泛函分析第6章 广义函数与Sobolev空间简介
第六章 广义函数与Sobolev 空间简介
函数是经典分析中的基本概念之一，然而这样的一个基本概念，在近代科学技术的发展中逐渐不够用了。下面用几个例子加以说明。
例6.1（脉冲） 20世纪初，Heaviside 在解电路方程时，提出了一种运算方法，称之为算子演算。这套算法要求对如下函数
10()0
x h x x ?≥?
=?
求导数，并把导数记为()x δ。但按照经典分析的理论，()h x 并不可导，因此()x δ不可能是普通意义下的函数，它除了作为一个记号进行形式演算外，在数学上是没有意义的。但是，这个()x δ在实际中是没有意义的，又代表一种理想化的“瞬时”单位脉冲。
例6.2（Dirac 符号） 在微观世界中，把可观测到物质的状态用波函数来描述，最简单的波函数具有形式((,))i x e x λ∈-∞+∞，λ是实参数，并考虑如下形式的积分
12i x
e
dx λπ
+∞-∞
?
这种积分按Cauchy 积分来定义，即
11
1sin lim
lim
22n i x
i x
n
n n n e
dx e
dx λλλ
π
π
πλ
+∞+-∞
-→∞
→∞
==?
?
显然，这个极限在普通意义下不存在。然而，物理学家认为这个极限是前面所提到的
()x δ，并认为是Dirac 符号。特别，在量子力学中，进一步发展了不少关于()x δ的运算法
则，并广泛地使用。
例 6.3（广义微分） 在数学本身的发展中，也时常要求冲破经典分析中对一些基本运算使用范围所加的限制。20世纪30年代，Sobolev 为了确定微分方程的存在性和惟一性问题，通过分部积分公式，推广了函数可微性的概念，建立了广义微商理论，形成了以他的名字命名的Sobolev 空间理论。这标志着现代微分方程理论的诞生。
基于上述原因，扩充函数概念，为广义函数寻找坚实的数学基础，对数学家提出了新的挑战。20世纪40年代，Schwartz 完成了这一艰巨的任务，创立了广义函数的系统理论，并因此于1950年获得数学最高奖——菲尔兹奖。
6.1 基本函数空间与广义函数
6.1.1基本函数空间
把普通函数视为某类函数空间上的线性泛函是推广函数概念的一条行之有效的途径。广义函数正是定义在一类性质很好的函数空间上的线性泛函。这类函数空间称为基本函数空间。
在引进基本函数空间之前，先介绍一些记号和术语。 对于欧氏空间12,(,,,)n
n R x x x x = 表示n R 中的点，范数12222
12
()n x x x x =+++ 。设
12,,,n
p p p 为n 个非负整数，有序数组12(,,,)n p p p p = 称为多重指标。
12n p p p p =+++ 。对于多重指标p ，引进偏微分算子
1212n
p
p
p
p
n p D
x x x ?=
???
n
R Ω?是非空开集，Ω是Ω的闭包。()C Ω表示在Ω上定义的连续函数全体组成的线性空
间。对于任何非负整数k ，()k C Ω表示全体在Ω内由k 次连续可微的偏导数，且在Ω上的连续的函数组成的线性空间，特别0()()C C Ω=Ω。设?的支集是集合
{:()0}x x ?∈Ω≠
在Ω内的闭包，并记为sup {:()0}p x x ??=∈Ω≠。
0()
k
C Ω表示()k C Ω中满足支集是Ω内紧集（有界集）的所有函数组成的空间，
000
()()k
k C C ∞
∞=Ω=
Ω
，即表示支集是Ω
内紧集的无穷次可微函数全体。显然，下面的包含关
系成立
1
00
00()()()()
k k
C C C C ∞
+Ω??Ω?Ω??Ω
例6.4 设n R 上定义的函数为
2
111()01
x
n
C e x j x x --??<=??≥?
这里n C 是依赖于维数n 的常数，即
n C ＝21
1
11x
x e
dx ---≤?? ? ???
?
那么()j x 是无穷次连续可微的，且{}sup :1n pj x R x ?∈≤，()1n
R
j x dx =?
，因此
0()()n
j x C R ∞
∈。从()
j x 出发，我们可以构造出许多0()n C R ∞中的函数。下面我们来构造对
任何非空开集Ω，0()C ∞Ω中的函数。为此，对任意0δ>，记
1
()(
)
n
x
j x j δδ
δ
=
，那么0()n j C R δ∞∈
【定理6.1】 设()x μ是Ω上定义的一个可积函数，并且在Ω的一个紧集K 外恒为零，
则当0δ>充分小时，可积函数
()()()x y j x y dy δδμμΩ
=-?
是0()C ∞Ω中的函数。
证明：记{}:(,)n K x R dist x K δδ=∈≤，这里(,)dist x K 表示x 到K 的距离，当δ充分小时，K δ?Ω，当x K δ?时，对一切y K ∈均有x y δ->，于是
()0j x y δ-=。
()()()()()0K
x y j x y dy y j x y dy δδδμμμΩ
=
-=
-=?
?
因此sup p K δδμ?，而
[]10
1
10
1
1
lim
()()()lim
()()h h j x he y j x y y dy
x h
j x he y y dy
x δ
δδδμμθμΩ
→Ω
→?=+-
--??
=+-??
?
上式利用了微分中值定理，1(0,1),(1,0,,0)n e R θ∈=∈ ，又j δ是连续可微函数，因此存在0M >使
1
()()n
j x M
x R x δ?≤?∈?
应用Lebesgue 控制收敛定理，得
10
1
1
1
lim ()()()()h j x he y y dy
x x j x y y dy
x δδδμθμμΩ
→Ω
??
=+-???
=
-??
?
由于0()n j C R δ∞∈，对任何多重指标12(,,,)n p p p p = 重复上述过程，可得到 ()()p p
D D j x y y dy δδμμΩ
=-?
于是0()C δμ∞∈Ω。
下面我们在0()C ∞Ω上引进收敛的概念。
【定义6.1】 设{}0()i C ?∞?Ω，0()C ?∞∈Ω，如果满足下列条件： （1） 存在一个紧集K ?Ω，使得 s u p ()(
1,2,
),
s u p
(
j p K
j p K ???=?
（2） 对于任意多重指标12(,,,)n p p p p = ，函数列{}p j D ?在K 上一致收敛 于p D ?，即
m ax ()()0()p p j x K
D x D x j ??∈-→→∞
则称{}i ?收敛于?，记为D j ????→，而称0()C ∞Ω按照收敛概念及线性运算为基本函数空间，并记为()D Ω，在Ω明确时，可简写为D 。
根据D 中收敛概念的定义，容易证明： （1） 设{}j ?，{}j
D ψ
?；?，ψ
D
∈，如果
,D D
j j ??ψψ??→??→
则对任何数,αβ有
D
j j α?βψα?βψ+??→+ 这说明D 中的线性运算关于收敛概念是连续的。
（2） 对任一多重指标p ，:p D D D →这一线性映射是连续的，即 {},j D D ???∈
则若 D
j ????→ 那么 D
p p
j D D ????→。 【定义6.2】 称{}i D ??为Cauchy 列，如果满足： （1） 存在紧集K 使()()sup 1,2,;i p K j ??=
（2） 对0ε?>，及多重指标p ，存在自然数N ，使当12,j j N ≥时，有 ()()1
2
m ax p p j j x K
D x D x ??ε∈-<
【定理6.2】D 是完备的，即若{}i D ??是任意一个Cauchy 列，则存在D ?∈，
使得D
j ????→。 证明留作习题。
6.1.2 广义函数的基本概念
【定义6.3】D 上的一切线性连续泛函，称为广义函数，即D 上的广义函数满足 （1） 线性：对任何数,αβ及12,D ??∈有 ()
()()1212f f f α?β?α?β?
