北京市海淀区高中课改水平监测高二数学(人教版选修2-2)
北京市海淀区高中课改水平监测高二数学（选修2－2）
学校 班级 姓名 2009.4
卷一(共90分)
一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．复数2z i =-+，则复数z 在复平面内对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2．函数sin y x =的图象上一点(3π处的切线的斜率为（ ） A ．1 B C ．
．1
2
3．由直线1,2x x ==，曲线
2y x =及x 轴所围图形的面积为 （ ） A ．
3 B ．7 C ．
73 D ． 1
3
4．物体运动方程为41
34
S t =-，则2t =时瞬时速度为（ ）
A
．2 B
．4 C ． 6 D ．8 5．复数1z i =+的共轭复数z =（ ）
A ．1i +
B ． 1i -
C ．
11
22
i +
D ．
1122
i - 6．已知函数f (x )的导函数()f x '的图象如右图所示， 那么函数f (x )的图象最有可能的是( )
7． 若000(2)()
lim
1x f x x f x x
?→+?-=?，则0()f x '等于（ ）
A ．2
B ．－2
C ． 12
D ．1
2
-
8．有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点. 以上推理中（ ）
A ．大前提错误
B ． 小前提错误
C ．推理形式错误
D ．结论正确
9．函数2
()1
x f x x =-（ ）
A ．在(0,2)上单调递减
B ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递增
C ．在(0,2)上单调递增
D ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递减 10．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2,(2)4,(3)8f f f ===，则()f n 的表达式为 （ ）
A.2n
B. 2n
C. 22n n -+
D. 2(1)(2)(3)n n n n ----
二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
11．已知平行四边形OABC 的顶点A 、B 分别对应复数1342i i -+，.O 为复平面的原点，那么顶点C 对应的复数是____________ 12．若1
03
()2
x k dx -=
?，则实数k 的值为 . 13. 观察以下不等式
222222131,221151,233
111712344+
<++<+++
+
++< ，则不等式右端()f n 的表达式应为_________
14．下列是关于复数的类比推理：
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ②由实数绝对值的性质22||x x =类比得到复数z 的性质22||z z =；
③已知,a b ∈R ，若0a b ->，则a b >类比得已知12,z z ∈C ，若120z z ->，则12z z >; ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中推理结论正确．．的是
三、解答题:本大题共3小题,共34分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．(本小题共12分)
已知函数3()395f x x x =-+.
（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数()f x 在[2,2]-上的最大值和最小值.
16．(本小题共12分)
用数学归纳法证明: 2
2
2
2
(1)(21)
123 (6)
n n n n ++++++=
17．(本小题共10分)
把边长为a 的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为x ，容积为()V x .
（Ⅰ）写出函数()V x 的解析式，并求出函数的定义域； （Ⅱ）求当x 为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.
卷二(共30分)
一、填空题:本大题共4小题, 每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
1．已知复数12z i =+（i 为虚数单位），2z 在复平面上对应的点在直线x=1上，且满足12z z ?是纯虚数，则|2z |=_______．
2．函数()ln(1)f x x ax =+-在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是 . 3．已知正弦函数x y sin =具有如下性质: 若),0(,...,21π∈n x x x ,则
)...sin(sin ...sin sin 2121n
x x x n x x x n
n +++≤+++(其中当
n x x x ===...21时等号成立). 根据上述结论可知,在ABC ?中,C B A sin sin sin ++的
最大值为_______.
4．对于函数2()(2)x f x x x e =-
（1）(是()f x 的单调递减区间；
（2）(f 是()f x 的极小值，f 是()f x 的极大值； （3）()f x 有最大值，没有最小值； （4）()f x 没有最大值，也没有最小值．
其中判断正确的是________________.
二、解答题:本大题共2小题,共14分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
5．(本小题共8分) 给定函数x a ax x x f )1(3)(2
23-+-=和x
a x x g 2)(+= (I)求证: )(x f 总有两个极值点;
(II)若)(x f 和)(x g 有相同的极值点,求a 的值.
