空间中直线与平面之间的位置关系

空间中直线与平面之间

的位置关系

文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

空间中直线与平面之间的位置关系

知识点一 直线与平面的位置关系

1、直线和平面平行的定义

如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。

2、直线与平面位置关系的分类

（1）直线与平面位置关系可归纳为

(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面

外，我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形．

(3)直线与平面位置关系的图形画法：

①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内，

而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周

应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；

②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行

四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感；

③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。

例1、下列命题中正确的命题的个数为 。

①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果

一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有

且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线

平行于这个平面。

变式1、下列说法中正确的是 。

①直线l平行于平面α内无数条直线，则lαααα

bα?答案：B

?

bαα

?

变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.

图3

解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交.

例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.

解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.

图5

用符号语言表示为：若a∩b=A,b?α,则a?α或a∩α=A.

变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.

分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.

图6

用符号语言表示为：若a与b异面,a?α,则b∥α或b∩α=A.

例3、若直线a不平行于平面α,且a?α,则下列结论成立的是( )

A.α内的所有直线与a异面

B.α内的直线与a都相交

C.α内存在唯一的直线与a平行

D.α内不存在与a平行的直线

分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a?α,则a与平面α相交.

图7

例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB

与直线A′B 相交，直线CD 与直线A′B 异面，所以A 、B 都不正确；平面ABCD

内不存在与a 平行的直线，所以应选D.

变式1、不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ?α,以下

三个命题：

①△ABC 中至少有一条边平行于α;②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC

中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________.

分析：如图8,三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，

图8

其中真命题是①.

变式2、若直线a ?α,则下列结论中成立的个数是( )

(1)α内的所有直线与a 异面 (2)α内的直线与a 都相交 (3)α内存在唯一的直线与a

平行 (4)α内不存在与a 平行的直线

分析：∵直线a ?α,∴a ∥α或a∩α=A.

如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.

图9

答案：A.

知识点二 直线与平面平行

1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，

那么这条直线和这个平面平行。

⑴定理可简述为“线线平行，则线面平行”，可以用符号表示为ααα//,,//a b a b a ???；

⑵该定理判断直线a 与平面α平行时，必须具备三个条件：

① 直线a 在平面α外，即α?a ；②直线b 在平面α内，即α?b ；

③直线a ，b 平行，即a ∥b ，这三个条件缺一不可。

⑶定理的作用：将直线和平面平行的判定转化为直线与直线的平行关系的判定。

2、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面

和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

用符号表示为：若a α,,b =?βαβα α (1)若直线a 与平面α互相垂直，记作α⊥a

(2要注意 “任何一条直线”这个词语，它与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不

同，即当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线。

(3)画法：画直线与平面垂直时，一般使直线与表示平面的平行四边形一边垂直，如下

图所示，

2、直线与平面垂直的判定定理

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

简记为：“线线垂直，则线面垂直。”

(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记准。

(2)命题1：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平

面；

命题2：如果一条直线垂直于平面的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平

面．

以上两个命题都是错误的，因为对于这两个命题，都没有体现出两直线相交这一特

性， (3)要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条

相交线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无

关紧要的。

(4)其他判定直线和平面垂直的方法：

两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。 3、直线与平面垂直的性质定理

如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

直线与平面垂直还有如下性质：

(1)如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直。

(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于同一个平面。

(3)若α⊥l 于A ，AP l ⊥，则α?AP 。

例6、给出以下结论：

①若直线a 垂直平面α内的无穷多条直线，则直线a 垂直平面α；②无论直线a 与平

面α是否垂直，a 总垂直平面α内的无穷多条直线；③若直线a 垂直平面α内的两条直

线，则直线a 垂直平面α；④若直线a 垂直平面α内的所有直线，则直线a 垂直平面α

其中正确的结论为 。（写出序号即可）．

例7、如右图，已知空间四边形ABCD 的边BC ＝AC ，AD ＝BD ，引BE ⊥CD ，E 为垂

足，作AH ⊥BE 于H ，求证：AH ⊥平面BCD 。

变式1、如右图，已知P 是△ABC 所在平面外一点，PA ，PB ，PC 两两垂直，H 是△AC

的垂心，求证：PH ⊥平面ABC 。

例8、如右图，已知矩形ABCD ，过A 作SA ⊥平面AC ，再过A 作AE ⊥SB 交SB 于

E ，过E 作E

F ⊥SC 交SC 于F ，

（1）求证：AF ⊥SC ；

（2）若平面AEF 交SD 于G ，求证：AG ⊥SD 。

变式1、如右图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，11111,0O D B C A BD AC == ，