+=+ （2） 连续：设{},j D D ???∈，若D j ????→，则有 ()()()j j f f j ??→→∞ 一切广义函数所组成的集合，记作'D 。
例6.5 δ函数，设n R Ω?是非空开集，a ∈Ω，对于任意D ?∈，定义 ()()a a δ??= 则a δ是广义函数。
证明：显然a δ是D 上的线性泛函。设{},j D D ???∈，若D
j ????→，则更有 ()()()0j a a j ??-→→∞
从而
()()
()()()0a j a j a a j δ?δ???
-=-
→→∞
即a δ在D 上是连续的，所以a δ是一个广义函数，称a δ为集中在点a 的Dirac 广义函数，简称为δ函数。特别，当()()0,0,,0n a R θ== 中零元素时，θδ记为δ。
例6.6 设R n Ω?是非空开集，()f x 是Ω上定义的一个局部可积函数，即 对于Ω的任何紧子集K ，积分
()K
f
x d x <+∞?
通过局部可积函数f 定义D 上的泛函 ()()()*f f x x d
x ??Ω
=?
（6.1） 则*f 是广义函数。
证明：由于()f x 是局部可积的，那么对任何D ?∈，()()f x x ?在()sup p ?上可积，
从而由式（6.1）定义的积分有意义。根据式（6.1），显然*f 是线性的。设{},j D D ???∈，且D j ????→，于是存在紧集K 使()sup j p K ??，()sup K p ??，且j ?在K 上一致收敛于
?。取常数0M >，使()sup j x K
x M ?∈≤，那么由Lebesgue 控制收敛定理，有
()()()()()()()()()()
*
j
j j K K f
f
x x dx f x x dx f x x dx
f
x x dx j ?????Ω
Ω
==→=→
∞?
???
即
()()()**j f f j ??→→∞ 这说明*f 连续，因此*f 是D 上的广义函数。
记()LOC L Ω为Ω上全体局部可积函数组成的集合，通过例6知道，每个f ∈()LOC L Ω都对应一个广义函数*f ，称这样的*f 为函数型广义函数。
【定理6.3】 映射()':LOC T L D Ω→定义为
()*
T f f =
则T 是一对一线性映射。
由于证明较繁琐，这里略去。
通过定理 6.3，我们可以把局部可积函数f 与由f 定义的广义函数*f 视为同一，这样局部可积函数是广义函数。
例6.7 考察在R 上的函数
()()[)
0,0;1
0,x h x x ∈-∞??=?
∈+∞??
通常称()h x 为Heaviside 函数。显然，()LOC h L R ∈，于是它定义()D R 上的 广义函数*h 为
()()()()
*0
h h x x
d x x d x
???+∞+∞
-∞
=
=?
?
是否每个广义函数都是函数型的，即对广义函数*'g D ∈，是否存在局部可 积函数f 使
()()()*g f x x d
x ??Ω
=
?
回答是否定的。也就是说'D 中确实存在非函数型广义函数。
例6.8 a δ不是函数型的广义函数。
证明：用反证法。设a δ是函数型的，则存在一个定义于Ω上的局部可积函数f 使得对一切D ?∈成立
()()
()f
x x d x a ??
Ω
=?
（6.2）
取正数r 充分小，使(){}:r B a x x a r =-
()()()
2
2
2
,0\r a r
r r x B a e x a r x x B a ??∈?--=??
∈Ω?
显然，,a r D ?∈，由式（6.2）得
()()()1
,,a r a r f x x dx a e
??-Ω
==?
（6.3）
另一方面，(),0
lim 0a r r x a e ??+
→==?，由Lebesgue 控制收敛定理，有
()(),0
l i m 0a r r f x x ?+
Ω
→=? （6.4） 这样式（6.3）与式（6.4）矛盾，故不是函数型的。
【定理6.4】 'f D ∈当且仅当对任意紧集K ?Ω，存在常数C 及非负整数m ，使得当sup p K ??时有
()()s u p p x K
p m f x C
D D ??∈≤≤∈∑
（6.5）
证明：充分性。由式（6.5）知f 是D 上定义的连续性泛函，因此'f D ∈。
必要性。用反证法。若不然，有紧集K ，使式（6.5）不成立。于是对任何自然数j ，存在函数j D ?∈，且()sup j p K ??使
()()s u p p j j x K
p j f j D x ??∈≤>∑ （6.6）
于是令
)
()
?s u p j j p
j x K
p j x j D x ??
?∈≤=∑
则?j D ?
∈，且?sup j p K ??，再由式（6.6）可得 ()?1j f ?
> （6.7） 又
()1?s u p p
j x K
p j D x j
?
∈≤=∑
因此，?j ?0D ???→≡，于是()()?0j f f ?
?→=，这与式（6.7）矛盾。 在广义函数空间'D 上规定加法与数乘运算：设'12,,f f D R λ∈∈定义 ()()()()1212f f f f ???+=+ ()()11()f f λ?λ?=
则很容易证明''121,f f D f D λ+∈∈，因此'D 是一个线性空间。 【定义6.4】 设{}'',j f D f D ?∈，如果对于一切D ?∈成立 ()()l i m j j f f ??→∞
=
则称{}j f 在'D 中收敛于f ，记为j f f →。'D 按照这种收敛概念，称为广义函数空间。 容易证明，'D 中加法与数乘运算关于收敛是连续的，即如果j f f →，j g g →，则对任何数,αβ有
j j f g f g αβαβ+→+ 例6.9 在R 上，函数列 ()()1s i n 1,2,j j f x j x
θ
π=
=
是()LOC L R 中的函数列，从而可视为广义函数列，那么j f δ→。 证明：由于sin x dx x
π+∞-∞
=?
，因此
1
sin lim
1T T
T jx dx x
π
-→+∞
=?
对任意()D R ?∈，存在00T >，使[]00sup ,p T T ??-。那么当0T T >时 ()()()()T j j T
f x x dx f x x dx ??+∞-∞
-=
?
?
另一方面，对0ε?>取1T 足够大，使当1T T >时有
1
sin 12
T T
jx dx x
ε
π
--<
?
从而当01max ,T T T >时有
()()()()()
()()()
()
1
sin 0002
201
sin 02
T j T
T
jx f x dx x
x x jx
dx x
ε?????π???ε?π
--≤
-+
????+--=+
??
对于固定T ，由于函数()()()()
20?x x x x
????
+--=是Riemann 可积的，因
此由Riemann 引理
()0?lim sin 0T
j jx x dx ?
→∞
=? 于是存在自然数0n ，当0j n >时 ()0
1
?sin 2
T jx x dx ε
?
π
因此
()()()()()002
2
j j f f ε
ε
???δ??-=-<+
由ε的任意性得
()()j f ?δ?→ 故j f δ→。
这个例子给出了关于本章例2中的Dirac 符号的合理数学解释。 注：（Riemann
引理） 设f 是[],a b 上
Riemann 可积函数，则
()()lim
sin lim
cos 0a
a
b
b
n n f x nxdx f x nxdx →∞
→∞
==?
?
。读者可在任何一本《数学分析》 教科书
中找到。
习题6.1
1. 在'D 中证明：
()
()()2
2
1
1
10
;x x δεπε+
→→+
(
)
()()2
420
x
t
x t δ-
+
→→。
2. 设()()11,2,j
j x f x j j ??
=+= ?
?
? ，证明：
()x
j f x e →。
3. 设n R Ω?是一个开集，()j f x 是Ω上的一列局部可积函数，并且对任意 紧集K ?Ω，存在常数K M 使得()j K f x M ≤，又()()0j f x f x a e →?，证明：
*
*
0j f f →。
4. 设n R Ω?是一个非空开集，K ?Ω是紧集。证明：存在函数()0C ?∞∈Ω， 使得()01x ?≤≤，且在K 上恒有()1x ?=。
5. 证明定理
6.2。
6.2 广义函数的导数及性质
广义函数求导的思想来源于经典分析学中的分部积分，为此，先回顾一下分
部积分的基本思想。
设(),a b Ω=，f 和?是Ω上定义的两个连续可微函数，若sup p ?是Ω内 的紧集，则()()0a b ??==，于是有
()()()()'
'f
x x dx f x x dx ??Ω
Ω=-?
?
