工程硕士《数值分析》总复习题(2012年用)
[由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]
一. 解答下列问题:
1)下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ):
a) 对 e = 2.718281828459045…,取*
x = 2.71828
b) 数学家祖冲之取 113355
作为π的近似值.
c) 经过四舍五入得出的近似值12345,-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 位, 位, 位。
2) 简述下名词:
a) 截断误差 (不超过60字)
b) 舍入误差 (不超过60字)
c) 算法数值稳定性 (不超过60字)
3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3
x 时的相对误差约等于x 的相对
误差的3倍。
4) 计算球体积3
34r V
π= 时,为使其相对误差不超过 0.3% ,求半径r 的相对
误差的允许范围。
5) 计算下式 341
8
)1(3)1(7)1(5)1(22345+-+---+---=
x x x x x x P )(
时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式?
6) 递推公式 ?????=-==-
,2,1,1102
10n y y y n n
如果取
*
0041.12y y =≈= ( 三位有效数字 ) 作近似计算, 问计算
到
10y 时误差为初始误差的多少倍? 这个计算过程数值稳定吗 ?
二. 插值问题:
1) 设函数
)(x f 在五个互异节点 54321,,,,x x x x x 上对应的函数值为
54321,,,,f f f f f ,根据定理,必存在唯一的次数 (A ) 的插值多项式
)(x P ,满足插值条件 ( B ) . 对此,为了构造Lagrange 插值多项式
)(x L ,由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数 )(x l i = _(E ) , 从而得Lagrange 插值多项式)(x L = (F ) ,而插值
余项 )()()(x L x f x R -== (G ) 。
2 ) 试用三种方法求过三个离散点:A (0,1) 、B (1,2) 、C (2,3) 的
插值多项式。 3) 求函数
x e x f -=)( 在 [ 0 , 1 ]上的近似一次插值多项式。
4 ) 由函数值表:
x : 1 2 3
x e - : 0.367879441 , 0.135335283 , 0.049787068
求1
.2-e
的近似值.
5) 利用插值方法推导 x i j
i j
x n
i n
i j j =--∑∏=≠=][
,0
三. 拟合问题:
1) 对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是 ( A ) 和 ( B ) .
2) 对同一个量的多个近似值, 常取其算术平均作为该量的近似值, 这种做法的
意义是什么?
3) 设有实验数据如下: x 1.36 1.73 1.95 2.28
f
14.094 16.844 18.475 20.963
按最小二乘法求其拟合曲线。
4) 已知某试验过程中函数
f 依赖于x 的试验数据如下:
i x : 1 2 3 4
i f : 0.8 1.5 1.8 2.0
试按最小二乘法拟合出一个形如 2bx ax S += 的经验公式。
5 ) 设有实验数据如下:
x 1 2 3 4
f
4 10 18 26
按最小二乘法拟合出一个形如 2bx a S += 的经验公式 。
四. 数值求积:
1) 写出数值求积公式的一般形式, 指出其特点, 并说明它对计算机的计算有什
么意义?
2) 简述数值求积公式的 ”代数精度” 的概念 3) 插值型求积公式
()() n
b
k k a
k f x dx A f x =≈∑?
中,每个系数可用公式k A =
( A ) 计算,它们之和
∑=n
k k
A
= ( B ) , 其代数精度 ( C ) .
又Newton-Cotes 公式的一般形式为 ( D ) , 其主要特点是 ( E ) , 其 Cotes 系数之和
∑=n
k n k
C
)(= ( F ) , 其代数精度 ( G ) ;
4) 考察数值求积公式
?
--++-≈1
1
101)1()0()1()(f A f A f A dx x f ,
直接指出: 它是什么类型的公式? 为使其精度尽可能高,101,,A A A -应取什
么确值? 它是不是Gauss 型公式?
5 ) 求dx x I
?
+=1
3
11
的近似值, 试写出使用11个等分点函数值的求积 公式( 要求只列出数值公式,不需要求出具体结果 )。 6 ) 利用复化Simpson 公式求积分 dx x I
?=2
1
的近似值 (只需列出算式) 。
7) 利用现成函数表,分别用复化梯形公式n T 和复化Simpson 公式n S 计算积分
??π
d I ?-=6
2sin 4 ? ?
2sin 4-
0 2
36π 9981001.1
362π 9924473.1 363π 9831825.1
364π 9705386.1 365π 9548386.1
366π 9364917
.1
五. 解线性代数方程组的直接法:
1) Gauss 消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪几项?
