁导率为r μ(1r μ<),导体的磁化可以略去不计。电缆沿轴向有稳恒电流I 通过,内外导体上电流的方向相反。求空间各区域的磁场强度和磁感应强度的分布。 解:根据有磁介质的安培环路定理i i l Hdl I =∑?v v ?,得 22 112 211 2r Ir r R H r I R R πππ≤?==当时, 12 12rI H R π∴= 01012 1 (1)2r r rI B H R μμμμπ''== = 1222R r R H r I π<=当时, 习题11-30图 d I l - 22I H r π∴= 02022r r I B H r μμμμπ== 2222 32233222 23232 2R r r R R r R H r I I I R R R R πππππ--<=-=--当时, 22 3322 32 2R r I H r R R π-∴=- 22 03 30322 32 (1)2r r I R r B H r R R μμμμπ-''===- 3420r R H r I I π>?=-=当时, 40H ∴= 4040r B H μμ'== 第11章 稳恒磁场 习 题 一 选择题 11-1 边长为l 的正方形线圈,分别用图11-1中所示的两种方式通以电流I (其中ab 、cd 与正方形共面),在这两种情况下,线圈在其中心产生的磁感应强度的大小分别为:[ ] (A )10B =,20B = (B )10B = ,02I B l π= (C )01I B l π= ,20B = (D )01I B l π= ,02I B l π= 答案:C 解析:有限长直导线在空间激发的磁感应强度大小为012(cos cos )4I B d μθθπ= -,并结合右手螺旋定则判断磁感应强度方向,按照磁场的叠加原理,可计 算 01I B l π= ,20B =。故正确答案为(C )。 11-2 两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置,一个处于竖直位置,两个线圈的圆心重合,如图11-2所示,则在圆心O 处的磁感应强度大小为多少? [ ] (A )0 (B )R I 2/0μ (C )R I 2/20μ (D )R I /0μ 答案:C 解析:圆线圈在圆心处的磁感应强度大小为120/2B B I R μ==,按照右手螺旋定 习题11-1图 习题11-2图 则判断知1B 和2B 的方向相互垂直,依照磁场的矢量叠加原理,计算可得圆心O 处的磁感应强度大小为0/2B I R =。 11-3 如图11-3所示,在均匀磁场B 中,有一个半径为R 的半球面S ,S 边线所在平面的单位法线矢量n 与磁感应强度B 的夹角为α,则通过该半球面的磁通量的大小为[ ] (A )B R 2π (B )B R 22π (C )2cos R B πα (D )2sin R B πα 答案:C 解析:通过半球面的磁感应线线必通过底面,因此2cos m B S R B παΦ=?= 。故正 确答案为(C )。 11-4 如图11-4所示,在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ,当曲面S 向长直导线靠近时,穿过曲面S 的磁通量Φ B 将如何变化?[ ] ( A )Φ增大, B 也增大 (B )Φ不变,B 也不变 ( C )Φ增大,B 不变 ( D )Φ不变,B 增大 答案:D 解析:根据磁场的高斯定理0S BdS Φ==? ,通过闭合曲面S 的磁感应强度始终为0,保持不变。无限长载流直导线在空间中激发的磁感应强度大小为02I B d μπ= ,曲面S 靠近长直导线时,距离d 减小,从而B 增大。故正确答案为(D )。 11-5下列说法正确的是[ ] (A) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时,回路内一定没有电流穿过 (B) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时,回路内穿过电流的代数和必定为零 (C) 磁感应强度沿闭合回路的积分为零时,回路上各点的磁感应强度必定为零 (D) 磁感应强度沿闭合回路的积分不为零时,回路上任意一点的磁感应强度 I 习题11-4图 习题11-3图 大学物理(第四版)课 后习题及答案质点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 题1.1:已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为 3322)s m 2()s m 6(m 2t t x --?-?+= 。求(l )质点在运动开始后s 0.4内位移的大小; (2)质点在该时间内所通过的路程。 题1.1解:(1)质点在4.0 s 内位移的大小 m 3204-=-=?x x x (2)由 0)s m 6()s m 12(d d 232=?-?=--t t t x 得知质点的换向时刻为 s2=P t (t 0不合题意) 则:m 0.8021=-=?x x x m 40x 242-=-=?x x 所以,质点在4.0 s 时间间隔内的路程为 m 4821=?+?=x x s 题1.2:一质点沿x 轴方向作直线运动,其速度与时间的关系如图所示。设0=t 时,0=x 。试根据已知的图t v -,画出t a -图以及t x -图。 题1.2解:将曲线分为AB 、BC 、CD 三个过程,它们对应的加速度值分别为 2A B A B AB s m 20-?=--= t t v v a (匀加速直线运动) 0BC =a (匀速直线) 2C D C D CD s m 10-?-=--= t t v v a (匀减速直线运动) 根据上述结果即可作出质点的a -t 图 在匀变速直线运动中,有 2002 1at t v x x + += 由此,可计算在0~2和4~6 s 时间间隔内各时刻的位置分别为 t /s 0 0.5 1 1.5 2 4 4.5 5 5.5 6 x /m 5.7- 10- 5.7- 0 40 48.7 55 58.7 60 用描数据点的作图方法,由表中数据可作0~2 s 和4~6 s 时间内的x -t 图。