可见，利用分部积分可将一个函数的求导运算化为对另一个函数的求导，广义函数的导入引入，就是遵循这一法则而得来的。
对任一多重指标p ，p D 是一个由D 到D 的连续映射，因此可有： 【性质6.1】 设'f D ∈，定义()()1g f D x ??????=-∈
????
，则'
g D ∈。 证明：显然g 是D 上线性泛函，设{},j D D ???∈，若D
j ????→，那么 1
1
j D
x x ??????→
??
从而
11
j D f f x x ??
?????
???
→ ? ???????
因此()()j g g ??→，故'g D ∈。
【定义6.5】 'f D ∈定义f 对1x 的一阶偏导数为g ，并记为1
f g x ?=?，则g 仍然是广义
函数。一般地对任意多重指标p ，定义p D f 为如下广义函数：
()()()1p
p
p g f D ??=-
即p p D f g =。
从定义6.5可以看出，广义函数可进行无限次求导运算。 例6.10 由Heaviside 函数h 所定义的函数 ()100
x h x x ≥?=?
的广义导数'h δ=。
证明：对任意()D R ?∈，有
()()()()'
'
'
0h h d x ????δ?∞
=-=-==?
因此'h δ=。
注：如果是一元广义函数（即f 为()D R 上的连续线性泛函），则f 的一阶、二阶导数等分别用''',f f 等来表示。
例6.11 证明：''
2x δ=。
证明：对任意()D R ?∈，取0a >，使()sup ,p a a ??-。那么有
()()()()()()()()()()()
''
''
''
''
''0
'
'0
00202a a a
a x
x x x dx
x x dx x x dx x dx x dx
??
?
?
??
????δ?+∞-∞
--=
==
-=-+=+==?
?
???
所以''
2x δ=。
【定义6.6】 设()C ψ∞∈Ω，'f D ∈，定义D 上的泛函为
()()()()f f D ψ?ψ??=∈
那么f ψ显然是D 上连续线性泛函，即'D ψ?∈，称ψ是'D 的一个乘子。
注：对于()C ψ∞∈Ω，'f D ∈可定义乘积f ψ，但对于两个广义函数不能定义乘积运算。
例6.12 证明2''2x δδ=。
证明： ()()()()''2
2''21x x x δ?δ???=-????
，又
()()
()(
)()()()()(
)
''
'
22
'
'
'
2
''
2222x x x
x x x
x x x x x
x x
?
????????=+
?
???
=+++
故
()()()()()()()
''
2'2''
24202x x x x x x x x δ?????δ?=????=++??????
==
即2''2x δδ=。
注：对于任何正数k ， ()k
δ为按如下公式定义的广义函数
()()()()()()()()110k
k
k k k
δ?δ??=-=-
【性质6.2】 （1）设',,,f g D αβ∈是数，则
()()1,
2,,j
j
j
f g f g j n x x
x
αβα
β
???+=+=???
（2）设()',C f D ψ∞∈Ω∈，则
()
()(
)
1,2,
,j
j
j
f f f
j n x x x ψψ
?ψ
???=+=??? 证明：（1）由定义显然。我们来证（2），对于任意D ?∈，则
()
()()()()()()()j
j j j j j
j j j f f f x x x
f f x x f
f x x f
f x
x
ψ??
?ψψ?ψ
ψ?ψ
?ψ?ψψ??????
???=-=- ? ? ? ????????
??
????
??=-+??
? ? ? ?
??????????
??
??=+
? ???????????=+ ? ? ? ????
??
?
故（2）成立。
【性质6.3】 设'',j f D f D ∈∈，若'
D j f f ??→，则
()'
1,2,,D
i i
i
f f i n x x ????→
=??
证明：对于任意D ?∈，由于
()()l i m l i m j
j j j i i i i
f f
f f x x x x
????→∞→∞???
??
???=-=-= ? ???????
??
因此，
'
D
i i
i
f f x x ????→
??。
【定义 6.7】 设{}'
'
,j f D f D ?∈，称级数1
j j f ∞
=∑在'D 中收敛于f ，是指前m 项和
1
m j j s f ∞==
∑
在'
D 中收敛于f ，记为1
j j f f ∞
==∑。
由性质6.3得：
【性质6.4】 若级数1
j j f ∞
=∑收敛于f ，则级数1
j j i
f x ∞
=??∑
收敛于
()1,2,,i
f i n x ?=? 。
注：对于广义函数级数可以逐项求导，然而普通函数级数即使每项是连续可导函数，
且处处收敛于某个连续可导数，也不能逐项求导。
例13 ()1cos j f x jx j
=
，
则()j f x 一致收敛于()0f x ≡，但其导函数()'sin j f x jx =-不
收敛于()'0f x ≡。如果将,j f f 看成广义函数，则在'D 中有'j f f →。
【性质 6.5】 设{}'j f D ?，如果对每个D ?∈，极限()lim j j f ?→∞
存在且有限，则必存
在'
f D ∈，使得'
D
j f f ??→。
证明性质6.5需要用到拓扑线性空间的专门知识，故此略去其证明。
通过广义函数上述的性质，我们看到，广义函数空间'D 关于求导与极限运算是封闭的，因此，广义函数的求导与极限运算比普通微积分中函数的相应运算既灵活又方便。
习题6.2
1.计算()
3x
。
2.已知()010
x x x x λ
λλ
+
?>=≠-?
≤?，计算()'
x λ+
。
3.求证()
'
1Ln x P V x ??
=? ?
??
，即()()()
()'
0lim
,x x Ln x dx D R x
ε
ε???≥→+
=?∈?
。
4.设()1,,,R a f αβΩ=?∈Ω在(),αβ内除a 点外是连续可微的，且在a 点是 第一类间断点，'f 在(){},\a αβ内有界。证明f 的广义函数为
()()'
00a
df f f a f a dx
δ=++--????
6.3 Sobolev 空间的定义及性质 6.3.1 Sobolev 空间
设()1u C ∈Ω即在Ω内连续可微，()0C ?∞∈Ω，由分部积分公式可得
()()11,2,,i
i
u
u
dx dx i n x x ??Ω
Ω
??=-=????
类似地，如果k 是一个正整数，()()12,,,,k n u C αααα∈Ω= 是一个多重指标且
12n k αααα=+++= ，那么反复使用（1），我们有
()2(1)uD dx D udx α
αα??ΩΩ=-??
这里1212
n n
D x x x αααα???=
??? ，因此根据公式（2）的左边，我们仅需要函数u 在Ω上局部
可积，则公式有定义，这样可以将函数导数的概念通过（2）来推广。
记()1LOC L Ω为Ω上的局部可积函数全体。
【定义6.8】 设()1,,LOC u v L α∈Ω是一个多重指标。我们称v 是u 的第α次弱偏导数，记为D u v α=，如果满足
(1)
u D d x v d x
α
α??Ω
Ω
=-?
?
对任何()0C ?∞∈Ω成立。
注：如果u 的α次弱偏导数存在，那么在除去一个零测度集外是惟一的。事实上，设
()1
,LOC v v L ∈Ω，那么由()
()
11uD dx v dx v dx α
α
α
???Ω
Ω
Ω
=-=-??
?
得对一切()0C ?∞∈Ω成立()0v v dx ?Ω
-=?。
不难证明v va e =?（留为习题）。 例14 设()0,2Ω=，且()()01
1
01,1
12012
x x x u x v x x x <≤<≤??==??
<<<
则v 是u 的偏导数。
证明：对任何()0C ?∞∈Ω，有
()()()
()()()()()
212
11
'
'
'
00
1
1
10
2111020u dx x dx dx x x dx dx dx
?????????????=
+
=-
+-=-
-=-==?
?
?
?
?
?
另一方面，2
1
v dx dx ??=
??
，所以2
2'
u dx v dx ??=-??，因此，'u v =。
是否每个局部可积函数都存在弱导数呢？回答是否定的，见下面的例15。 例15
设()0,2Ω=，且()012
12
x
x u x x <≤?=?
<
那么u 不存在弱导数。
证明： 事实上，若有()1LOC v L ∈Ω，则 ()()2
2
'
0u dx v dx
C ???∞
=-?∈Ω?