求证：OO 1⊥平面ABCD 。

巩固练习一：

一、选择题

1、下面四种说法中：（１）两条平行直线中的一条平行于一个平面，则另一条也平行

于这个平面；（２）平行于平面内一条直线的直线平行于该平面；（３）过平面外一

点只有一条直线和这个平面平行；（４）若一条直线和一个平面平行，则这条直线和

这个平面内所有直线都平行、正确说法的个数为（ ）

Ａ、０；Ｂ、１；Ｃ、２；Ｄ、３

2、下列命题中正确的是（ ）

Ａ、平行于同一平面的两条直线平行；Ｂ、垂直于同一条直线的两条直线平行；

Ｃ、若直线ａ于一个平面内的一条直线ｂ平行，则ａ平行于这个平面；Ｄ、若一条直

线平行于两相交平面的交线，则这条直线至少平行于两个平面中的一个

3、异面直线a ，b 分别在平面βα,内，若l =βα ，则直线l 必定与

Ａ、分别与a ，b 相交B 、与a ，b 都不相交

C 、至少与a ，b 中之一相交

D 、至多与a ，b 中之一相交

4、下列命题中有几个是正确的其个数为（ ）

（1） 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线

（2） 在空间不相交的两条直线一定是异面直线

（3） 不同在一个平面内的两条射线所在直线一定是异面直线

（4） 既不平行也不相交的两条线段所在直线一定是异面直线

A 、4个

B 、3个

C 、2个

D 、1个

5、如果点P 在直线l 上，而直线l 又在平面内，则可记作（ ）

A 、α??l P

B 、α∈∈l P

C 、α?∈l P

D 、α∈?l P

6、已知相交直线AB 、AC 确定的平面，则下列说法不正确的是（ ）

Ａ、直线AB 、AC 都不在平面内B 、平面经过直线AB 、AC

C 、只有A 、B 、C 三点在平面内

D 、直线AB 、AC 上所有的点都在平面内

7、下列命题中，真命题是（ ）

Ａ、两条相交直线上的三个点确定一个平面 B 、两两相交的三条直线共面

Ｃ、不共面的四点中可以有三点在同一直线上 D 、三角形和梯形一定是平面图形

8、不共面的四个点中，（ ）

Ａ、可能有三个点共线 B 、至少有三个点共线

Ｃ、任何三个点都不共线 D 、只有三个点不共线

9、用斜二测法画平面图形的直观图，对其中三条线段结论错误的是（ ）

A 、 原相交的仍相交

B 、原垂直的仍垂直

C 、原平行的仍平行

D 、原共点的仍共点

10、两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是

（ ）

A 、4个

B 、5个

C 、6个

D 、8个 11、平面过△ABC 的重心，B 、C 在的同侧，A 在的另一侧，若A 、B 、C 到平面的距离分

别为a 、b 、c ，则a 、b 、c 间的关系为 ( )

A 、2a =b +c

B 、a =b +c

C 、2a =3(b +c )

D 、3a =2(b +c )．

二、填空题

12、不共线的三个平面两两相交，可将空间分成的部分可能是________________个

13、已知a ，c 异面，b ，c 异面,则a,b 的位置关系是__________________

14、已知αα?=b A a , ，则b a ,的位置关系是_______________

答案：

一、选择题

1、A；

2、D；

3、C；

4、D；

5、C；

6、A；

7、D；

8、C；

9、B；10、C；11、A

二、填空题

12、4，7，8

13、平行，异面或相交 14、相交或异面

巩固练习二：

一、选择题

1、下列命题正确的个数是（）

（１）若直线ｌ上有无数个点不在平面内，则ｌ平行这个平面；（２）若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的所有直线都平行；（３）两条平行线中的一条与一个平面平行，则另一条也和这个平面平行；（４）若一条直线与一个平面内的无穷多条直线都平行，则这条直线与这个平面平行

Ａ、０个；Ｂ、１个；Ｃ、２个；Ｄ、３个、

2、直线在平面外指的是（）

Ａ、直线与平面没有公共点；Ｂ、直线与平面相交；

Ｃ、直线与平面平行；Ｄ、直线与平面最多只有一个公共点

3、设有如下三个命题：

甲：相交两直线ｌ、ｍ都在平面α内，并且都不在平面β内

乙：ｌ、ｍ之中至少有一条与平面β相交丙：α和β相交当甲成立时Ａ、乙是丙的充分而不必要条件；Ｂ、乙是丙的必要而不充分条件；

Ｃ、乙是丙的充分且必要条件；Ｄ、乙既不是丙的充分条件又不是必要条件

4、一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则两角的关系是（）

A 、 相等

B 、互补

C 、互余

D 、不能确定

5、 空间四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，设1)(2

1=+AD BC ，那么（ ）

Ａ、ＭＮ＞１ B 、ＭＮ＜１ C 、ＭＮ＝１ D 、ＭＮ与１的大小关系不能确定

6、在正方体的棱所在的１２条直线中，取定一条，那么，其它的１１条直线可与它构

成异面直线的共有A 、４条 B 、５条 C 、６条

D 、７条

7、下面四个条件中能得出∥b 的是（ ）

A 、,,,c b a =??βαβα 且和c ，b 和c 均无公共点

B 、和b 无公共点

C 、和b 与c 成等角

D 、c b c a ⊥⊥,

8、过平面内一点及平面外一点的直线与平面内的任一条直线的位置关系是（ ）

A 、相交

B 、平行

C 、异面

D 、相交或异面

9、已知a,b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ）

A 、 定是异面直线

B 、定是相交直线

C 、不可能是平行直线

D 、不可能相交直线

10、四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有

（ ）

A 、4个

B 、3个

C 、2个

D 、1个 11、A,B,C,D 是空间四点,AB 与CD 是异面直线,则必有( )

