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线性规划与投资组合的论文

包头师范学院本科毕业论文

题目：投资组合中的优化问题

学生姓名：罗三龙

学院：数学科学学院

专业：数学与应用数学专业

班级：08级本科二班

指导教师：宋志平教授

二〇一二年五月

摘要

线性规划数学模型是描述实际问题的数学形式,它反映了实际问题数量间的本质规律。由于投资组合的实际问题往往比较复杂,建立线性规划数学模型时,对某一个问题要认真分析,抓住最本质的因素,用简单的数学式子将其描述出来,使建立的数学模型既简单又能正确地反映问题的本质。从实际问题中建立数学模型一般要根据影响所要达到目的的因素找到决策变量，再由决策变量和所要达到目的之间的函数关系确定目标函数，由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数,约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型并利用相关软件求解，就能对有限的资源进行合理分配和合，从而获得最佳经济效益。

本文由以下三部分组成的：第一部分初步介绍了投资组合与线性规划的联

系；第二部分介绍了线性规划的数学模型；第三部分介绍了线性规划解决投资组

合中的优化问题。

关键词：线性规划；单纯形法；投资组合；

摘要部分去掉第一段，增加本文关于投资组合的一般线性规划模型、动态模型、整数规划模型的介绍及其解法、结论的简要概括。

修改后，要对全文认真、仔细地研读，发现错误，及时改正，然后可以打印了。并要对文中的例题及其解法，包括计算机程序熟练掌握，准备答辩。

Abstract

Linear programming mathematical model was developed to describe the actual problems in mathematical form, it reflects the actual problem between the number of laws of nature. As a result of portfolio practical problems are often more complicated, to establish the linear programming mathematical model, to a question should be analysed seriously, seize the most essential factors, using simple mathematical formula to describe, to establish the mathematical model which is simple and can correctly reflect the essence of the problem. From the real problems in the establishment of mathematical models of general

According to the influence factors to achieve the purpose of finding the decision variables, then the decision variables and to achieve the objective function of the relationship between the objective function was determined by the decision variables, restrictive conditions to determine the decision variables are the constraint conditions. When we get the mathematical model of objective function is a linear function, constraint condition for linear equations or inequalities that this mathematical model for linear programming model and using the software solution, can be of limited resources reasonable allocation and combination, so as to achieve the best economic benefit.

This paper consists of the following three parts : the first part introduces the initial portfolio and linear programming contact; the second part introduces the mathematical model of linear programming; the third part introduces linear programming to solve portfolio optimization problems.

Keywords：Linear programming; simplex method; investment portfolio;

引言 (1)

1、投资组合与线性规划............................................................ 错误！未定义书签。

2、线性规划问题的数学模型 (2)

3、投资组合中的优化问题 (3)

3.1一般线性规划解决投资组合中的优化问题 (4)

3.1.1投资组合问题 (4)

3.1.2最佳广告投放方案 (6)

3.2 投资组合中的动态规划问题 (8)

3.3投资组合中的整数规划问题 (10)

结论.............................................................................................. 错误！未定义书签。参考文献. (13)

引言

随着经济全球化的不断发展，企业面临更加激烈的市场竞争。企业必须不断提高盈利水平，增强其获利的能力，在成本、生产、运输、销售等环节中提高效率，形成企业的核心竞争力，才能在激烈的市场竞争中立于不败之地。在各类经济活动中，经常遇到这样的问题：在生产条件不变的情况下，如何通过统筹安排，改进生产组织或计划，合理安排人力、物力资源，组织生产过程，使总的经济效益最好。这样的问题常常可以化成或近似地化成所谓的“线性规划”问题。线性规划是应用分析、量化的方法，对经济管理系统中的人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现有效管理。利用线性规划我们可以解决很多问题。如：在不违反一定资源限制下，组织安排生产，获得最好的经济效益（产量最多、利润最大、效用最高）。也可以在满足一定需求条件下，进行合理配置，使成本最小。同时还可以在任务或目标确定后，统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成任务。下面我们简单的介绍线性规划与投资组合的关系并运用线性规划解决一些投资组合中的实际问题。