?
又 )
()()2
1
2
1
'
'
'
1
2
120u d x x
d x d x d x ???
?
??=
+=--=?
?
?
?
故
()()()2
1
1v dx dx
C ????∞
=
-?∈Ω?
? （6.8）
选择()o C ∞Ω中一列函数()k x ?满足 ()()00
11
k k x ??≤≤???
=??
且()()01k x x ?→≠
据式（6.8）有
()2
1
k k k 0
1v dx dx ???=
-?
?
再由Lebesgue 控制收敛定理，令k →∞得 21
01lim lim 0k k k k v dx dx ??→∞→∞
=-
=?
?
这显然是不可能的。
【定义6.9】 记号(),k p W Ω表示满足下面条件的函数的全体：
()()1p u L ∈Ω； ()()2k α
α
αα≤∈Ωp
对任何满足的多重指标，都存在u 的次弱偏导数D u L
。
注：()(),k p p W L Ω?Ω，(),k p W Ω是()p L Ω的一个线性子空间。 【定义6.10】 对于(),k p u W ∈Ω，定义范数
1
,p p
k p
k
u D u dx α
αΩ≤??= ? ???
∑? 则()(),,,k p k p
W Ω?
是赋范线性空间，更进一步，我们有
【定理6.5】 (),k p W Ω是Banach 空间
证明：即证明(),k p W Ω是完备的。设{}m u 是(),k p W Ω中的一个Cauchy 列，那么，对于每个多重指标()k αα≤，{}m D u α是()p L Ω中的Cauchy 列。因()p L Ω完备，因此存在
()p
a u L
∈Ω使
()m a D u u m α→→∞（在()p L Ω范数下）
令lim m m u u →∞
=。我们来检验a a D u u =。事实上，对任何()0C ?∞∈Ω有
()
()
lim lim 11a a
m m a
m a m uD dx u D dx
D u dx u dx
α
α
????Ω
Ω
→∞Ω
Ω
→∞
==-=-?
??
?
这说明a D u u α=。于是由a a m D u D u →（在()p L Ω范数下）知m u u →（在(),k p W Ω范数下），因此(),k p W Ω是Banach 空间。
通常称(),k p W Ω为Sobolev 空间。
【性质6.6】 设(),,,k p u v W k α∈Ω≤，那么
()(),1,,k p R u v W λμλμ?∈+∈Ω，且()D u v D u D v αααλμλμ+=+； ()2对任何多重指标,αβ，若k α
β+≤，则()D D u D u αβαβ+=；
()3如果()0C ?∞
∈Ω，
则(),k p
u W ?∈Ω且()D
u D D
u α
βαβ
βαα
??β
-≤??=
???
∑。这里记号βα≤为
()()12!
1,2,,,!!!!,!!
i i n i n ααβαααααββαβ??≤===
?
-?? 。 这些性质的证明十分容易，留给读者做练习。
【定义6.11】
记(),0k p W Ω=()(){
},0,0
k p m m k p
u W u C u u
∞∈Ω∈Ω-→存在序列使
则(),0k p W Ω是(),k p W Ω的闭子空间，因此是Banach 空间，同样也是一类 Sobolev 空间。
注：当2p =时，(),2k W Ω及(),0k p W Ω通常用()k H Ω及()0k H Ω表示，它们都 是Hilbert 空间，其内积为,k
u v D uD vdx
αα
α
Ω
≤=
∑?。
【定义6.12】 设1p n ≤<，称*np p n p
=
-为p 的Sobolev 共轭指数。
【性质6.7】 设1p n ≤<，那么存在一个仅与p 和n 有关的常数C ，使对 任何()0n C R ?∞∈有()
()
*
p n
p
n
L
R L
R C D ?
?
≤。
注：性质6.7是著名的Gagliardo Nirenberg Sobolev --不等式，其中
()()
1
2121p n n n
p
p n p
p
L R R R
i i D dx D dx
x ???
=?????? ?
? ?== ? ? ???? ?????
∑??
这里D ?表示向量12
,
,,
n x x x ?
?
??????
??????
在n
R 空间中的欧式范数。 为了使读者能更好地这个不等式，我们给出2n =的证明。 证明： 当2n =时*22p p p
=
-，先证1p =的情形，这时*2p =。
因为()20C R ?∞∈，于是()()()121
2
21,,x x x x
x s x ds x t dt ???-∞
-∞
==
?
?
。
这里1
21
2
,x x x x ??????=
=
??，因此
()()()()()1
2
1
2
221
,,x x x x x s x ds
x t dt ???-∞
-∞
=
?
?
()()()()()()()()()()()()()2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
11
2
11
2
,,,,,x x x x x x R
x dx s x ds x t dt dx s x ds x t dtdx s x ds D dx ?
??????+∞+∞+∞
-∞
-∞
-∞-∞
+∞+∞+∞
-∞
-∞-∞
+∞
-∞
≤≤≤?
???????? 进一步
()()()()()()()()()
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
22
2
,R
x R
R
R
R
x dx x dx dx
s x dsdx D dx
D dx
D dx D dx
?
?
?????+∞+∞-∞
-∞
+∞+∞-∞-∞
=
≤≤
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
（6.9）
故()
()
2
2
1
2
L
R L R
D ?
?
≤。
现在设12p <<。取2p
r p
=-，则1r >。令r
?
?= ，则()20C R ?∞∈ 。由式（6.9） 得
()()
*
2
2
2
11
2
2
2
p
r
R
R
R
dx dx
D dx ?
?
?
=
≤
?
?
?
（6.10）
由Holder 不等式11
1p
q ??
+
=
???
得
()()()
()
()
()
()()
2
2
22
*
2
2
1
1
11
1
1111r
r R
R
q
q
r p
p
R
R
p
q
p
p
R
R
D dx r D dx
r dx D dx
r dx
D dx
?
?
??
?
??--=-?
?≤-? ???
=-??
?
??
?
?
代入式（6.9）得
()
(
)
()
*
2
2
1112
p
q
p
p
R
R
dx
D dx
??
-
≤
??
注意到*
1
1212
2p q
p
p
--
=
=
，那么有
()
()
*
2
2
p
p
L
R L
R D ?
?
≤
对于n
R 的情形，可以类似证明。
【定义6.13】 设n R Ω?使有界开集，?Ω是表示Ω的边界。称?Ω是k C 光滑的，是指对每个点0x ∈?Ω，存在0r >及一个k C 函数1:n r R R -→满足
()()(){}00121,,,,,n n B x r x B x r x r x x x -Ω=∈> 例16 (){}(){}222212121212,:1,,:1x x x x x x x x Ω=+
根据性质6.7，我们有下面的Sobolev 嵌入不等式。
【定理6.6】 设Ω是n R 的有界开集，且?Ω是1C 的，那么对于1p n ≤<及
()1,p
u W
∈Ω有()*
p u L ∈Ω且
()
()
*
1,p
p
L
W
u
C u
ΩΩ≤，这里常数C 仅依赖于,p n 和Ω。
【推论6.1】 设Ω是n R 的有界开集，?Ω是1C 的，1p n ≤<，()1,0p u W ∈Ω，那么对
任何*
1,q p ??∈??
，成立 ()
()
q
p
L
L
u
C Du
ΩΩ≤
式中，C 是仅依赖于,,p q n 和Ω的常数。
证明：由于()1,0p u W ∈Ω，那么存在()0m C ?∞∈Ω
使得()
()1,0p
m
W
u m ?Ω-→→∞。
亦即()
0p
m
L
u ?Ω-→和()
0p
m L
Du D ?Ω-→
记0
m
m n
x x R ??∈Ω
?=?
∈-Ω
? ，则()0n m C R ?
∞∈ 。 根据性质6.1有
()
()
*
p n
p
n
m m L
R L
R C D ?
?
≤
即
()
()
*
p p
m
m
L
L
C D ??ΩΩ≤
故令m →∞，由定理6.6得 ()
()
*
p p
L
L
u
C Du
ΩΩ≤
另一方面，因为Ω有界，故()m Ω<+∞，于是对*
1,q p ???∈??