A .提高计算速度;
B .提高计算精度;
C .简化计算公式;
D .提高计算公式的数值稳定性;
E .节省存储空间。
2) 采用“列主元Gauss 消去法” 解下列方程组:
????
?
?????=????????????????????565331743532321x x x a) 用 ”列主元Gauss 消去过程” 将方程组约化成上三角方程组; b) 用 ”回代过程” 依次列式计算出方程组的解。 3) 设方程组
????
?
?????=????????????????????---6745150710623321x x x 现采用“列主元Gauss 消去法”求解,试回答: a ) 所用列主元Gauss 消去法包括哪两个过程?
b ) 要用几步消元?
c ) 每一步消元计算之前需做哪些工作(用简短、准确的文字叙述)?
d ) 现经第1步消元结果, 上述方程组已被约化为
??
??
??????=????????????????????--251061321251017560710x x x 请你继续做消元计算, 直至约化成上三角方程组。 e )对所得上三角方程组依次列式计算出方程组的解。
六. 解线性代数方程组的迭代法: 1) 解线性代数方程组 f
x B x
+= 的基本型迭代公式
,1,0,
)()
1(=+=+k f x B x
k k
其中B 称为什么? )
0(x
又称为什么? 如果迭代序列
{})
(k x 有极限*
x
(即迭
代公式收敛),则极限*
x 是什么? 2) 设解线性代数方程组b Ax =(其中
n n R A ?∈非奇异,0≠b )
的迭代公式为
,1,0,)()()()
1(=--=+k b Ax x x
k k k λ
则其迭代矩阵是什么? 此迭代公式对任意的初始向量)
0(x 收敛的充分必要条
件是什么? 又此迭代公式对任意的初始向量)
0(x 收敛的一个充分条件是什
么?
3) 设线性方程组
??
?
???=????????????53411221x x , 试构造解此方程组的Jacobi 迭代公式和GS 迭代公式; 试问所作的两种
迭代公式是否收敛,为什么? 试用初值 T x )0,0()
0(= 计算GS 迭代公式
的前三个值.
4 ) 设方程组
??
????-=????????????--84195121x x 试构造解此方程组的收敛的Jacobi 迭代公式和收敛的Guass-Seidel 迭代公式, 并说明两者收敛的根据; 求出这两种迭代的迭代矩阵. 5) 设线性方程组
3,,15.05.025.05.01
,R b x a a A b Ax ∈??
??
??????-----==
请按便于计算的收敛充分条件, 求使J 法和GS 法均收敛的 a 的取值范围.
七.一元方程求根: 1) 写出求方程
013)(3=--=x x x f 在 [ 1,2 ]中的近似根的一个收敛
的不动点迭代公式,并证明其收敛性。 2) 已知方程 )1(2ln >=-x x
x 的有根区间 [ 3,4 ] .试
写出求该方程在 [ 3 , 4 ] 中的根的一个不动点迭代公式; 证明所给出 的迭代公式是收敛的。试设计其计算机算法. 3) 用Newton 迭代法求方程
013)(3=--=x x x f 在20=x 附近的根,
试写其Newton 迭代公式; 并说明其收敛情况。
4) 的Newton 迭代公式,并说明其收敛情况。
八. 常微分方程初值问题:
1) 常微分方程定解问题分为初值问题和 ( A ) 问题.初值问题是指由 (B ) 和
(C ) 两部分联立起来构成的问题。研究常微分方程初值问题时, 通常针对基本形式 (D ) 进行研究。设函数
)(x y 是某初值问题的解析解, 则该初值问
题在n x 处的解为 ( E ) 而数值解(通常记)为 (F ) ,它们的关系是 ( G ) .若记
)(1+n x y 是初值问题在点1+n x 处的解, 1+n y 是由某数值方法得出的
1+n x 处的数值解,则该数值方法在1+n x 处的局部截断误差是指 (H ) . 2) 设初值问题 ??
?=≤≤--='1
)0(6
.00,2y x y y x y
试用Euler 方法取2.0=h ,求解上述初值问题的数值解。
3 ) 设初值问题 ??
?=≤≤-='2
)1(2
1,38y x y
y
试用梯形方法求其解在两点 4.1,2.1=x 处的值)4.1(,)2.1(y y 的
近似值。
4) 设初值问题 ??