A 、AC 与BD 异面,AD 与BC 共面

B 、 A

C 与B

D 共面,AD 与BC 异面

C 、AC 与B

D 异面,AD 与BC 异面 D 、 AC 与BD 共面,AD 与BC 共面

二、填空题

12、若E 、F 、G 、H 顺次为空间四边形ABCD 四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且EG=3，FH=4，则AC 2+BD 2= .

13、已知B b A a ==αα ,，且Ａ，Ｂ不重合，则b a ,位置关系是______________

14、平面和β相交，在，β内各取两点，这四点都不在交线上，则这四个点能确定______平面。

三、解答题

15、试证明：过两条异面直线中的一条直线有且只有一个平面与另一条直线平面、 答案：

一、选择题

1、A ；

2、D ；

3、C ；

4、D ；

5、B ；

6、A ；

7、A ；

8、D ；

9、C ；10、A ；11、C

二、填空题

12、50 13、平行，异面或相交 14、1或4

三、解答题

15、证明：证存在一个平面与另一条直线平行（存在性）、

设a 、b 为异面直线，A 为a 上任一点，过b 与A 作一平面，在内过A 作直线c ∥b ，则由a 、c 确定的平面∥b 、存在一个平面与b 平行、

再证有唯一一个平面与另一条直线平行（唯一性）、

假设还有过a 且不与重合的平面∥b ，∩=d 、

∵三个平面两两相交，且a 、c 交于A ，∴其三条交线

交于一点，即点A ，而d ∥b ，∴c ∥d 、即过A 存在两条

直线c 、d 都与b 平行，这与平行公理相矛盾、

故只有唯一一个平面与另一条直线平行、 a A c

b

空间中直线与平面之间的位置关系

一、选择题

1．直线l与平面α不平行，则()

A．l与α相交B．lα

C．l与α相交或lα D．以上结论都不对

【解析】若l与α不平行，则l与α相交或lα.

【答案】 C

2．直线a在平面γ外，则()

A．a∥γ

B．a与γ至少有一个公共点

C．a∩γ＝A

D．a与γ至多有一个公共点

【解析】直线a在平面γ外，其包括直线a与平面r相交或平行两层含义，故a与r至多有一个公共点．

【答案】 D

3．在长方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有()

A．2个B．3个

C．4个D．5个

【解析】如图所示，结合图形可知AA1∥平面BC1，AA1∥平面DC1，AA1∥平面BB1D1D.

【答案】 B

4．下列说法中正确的是()

A．如果两个平面α、β只有一条公共直线a，就说平面α、β相交，并记作α∩β＝a

B．两平面α、β有一个公共点A，就说α、β相交于过A点的任意一条直线C．两平面α、β有一个公共点A，就说α、β相交于A点，并记作α∩β＝A D．两平面ABC与DBC相交于线段BC

【解析】B不正确，若A∈α∩β，则α，β相交于过A点的一条直线；同理C不正确；D不正确，两个平面相交，其交线为直线而非线段．

【答案】 A

5．如果空间的三个平面两两相交，那么()

A．不可能只有两条交线 B．必相交于一点

C．必相交于一条直线 D．必相交于三条平行线

【解析】空间三个平面两两相交，可能相交于一点，也可能相交于一条直线，还可能相交于三条平行线，故选A.

【答案】 A

二、填空题

6．已知平面α∥平面β，直线aα，则直线a与平面β的位置关系为________．

【解析】∵α∥β，∴α与β无公共点，

∵aα，∴a与β无公共点，∴a∥β.

【答案】a∥β

7．过平面外两点作该平面的平行平面，可以作平面的个数是________．

【解析】当这两点的连线不与平面平行时，过这两点不存在与已知平面平行的平面．当这两点的连线与已知平面平行时，能作一个平面与已知平面平行，故填0或1.

【答案】0或1

8．(2012·银川高一评估)过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

【解析】如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1.

【答案】 6

三、解答题

9．已知直线l∩平面α＝A，直线mα，画图表示直线l和m的位置关系．

【解】直线l和m的位置关系有异面和相交两种情况，l和m异面，如图a所示；l和m相交，如图b所示．

10．如图2－1－20，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．

图2－1－20

【解】由α∩γ＝a知aα且aγ，

由β∩γ＝b知bβ且bγ，

∵α∥β，aα，bβ，∴a、b无公共点．

又∵aγ且bγ，∴a∥b.