6．(本小题共6分)
设函数2
()()x a f x x
-=．
（I ）证明：01a <<是函数()f x 在区间(1,2)上递增的充分而不必要的条件； （II ）若(,0)x ∈-∞时，满足2()26f x a <-恒成立，求实数a 的取值范围．
海淀区高中课改水平监测高二数学（选修2-2）参考答案
11. 3+5i 12. 1- 13. 21
()n f n n
-=（n ≥2） 14. ① ④ 三、解答题（本大题共3小题，共34分.） 15. (本小题共12分)
解：(1)2'()99f x x
=-. ------------------------------------------------- 2分
令2990x ->, ------------------------------------------------4分 解此不等式，得11x x <->或.
因此，函数()f x 的单调增区间为(,1)(1,)-∞-+∞和.------------------6分 (2) 令2990x -=,得1x =或1x =-.----------------------------------------8分
当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：
21
-------------------------------------------10分
从表中可以看出，当21x x =-=或时，函数()f x 取得最小值1-.
当12x x =-=或时，函数()f x 取得最大值11.-----------------------------12分 16. (本小题共12分)证明（1）当1n =时，左边=211=，右边=123
16
??=，等式成立.--4分
（2）假设当n k =时，等式成立，即2222(1)(21)
1236
k k k k ++++++= ------6
分 那么，当1n k =+时，
222222
22123(1)(1)(21)
(1)6
(1)(21)6(1)6
(1)(276)6
(1)(2)(23)6
(1)[(1)1][2(1)1]k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++=
++++++=
+++=
+++=
+++++=
这就是说，当1n k =+时等式也成立. ----------------------10分 根据（1）和（2），可知等式对任何*n N ∈都成立. -----------------------12分 17．(本小题共10分)
解：（Ⅰ）因为容器的高为x ，则做成的正三棱柱形容器的底边长为()a -----1分.
则2())V x a x =
- . -------------------------3分
函数的定义域为(0,
)6
. ------------------------- 4分
（Ⅱ）实际问题归结为求函数()V x 在区间)上的最大值点. 先求()V x 的极值点.
在开区间)内，22'()6V x ax =-+--------------------6分
令'()0V x =，即令2260ax -+=，解得12,( x x ==舍去).
因为1x =在区间)内，1x 可能是极值点. 当10x x <<时，'()0V x >；
当1x x <<时，'()0V x <. ---------------------8分
因此1x 是极大值点，且在区间)内，1x 是唯一的极值点，所以1x x ==是
()V x 的最大值点，并且最大值 31
)54
f a =
即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为3
154
a .-------------------10分 卷二
一、填空题（每小题4分，共16分）
1
(,]3-∞ 3. 2
4. (2)(3) 二、解答题:(本大题共2小题,共14分)
5. （本题8分）证明: (I)因为)]1()][(1([)1(2)('2
2
--+-=-+-=a x a x a ax x x f , 令
)('=x f ,则
1,121-=+=a x a x ,------------------------------------------2分
则当1-x f ,当11+<<-a x a , '()0f x <
所以1-=a x 为)(x f 的一个极大值点, -----------------------4分 同
理
可
证
1
+=a x 为
)
(x f 的一个极小值
点.-------------------------------------5分
另解：(I)因为'22()2(1)f x x ax a =-+-是一个二次函数，
且22(2)4(1)40a a ?=---=>，-------------------------------------2分 所以导函数有两个不同的零点， 又因为导函数是一个二次函数，
所以函数()f x 有两个不同的极值点.---------------------------------------5分
(II) 因为2
22)
)((1)('x a x a x x a x g +-=-=，
令
)('=x g ,则
a x a x -==21,
---------------------------------------6分
因为)(x f 和)(x g 有相同的极值点, 且a x =1和1,1-+a a 不可能相等,
所以当1+=-a a 时, 21-=a ， 当1-=-a a 时, 2
1
=a , 经检验, 21-
=a 和2
1
=a 时, a x a x -==21,都是)(x g 的极值点.--------------8分
6．(本小题共6分)
解（I ）对函数()f x 求导，得 2222
()()
()x a x a x a f x x x --+'==， …………1分 先证充分性：若01a <<，12x << ，0,0x a x a ∴->+>，∴()0f x '> ∴
函
数
()
f x 在区间
(1
上递增.