1，投资组合与线性规划

投资指货币转化为资本的过程。投资可分为实物投资、资本投资和证券投资。前者是以货币投入企业，通过生产经营活动取得一定利润。后者是以货币购买企业发行的股票和公司债券，间接参与企业的利润分配。投资者把资金按一定比例分别投资于不同种类的项目或有价证券或同一种类有价证券的多个品种上，这种分散的投资方式就是投资组合。通过投资组合可以分散风险，即“不能把鸡蛋放在一个篮子里”，这是证券投资基金成立的意义之一,市场持续震荡，风险凸显。在选择基金理财投资时，秉承“一堆鸡蛋多个篮子”的理念，优选基金做投资组合，更助你抗风险。基金组合应结合自身所处生命周期，承受风险能力与投资期限而投资多只各类型基金，均衡风险管理，增强投资的稳定性，使基金投资在各个阶段都能获得较好的收益，而不能简单地将股票基金累计相加。那么，投资人应如何选择基金作为自己的投资组合呢？要想让自己的投资得到最大的收益就应遵循线性规划。线性规划是运筹学的一个最基本的分支，它已成为帮助各级管理人员进行决策的一种十分重要的工具。传统的管理只注重定性分析，已远远不能适应当今社会发展的需要。现代化管理要求采用定性分析和定量分析相结合的方法，一切管理工作要力求做到定量化，最优化，于是就产生了各种各样的管理优化技术。线性规划在世界上各个工业化国家已经得到了极为广泛的应用，为那些国家的公司，企业节省了成千上万的资金，那么线性规划主要有那些方法来解决实际问题。

二、线性规划问题的数学模型

通常称现实世界中人们关心，研究的实际对象为原型。模型是将某一部分信息简缩，提炼而构造的原型替代物。数学模型则是对现实世界的一个特定对象，为达到一定目的，根据内在规律做出必要的简化假设，并运用适当数学工具得到的一个数学结构。线性规划问题的数学模型包含三个组成要素：（1）决策粗变量，只决策者为实现规划目标采取的方案，措施，是问题中要确定的未知量；（2）目标函数，指问题要达到的目的要求，表示为决策变量的函数；（3）约束条件，指决策变量取值时受到的各种可用资源的限制，表示为含决策变量的等式或不等式。如果在规划问题的数学模型中，决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的，这类模型称为线性规划问题的数学模型。

一般线性规划问题的数学模型可表示为以下几种形式：

11221111221121122222

11221max(min)()

((..(,,0

n n n n n n m m mn n m n z c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x =++++++≤=≥??

+++≤=≥????+++≤=≥??≥?

或或，

）或，）或，）以上模型的简写形式为

max (min)((1,,)..0(1,,)n

j j

j n

ij j i j j z c x

a x

b i m s t x j n ===

?≤=≥=???≥=?

∑∑ 或或，）

式中： max 表示求极大值；min 表示求极小值；..s t 表示受约束于或约束条件;z 为目标函数; j x 为决策变量;a ，j b 和j c 分别是消耗系数，需求系数和收益系数, 在具体的线性规划问题中具有不同的经济学意义，一般都是已知实数。以上部分做了修改，注意保存。

三、投资组合中的优化问题下面句子不通

随着经济全球化的不断发展，企业棉纶更加激烈的市场竞争。企业必须不断提高盈利水平、增加其获利能力，在生产、销售、新产品研发等一系列过程中只有自己的优势、提高企业效率、降低成本、形成企业的核心竞争力，才能在激烈的竞争中立于不败之地。过去很多企业在生产、运输、市场营销等方面没有利用线性规划进行合理的配置，从而增加了企业的生产，使企业的利润不能达到最大化。在竞争日益激烈的今天，如果还按照过去的方式是难以生存的，所以就有必要利用线性规划的知识对战略计划、生产、销售各个环节进行优化从而降低生产成本，提高企业的效率。

利用线性规划我们可以解决很多问题。如：在不违反一定资源限制下，组织安排生产，获得最好的经济效益（产量最多、利润最大、效用最高）。也可以在满足一定需求条件下，进行合理配置，使成本最小。同时还可以在任务或目标确定后、统筹兼顾、合理安排、用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时

间等）去完成任务。：

下面介绍了线性规划在投资组合上的应用案例。

3.1一般线性规划解决投资组合中的优化问题

3.1.1投资组合选择问题

在金融行业中，投资组合管理人可以利用线性规划工具定量化地确定投资比例。假设中国投资基金正在发行一个固定收益共同基金，基金经理预测到发行结束之后，可以售出1亿份基金（1份基金等于人民币1元）。基金管理人的首要目标是获取投资收益，第二个目标是通过分散投资控制风险。假设该固定收益基金经理所面临的企业债券情况如表1所列。