在2~4 s 时间内,质点是作v = 201s m -?的匀速直线运动,其x -t 图是斜率k = 20的一段直线。 题1.3:如图所示,湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h ,滑轮到原船位置的绳长为0l ,试求:当人以匀速v 拉绳,船运动的速度v '为多少? 题1.3解1:取如图所示的直角坐标系,船的运动方程为 ()()()j i r h t x t -+= 船的运动速度为 ()i i i r v t r r h h r t t t x t d d 1d d d d d d 2 /12 2 2 2 -??? ? ? ?-=-= ==' 而收绳的速率t r v d d - =,且因vt l r -=0,故 ()i v 2 /12 021-??? ? ? ?-- -='vt l h v 题1.3解2:取图所示的极坐标(r ,θ),则 θr r r d d d d d d d d d d e e e e r v t r t r t r t r t θ+=+== ' r d d e t r 是船的径向速度,θd d e t r θ是船的横向速度,而 t r d d 是收绳的速率。由于船速v '与径向速度之间夹角位θ ,所以 1-4 在离水面高h 米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸S 处,如题1-4图所示.当人以0v (m ·1-s )的速率收绳时,试求船运动的速度与加速度的大小. 图1-4 解: 设人到船之间绳的长度为l ,此时绳与水面成θ角,由图可知 2 22s h l += 将上式对时间t 求导,得 t s s t l l d d 2d d 2= 题1-4图 根据速度的定义,并注意到l ,s 就是随t 减少的, ∴ t s v v t l v d d ,d d 0-==-=船绳 即 θ cos d d d d 00v v s l t l s l t s v ==-=-=船 或 s v s h s lv v 02/1220)(+==船 将船v 再对t 求导,即得船的加速度 1-6 已知一质点作直线运动,其加速度为 a =4+3t 2s m -?,开始运动时,x =5 m,v =0, 求该质点在t =10s 时的速度与位置. 解:∵ t t v a 34d d +== 分离变量,得 t t v d )34(d += 积分,得 122 34c t t v ++= 由题知,0=t ,00=v ,∴01=c 故 22 34t t v += 又因为 22 34d d t t t x v +== 分离变量, t t t x d )2 34(d 2+= 积分得 2322 12c t t x ++= 由题知 0=t ,50=x ,∴52=c 故 52 1232++=t t x 所以s 10=t 时 m 7055102 1102s m 190102310432101 210=+?+?=?=?+?=-x v 1-10 以初速度0v =201s m -?抛出一小球,抛出方向与水平面成幔 60°的夹角, 求:(1)球轨道最高点的曲率半径1R ;(2)落地处的曲率半径2R . 作业 1-1填空题 (1) 一质点,以1-?s m π的匀速率作半径为5m 的圆周运动,则该质点在5s 内,位移的大 小是 ;经过的路程 是 。 [答案: 10m ; 5πm] (2) 一质点沿x 方向运动,其加速度随时间 的变化关系为a=3+2t (SI),如果初始时刻 质点的速度v 0为5m 2s -1,则当t 为3s 时, 质点的速度v= 。 [答案: 23m 2s -1 ] 1-2选择题 (1) 一质点作直线运动,某时刻的瞬时 速度s m v /2=,瞬时加速度2/2s m a -=,则 一秒钟后质点的速度 (A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。 [答案:D] (2) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运 动,每t 秒转一圈,在2t 时间间隔中,其 平均速度大小和平均速率大小分别为 (A)t R t R ππ2,2 (B) t R π2,0 (C) 0,0 (D) 0,2t R π [答案:B] (3)一运动质点在某瞬时位于矢径) ,(y x r 的端点处,其速度大小为 (A)dt dr (B)dt r d (C)dt r d || (D) 22)()(dt dy dt dx + [答案:D] 1-4 下面几个质点运动学方程,哪个是匀变速直线运动? (1)x=4t-3;(2)x=-4t 3+3t 2+6;(3) x=-2t 2+8t+4;(4)x=2/t 2-4/t 。 给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的 速度和加速度,并说明该时刻运动是加速 的还是减速的。(x 单位为m ,t 单位为s ) 解:匀变速直线运动即加速度为不等于 习题八 8-1 电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问:(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以A处点电荷为研究对象,由力平衡知:q'为负电荷 2 2 2 0) 3 3 ( π4 1 30 cos π4 1 2 a q q a q' = ? ε ε 解得q q 3 3 - =' (2)与三角形边长无关. 题8-1图题8-2图 8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环,电荷线密度为λ,求环心处O点的场强. 