----------------2分
再说明非必要性:f （x ）在区间(1,2)上递增， ∴()0f x '≥对1 由222 0x a x -≥得，22a x ≤，而2 14x <<， 所以2 1a ≤，即1 1.a -≤≤ …………3分 所以，01a <<是函数()f x 在区间(1,2)上递增的充分而不必要的条件 ……4分 （II ） 22 2 ()x a f x x -'= ，令()0f x '= ，得12,x a x a ==- 显然，0a =时不符合题意. 当0a >时，函数()y f x =在（,a -∞-）上递增，在(,0),a -上递减， 若(,0)x ∈-∞时，2()26f x a <-恒成立，需()f x 极大值=2()2f a a -<-6 2 426a a ∴-<-，得1a >. --------------------------5 分 当0a <时，函数()y f x =在（,a -∞）上递增，在(,0),a 上递减， 此时，(,0)x ∈-∞，如满足2()26f x a <-恒成立， 需2()()026f x f a a ==<-极大值得a < 故若(,0)x ∈-∞时，满足2()26f x a <-恒成立，实数(,(1,)a ∈-∞?+∞ -------------------------------6分 其它正确解法按相应步骤给分 北京市朝阳区2017-2018学年高二上学期期末考试 数学（文）试题 学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 一、单选题 1. 命题“，”的否定是 A．，B．， C．，D．， 2. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为 假命题的是 A．若，，，则B．若，，则 D．若，，，则C．若，，则 3. “”是“直线与圆相切”的 A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 4. 如图，在三棱锥中，，，分别是侧棱，，的中点. 给出下列三个结论：①平面；②平面平面；③三棱锥与三棱锥的体积比为．其中正确的个数是 A．B． C．D． 5. 若函数，，则下列说法一定正确的是 B．C．D． A． 6. 已知如图为某三棱锥的三视图,则该三棱锥的表面积为 A． B． C． D． 7. 设是抛物线：的焦点，是抛物线上一点，点在抛物线的准线上，若，则直线的方程为 A．B． C．D． 8. 已知点，过点作直线，不同时为的垂线，垂足为，则的最小值为 A．B．C．D． 二、填空题 9. 双曲线的渐近线方程为________________. 10. 若函数在处取得极值，则的值为_________． 11. 如图，若三棱柱的底面面积为，高为，则三棱锥 的体积为_________．（用，表示） 12. 若直线与圆相交于，两点，为圆心，且，则的值为_________． 三、双空题 13. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，①如果为短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为_________；②若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为_________． 四、填空题 14. 已知平面内圆心为的圆的方程为，点是圆上的动点， 点是平面内任意一点，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹可能是_________．（请将下列符合条件的序号都填入横线上） ①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点. 五、解答题 15. 已知圆：且的圆心在直线： 上，过点的直线与直线垂直，交圆于，两点． （Ⅰ）求的值及直线的方程； （Ⅱ）求弦的长． 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.直线x+2=0的倾斜角为() A. 0B. π 4C. π 3 D. π 2 【答案】D 【解析】解：直线x+2=0的斜率不存在，倾斜角为π 2 ．故选：D．直 线x+2=0与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为π 2 ．本题考查了直线方程与倾斜角的应用问题，是基础题． 2.抛物线y2=4x的准线方程为() A. x=?1 B. x=1 C. y=?1 D. y=1 【答案】A 【解析】解：∵y2=4x，2p=4，p=2，∴抛物线y2=4x的准线 方程为x=?1．故选：A．利用抛物线的基本性质，能求出抛物 线y2=4x的准线方程．本题考查抛物线的简单性质，是基础题.解 题时要认真审题，仔细解答． 3.如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是() A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 圆锥 D. 圆柱 【答案】C 【解析】解：三棱柱，四棱柱(特别是长方体)，圆柱的正视图都 可以是矩形，圆锥不可能．几何体放置不同，则三视图也会发生 改变.