∵α∥β，∴α与β无公共点．

又aα，

∴a与β无公共点，

∴a∥β.

11．试画图说明三个平面可把空间分成几个部分

【解】三个平面可把空间分成4(如图①)、6(如图②③)、7(如图④)或8(如图⑤)个部分．

12、已知α∩β=l,a?α且a?β,b?β且b?α,又a∩b=P.

求证：a与β相交,b与α相交.

证明：如图10,∵a∩b=P,

图10

∴P∈a,P∈b. 又b?β,∴P∈β.∴a与β有公共点P,即a与β相交. 同理可证,b与α相交.

13、过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行

解：(1)如图11,C′D′与BD是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行.如图12,

图11 图12 图13

空间直线与平面的方程及其位置关系

空间直线与平面的方程及其位置关系

————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:

空间直线与平面的方程以及位置关系 高天仪 20101105295 数学科学学院 数学与应用数学专业 １0级汉二班 指导教师 李树霞 摘 要 解析几何中,在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具,通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。 关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数 1 空间直线的方程 1.１ 直线的对称式（点向式)方程 空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量. 任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量. 直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一 点,00r OM =, r OM =,由于M M 0与v （非零向量)共线, 则 v t r r =-0 即 v t r r +=0 （1.1－1） 叫做直线l 的向量式参数方程,（其中ｔ为参数)。 如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v = ,那么 （１.1-1）式得 ?? ? ??+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （１.１-2) （1.１－1)叫做直线l 的坐标式参数方程。

空间直线与直线的位置关系(教学案)

青岛市中等职业学校信息化教学设计比赛 教学案 参赛人: 王立广 参赛单位: 青岛幼儿师范学校

课题：10.2空间两条直线的位置关系 学习目标： 1、知识与技能 （1）理解空间两条直线的位置关系。 （2）会用平面衬托来画异面直线。 （3）掌握并会应用平行公理。 （4）会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法 在直线的位置关系的判断过程中，掌握借助平面判断空间两条直线的位置关系的方法； 3、情感态度与价值观 (1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 (2).增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。 (3).通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。 学习重点：异面直线的判断； 学习难点：异面直线所成角的推证与求解。 教具准备：学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）、手工制作模型 一、课前导学 平面内两条直线的位置关系有：、。其中相交直线有 个公共点；平行直线公共点。 【问题引导】在同一个平面内，两条直线要么平行，要么相交，不平行的两直线一定相交，在空间内任意两条直线这个结论是否还成立？ 【实例观察】观察下列两个图形，螺母与十字路口----立交桥，AB, CD所在直线平行吗？相交吗？） 二、新课导学A B D

1.异面直线的定义: 我们把 叫做异面直线。 【问题引导】你认为异面直线的定义中，关键字有哪些？为什么？ 2.空间两直线的位置关系 按平面基本性质分?? ???? ?????? 不同在任何平面内 在同一平面内 按公共点个数分?? ? ? ?? ??????没有公共点有一个公共点 【合作探究】 1.在正方体ABCD －EFGH 中，和AE 相交、平行、异面的直线分别有哪些？ （学生快速对照模型寻找答案，然后收起模型，看图回答。） 2.如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对? （学生以小组为单位，对照课前准备好的正方体模型，进行合 作讨论，找出异面直线。教师通过几何画板展示此图还原的过程，与学生一起订正他们的答案） 【问题引导】你是怎么判断直线的位置关系的？怎么判断两直线是否是异面直线的？ 3．异面直线的判断 经过 一点和 一点的直线，和 的直线是异面直线。 【问题引导】异面直线的判断需要平面的辅助，怎么寻找辅助的平面呢？ 4.异面直线的画法 说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托。下列三 A D C B E G H C

空间直线和平面总结 知识结构图+例题

【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 期中复习 ［知识串讲］ 空间直线和平面： （一）知识结构 （二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化： 线线∥ (a//b,b//c a//c) αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ? 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? A b 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

面面垂直判定 面面垂直定义 αβαβ αβ =-- ?⊥ ? ? ? l l ，且二面角 成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化： 面面∥ 面面平行判定2 面面平行性质3 a b a b // ⊥ ?⊥ ? ? ? α α a b a b ⊥ ⊥ ? ? ? ? α α // a a ⊥ ⊥ ? ? ? ? α β αβ // αβ α β // a a ⊥ ⊥ ? ? ? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： （三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （时，∥或）θαα=??0b b （3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角； （2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。 3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。 4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。 常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。 简单几何体： （一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体） 性质侧棱都相等侧面是平行四边形对角面是平行四边形两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形直截面周长侧棱长底面积高直截面面积侧棱长侧柱S V =?=?=??? ? ????????