解: 如8-7图在圆上取? Rd dl= 题8-7图 ? λ λd d d R l q= =,它在O点产生场强大小为 2 0π4d d R R E ε? λ= 方向沿半径向外 则 ??ελ ?d sin π4sin d d 0R E E x = = ??ελ ?πd cos π4)cos(d d 0R E E y -= -= 积分R R E x 000 π2d sin π4ελ ??ελπ == ? 0d cos π400 =-=? ??ελ π R E y ∴ R E E x 0π2ελ = =,方向沿x 轴正向. 8-11 半径为1R 和2R (2R >1R )的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r <1R ;(2) 1R <r <2R ;(3) r >2R 处各点的场强. 解: 高斯定理0 d ε∑? = ?q S E s 取同轴圆柱形高斯面,侧面积rl S π2= 则 rl E S E S π2d =?? 对(1) 1R r < 0,0==∑E q (2) 21R r R << λl q =∑ ∴ r E 0π2ελ = 沿径向向外 题1.1:已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为3322)s m 2()s m 6(m 2t t x --?-?+= 。求(l )质点在运动开始后s 0.4内位移的大小;(2)质点在该时间内所通过的路程。 题1.1解:(1)质点在4.0 s 内位移的大小 m 3204-=-=?x x x (2)由 0)s m 6()s m 12(d d 232=?-?=--t t t x 得知质点的换向时刻为 s2=P t (t = 0不合题意) 则:m 0.8021=-=?x x x m 40x 242-=-=?x x 所以,质点在4.0 s 时间间隔内的路程为 m 4821=?+?=x x s 题1.2:一质点沿x 轴方向作直线运动,其速度与时间的关系如图所示。设0=t 时,0=x 。试根据已知的图t v -,画出t a -图以及t x -图。 题1.2解:将曲线分为AB 、BC 、CD 三个过程,它们对应的加速度值分别为 2A B A B AB s m 20-?=--=t t v v a (匀加速直线运动) 0BC =a (匀速直线) 2C D C D CD s m 10-?-=--= t t v v a (匀减速直线运动) 根据上述结果即可作出质点的a -t 图 在匀变速直线运动中,有 2002 1at t v x x + += 间内,质点是作v = 201s m -?的匀速直线运动,其x -t 图是斜率k = 20的一段直线。 题1.3:如图所示,湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h ,滑轮到原船位置的绳长为0l ,试求:当人以匀速v 拉绳,船运动的速度v '为多少? 第1章 质点运动学 P21 1.8 一质点在xOy 平面上运动,运动方程为:x =3t +5, y = 2 1t 2 +3t -4. 式中t 以 s 计,x ,y 以m 计。⑴以时间t 为变量,写出质点位置矢量的表示式;⑵求出t =1 s 时刻和t =2s 时刻的位置矢量,计算这1秒内质点的位移;⑶ 计算t =0 s 时刻到t =4s 时刻内的平均速度;⑷求出质点速度矢量表示式,计算t =4 s 时质点的速度;(5)计算t =0s 到t =4s 内质点的平均加速度;(6)求出质点加速度矢量的表示式,计算t =4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)。 解:(1)j t t i t r )432 1()53(2-+++=m ⑵ 1=t s,2=t s 时,j i r 5.081-= m ;2114r i j =+m ∴ 213 4.5r r r i j ?=-=+m ⑶0t =s 时,054r i j =-;4t =s 时,41716r i j =+ ∴ 140122035m s 404 r r r i j i j t --?+= ===+??-v ⑷ 1d 3(3)m s d r i t j t -==++?v ,则:437i j =+v 1s m -? (5) 0t =s 时,033i j =+v ;4t =s 时,437i j =+v 24041 m s 44 j a j t --?= ===??v v v (6) 2d 1 m s d a j t -==?v 这说明该点只有y 方向的加速度,且为恒量。 1.9 质点沿x 轴运动,其加速度和位置的关系为2 26a x =+,a 的单位为m/s 2, x 的单位为m 。质点在x =0处,速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。 解:由d d d d d d d d x a t x t x ===v v v v 得:2 d d (26)d a x x x ==+v v 两边积分 210 d (26)d x x x =+? ?v v v 得:2322 250x x =++v ∴ 1m s -=?v 1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动,运动方程为θ=2+33t ,式中θ以弧度计,t 以秒计,求:⑴ t =2 s 时,质点的切向和法向加速度;⑵当加速度 的方向和半径成45°角时,其角位移是多少? 解: t t t t 18d d ,9d d 2==== ωβθω ⑴ s 2=t 时,2 s m 362181-?=??==βτR a 2 222s m 1296)29(1-?=??==ωR a n ⑵ 当加速度方向与半径成ο45角时,有:tan 451n a a τ?