有 ()
()
*
q
p
L
L
u C u
ΩΩ≤
结合上面两式，可得 ()
()
q
p
L
L
u
C Du
ΩΩ≤
这里常数C 不加以区别。
【推论6.2】 设n R Ω?有界开集，且()1
0u H ∈Ω，
那么存在仅依赖于Ω的常数0C >，使
()
()
2
2
L
L
u
C Du
ΩΩ≤
这个不等式就是著名的Poincare 不等式，我们给出它一个直接证明。
证明：取方体(){}12,,,,1,2,,n n i B x x x x R x a i n ==∈≤= ，使B ?Ω，对任意
()0C ?∞
∈Ω有
()()11
111,,,x x
n a
x y x x d y ??-=?
故
()()()
()()()()2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
121
,,,1,,,2,,,a n
a
a
a
n
a
a
a n a
x D y x x d y dy D y x x d y a D y x x d y ????
----≤
≤=????
于是
泛函分析知识点
泛函分析知识点 知识体系概述 （一）、度量空间和赋范线性空间 第一节 度量空间的进一步例子 1.距离空间的定义：设X 是非空集合，若存在一个映射d ：X ×X →R ，使得?x,y,z ∈X,下列距离公理成立： （1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0?x=y; （2）对称性：d(x,y)=d(y,x); （3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y); 则称d(x,y)为x 与y 的距离，X 为以d 为距离的距离空间，记作（X ，d ） 2.几类空间 例1 离散的度量空间 例2 序列空间S 例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X) 例5 C[a,b]空间 即连续函数空间 例6 l 2 第二节 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 1. 开球 定义 设（X,d ）为度量空间，d 是距离，定义 U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε} 为x 0的以ε为半径的开球，亦称为x 0的ε一领域. 2. 极限 定义 若{x n }?X, ?x ∈X, s.t. ()lim ,0n n d x x →∞ = 则称x 是点列{x n }的极限. 3. 有界集 定义 若()(),sup ,x y A d A d x y ?∈=<∞，则称A 有界 4. 稠密集 定义 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ?,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。 5. 可分空间 定义 如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。 第三节 连续映射 1.定义 设X=(X,d),Y=(Y , ~ d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任 意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足 ()0,d x x δ < 的x ，有 ()~ 0,d Tx Tx ε <，
2018届高三数学每天一练半小时：第55练 空间角与距离 含答案
一、选择题 1.如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的投影D 为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为【 ) A.34 B.54 C.74 D.34 2．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为94 ，底面是边长为3的正三角形．若P 为△A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为【 ) A.π6 B.π3 C.π4 D.23 π 3.如图所示，在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是等腰三角形，AB ＝BC ＝2a ，∠ABC ＝120°，SA ＝3a ，且SA ⊥平面ABC ，则点A 到平面SBC 的距离为【 ) A.3a 2 B.a 2
C.5a 2 D.7a 2 二、填空题 4.如图，在等腰直角三角形ABD 中，∠BAD ＝90°，且等腰直角三角形ABD 与等边三角形BCD 所在平面垂直，E 为BC 的中点，则AE 与平面BCD 所成角的大小为________． 5.如图所示，在三棱锥S －ABC 中，△SBC ，△ABC 都是等边三角形，且BC ＝1，SA ＝32 ，则二面角S －BC －A 的大小为________． 6．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，给出以下命题： ①异面直线C 1P 与B 1C 所成的角为定值； ②二面角P －BC 1－D 的大小为定值； ③三棱锥D －BPC 1的体积为定值； ④异面直线A 1P 与BC 1间的距离为定值． 其中真命题的个数为________． 三、解答题 7.【2016·潍坊模拟)如图所示，底面ABC 为正三角形，EA ⊥平面ABC ，DC ⊥平面ABC ，EA ＝AB ＝2DC ＝2a ，设F 为EB 的中点．
泛函分析部分知识点汇总
度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离， 使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。 泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范 线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。 一、度量空间的进一步例子 1、度量空间 设x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y) 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1° 的充要条件为x=y 2° 对任意的z 都成立， 则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空 间。x 中的元素称为点。 2、常见的度量空间 （1）离散的度量空间 设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称 为离散的度量空间。 （2）序列空间S 令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点 令 称 为序列空间。 （3）有界函数空间B(A ） 设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A) 中任意两点x,y ，定义 （4）可测函数空间 设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度， 若 ，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。令 （5）C[a,b]空间 令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意 两点x,y ，定义 二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间 1、收敛点列 设 是（X ，d ）中点列，如果存在 ，使 则称点列 是（X ，d ） 中的收敛点列，x 是点列 的极限。 收敛点列性质： （1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯 一的。 （2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。 (,)0,(,)0d x y d x y ≥=(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠?=?=?(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|t A d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()g t |()()|11|()()| f t g t f t g t -<+-|()()|(,)1|()()|X f t g t d f g dt f t g t -=+-?(,)max |()()|a t b d x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞={}n x {}n x
最新泛函分析考试题集与答案
泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若
0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。
广义系统
第十二章一般广义时变系统的时域有界 控制 在控制理论中，人们所关心的系统稳定性主要是Lyapunov稳定性。然而Lyapunov稳定性刻画的一个系统的整体稳态性能，但它并不能反映系统的暂态性能。所谓暂态性能是指短时间内的系统稳定性，绝非短时间内的Lyapunov稳定性。在工程中，一个整体稳定的系统，很有可能暂态性能很坏，在工程中会造成很坏的影响，甚至根本无法应用。因此，相对于系统的整体稳态性能，人们往往更关心的是系统的暂态性能。 时域有界是时域稳定的拓展概念，时域稳定是时域有界的特殊形式，它们相互联系，又互不相同。对于时域有界，我们也有了一些初步的研究成果。Zhao S，Sun J，Liu L（2008）研究了带脉冲的线性时变系统的时域有界问题，F. Amato，M. Ariola，C. Cosentino（2006）还给出了时域问题的动态补偿器的设计方法，在Amato F，AriolaMand Dorato P（2001）中，探讨了参数不确定带干扰的系统时域控制问题。综上所述，虽然学者们引进了时域稳定的定义，并且给出了关于广义时变系统的时域稳定的一些充要条件，但是对于广义时变系统，尤 E t是时变的时域稳定问题还没有什么可利用的研究成果，另外对于广义时变不确定其是() 系统时域稳定性的研究更是屈指可数。 本章的主要工作分为两部分，首先是广义时变系统的时域控制问题，对于函数矩阵) E是时变的系统给出了时域稳定和时域有界的充分必要条件，并通过状 (t 态反馈使不稳定的系统得到控制。其次是广义时变不确定系统的时域控制问题，给出了不确定系统时域有界状态反馈控制器的设计方法。
空间统计-空间自相关分析