空间中直线与直线之间的位置关系(附答案)

空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然 有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O， 所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法 方法内容 定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内 定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用) 反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不

是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ?? ? 共面直线??? ?? 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线 无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性 符号语言 ? ??? ?a ∥c b ∥c ?a ∥b 图形语言 知识点三 空间等角定理 1.定理

空间中直线和平面之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 （1）直线与平面位置关系可归纳为

(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外， 我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法： ①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内， 而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是 无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外； ②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边 形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； ③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一 条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有 一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个 平面。 变式1、下列说法中正确的是 。 ①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l αααα?b αα?b α.1 C ?答案：B 变式3、 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l 与平面α的位置关系. 图3 解：直线l 与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.

空间直线与平面,平面与平面的位置关系

精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号_

D所成的角， 2 = 3

D C P A B 解析：∵AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∴AP ⊥PBC 连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角 又∵∠ABP =∠ACP =60o，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点， ∴PD= BC 27, PA=6BC ∴AD=BC 2 31 ∴31 217 cos ==∠AD PD PDA ∴AD 与平面PBC 所成角的余弦值为31 217 巩固练习： 1 选择题 （1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ） （A ）（0o,90o） （B ）[0o,90o] （C ）[0o,180o] （D ）[0o,180o) （2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论 中，可能成立的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （3）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ） （A ）0条或1条 （B ）0条或无数条 （C ）1条或2条 （D ）0条或1条或无数条 答案：（1）B (2)C (3)D 2．填空题 （1）设斜线与平面α所成角为θ，斜线长为l ，则它在平面内的射影长是 .

∵AO OE ⊥ ∴2tan 2AO AEO OE ∠= = ∴2 arctan 2 AEO ∠= 即二面角A BC D --的大小为2 arctan 2 （3）取AC 的中点E ，连接,EF OF ，则//,//EF AB OE CD ∴OE 与EF 所成的锐角或直角即为异面直线AB 和CD 所成角 易求得45OEF ∠= 即异面直线AB 和CD 所成角为45 例5、设P 是△ABC 所在平面M 外一点，当P 分别满足下列条件时，判断点P 在M 内的射影的位置． （1）P 到三角形各边的距离相等． （2）P 到三角形各顶点的距离相等． （3）PA 、PB 、PC 两两垂直． 解析：设P 在平面M 内的射影是O ． （1）O 是△ABC 的内心； （2）O 是△ABC 的外心； （3）O 是△ABC 的垂心．

人教版数学必修二2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 教案

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系教案 教学目标： 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系。 2. 学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系. 教学重点：直线与平面的三种位置关系及其作用． 教学难点：直线与平面的三种位置关系及其作用 问题提出 1. 空间点与直线，点与平面分别有哪几种位置关系？ 2. 空间两直线有哪几种位置关系？ 探究：直线与平面之间的位置关系 思考1:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？ 思考2:如图，线段A ′B 所在直线与长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′的六个面所在的平面各是什么位置关系？ 思考3:通过上面的观察和分析，直线与平面有三种位置关系有哪些？靠什么来划分呢？ 思考4:用图如何表示直线与平面的三种位置？如何用符号语言描述这三种位置关系？ 思考5:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行？若直线l 平行于平面α，则直线l 与平面α内的直线的位置关系如何？ B A D C A' B' D' C'

理论迁移 例1 给出下列四个命题： (1)若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α. (2)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行. (3)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点. (4)若直线l 在平面α内，且l 与平面β平行，则平面α与平面β平行. 其中正确命题的个数共有 __个. 随堂练习：判断正误 1、若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α( ) 2、若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行( ) 3、如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行( ) 4、如果平面外的两条平行直线中的一条直线与平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行（ ） 5、若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点( ) 巩固练习 1．选择题 （1）以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面） ①若a ∥b ，b ?α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ?α，则a ∥b 其中正确命题的个数是 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 （2）已知a ∥α，b ∥α，则直线a ，b 的位置关系 ①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有 （ ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 （3）如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系 一定是（ ） （A ）平行 （B ）相交 （C ）平行或相交 （D ）AB ?α （4）已知m ，n 为异面直线，m ∥平面α，n ∥平面β，α∩β=l ，则l （ ） （A ）与m ，n 都相交 （B ）与m ，n 中至少一条相交 （C ）与m ，n 都不相交 （D ）与m ，n 中一条相交 （5）已知直线a 在平面α外，则 （ ） （A ）a ∥α （B ）直线a 与平面α至少有一个公共点 （C ）a A α ?= （D ）直线a 与平面α至多有一个公共点 课本49页练习 课堂小结 课外作业 一、选择题： 1．下列命题中正确的是（ ） A ．平行于同一个平面的两条直线平行