== 即:βωR R =2 ,亦即t t 18)9(2 2=,解得:9 23= t 则角位移为:32 2323 2.67rad 9 t θ=+=+? = 1.13 一质点在半径为0.4m 的圆形轨道上自静止开始作匀角加速度转动,其角加速度为α=0.2 rad/s 2,求t =2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度。 解:s 2=t 时,4.022.0=?== t αω 1s rad -? 则0.40.40.16R ω==?=v 1s m -? 064.0)4.0(4.022=?==ωR a n 2 s m -? 0.4 0.20.0a R τα==?=2s m -? 22222 s m 102.0)08.0()064.0(-?=+=+= τa a a n 与切向夹角arctan()0.06443n a a τ?==≈? 1 习题解答 习题一 1-1 |r ?|与r ? 有无不同? t d d r 和 t d d r 有无不同? t d d v 和 t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明. 解:(1) r ?是位移的模,? r 是位矢的模的增量,即r ?1 2r r -=,1 2r r r -=?; (2) t d d r 是速度的模,即 t d d r = =v t s d d .t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =(式中r ?叫做单位矢),则t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中t r d d 就是速度径向上的分量, ∴ t r t d d d d 与 r 不同如题1-1图所示 . 题1-1图 (3) t d d v 表示加速度的模,即t v a d d = , t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢) ,所以 t v t v t v d d d d d d ττ += 式中dt dv 就是加速度的切向分量. (t t r d ?d d ?d τ 与的运算较复杂,超出教材规定,故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t ),y = y (t ),在计算质点的速度和加速度时,有人先求出r =2 2y x +,然后根据v = t r d d ,及a = 2 2d d t r 而求得结果;又有人先计算速度和加速度的分量,再合成求得结果,即 v = 2 2d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 及a = 2 22222d d d d ??? ? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在? 解:后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量,在平面直角坐标系中,有j y i x r +=, j t y i t x t r a j t y i t x t r v 222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为 第1章 质点运动学 习 题 一 选择题 1-1 对质点的运动,有以下几种表述,正确的是[ ] (A)在直线运动中,质点的加速度和速度的方向相同 (B)在某一过程中平均加速度不为零,则平均速度也不可能为零 (C)若某质点加速度的大小和方向不变,其速度的大小和方向可不断变化 (D)在直线运动中,加速度不断减小,则速度也不断减小 解析:速度是描述质点运动的方向和快慢的物理量,加速度是描述质点运动速度变化的物理量,两者没有确定的对应关系,故答案选C 。 1-2 某质点的运动方程为)(12323m t t x +-=,则该质点作[ ] (A)匀加速直线运动,加速度沿ox 轴正向 (B)匀加速直线运动,加速度沿ox 轴负向 (C)变加速直线运动,加速度沿ox 轴正向 (D)变加速直线运动,加速度沿ox 轴负向 解析:229dx v t dt = =-,18dv a t dt ==-,故答案选D 。 1-3 一质点在平面上作一般曲线运动,其瞬时速度为v ,瞬时速率为v ,某一段时间内的平均速率为v ,平均速度为v ,他们之间的关系必定有[ ] (A)v =v ,v =v (B)v ≠v ,v =v (C)v ≠v ,v ≠v (D)v =v ,v ≠v 解析:瞬时速度的大小即瞬时速率,故v =v ;平均速率s v t ?=?,而平均速度t ??r v = ,故v ≠v 。答案选D 。 1-4 质点作圆周运动时,下列表述中正确的是[ ] (A)速度方向一定指向切向,所以法向加速度也一定为零 (B)法向分速度为零,所以法向加速度也一定为零 (C)必有加速度,但法向加速度可以为零 (D)法向加速度一定不为零 解析:质点作圆周运动时,2 n t v dv a a dt ρ =+=+ n t n t a e e e e ,所以法向加速度一定不为零,答案选D 。 1-5 某物体的运动规律为 2dv kv t dt =-,式中,k 为大于零的常量。当0t =时,初速为0v ,则速率v 与时间t 的函数关系为[ ] (A)2012v kt v =+ (B)2011 2kt v v =+ (C)2012v kt v =-+ (D)2011 2kt v v =-+ 解析:由于2dv kv t dt =-,所以 02 0()v t v dv kv t dt =-? ? ,得到20 11 2kt v v =+,故答案选B 。 二 填空题 1-6 已知质点位置矢量随时间变化的函数关系为2=4t +( 2t+3)r i j ,则从0t =到1t s =时的位移为 ,1t s =时的加速度为 。 解析:45342=-=+-=+1010r r r i j j i j ,228d d dt dt = ==111v r a i 1-7 一质点以初速0v 和抛射角0θ作斜抛运动,则到达最高处的速度大小为 ,切向加速度大小为 ,法向加速度大小为 ,合加速度大小为 。 