?=<<++='1
)0(1
0,1
22y x x y y
试用改进的Euler 方法,并取1.0=h ,设计一个求解上述初值问题数值解的
求解方案 (或称计算机算法描述; 不必求出解的具体数值) 。
5 ) 设初值问题 ?
??=≤≤+='1)0(1
0),1/(3y x x y y
试用4阶经典R-K 方法,并取1.0=h ,设计一个求解上述初值问题数值解的求解方案 (或称计算机算法描述; 不必求出解的具体数值) 。
九、下列各小题任选其中已学过的小题作练习: 1) 设T x
)3,2,0(=, 求,1
x
,
2
x
,
∞
x
;
设
?
?
????=4321A ,求
1
A
,
∞
A
,
2
A
, )(A ρ。
2 ) 用较简捷的方法分别求下列的插值多项式)(x H 和
)(x p ,并写出其余项公式:
a) 1)1(,0)0()0(,1)1(=='=-=-H H H H b)
2
)2(,
0)1()1(,
1)0(=='==p p p p
3 ) 用插值方法求在0=x
处与x cos 相切 ,在2π=x 处与x cos 相交的二次
多项式
)(2x p ,并推导插值余项的估计式为
|2
|61)(cos 22π
-≤-x x x p x
4 ) 试用最小二乘法原理求下列超定方程组的近似解:
???????=+=+=-=+7
26235311
4221212
121x x x x x x x x
5 ) 要计算函数
dt e x y x
t ?-=0
2
)( 在x = 0.2, 0.4, 0.6 三处的近似值,
试用解初值问题的数值方法,设计其计算方案 (要求采用二阶精度的计算公式).
6) 用追赶法解三对角方程组: ?
???
??
??????=?????????????????????
??
?022112111131124321x x x x 7) 对方程组?
?
?
???=??????==21,13.021,
b A b Ax
拟用迭代法
,1,0,)()()()
1(=-+=+k b Ax x x
k k k α
求解, 试确定 α 的取值范围,使得上述迭代公式收敛.
8) 对迭代函数2()
(5)x x x ?λ=+-,试求使迭代公式
,1,0),(1==+k x x k k ?,
局部收敛于5=*
x
的λ的取值范围。
9) 试给出求
0,1>C C
的Newton 迭代公式, 使得迭代公式没有开方和
除法运算.
10) 由迭代公式 ,1,0,2
11
=+=
+k x x x k
k k , 产生的序列{}k x 对任何
初值10
≥x 均二阶收敛于什么?解释其原理。
11) 写出求方程 0122
=+-x x 的
Newton 迭代公式,并指出其收敛阶
(数)。(可以有两种答案)
12) 若用Euler 公式( y n +1 = y n + h f (x n , y n ) ) 解初值问题
证明其数值解为
2(1)n n y h =-,并证明它收敛于准确解
()2n x n y x e -=
讨论该数值方法的绝对稳定条件。 13) 设
{}∞=0
)(k k x q 是区间[]1,0上带权x =ρ而最高次项系数为1的正交 多项式族,其中1)
(0=x q ,试求1()q x 。
(0)2
y y
y '=-??
=?
特别声明:考试时需带计 算器作辅助计算 1.2015x *=是经四舍五入得到的近似值,则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数,则 3.设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =,[0123]f =,,,1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式,则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ,则A 的谱半径()A ρ= 1 ,A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ,线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ,迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ2020年数值分析模拟试卷(三)
数值分析模拟试卷(三)班级学号姓名一、填空题(共2分,每题2分) 1、设x*=3149578…,取5位有效数字,则所得的近似值x=_______________ ; . 2、设一阶差商,,则二阶差商__________ ; 3、数值微分中,已知等距节点的函数值,则由三点的求导公式,有_______________ ; 4、求方程的近似根,用迭代公式,取初始值,那么x1=_________ ; 5、解初始值问题近似解的梯形公式是yk+1=_________ ; 6、,则A的谱半径______ ,cond (A)=______ ; 7、设,则______ , ______ ; 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵,则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都_______ ; 9、解常微分方程初值问题的欧拉(Euler)方法的局部截断误差为_____ 1、设,当____________时,必有分解式A=LLT,其中L为下三角阵.二、计算题(共6分,每题15分) 1、(1)设试求f(x)在上的三次Hermite插值多项式使满足; (2)写出余项的表达式. 2、已知,满足,试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数,使…收敛? 3、试确定常数A,B,C和a,使得数值积分公式有尽可能高的代数精度.所得的数值积分公式代数精度是多少?是否为Gauss型的? 4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式 三、证明题(共2分,每题1分) 1、设,(1)写出解 f(x)=的Newton迭代格式; (2)证明此迭代格式是线性收敛的. 2、设R=I-CA,如果,证明 (1)A、C都是非奇异的矩阵; (2)
数值分析试题 一、 填空题(2 0×2′) 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值,则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7-x 3+1,则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 , f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设,‖A ‖∞=___5 ____,‖X ‖∞=__ 3_____, ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ,则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ;如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是:=∑=n i i x a 0)( 1 ;所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ,计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%,至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ,线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的,其中的残差 r i = (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ,(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时,若在迭代区间存在唯一解,且f (x )
《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:, 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 , 拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); ( 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y ),y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y ); 10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f ),代数精 度为( 5 ); 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ,1 ,进行两步后根的所在区间为 , 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ,用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ,梯形公式的代数精度为 1 ,辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ,该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ,)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高,具 有( 12+n )次代数精度。