三棱柱，四棱柱(特别是长方体)，圆柱的正视图都可以是矩 形．几何体放置不同，则三视图也会发生改变.考查了学生的空间想象力． 4.设a，b，c为实数，且a 北京市海淀区中学排名1人大附中 2北大附中 3清华附中 4首师大附中 5一零一中学 6十一学校 7理工大附中 8八一中学 9人大附中分校 10中关村中学 11交大附中 12建华实验学校 13首师大附属育新学校 14育英中学 15海淀外国语实验学校 16二十中 17海淀区教师进修学校附属实验学校 18北航附中 19十九中 20科迪实验中学 21育英学校 22石油附中 23海淀实验中学（原阜成路中学） 24首师大二附中（原花园村中学） 25五十七中 26北医附中 27一二三中 28方致实验学校 29立新学校 30师达中学 31玉渊潭中学 32知春里中学 33地大附中 34中关村外国语学校 35翠微中学 36矿院附中 37民大附中 38农大附中 39明光中学 40北大附中香山分校 41经济管理学校高中部 42陶行知中学 43永定路中学 44六十七中 45清华育才实验学校 46一零五中 47六一中学 48理工附中分校 49万寿寺中学 50太平路中学 51北外附属外国语学校 52温泉二中 53科兴实验中学 54蓝靛厂中学 55中关村中学分校(原清华附中分校) 56皮革工业学校高中部 57一佳高级中学 58二十一世纪实验学校 59清华志清中学 60盲人学校 61仁达中学 62世贤学院附中 63尚丽外国语学校 64清华园兴起中学 第一档次 1. 人大附中：继04、05两年人大附中骄人的高考成绩后，06年人大附再创辉煌，600分以上全年级460人左右，重点大学升学率98%. 2. 北京四中：400人左右。四中考生由于只有人大附中的一半，平均水平无校能敌，但分数主要密集于600-650之间，而人大附培养了强中之强的王牌近卫军，几个实验班分数集中于650分以上，考上清华北大人数多出于此王牌近卫军。四中第一地位只能拱手相让. 3. 师大实验中学：300人左右。整体水平发挥正常，仍稳居全市第三的位置，但由于考生分数普遍偏高，导致实验中学的部分考生未能上线第一志愿，文科班重点大学升学率96%，理科班94%. 4. 师大二附中：300人左右，师大二附中文科之强，可从文科600分70多人，多于人大附的50余人看出，文理综合位列第四，重点大学升学率94%左右，直逼实验中学，与其几乎不相上下. 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）抛物线2 2y x =的准线方程是 ( ) （A ） 1 2x （B ）1 2y （C ）1 2x （D ）12 y （3）在四面体O ABC 中，点P 为棱BC 的中点. 设OA =a , OB =b ，OC =c ，那么向量AP 用基底 {,,}a b c 可表示为（ ） （A ）111 222- +a +b c （B ）11 22-+a + b c （C ）11 22 +a +b c （D ）111 222 +a +b c （4）已知直线l ，平面α.则“l α”是“直线m α，l m ”的 （ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （6）已知命题:p 椭圆的离心率(0,1)e ∈，命题:q 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线，那么 （ ） （A ）p q ∧是真命题 （B ）()p q ∧?是真命题 （C ）()p q ?∨是真命题 （D ）p q ∨是假命题 （8）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．则下列命题中假命题．．．是 （ ） （A ）存在点E ，使得11A C //平面1BED F （B ）存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F （C ）对于任意的点E ，平面11A C D ⊥平面1BED F （D ）对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变 【答案】B 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. （9）在空间直角坐标系中，已知(2,1,3)a ，(4,2,)x b .若a b ，则x . 【答案】 103 【解析】 试题分析：因为a b ，所以241230a b x ，解得103 x 。 考点：两空间向量垂直的数量积公式。 高二数学上学期期末考试题 一、 选择题：（每题5分，共60分） 2、若a,b 为实数，且a+b=2,则3a +3b 的最小值为（ ） （A ）18， （B ）6， （C ）23， （D ）243 3、与不等式x x --23≥0同解的不等式是 （ ） （A ）（x-3）(2-x)≥0, (B)0 16、已知双曲线162x -9 2 y =1，椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶点，椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则椭圆的方程为 . 