解析:以初速0v 、抛射角0θ作斜抛的运动方程: 习题1 1.1选择题 (1) 一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r 的端点处,其速度大小为 (A)dt dr (B)dt r d (C)dt r d | | (D) 22)()(dt dy dt dx + [答案:D] (2) 一质点作直线运动,某时刻的瞬时速度s m v /2=,瞬时加速度2 /2s m a -=,则 一秒钟后质点的速度 (A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。 [答案:D] (3) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动,每t 秒转一圈,在2t 时间间隔中,其平均速度大小和平均速率大小分别为 (A) t R t R ππ2, 2 (B) t R π2,0 (C) 0,0 (D) 0,2t R π [答案:B] 1.2填空题 (1) 一质点,以1 -?s m π的匀速率作半径为5m 的圆周运动,则该质点在5s 内,位移的大小是 ;经过的路程是 。 [答案: 10m ; 5πm] (2) 一质点沿x 方向运动,其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI),如果初始时刻质点的 速度v 0为5m ·s -1 ,则当t 为3s 时,质点的速度v= 。 [答案: 23m ·s -1 ] (3) 轮船在水上以相对于水的速度1V 航行,水流速度为2V ,一人相对于甲板以速度3V 行走。如人相对于岸静止,则1V 、2V 和3V 的关系是 。 [答案: 0321=++V V V ] 1.3 一个物体能否被看作质点,你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定: (1) 物体的大小和形状; (2) 物体的内部结构; (3) 所研究问题的性质。 解:只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响,因此主要由所研究问题的性质决定。 1.4 下面几个质点运动学方程,哪个是匀变速直线运动? (1)x=4t-3;(2)x=-4t 3+3t 2+6;(3)x=-2t 2+8t+4;(4)x=2/t 2 -4/t 。 给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的速度和加速度,并说明该时刻运动是加速的还是减速的。(x 单位为m ,t 单位为s ) 解:匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得(3)为匀变速直线运动。 其速度和加速度表达式分别为 2 2484 dx v t dt d x a dt = =+== t=3s 时的速度和加速度分别为v =20m/s ,a =4m/s 2 。因加速度为正所以是加速的。 1.5 在以下几种运动中,质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零? (1) 匀速直线运动;(2) 匀速曲线运动;(3) 变速直线运动;(4) 变速曲线运动。 解:(1) 质点作匀速直线运动时,其切向加速度、法向加速度及加速度均为零; (2) 质点作匀速曲线运动时,其切向加速度为零,法向加速度和加速度均不为零; (3) 质点作变速直线运动时,其法向加速度为零,切向加速度和加速度均不为零; (4) 质点作变速曲线运动时,其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。 1.6 |r ?|与r ? 有无不同?t d d r 和d d r t 有无不同? t d d v 和t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明. 解:(1)r ?是位移的模,?r 是位矢的模的增量,即r ?12r r -=,12r r r -=?; (2) t d d r 是速度的模,即t d d r ==v t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =(式中r ?叫做单位矢),则 t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中 t r d d 就是速度在径向上的分量, 《大学物理学》课后习题参考答案 习 题1 1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 )ωt sin ωt (cos j i +=R r 其中ω为常量.求:(1)质点的轨道;(2)速度和速率。 解:1) 由)ωt sin ωt (cos j i +=R r 知 t cos R x ω= t sin R y ω= 消去t 可得轨道方程 222R y x =+ 2) j r v t Rcos sin ωωt ωR ωdt d +-== i R ωt ωR ωt ωR ωv =+-=2 122 ])cos ()sin [( 1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r )t 23(t 42++=,式中r 的单位为m ,t 的单位为s .求: (1)质点的轨道;(2)从0=t 到1=t 秒的位移;(3)0=t 和1=t 秒两时刻的速度。 解:1)由j i r )t 23(t 42++=可知 2t 4x = t 23y += 消去t 得轨道方程为:2)3y (x -= 2)j i r v 2t 8dt d +== j i j i v r 24)dt 2t 8(dt 1 1 +=+==??