为了符合分散投资目的，基金管理人决定投资于任何一只债券的资金额不能超过总基金的25%，至少有一半以上资金投资于长期债券（2009年以后），投资在等级为“一般”债券上的资金额不能超过总计金额的30%。

建立线性规划模型的第一步是确定决策变量。在这个问题中，显然投资在每只企业债券上的资金额为决策变量，那么一共有6个变量：

i X =投资在第i 只企业债券上的资金额（万元）。

显然，,,,,,i A B C D E F =。

第二部是确定目标函数。投资目标是选择,,,,,,i X i A B C D E F =，是收益最大，根据上面的表第二列，当前基金的收益率为：

0.0850.090.10.0950.0850.09A B C D E F P X X X X X X =+++++

最后一步是找出所有约束条件。我们可以看到，这个问题共有9个约束条件，第一个约束条件是投资在6只企业债券上的资金额相加之后应等于10 000万元，接下来的约束条件是投资于债券i 金额不能超过25%的上限；投资于长期债券（2009年以后）的金额必须超过50%；以及投资在等级为“一般”债券上的资金

额不能超过总资金额的30%。

由于共同基金的初始资金为10000万元，用于购买债券的资金必须满足：

10000A B C D E F X X X X X X +++++=

投资于债券i 的上限要求：

2500,

,,,,,i X i A B C D E F ≤=

投资于长期债券（2009年以后）的要求：

5000A B E F X X X X +++≥

投资等级的限制：

3000C D X X +≤

投资金额不能为负的要求：

,,,,,0A B C D E F X X X X X X ≥

最后，给出债券投资计划完整的线性规划模型：

max 0.0850.090.10.0950.0850.09100002500250025002500..2500250050003000

,,,,,0A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B E F C

D A B C D

E F

P X X X X X X X X X X X X X X X X s t X X X X X X X X X X X X X X =++++++++++=??

≤??

+++≥??+≤??≥?

用LINGO 求解：

Max=0.085*x1+0.09*x2+0.1*x3+0.095*x4+0.085*x5+0.09*x6; x1<2500;x2<2500;x3<2500;x4<2500;x5<2500;x6<2500 x1+x2+x5+x6>5000;x3+x4<3000; End

解得：x1=2500,x2=2500,x3=2500,x4=500,x5=2500,x6=2500

最大收益P=1172.5(万)

3.1.2最佳广告投放方案

企业的市场部门可以利用线性规划合理规划企业在各种媒体，比如，电视、广告、电台、路边广告牌和杂志等媒体上的最佳广告投放方案。例如，强力体育用品厂生产网球拍、高尔夫球用具等高档体育用品。企业的市场部正在规划本年度广告投放方案，年度广告总预算是100万元人民币，选择《大众体育》，《体育世界》和《人民体育》3中杂志作为广告投放对象，广告投放形式是1/4广告杂志页。投放在《体育世界》的广告不能超过5次，但至少在《大众体育》和《人民体育》杂志上刊登两次以上。统计数据表明，各种杂志的广告效果与投放量和有效顾客群相关。假设3种杂志的基本数据如表2所列。

把表2放在一页上。

为了构造广告投放计划的线性规划模型，首先需要定义决策变量。在本例中，决策变量是投放在每本杂志中1/4广告页的数量：

1X =投放在《大众体育》杂志中1/4广告页的数量，

2X =投放在《体育世界》杂志中1/4广告页的数量， 3X =投放在《人民体育》杂志中1/4广告页的数量。

然后，确定广告投放计划线性规划模型的目标函数。显然，市场部的目标是取得最大的广告效果，根据表中最后一行，那么，广告投放计划的目标函数为

1230.90.28P X X X =++

最后，确定广告投放计划线性规划模型的约束条件。共有两类约束，一类是广告预算约束，另一类是投放次数约束。投放在《体育世界》上的广告次数不能超过5次：

25X ≤

即至少需要在《大众体育》和《人民体育》杂志上刊登两次以上：

132,2X X ≥≥

投资次数不能为负：

123,,0X X X ≥

最后，给出广告投放计划完整的线性规划模型：

123123123123max 0.90.281056100

2..5

2,,0

P X X X X X X X s t X X X X X =++++≤??

≥??

≤??

≥??

≥?