空间自相关分析 1.1 自相关分析 空间自相关分析是指邻近空间区域单位上某变量的同一属性值之间的相关程度，主要用空间自相关系数进行度量并检验区域单位的这一属性值在空间区域上是否具有高高相邻、低低相邻或者高低间错分布，即有无聚集性。若相邻区域间同一属性值表现出相同或相似的相关程度，即属性值在空间区域上呈现高（低）的地方邻近区域也高（低），则称为空间正相关；若相邻区域间同一属性值表现出不同的相关程度，即属性值在空间区域上呈现高（低）的地方邻近区域低（高），则称为空间负相关；若相邻区域间同一属性值不表现任何依赖关系，即呈随机分布，则称为空间不相关。 空间自相关分析分为全局空间自相关分析和局部空间自相关分析，全局自相关分析是从整个研究区域内探测变量在空间分布上的聚集性；局域空间自相关分析是从特定局部区域内探测变量在空间分布上的聚集性，并能够得出具体的聚集类型及聚集区域位置，常用的方法有Moran's I 、Gear's C 、Getis 、Morans 散点图等。 1.1.1 全局空间自相关分析 全局空间自相关分析主要用Moran's I 系数来反映属性变量在整个研究区域范围内的空间聚集程度。首先，全局Moran's I 统计法假定研究对象之间不存在任何空间相关性，然后通过Z-score 得分检验来验证假设是否成立。 Moran's I 系数公式如下： 11 2 11 1 ()()I ()()n n ij i j i j n n n ij i i j i n w x x x x w x x =====--= -∑∑∑∑∑(式 错误！文档中没有指定样式的文字。-1) 其中，n 表示研究对象空间的区域数；i x 表示第i 个区域内的属性值，j x 表示第j 个区域内的属性值，x 表示所研究区域的属性值的平均值；ij w 表示空间权重矩阵，一般为对称矩阵。 Moran's I 的Z-score 得分检验为：
空间计量经济学分析
空间计量经济学分析 空间依赖、空间异质性 ?传统的统计理论是一种建立在独立观测值假定基础上的理论。然而，在现实世界中，特别是遇到空间数 据问题时，独立观测值在现实生活中并不是普遍存在的（Getis, 1997）。 ?对于具有地理空间属性的数据，一般认为离的近的变量之间比在空间上离的远的变量之间具有更加密切 的关系（Anselin & Getis，1992）。正如著名的Tobler地理学第一定律所说：“任何事物之间均相关，而离的较近事物总比离的较远的事物相关性要高。”（Tobler，1979） ?地区之间的经济地理行为之间一般都存在一定程度的Spatial Interaction，Spatial Effects）：Spatial Dependence and Spatial Autocorrelation）。 ?一般而言，分析中涉及的空间单元越小，离的近的单元越有可能在空间上密切关联（Anselin & Getis, 1992）。 ?然而，在现实的经济地理研究中，许多涉及地理空间的数据，由于普遍忽视空间依赖性，其统计与计量 分析的结果值得进一步深入探究（Anselin & Griffin, 1988）。 ?可喜的是，对于这种地理与经济现象中常常表现出的空间效应（特征）问题的识别估计，空间计量经济 学提供了一系列有效的理论和实证分析方法。 ?一般而言，在经济研究中出现不恰当的模型识别和设定所忽略的空间效应主要有两个来源（Anselin， 1988）：空间依赖性（Spatial Dependence）和空间异质性（Spatial Heterogeneity）。 空间依赖性 ?空间依赖性（也叫空间自相关性）是空间效应识别的第一个来源，它产生于空间组织观测单元之间缺乏 依赖性的考察（Cliff & Ord, 1973）。 ?Anselin & Rey（1991）区别了真实（Substantial）空间依赖性和干扰（Nuisance）空间依赖性的不同。 ?真实空间依赖性反映现实中存在的空间交互作用（Spatial Interaction Effects）， ?比如区域经济要素的流动、创新的扩散、技术溢出等， ?它们是区域间经济或创新差异演变过程中的真实成分，是确确实实存在的空间交互影响， ?如劳动力、资本流动等耦合形成的经济行为在空间上相互影响、相互作用，研发的投入产出行为及政策 在地理空间上的示范作用和激励效应。 ?干扰空间依赖性可能来源于测量问题，比如区域经济发展过程研究中的空间模式与观测单元之间边界的 不匹配，造成了相邻地理空间单元出现了测量误差所导致。 ?测量误差是由于在调查过程中，数据的采集与空间中的单位有关，如数据一般是按照省市县等行政区划 统计的，这种假设的空间单位与研究问题的实际边界可能不一致，这样就很容易产生测量误差。 ?空间依赖不仅意味着空间上的观测值缺乏独立性，而且意味着潜在于这种空间相关中的数据结构，也就 是说空间相关的强度及模式由绝对位置（格局）和相对位置（距离）共同决定。 ?空间相关性表现出的空间效应可以用以下两种模型来表征和刻画：当模型的误差项在空间上相关时，即 为空间误差模型；当变量间的空间依赖性对模型显得非常关键而导致了空间相关时，即为空间滞后模型（Anselin，1988）。 空间异质性 ?空间异质性（空间差异性），是空间计量学模型识别的第二个来源。 ?空间异质性或空间差异性，指地理空间上的区域缺乏均质性，存在发达地区和落后地区、中心（核心） 和外围（边缘）地区等经济地理结构，从而导致经济社会发展和创新行为存在较大的空间上的差异性。 ?空间异质性反映了经济实践中的空间观测单元之间经济行为（如增长或创新）关系的一种普遍存在的不 稳定性。 ?区域创新的企业、大学、研究机构等主体在研发行为上存在不可忽视的个体差异，譬如研发投入的差异 导致产出的技术知识的差异， ?这种创新主体的异质性与技术知识异质性的耦合将导致创新行为在地理空间上具有显著的异质性差异， 进而可能存在创新在地理空间上的相互依赖现象或者创新的局域俱乐部集团。 ?对于空间异质性，只要将空间单元的特性考虑进去，大多可以用经典的计量经济学方法进行估计。 ?但是当空间异质性与空间相关性同时存在时，经典的计量经济学估计方法不再有效，而且在这种情况下，
空间几何中的角和距离的计算
空间角和距离的计算(1) 一 线线角 1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值． 2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小． 二．线面角 1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2． （1）求直线D 1F 和AB 和所成的角； （2）求D 1F 与平面AED 所成的角． F 1D 1B 1 C 1A 1 B A C A B C D P E C D E F D 1 C 1 B 1 A 1 A B
2．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小． 三．二面角 1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点． （1）证明AB 1∥平面DBC 1； （2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小． 2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5． （1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小； （2）求SC 与面ABCD 所成的角． 3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小． B 1 C 1 A 1 B A C D B 1 C 1 A 1B A C B A D C S B 1 C 1 B C A 1
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用 学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。 一、度量空间和赋范线性空间 （一）度量空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间n R（有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。 1．度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d()与之对应，而且这一对 应关系满足下列条件： 1°d()≥0 ，d()=0 ?x=y（非负性） 2°d()= d() （对称性） 3°对?z ，都有d()≤d()() （三点不等式） 则称d()是x、y之间的度量或距离（或），称为 ()度量空间或距离空间()。 （这个定义是证明度量空间常用的方法）
注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d()，只要 满足1°、2°、3°都称为度量。这里“度量”这个名 称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描 述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被 认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 ⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个 集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为 (X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观 起见，今后称度量空间()中的元素为“点” ，例如若 x X ∈，则称为“X 中的点” 。 ⑷ 在称呼度量空间()时可以省略度量函数d ，而称“度 量空间X ” 。 1.1举例 1.11离散的度量空间：设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点∈X ，令 ()1x y d x y =0x=y ≠??? ，当，，当，则称（X ，d ）为离散度量空间。 1.12 序列空间S ：S 表示实数列（或复数列）的全体，d()＝1121i i i i i i ?η?η∞=-+-∑； 1.13 有界函数空间B(A)：A 是给定的集合，B(A)表示A 上有界
半解析函数、共轭解析函数及其影响docx
解析函数、共轭半解析函数及其影响 1983年王见定教授在世界上首次提出半解析函数理论，1988年又首次提出并系统建立了共轭解析函数理论；并将这两项理论成功地应用于电场.磁场.流体力学.弹性力学等领域。此两项理论受到众多专家.学者的引用和发展，并由此引发双解析函数.复调和函数.多解析函数（k阶解析函数）.半双解析函数.半共轭解析函数以及相应的边值问题.微分方程.积分方程等一系列新的数学分支的产生，而且这种发展势头强劲有力，不可阻挡。这是中国学者对发展世界数学作出的前所未有的大范围的原创工作。 微积分是解析函数的特例，解析函数是半解析函数的特例；共轭解析函数和解析函数是姐妹篇，在应用上共轭解析函数比解析函数更直观。 共轭作为一个符号早年早有，但作为一个“共轭解析函数类”，王见定教授世界首次提出。任何一个学过复变函数的人都知道，复
变函数的求导.积分都是仿实变函数的求导.积分形式推导出来的。解析函数之所以有价值，就在于它在电场.磁场.流体力学.弹性力学等方面的应用。但仔细考查，以上的应用都是共轭解析函数的直接应用，而非解析函数。共轭导数.共轭积分都有明确的物理.力学上直接含义（而解析函数没有）。仅这一点王见定教授使西方数学大家示弱。 共轭解析函数是和解析函数完全对称的一类函数，这使得复变函数变得完美，众人皆知对称是科学的一个普遍的美。再者由于有了共轭解析函数类的提出，解析函数与共轭解析函数的不同组合才形成了复调和函数.双解析函数.多解析函数...及相应的微分方程.积分方程等一系列新的数学分支的产生。这是王见定教授对世界数学作出的巨大贡献。 半解析函数.共轭解析函数此两项理论受到众多专家.学者的引用和发展，这也是中国学者对发展世界数学作出的前所未有的大范围的原创性工作。 1.中国专家技术网.