Δ 3) j v 2(0)= j i v 28(1)+= 1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r t t 22+=,式中r 的单位为m ,t 的单 位为s .求:(1)任一时刻的速度和加速度;(2)任一时刻的切向加速度和法向加速度。 解:1)j i r v 2t 2dt d +== i v a 2dt d == 2)21 22 12)1t (2] 4)t 2[(v +=+= 1 t t 2dt dv a 2 t +== n a == 1-4. 一升降机以加速度a 上升,在上升过程中有一螺钉从天花板上松落,升降机的天花板与底板相距为d ,求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。 解:以地面为参照系,坐标如图,升降机与螺丝的运动方程分别为 2012 1 at t v y += (1) 图 1-4 2022 1 gt t v h y -+= (2) 21y y = (3) 解之 t = 1-5. 一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出,求: (1)小球的运动方程; (2)小球在落地之前的轨迹方程; (3)落地前瞬时小球的t d d r ,t d d v ,t v d d . 解:(1) t v x 0= 式(1) 2gt 2 1 h y -= 式(2) j i r )gt 2 1 -h (t v (t)20+= (2)联立式(1)、式(2)得 2 02 v 2gx h y -= (3) j i r gt -v t d d 0= 而 落地所用时间 g h 2t = 大学物理学习题答案 习题一答案 习题一 1.1 简要回答下列问题: (1) 位移和路程有何区别?在什么情况下二者的量值相等?在什么情况下二者的量值不相等? (2) 平均速度和平均速率有何区别?在什么情况下二者的量值相等? (3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么?瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什么? (4) 质点的位矢方向不变,它是否一定做直线运动?质点做直线运动,其位矢的方向是否一定保持不变? (5) r ?v 和r ?v 有区别吗?v ?v 和v ?v 有区别吗?0dv dt =v 和0d v dt =v 各代表什么运动? (6) 设质点的运动方程为:()x x t = ,()y y t =,在计算质点的速度和加速度时,有人先求出 r = dr v dt = 及 22d r a dt = 而求得结果;又有人先计算速度和加速度的分量,再合成求得结果,即 v = 及 a = 你认为两种方法哪一种正确?两者区别何在? (7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的,那么,该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性 的? (8) “物体做曲线运动时,速度方向一定在运动轨道的切线方向,法向分速度恒为零,因此其法向加速度 也一定为零.”这种说法正确吗? (9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧,为什么? (10) 质点沿圆周运动,且速率随时间均匀增大,n a 、t a 、a 三者的大小是否随时间改变? (11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子,此石子能否落回他的手中?如果石子抛出后,火车以恒定加速度前进,结果又如何? 1.2 一质点沿x 轴运动,坐标与时间的变化关系为224t t x -=,式中t x ,分别以m 、s 为单位,试计算:(1)在最初s 2内的位移、平均速度和s 2末的瞬时速度;(2)s 1末到s 3末的平均加速度;(3)s 3末的瞬时加速度。 解: (1) 最初s 2内的位移为为: (2)(0)000(/)x x x m s ?=-=-= 最初s 2内的平均速度为: 0(/)2 ave x v m s t ?= ==? 大学物理学下册 吴柳 第12章 12.1 一个封闭的立方体形的容器,内部空间被一导热的、不漏气的、可移动的隔板分为两部分,开始其内为真空,隔板位于容器的正中间(即隔板两侧的长度都为l 0),如图12-30所示.当两侧各充以p 1,T 1与 p 2,T 2的相同气体后, 长度之比是多少)? 解: 活塞两侧气体的始末状态满足各自的理想气体状态方程 左侧: T pV T V p 111= 得, T pT V p V 1 11= 右侧: T pV T V p 222= 得, T pT V p V 2 22= 122121T p T p V V = 即隔板两侧的长度之比 1 22121T p T p l l = 12.2 已知容器内有某种理想气体,其温度和压强分别为T =273K,p =1.0×10-2 atm ,密度32kg/m 1024.1-?=ρ.求该气体的摩尔质量. 解: nkT p = (1) nm =ρ (2) A mN M = (3) 由以上三式联立得: 1235 2232028.010022.610 013.1100.12731038.11024.1----?=?????????==mol kg N p kT M A ρ 12.3 可用下述方法测定气体的摩尔质量:容积为V 的容器内装满被试验的气体,测出其压力为p 1,温度为T ,并测出容器连同气体的质量为M 1,然后除去一部分气体,使其压力降为p 2,温度不变,容器连同气体的质量为M 2,试求该气体的摩尔质量. 解: () V V -2 2p T )(21M M - V 1p T 1M V 2p T 2M 221V p V p = (1) ( )()RT M M M V V p 21 22-=- (2) 习 题 题10.1:如图所示,两根长直导线互相平行地放置,导线内电流大小相等,均为I = 10 A ,方向 相同,如图所示,求图中M 、N 两点的磁感强度B 的大小和方向(图中r 0 = 0.020 m )。 