空间两条直线的位置关系

空间两条直线的位置关系 知识点一空间两条直线的位置关系 1．异面直线 ⑴定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线。 ⑵特点：既不相交，也不平行。 ⑶理解：①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此， 异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性。 ②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”。 ③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说，在两 个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线． 2．空间两条直线的位置关系 ⑴相交——在同一平面内，有且只有一个公共点； ⑵平行——在同一平面内，没有公共点； ⑶异面——不同在任何个平面内，没有公共点． 例1、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上) 答案：③④ 例2、异面直线是指____． ①空间中两条不相交的直线；②分别位于两个不同平面内的两条直线； ③平面内的一条直线与平面外的一条直线；④不同在任何一个平面内的两条直线． 变式1、一个正方体中共有对异面直线．

变式1、如图E 、F 、G 、H 是平面四边形ABCD 四边中点，四边形EFGH 的形状是平行四 边形吗？为什么？如果将ABCD 沿着对角线BD 折起就形成空间四边形ABCD ，那么四边形 EFGH 的形状还是平行四边形吗？ 知识点三 异面直线 1、 异面直线的画法：为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，常常需要以辅助平面 作为衬托，以加强直观性，如下图(l)，若画成如下图(2)的情形，就分不开了，千万不能 画成(2)的图形。 画平面衬托时，通常画成下图中的情形。 2、异面直线的判定 ⑴异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直 线是异面直线． ⑵判定两条直线为异面直线的常用方法有： ①定义法：不同在任一平面内的两条直线． ②定理法：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线为异面 直线． ③推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线． ④反证法：反证法是证明立体几何问题的一种重要方法，证明步骤有三步：一是提出与 结论相反的假设；二是由此假设推出与题目条件或某一公理、定理或某一已 被证明是正确的命题相矛盾结果；三是推翻假设，从而肯定与假设相反的结 论，即命题的结论成立， 3、异面直线所成的角 a 与 b 是异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a′∥a ，b ′//b ，直线a′和b ′所成的锐角 （或直角）叫做异面直线a ，b 所成的角．如下图所示． A B D E F G H A B C D E F G H 折

直线与平面、平面与平面的位置关系知识点

//a b a b α α??//a α//a b 直线与平面、平面与平面的位置关系 【知识梳理】 【直线与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：直线与平面无公共点． （2）判定定理： （3）其他方法：//a αββ? 2．性质定理：//a a b α βαβ??= 【平面与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：两平面无公共点． （2）判定定理：////a b a b a b P β β αα ???= //αβ （3）其他方法：a a α β⊥⊥ //αβ； ////a γ βγ //αβ 2．性质定理：//a b αβ γαγβ?=?= //a α //a b

【直线与平面垂直的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）用定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直． （2）判定定理：a b a c b c A b c α α ⊥⊥?=?? a α⊥ （3）推论：//a a b α ⊥ b α⊥ （3）性质① a b α α⊥? a b ⊥ ② a b α α⊥⊥ 【平面与平面垂直的判定方法和性质定理】 （1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）判定定理 a a αβ?⊥ αβ⊥ （3）性质：①性质定理 l a a l αβ αβα ⊥?=?⊥ αβ⊥ ② l P PA A αβαβαβ⊥?=∈⊥垂足为 A l ∈ ③ l P PA αβ αβα β⊥?=∈⊥ PA α? 【转化思想】 面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直 //a b

空间中直线与平面的位置关系 说课稿 教案 教学设计

1 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系； （3）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 （1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握； （2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。 二、教学重点、难点 重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。 难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。 三、学法与教学用具 1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想 （一）创设情景、导入课题 教师以生活中的实例以及课本P49的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题） （二）研探新知 1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a ∩α=A a ∥α 例4（投影） 师生共同完成例4 例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。 2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系： （1）两个平面平行 —— 没有公共点 （2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为 α β α β L

空间直线与平面的位置关系(夹角)

§14.3空间直线与平面的位置关系（夹角） 【知识解读】 1、线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 2、线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 3、平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行． 4、推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行． 5、平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6、面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线都平行于另一个平面． 7、线面角--直线l与其在平面 上的射影所成的锐角称为直线与平面所成的角

F E D C B A 【例题讲解】 例1、简述下列问题的结论，并画图说明： （1）直线?a 平面α，直线A a b = ，则b 和α的位置关系如何？ （2）直线α?a ，直线a b //，则直线b 和α的位置关系如何？ 例2、已知：空间四边形A B C D 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，求证：//EF BCD 平面． 例3、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证MN ∥平面BCE _ C _ B

B M H S C A A 例4、在正方体中,棱长为a .求：(1)直线1AB 与面1111D C B A 所成的角；(2)直线1DB 与面1111D C B A ； 例5、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点， 求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 例6、如图，几何体ABCDE 中，△ABC 是正三角形，EA 和DC 都垂直于平面ABC ，且 a AB EA 2==，a DC =，F 、G 分别为EB 和AB 的中点.（1）求证：FD ∥平面ABC ；（2） 求证：AF ⊥BD ； 1111D C B A ABCD -