用LINGO 求解:

Max=x1+0.9*x2+0.28*x3; 10*x1+5*x2+6*x3<100; X1>2;x2<5;x3>2;end

解得：

0.2,0.5,3.6321===x x x

P=11.36(万)

3.2 投资组合中的动态规划问题

某公司拟将500万元的资本投入所属的甲、乙、丙三个工厂进行技术改造，各工厂获得投资后年利润将有相应的增长，增长额如表3所示。试确定500万元资本的分配方案，以使公司总的年利润增长额最大。已做修改，注意保存。

解：将问题按工厂分为三个阶段3,2,1=k ，设状态变量k S （3,2,1=k ）代表从第k 个工厂到第3个工厂的投资额，决策变量k x 代表第k 个工厂的投资额。于是有状态转移率k k k x S S -=+1、允许决策集合}0|{)(k k k k k S x x S D ≤≤=和递推关系式：

)}()({max )(1

0k k k k k S x k k x S f x g S f k

k -+=+≤≤ )1,2,3(=k

0)(44=S f

当3=k 时：

)}({max }0)({max )(330330333

3x g x g S f S x S x ≤≤≤≤=+=

于是有表4，表中*

3x 表示第三个阶段的最优决策。

当2=k 时：

)}()({max )(223220222

2x S f x g S f S x -+=≤≤

于是有表5.

)}()({max )(112110111

1x S f x g S f S x -+=≤≤

于是有表6.

上表中仍缺少x1的值？

然后按计算表格的顺序反推算，可知最优分配方案有两个：（1）甲工厂投资200万元，乙工厂投资200万元，丙工厂投资100万元；（2）甲工厂没有投资，乙工厂投资200万元，丙工厂投资300万元。按最优分配方案分配投资（资源），年利润将增长210万元。

3.3投资组合中的整数规划问题

某大型超市连锁公司欲在某市的东、南、西、北四区建立新的超市,拟议中有十个位置i A )103,2,1( =i 可供选择,考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度,规定:在东区由1A ，2A ，3A 三个点至多择两个;在西区由4A ,5A 两个点至少选择一个;在南区由6A ，7A 两个点至少选一个;在北区由8A ，9A ，10A 三个点至多选择两个。i A 各点的投资

额及每年可获利润由于地点不同都是不一样的,预测情况见表6:但投资额不能超过720万元,问应选择哪几个销售点,可使年利润最大? 解:该问题的数学模型为:

先引入10-变量)10,,2,1( =i x i

令?

??=.,0,1点没被选中当点被选中当，

i A i A i x 10,,2,1 =i .

于是问题可列写成：

1098765432161584825302022504036Max x x x x x x x x x x z +++++++++=

??????

?=≥+≥+≤++≤+++++++++10,

11272018016014080907080150120100 s.t. 765432110987654321或i x x x x x x x x x x x x x x x x x x

用LINGO 求得最优解:

Max=36*x1+40*x2+50*x3+22*x4+20*x5+30*x6+25*x7+48*x8+58*x9+61*x10; 100*x1+120*x2+150*x3+80*x4+70*x5+90*x6+80*x7+140*x8+160*x9+180*x10<720 x1+x2+x3<2;x4+x5>1;x6+x7>1；

@bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); @bin(x5); @bin(x6);

@bin(x7); @bin(x8); @bin(x9); @bin(x10); End

解得11=x ,12=x ,03=x ,04=x ,15=x , 16=x ,07=x ,08=x ,19=x ,1

10=x 可获得最大年利润245万元。

即在拟议中的1A ,2A ,5A ,6A ,9A ,10A 投资建立销售点,能获得最大利润,最大年利润为245万元。

结论

通过上述实例, 我们可以看到建模是解决线性规划投资组合问题的极为重要的环节与技术。一个正确数模的建立要求建模者熟悉规划问题的生产和管理内容, 明确目标要求和错综复杂的约束条件。线性规划模型必须是通用的、灵活的、积木式的和可视的, 解决的关键是根据问题中的已知条件, 找出约束条件和目标函数, 并从数学角度有条理的表述出来, 把实际问题转化成线性规划问题。

参考文献

1.钱颂迪.运筹学[M]. 北京：清华大学出版社， 1990

2.牛映武.运筹学[M]. 西安：西安交通大学出版社， 1994

3.魏国华，王芬. 线性规划[M]. 北京：高等教育出版社，1989

4.运筹学及其应用（第三版），朱求长，武汉：武汉大学出版社， 2004

5.胡运权.运筹学教程[M].北京:清华大学出版社, 1998.

6.韩伯棠.管理运筹学[M].北京:高等教育出版社, 2000.

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