距离空间泛函分析第四章习题第一部分(1-18)
第四章习题第一部分(1-18) 1. 在1中令1(x , y ) = (x y )2，2(x , y ) = | x y |1/2，，问1, 2 是否为1上的距离 [解] 显然1, 2满足距离空间定义中的非负性和对称性． 但1不满足三角不等式：取点x = 1, y = 0, z = 1，则 1(x , z ) = 4 > 2 = 1(x , y ) + 1(y , z )，所以1不是 1 上的距离。 而x , y , z 1 ， 2 (x , y ) = ||||2||||||||||y z z x y z z x y z z x y x -?-+-+-≤-+-≤- ||||)||||(2y z z x y z z x -+-=-+-==2 (x , z ) + 2 (z , y )； 所以2是1上的距离． 2. 设(X , )是距离空间，令 1 (x , y ) = n y x ),(ρ，x , y X ．证明(X , 1 ) 也是距离空间． [证明] 显然1满足距离空间定义中的非负性和对称性， 故只需证明1满足三角不等式即可． 实际上x , y , z X ，n n y z z x y x y x ),(),(),(),(1ρρρρ+≤= n n n n n y z z x n z y x M y z z x )),(),((),,,(),(),(ρρρρ+=++≤ ),(),(),(),(11y z z x y z z x n n ρρρρ+=+=． 3. 设(X , )是距离空间，证明 | (x , z ) (y , z ) | (x , y )，x , y , z X ； | (x , y ) (z , w ) | (x , z ) + (y , w )，x , y , z , w X ． [证明] x , y , z , w X ，由三角不等式有 (x , y ) (x , z ) (y , z ) (x , y )，故第一个不等式成立． 由第一个不等式可直接推出第二个不等式： | (x , y ) (z , w ) | | (x , y ) (y , z ) | + | (y , z ) (z , w ) | (x , z ) + (y , w )． 4. 用Cauchy 不等式证明(| 1 | + | 1 | + ... + | n | )2 n (| 1 |2 + | 1 | 2 + ... + | n |2 )． [证明] 在P159中的Cauchy 不等式中令a i = | i |，b i = 1，i = 1, 2, ..., n 即可． 5. 用图形表示C [a , b ]上的S (x 0, 1)． [注] 我不明白此题意义，建议不做． 6. 设(X , d )是距离空间，A X ，int(A )表示A 的全体内点所组成的集合．证明int(A )是开集． [证明] 若A = ，则int(A ) = ，结论显然成立． 若A ，则x A ，r > 0使得S (x , r ) A ． 对y S (x , r )，令s = r d (x , y )，则s > 0，并且S (y , s ) S (x , r )
泛函分析度量空间知识和不动点的应用
泛函分析度量空间知识和不动点的应用 第七章度量空间和赋范线性空间知识总结 一、度量空间的例子 定义：设X 为一个集合，一个映射d ：X ×X →R 。若对于任何x,y,z 属于X ，有 （I ）（正定性）d(x,y ）≥0，且d(x,y)=0当且仅当 x = y ； （Ⅱ）（对称性）d(x,y)=d(y,x ）； （Ⅲ）（三角不等式）d(x,z ）≤d(x,y)+d(y,z ） 则称d 为集合X 的一个度量（或距离）。称偶对（X ，d ）为一个度量空间，或者称X 为一个对于度量d 而言的度量空间。根据定义引入度量空间有离散的度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间、C 【a ，b 】空间、2l 空间，这6个空间是根据度量空间的定义可证它们是度量空间，在后面几节中给出它们相关的性质。 二、度量空间中的极限，抽密集，可分空间： 证明极限有二种方法： 1、定义法：设{}n x 是（X ，d ）中点列，如果存在x ∈X ，是lim (,)n x d x x →∞ =0，则称点列{} n x 是（X ，d ）中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。 2、M 是闭集是充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。即若n x M ∈，n=1、，2……， n x x →，则x M ∈。 给出n 维欧氏空间、C[a,b]序列空间、可测函数空间中点列收敛的具体意义，由这些系列例子可以看到，尽管在各个具体空间中各种极限概念不完全一致，所以我们引入度量空间中的稠密子集和可分空间的概念，根据定义可得出n 维欧氏空间n R 是可分空间，坐标为有理数的全体是n R 的可数稠密集，离散度量空间X 可分的充要条件为X 是可数集。l ∞ 是不可分空间。 三、连续映射 证明度量空间的连续映射有四种方法： 1、定义法：设X=（X ，d ），Y=（Y ，d ）是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射，0 x X ∈，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ 0，使对X 中一切满足d （x ，0x ）δ 的x ，有 (,)d Tx Tx ε ，则称T 在0x 连续。 2、对0Tx 的每个ε-领域U ，必有0x 得某个δ—邻域V 使TV ?U ，其中TV 表示V 在映射T 作用下的像。 3、定理1：设T 是度量空间（X ，d ）到度量空间（Y ，d ）中的映射，那么T 在0 x X ∈连
【精品完整版】解析函数展开成幂级数的方法分析
解析函数展开成幂级数的方法分析 姓名：媛媛 学号：201100171431 专业：物理教育 指导教师：莉莉
解析函数展开成幂级数的方法分析 姓名 某某大学物理与电气信息工程学院 摘要：将解析函数展开成幂级数的方法不一，且比较复杂。本论文着重介绍了将解析函数展开成幂级数的几种方法以及分析。 关键词：解析函数，幂级数，展开，奇点等。 一前言 解析函数的应用及现状：解析函数边值问题和广义解析函数边值问题在奇异积分方程方面有广泛的应用，它们在弹性力学、流体力学方面也有重要的应用。这些方面的理论及其应用，主要是由苏联学者建立和发展起来的。自20世纪60年代以来，中国的数学工作者在这些方面也做了不少工作。 关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓，关于解析开拓的一般定义是，f（z）与g（z）分别是D与D*上的解析函数，若DÉD*，且在D*上f（z）=g（z）。则称f（z）是g（z）由D*到D的解析开拓。解析开拓的概念可以推广到这样的情形：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，在D1∩D2上f（z)=g（z)则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的（f（z），Δ）的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。这样的完全解析函数实际是一个多值函数。黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数，这样多值解析函数变成了单值解析函数。解析函数的基本性质：解析函数的导函数仍然是解析函数；单连通域内解析
拓扑空间与度量空间性质异同浅析论文
拓扑空间与度量空间性质异同浅析摘要：拓扑空间是度量空间的延伸，是用抽象化的语言来阐述相关概念，蕴含着丰富的性质。本文将拓扑空间中一些性质与度量空间中的一些性质做了一些比较，特别是对拓扑空间中相关反例进行了研究。 关键词：拓扑空间，度量空间，可分性 拓扑空间和度量空间是数学专业的最基本内容之一，研究他们的基本定义和相关性质是后续研究的重要基础，下面我们将其相关定义和性质进行梳理。 一、相关定义 拓扑空间的定义如下： 定义1. 设x是一非空集合，x的一个子集族称为x的一个拓扑，如果它满足： （1）都包含在中 （2）中任意多个成员的并集仍在中 （3）中有限多个成员的交集仍在中 度量空间的定义如下： 定义2. 集合x上的一个度量是一个映射：,它满足 （1）正定性. , ,, 当 （2）对称性. , （3）三角不等式. , 当集合x上规定了一个度量后，称为度量空间。从相关定义中看出，若将度量空间中的开子集取作球形邻域，则拓扑空间是度量空间的推广。常见的度量空间有下面的一些例子:
例1：欧氏空间赋予距离拓扑后为度量空间。 例2：空间x赋予如下度量：，则x为度量空间。 例3：对实数上的闭区间上连续函数空间，我们可以赋予如下最大模范数诱导的度量，即任意两个连续函数的的距离为这两函数差的最大模，同样对于可导函数，光滑函数都有类似的定义。 例4：在辛几何中，在哈密顿微分同胚群中hofer曾定义了如下度量： 从其诱导的范数称为hofer范数，该范数是研究辛拓扑、辛嵌入的强有力武器。 二、相关性质 度量空间中许多性质都发源于欧氏空间，它们满足、、、分离公理与、可数公理，但有许多性质到拓扑空间就不再保持。例如可分性就不再保持。 命题1：可分度量空间的子空间也是可分的。 证明:不妨假设x是可分的度量空间，a是x的子空间，b为x的可数稠密子集。下面证明为a的可数稠密子集。 首先证明为a的可数子集。因为b为可数子集，可数集的子集仍为可数集，所以为a的可数子集。 其次证明为a的稠密子集，此时需要在子空间拓扑下讨论，即需证明a中任何开集与的交不空，由子空间拓扑定义，a中开集u为x中开集p与a的交，即.又因为b为x的稠密子集，即x的任何开集与b的交非空。所以，从而得证。 但可分拓扑空间的子空间一般是不可分的，例子参见[1]。