直线与平面的关系

第二章 直线与平面的位置关系 一、平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L ， B ∈L =>L α A ∈α，B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理2作用：确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 异面直线：不在同一个平面内的两条直线。异面直线既不相交也不平行。 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面直线。这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。 5 注意点：（1）直线所成的角θ∈(0， ]。 （2）条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； （3）直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； （4）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a ∩α=A a ∥α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 2

空间直线和平面复习总结

空间直线和平面（一）知识结构 （二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化： 线线∥ 线面∥面面∥ 公理4 (a//b,b//c a//c) 线面平行判定 αβ αγβγ // , // I I == ? ? ? ? a b a b 面面平行判定1 a b a b a // , // ?? ? ? ? ? αα α 面面平行性质 a b a b A a b ?? = ? ? ? ? ? ? αα ββ αβ , //,// // I 线面平行性质 a a b a b // // α β αβ ? = ? ? ? ? ? ? I 面面平行性质1 αβ α β // // a a ? ? ? ? ? 面面平行性质 αγ βγ αβ // // // ? ? ? ? A b α a β a b α 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

线线⊥线面⊥面面⊥三垂线定理、逆定理 PA AO PO a a OA a PO a PO a AO ⊥ ? ⊥?⊥ ⊥?⊥ α α α ,为 在内射影 则 线面垂直判定1面面垂直判定 a b a b O l a l b l , , ? = ⊥⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? α α I a a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α β αβ 线面垂直定义 l a l a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α α 面面垂直性质，推论2 αβ αβ β α ⊥ = ?⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? I b a a b a , αγ βγ αβ γ ⊥ ⊥ = ?⊥ ? ? ? ? ? I a a 面面垂直定义 αβαβ αβ I=-- ?⊥ ? ? ? l l ，且二面角 成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化： 线线∥线面⊥面面∥ 线面垂直判定2面面平行判定2 面面平行性质3 a b a b // ⊥ ?⊥ ? ? ? α α a b a b ⊥ ⊥ ? ? ? ? α α // a a ⊥ ⊥ ? ? ? ? α β αβ // αβ α β // a a ⊥ ⊥ ? ? ? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： （三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

《空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系》教学设计(优质课)

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系； （3）培养学生的空间想象能力. 2．过程与方法 （1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握； （2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识. （二）教学重点、难点 重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系. 难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系. （三）教学方法 借助实物，让学生观察事物、思考等，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标. 有几种位置关系？：有三种位置关系： ）直线与平面平行

图形语言是： 直线a与面α相交的 直线a与面α ∥α. 图形语言是：

′C′D′的六 平面与平面平行的符号语 .图形语言是：

（1）AB没有被平面

备用例题 例1 直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（） A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．任意一条直线都不相交 D．无数条直线都不相交 【解析】直线与平面平行，那么直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C. 例2 “平面内有无穷条直线都和直线l平行”是“α // l”的（）. A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面 平行，应选B. 例3 求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内. 已知：l∥α，点P∈α，P∈m，m∥l 求证：mα ?. 证明：设l与P确定的平面为β，且αβ= m′，则l∥m′. 又知l∥m，m m P '=，

空间直线与平面,平面与平面的位置关系

精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号_ D所成的角，

O D C B A 又∵112cos cos 452A BB ∠== ，116cos 3 B B B BO BO ∠==， ∴11112 cos 3 2cos cos 26 3 A B B A BO B BO ∠∠===∠，∴130A BO ∠=． 说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的 情况下，用公式21cos cos cos θθθ=?求线面角显得更加方便 变式练习： 已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等，求AC 与平面BCD 所成角的余弦值 解析：过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接,,CO BO DO ， ∵AB AC AD ==，∴O 是正三角形BCD 的外心， 设四面体的边长为a ，则3 3 CO a = ， ∵90AOC ∠=，∴ACO ∠即为AC 与平面BCD 所成角， ∴3 cos 3ACO ∠= ，所以，AC 与平面BCD 所成角的余弦值为33 ． 例2、如图，已知AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∠ABP =∠ACP =60o，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点，求AD 与平面PBC 所成角的余 弦值. 解析：∵AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∴AP ⊥PBC 连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角 又∵∠ABP =∠ACP =60o，PB =PC = 2BC ，D 是BC 中点， ∴PD= BC 2 7 , PA=6BC ∴AD=BC 231 ∴31 217 cos == ∠AD PD PDA ∴AD 与平面PBC 所成角的余弦值为 31 217 巩固练习： 1选择题 （1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值围是（ ）

高中数学 空间点,直线和平面的位置关系公式

空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。 符合表示：

β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ? ????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα //////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα

空间直线与直线的位置关系(教案).