题10.2:已知地球北极地磁场磁感强度B 的大小为6.0?10-5 T 。如设想此地磁场是由地球赤道上 一圆电流所激发的(如图所示),此电流有多大?流向如何? 题10.3:如图所示,载流导线在平面内分布,电流为I ,它在点O 的磁感强度为多少? 题10.4:如图所示,半径为R 的木球上绕有密集的细导线,线圈平面彼此平行,且以单层线圈 覆盖住半个球面,设线圈的总匝数为N ,通过线圈的电流为I ,求球心O 处的磁感强度。 题10.5:实验中常用所谓的亥姆霍兹线圈在局 部区域内获得一近似均匀的磁场,其装置简图如图所示,一对完全相同、彼此平行的线圈,它们的半径均为R ,通过的电流均为I ,且两线圈中电流的流向相同,试证:当两线圈中心之间的距离d 等于线圈的半径R 时,在两线圈中心连线的中点附近区域,磁场可看成是均匀磁场。(提示:如以两线圈中心为坐标原点O ,两线圈中心连线为x 轴,则中点附近的磁场可 看成是均匀磁场的条件为x B d d = 0;0d d 22=x B ) 题10.6:如图所示,载流长直导线的电流为I,试求通过矩形面积的磁通量。 题10.7:如图所示,在磁感强度为B的均匀磁场中,有一半径为R的半球面,B与半球面轴线的夹角为 ,求通过该半球面的磁通量。 题10.8:已知10 mm2裸铜线允许通过50 A电流而不会使导线过热。电流在导线横截面上均匀分布。求:(1)导线内、外磁感强度的分布;(2)导线表面的磁感强度。 题10.9:有一同轴电缆,其尺寸如图所示,两导体中的电流均为I,但电流的流向相反,导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感强度:(1)r 第一章质点运动学 1、(习题1.1):一质点在xOy 平面内运动,运动函数为2 x =2t,y =4t 8-。(1)求质点的轨道方程;(2)求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。 解:(1)由x=2t 得, y=4t 2-8 可得: y=x 2 -8 即轨道曲线 (2)质点的位置 : 2 2(48)r ti t j =+-r r r 由d /d v r t =r r 则速度: 28v i tj =+r r r 由d /d a v t =r r 则加速度: 8a j =r r 则当t=1s 时,有 24,28,8r i j v i j a j =-=+=r r r r r r r r 当t=2s 时,有 48,216,8r i j v i j a j =+=+=r r r r r r r r 2、(习题1.2): 质点沿x 在轴正向运动,加速度kv a -=,k 为常数.设从原点出发时速 度为0v ,求运动方程)(t x x =. 解: kv dt dv -= ??-=t v v kdt dv v 001 t k e v v -=0 t k e v dt dx -=0 dt e v dx t k t x -?? =0 00 )1(0 t k e k v x --= 3、一质点沿x 轴运动,其加速度为a = 4t (SI),已知t = 0时,质点位于x 0=10 m 处,初速度v 0 = 0.试求其位置和时间的关系式. 解: =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ? ?=v v 0 d 4d t t t v 2=t 2 v d =x /d t 2=t 2 t t x t x x d 2d 0 20 ?? = x 2= t 3 /3+10 (SI) 4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出,求: (1)小球的运动方程; (2)小球在落地之前的轨迹方程; (3)落地前瞬时小球的d d r t v ,d d v t v ,t v d d . 解:(1) t v x 0= 式(1) 2gt 21h y -= 式(2) 201()(h -)2 r t v t i gt j =+v v v (2)联立式(1)、式(2)得 2 2 v 2gx h y -= (3)0d -gt d r v i j t =v v v 而落地所用时间 g h 2t = 所以 0d d r v i j t =v v d d v g j t =-v v 2 202y 2x )gt (v v v v -+=+= 21 20 212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+= 大学物理上册答案详解 习题解答 习题一 1-1 |r ?|与r ? 有无不同? t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明. 解:(1)r ?是位移的模,?r 是位矢的模的增量,即r ?12r r -=, 12r r r -=?; (2) t d d r 是速度的模,即t d d r ==v t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =(式中r ?叫做单位矢),则 t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中 t r d d 就是速度径向上的分量, ∴ t r t d d d d 与r 不同如题1-1图所示. 