空间角与距离求法(高二)
1 空间角与点面距离求法 求空间角和点到平面的距离是教学的重点，也是学生学习的难点，更是高考的必考点.新课标强调要求利用向量的运算来解决这两个问题,而新教材的处理是通过探究引导学生推理得出相关公式.在复习时,作为教师有必要帮助学生对相关的知识进行梳理、归纳和小结. 1.空间角的求法 在立体几何中,求空间角是学习的重点，也是学习的难点，更是高考的必考点.我们在复习时,必须对相关的知识进行梳理、归纳和小结,才会灵活运用公式熟练地求出空间角. 一、相关概念和公式 (1) b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作,,b a ==则AOB ∠叫做 向量a 与向量b 的夹角，记作>≤≤=< . (3) 设),,(111z y x a = , ),,(222z y x b = 则212121||z y x a ++= ,222222||z y x b ++= , 212121z z y y x x b a ++=? . 二、两条异面直线所成的角 (1) 定义：已知两条异面直线a 和b ，经过空间任一点O 作直线,//,//b b a a ''我们把a '与b ' 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角（或夹角）. (2) 范围: 异面直线a 和b 所成的角为θ： 900≤<θ, 则cos 0≥θ . (3) 求法: ▲① 平移法: 把两条异面直线a 和b 平移经过某一点(往往选取图中的特殊点),构造三角形(有时会用到补形法,如三棱柱补成平行六面体等),解三角形(通常用到余弦定理).特别提醒:若由边角关系求得为钝角．． 时,注意取其补角为异面直线所成的角. ▲② 向量法: 若a 和b 分别是异面直线a 和b 的方向向量,则 | ||||||||||||,cos |cos b a b a b a b a b a ??=??=><=θ . 说明: ① 其中=θ或- 180 ; ② 在计算b a ?时可用向量分解或坐标进行运算. 三、直线与平面所成的角 (1) 定义: 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角,叫 做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角) 如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是直角;如果直线和平面平行或在平
泛函分析习题1
线性与非线性泛函分析◇ - 1 - 习题1 1.(张燕石淼)设在全体实数R 上，定义两个二元映射2(,)()x y x y ρ=-和 (2) (,)d x y ，证明(1)(,)ρR 不是度量空间；(2)(,)d R 是度量空间． 2.(范彦勤孙文静)设X ρ(,)为度量空间，:f ∞→∞[0,+][0,+]为严格单调函数，且满足 ,x y f ?∈∞[0,+],(0)=0,()()()f x y f x f y +≤+，令(,)((,))d x y f x y ρ=，证明X d (,)为度量空间． 3. (武亚静张丹)设X d (,)为度量空间，证明,,,x y z w X ?∈有 (,)(,)(,)(,)d x z d y w d x y d z w -≤+． 4.(崔伶俐杨冰)设全体实数列组成的集合为{}123(,,,....,...)|,1,2,...n i X x x x x x R i =∈=，对于 123(,,,....,...)n x x x x x =及12(,,...,...)n y y y y =∈X ，定义11(,)12k k k k k k x y d x y x y ∞ =-=+-∑ ．证明 X d (,)为度量空间． 5.设()X n 为0和1组成的n 维有序数组，例如(3){000,001,010,011,100,101,110,111}X =，对于任意的,()x y X n ∈，定义(,)d x y 为x 和y 中取值不同的个数，例如在(3)X 中，(110,111)1d =， (010,010)0d =(010,101)3d =．证明((),)X n d 为度量空间． 6.(苏艳丁亚男)设X d (,)为度量空间， A X ?且A ≠φ．证明A 是开集当且仅当A 为开球的并． 7.(张振山赵扬扬)设X d (,)和Y ρ(,)是两个度量空间．那么映射:f X Y →是连续映射当且仅当Y 的任意闭子集F 的原象1()f F -是X 中的闭集． 8.(王林何超)设{}n x 与{}n y 是度量空间X d (,)的两个Cauchy 列．证明(),n n n a d x y =是收敛列． 9.(李敬华孙良帅)设X d (,)和Y ρ(,)是两个度量空间，在X Y ?上定义度量 112212121 ((,),(,)){[(,)][(,)]}p p p x y x y d x x d y y γ=+，其中1122(,),(,)x y x y X Y ∈?，1p ≥为正数．证明 X Y ?是完备空间当且仅当X d (,)和Y ρ(,)均是完备空间． 10.(李秀峰钱慧敏)设X d (,)是完备的度量空间，{}11n G x G ∈是X 中的一列稠密的开子集，证明1n n G ∞ = 也是X 中的稠密子集． 11.(王胜训闫小艳)设n A ?R ，证明A 是列紧集当且仅当A 是有界集． 12 (冯岩盛谢星星)设X d (,)为度量空间，A X ?且A φ≠．证明 （1）{|,(,)}x x X d x A ε∈<是X 的开集． （2）{|,(,)}x x X d x A ε∈≤是X 的闭集，其中0ε>．
空间角及空间距离的计算知识点
空间角及空间距离的计算 1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点， 过该点作另一条直线平行线， 2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA 是平面α的一条斜线，A 为斜足，O 为垂足，OA 叫斜线PA 在平面α上射影，PAO ∠为线面角。 3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--，二面角的大小 指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是： ①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？ 而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一 找”、“二证”、“三计算”） 4.异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度。如图PQ 是两异面直线间的 距离 （异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线） 5. 点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。 如图：O 为P 在平面α上的射影， 线段OP 的长度为点P 到平面α的距离 长方体的“一角” 模型 在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，且,,PA a PB b PC c ===. ①以P 为公共点的三个面两两垂直； ③P 在底面ABC 的射影是△ABC 的垂心 ----,,l OA OB l OA l OB l AOB αβαβαβ??⊥⊥∠如图：在二面角中，O 棱上一点，，， 的平面角。 且则为二面角 a b ''??如图：直线a 与b 异面，b//b ，直线a 与直线b 的夹角为两异 面直线与所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90] 求法通常有：定义法和等体积法 等体积法：就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。 如图在三棱锥V ABC -中有： S ABC A SBC B SAC C SAB V V V V ----=== C A
泛函分析第七章 习题解答125
第七章习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2.设],[b a C ∞ 是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明（1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 21 ),()()()()(0 t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1。 证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({ =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使n x x d 1 ),(10< 。设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是开集 显然B o n n ??∞ =1 。若n n o x ∞ =?∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此)(∞?→??→? n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞ =1 。 4.设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明（1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=