三、 解答题：（74分） 17、如果a ，b +∈R ，且a ≠b ，求证： 4 22466b a b a b a +>+（12分） 19、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作线段PP 1，求线段PP 1中点M 的轨迹方程。（12分） 21、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池 222、131719x=x 2 000000将 x 44)1(2,2200=+==y x y y x 得代入方程 即14 22 =+y x ，所以点M 的轨迹是一个椭圆。 21、解：设水池底面一边的长度为x 米，则另一边的长度为米x 34800， 又设水池总造价为L 元，根据题意，得 答：当水池的底面是边长为40米的正方形时，水池的总造价最低， 北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测 高二年级数学试卷 2020.1 (考试时间120分钟 满分150分) 本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分 第一部分 （选择题 共50分） 一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1. 不等式(2)0x x -<的解集是 （A ）{}02x x << （B ）{}0x x > （C ）{}2x x < （D ）{}02<<或x x x 2. 已知1x ≥，则当4 x x + 取得最小值时，x 的值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3. 已知双曲线22 21(0)16 x y a a -=>的一个焦点为(5,0)，则a 的值为 （A ）9 （B ）6 （C ）5 （D ）3 4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为 ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，则椭圆C 的方程为 （A ）22184x y += （B ）221164x y += （C ）221816x y += （D ）22 1168 x y += 5. 若向量,,a b c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是 （A ）,,-+b c b b c （B ）,,a b c a b c +++ （C ）,,a b a b c +- （D ）,,a b a b a -+ 6. 已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出 ⊥m l 的所有序号是 ①,,αβαβ⊥⊥⊥m l ②,,αβαβ⊥∥∥m l ③,,αβα β?⊥∥m l ④,,αβαβ?⊥∥m l （A ）①②③ （B ）①② （C ）②③④ （D ）③④ 海淀区高二年级第二学期期中练习 数 学 2019.4 本试卷共4页，100分。考试时长90分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。 在每小题给出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 （1）在复平面内，复数1i -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （2）函数()ln f x x x =的导数()f x '为 A. ln 1x + B. ln 1x - C. 11+x D. 1 1x - （3）在平面直角坐标系xOy 中，半径为2且过原点的圆的方程可以是 A ．22 (1)+(1)2x y --= B ．22 (1)+(2)x y ++= C ．22 (1)+(1)4x y -+= D ．22 (2)+4x y -= （4）双曲线22 24x y -=的焦点坐标为 A ．(0， 和(0 B ． (和 C ．(0， 和(0 D ． (和 （5）如图，曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线l 过点(2,0)，且(1)2f '=-，则(1) f 的值为 A ．1- B ．1 C ． 2 D ．3 （6）如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到0t 时刻水灌满容器 时停止注水，此时水面高度为0h . 水面高度h 是时间t 的函数，这个函数图象只可能是 （7）设z 为复数，则“i z =-”是“2 i z z ?=”的 A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 （8）已知直线1l ：0mx y m -+=与直线2l ：10x my +-=的交点为Q ，椭圆2 214 x y +=的焦点为1F , 2F ，则12QF QF +的取值范围是 A ．[2,)+∞ B ．)+∞ C ．[2,4] D ．4] A B C D北京市朝阳区2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题
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