课题： 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 桓台一中数学组尹朔 教材版本：新课标：人教版A版《数学必修2》 设计思想： 空间中直线与直线的位置关系是学生在已经学习了平面的基本概念的基础上进行学习的。在立体几何初步的内容中，位置关系主要包括直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。而空间中直线与直线的位置关系是以上各种位置关系中最重要、最基本的一种，是我们研究的重点。其中，等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下角的大小不变，它是两条异面直线所成角的依据，也是以后学习研究二面角几角有关内容的理论依据，它提供了一个研究角之间关系的重要方法。 教材在编写时注意从平面到空间的变化，通过观察实物，直观感知，抽象概括出定义及定理培养学生的观察能力和分析问题的能力，通过联系和比较，理解定义、定理，以利于正确的进行运用。 教材分析： 直线与直线问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。 教学目标： 1、知识与技能 （1）.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。 （2）.会用平面衬托来画异面直线。 （3）.掌握并会应用平行公理和等角定理。 （4）.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法 （1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合； （2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。 3、情感态度与价值观 (1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 (2).增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。 (3).通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。 教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。 教学难点：异面直线所成角的推证与求解。 教具准备:学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体） 教学模式 问题——自主、合作——探究

空间中直线与平面、平面与平面之间的关系

科目：数学 课题§2.1.3空间中直线与平面、平面与平面 之间的关系 课型新课 教学目标（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）了解空间中平面与平面的位置关系；（3）培养学生的空间想象能力. 教学过程教学内容备 注 一、自主学习 1.空间点与直线，点与平面分别有哪几种位置关系？空间两直线有哪几种位置关系？ 2.就空间点、线、面位置关系而言，还有哪几种类型有待分析？

二、质疑提问思考1:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？ 思考2:对于一条直线和一个平面，就其公共点个数来分类有哪几种可能？ 思考3:如图，线段A′B所在直线与长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有几种位置关系？ 思考4:通过上面的观察和分析，直线与平面有三种位置关系，即直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.这些位置关系的基本特征是什么? （1）直线在平面内---有无数个公共点； （2）直线与平面相交---有且只有一个共点； （3）直线与平面平行---没有公共点. 思考5:下图表示直线与平面的三种位置，如何用符号

语言描述这三种位置关系？ 思考6:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. 用符号语言怎样表述？ 思考7:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行？若直线l平行于平面α，则直线l与平面α内的直线的位置关系如何？ 思考1:拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种变化？ 思考2:如图，围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？

思考3：由上面的观察和分析可知，两个平面的位置关系只有两种，即两个平面平行，两个平面相交.这两种位置关系的基本特征是什么？ （1）两个平面平行---没有公共点； （2）两个平面相交---有一条公共直线. 思考4:下图表示两平面之间的两种位置，如何用符号语言描述这两种位置关系？

空间中直线与直线之间的位置关系教案

空间中直线与直线之间的位置关系教案 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）了解空间中两条直线的位置关系； （2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理； （5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 2、过程与方法 （1）师生的共同讨论与讲授法相结合； （2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。 3、情感与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 二、教学重点、难点 重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。 难点：异面直线所成角的计算。 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板 四、教学思想 （一）创设情景、导入课题 1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课 1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图： 2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？ 组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 共面直线

空间直线与平面

空间直线与平面

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一对一ｖip 辅导讲义 年 级： 高二 辅导科目： 数学 课 题 空间直线与平面（一) 教学目的 1.熟练掌握平面基本性质； 2.理解空间中的线线关系； 3.锻炼初步的空间想象能力,体会数学空间中的抽象美。 教学内容 【知识讲解】 （一)平面 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 注意：（１）关于公理1可以使用集合的符号把它简明准确地表达.A ∈L,B ∈Ｌ，Ａ∈α,B ∈α?L ?α。 (2）公理1 判定直线在平面内的依据，进一步可判定图形共面。 （３)公理１说明平面具有无限延展性。 B A α 公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 如图: l βα 注意: 1． “有且只有一条”的含义是：“有”说明直线是存在的,“只有”说明直线是唯一的。 ２. 如果两个平面α和β有一条公共直线,就说平面α和β相交,交线是ａ，则可记作 α∩β＝a 3． 公理2可表示成如下形式:若A ∈α,A ∈β，则α∩β＝a ，且A ∈a 。 4. 两个平面如果有一个公共点,那么就有无穷多个公共点，所有公共点在公共直线上,即它们的交线上；交线的每一个点都是两个平面的公共点。 ５. 公理2是作出两个平面交线的依据。 6. 在公理指导下画出两个相交平面的一般步骤如下： ①先画表示两个平面的平行四边形的相交两边,如图(1） ②再画出表示两个平面交线的线段，如图（2） ③过图(1)中线段的端点分别引线段，使它平行且等于(２)中表示交线的线段,如图（３)。 ④画图中表示两个平面的平行四边形的第四边（被遮住的线,可以用虚线,也可以不画，如图（4)）