题1-1图 (3)t d d v 表示加速度的模,即t v a d d =,t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢),所以 t v t v t v d d d d d d ττ += 式中 dt dv 就是加速度的切向分量. (t t r d ?d d ?d τ 与的运算较复杂,超出教材规定,故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t ),y =y (t ),在计算质点的速度和加 速度时,有人先求出r =2 2 y x +,然后根据v =t r d d ,及a =22d d t r 而求 得结果;又有人 v =2 2 d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 及a = 2 222 22d d d d ??? ? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在? 解:后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量,在平面直角坐标 系中,有j y i x r +=, j t y i t x t r a j t y i t x t r v 22 2222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为 2 222 22222 2 2 2d d d d d d d d ? ?? ? ??+???? ??=+=? ? ? ??+??? ??=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y x 而前一种方法的错误可能有两点,其一是概念上的错误,即误把速度、加速度定义作 22d d d d t r a t r v == 其二,可能是将22d d d d t r t r 与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明 t r d d 不是速度的模,而只是速度在径向上的分量,同样,22d d t r 也不是加速 习题9 9.1选择题 (1)正方形的两对角线处各放置电荷Q,另两对角线各放置电荷q,若Q所受到合力为零, 则Q与q的关系为:() (A)Q=-23/2q (B) Q=23/2q (C) Q=-2q (D) Q=2q [答案:A] (2)下面说法正确的是:() (A)若高斯面上的电场强度处处为零,则该面内必定没有净电荷; (B)若高斯面内没有电荷,则该面上的电场强度必定处处为零; (C)若高斯面上的电场强度处处不为零,则该面内必定有电荷; (D)若高斯面内有电荷,则该面上的电场强度必定处处不为零。 [答案:A] (3)一半径为R的导体球表面的面点荷密度为σ,则在距球面R处的电场强度() (A)σ/ε0 (B)σ/2ε0 (C)σ/4ε0 (D)σ/8ε0 [答案:C] (4)在电场中的导体内部的() (A)电场和电势均为零;(B)电场不为零,电势均为零; (C)电势和表面电势相等;(D)电势低于表面电势。 [答案:C] 9.2填空题 (1)在静电场中,电势梯度不变的区域,电场强度必定为。 [答案:零] (2)一个点电荷q放在立方体中心,则穿过某一表面的电通量为,若将点电荷由中 心向外移动至无限远,则总通量将。 [答案:q/6ε0, 将为零] (3)电介质在电容器中作用(a)——(b)——。 [答案:(a)提高电容器的容量;(b) 延长电容器的使用寿命] (4)电量Q均匀分布在半径为R的球体内,则球内球外的静电能之比。 [答案:1:5] 9.3 电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问:(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题9.3图示 (1) 以A处点电荷为研究对象,由力平衡知:q 为负电荷 习题11 11-1.直角三角形ABC的A点上,有电荷C 10 8.19 1 - ? = q,B点上有电荷 C 10 8.49 2 - ? - = q,试求C点的电场强度(设0.04m BC=,0.03m AC=)。 解:1q在C点产生的场强: 1 12 4 AC q E i r πε = , 2 q在C点产生的场强: 2 22 4 BC q E j r πε = , ∴C点的电场强度:44 12 2.710 1.810 E E E i j =+=?+?; C点的合场强:224 12 3.2410V E E E m =+=?, 方向如图: 1.8 arctan33.73342' 2.7 α=== 。 11-2.用细的塑料棒弯成半径为cm 50的圆环,两端间空隙为cm 2,电 量为C 10 12 .39- ?的正电荷均匀分布在棒上,求圆心处电场强度的大小 和方向。 解:∵棒长为2 3.12 l r d m π =-=, ∴电荷线密度:91 1.010 q C m l λ-- ==?? 可利用补偿法,若有一均匀带电闭合线圈,则圆心处的合场强为 0,有一段空隙,则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去m d02 .0 = 长的带电棒在该点产生的场强,即所求问题转化为求缺口处带负电荷 的塑料棒在O点产生的场强。 解法1:利用微元积分: 2 1 cos 4 O x Rd dE R λθ θ πε =? , ∴2 000 cos2sin2 444 O d E d R R R α α λλλ θθαα πεπεπε - ==?≈?= ?1 0.72V m- =?; 解法2:直接利用点电荷场强公式: 由于d r <<,该小段可看成点电荷:11 2.010 q d C λ- '==?, 则圆心处场强: 11 91 22 2.010 9.0100.72 4(0.5) O q E V m R πε - - '? ==??=? 。 方向由圆心指向缝隙处。 11-3.将一“无限长”带电细线弯成图示形状,设电荷均匀分布,电 荷线密度为λ,四分之一圆弧AB的半径为R,试求圆 α j i 2cm O R x α α大学物理学下册答案第11章
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