第一章典型例题 例3 ln2=0.…,精确到10-3的近似值是多少 解 精确到10-3=,即绝对误差限是=, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=-1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X =(1,1,-1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)
第1次迭代,k =0 X (0)=0,得到X (1)=(1,3,5)T 第2次迭代,k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)=(5,-3,-3)T 第3次迭代,k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)=(1,1,1)T 第4次迭代,k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)=(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组,雅可比迭代法收敛,而高斯-赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A =?? ?? ? ?????-122111221 于是 D =?? ?? ??????100010001 D -1=D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为
数值分析模拟试卷1 一、填空(共30分,每空3分) 1 设??? ? ??-=1511A ,则A 的谱半径=)(a ρ______,A 的条件数)(1A cond =________. 2 设 Λ ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ,则 ],,[21++n n n x x x f =________, ],,[321+++n n n n x x x x f ,=________. 3 设?????≤≤-++≤≤+=2 1,121 0,)(232 3x cx bx x x x x x S ,是以0,1,2为节点的三次样条函数,则 b=________,c=________. 4 设∞ =0)]([k k x q 是区间[0,1]上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x q ,则 ?=1 )(dx x xq k ________,=)(2x q ________. 5 设 ?? ?? ? ?????=11001a a a a A ,当 ∈ a ________时,必有分解式 ,其中L 为下三角阵,当其对角线元素 )3,2,1(=i L ii 满足条件________时,这种分解是唯一的.
二、(14分)设4 9,1,41,)(2102 3 === =x x x x x f , (1)试求)(x f 在]4 9,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足 2,1,0),()(==i x f x H i i ,)()(11x f x H '='. (2)写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式. 三、(14分)设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3 2 41+ =+, (1) 证明R x ∈?0均有?∞ →=x x n x lim (? x 为方程的根); (2) 取40=x ,用此迭代法求方程根的近似值,误差不超过 ,列出各次迭代值; (3)此迭代的收敛阶是多少?证明你的结论.
1、(本题5分)试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字,并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π (2分) 这里,3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 (1分) 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r (2分) 2、(本题6分)用改进平方根法解方程组:??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ; 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得: 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d (3分) 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== (3分) 3、(本题6分)给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1)写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式; 2)考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性; 解 1)Jacoib 迭代格式为
数值分析典型习题
特别声明:考试时需带计 算器作辅助计算 1.2015x *=是经四舍五入得到的近似值,则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数,则 3.设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =,[0123]f =,,,1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式,则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ,则A 的谱半径()A ρ= 1 ,A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ,线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ,迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ数值分析试卷及其答案2
1、(本题5分)试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字,并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π (2分) 这里,3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 (1分) 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r (2分) 2、(本题6分)用改进平方根法解方程组:???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ; 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得: 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d (3分) 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== (3分) 3、(本题6分)给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1)写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式; 2)考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性; 解 1)Jacoib 迭代格式为
第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ,求f(x)=ln x的误差限。解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限,由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足,而 ,故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。 解:直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字,其误差限,相对误差限 有2位有效数字, 有5位有效数字, 3.下列公式如何才比较准确? (1) (2)
解:要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换所给公式。 (1) (2) 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取,利用:式计算误差最小。 四个选项: 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解:仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计(5.8)。线性插值时,用0.5及0.6两点,用Newton插值 误差限,因
,故 二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值 误差限 ,故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h 应取多少? 解:用误差估计式(5.8), 令 因 得 3. 若,求和.
解:由均差与导数关系 于是 4. 若互异,求 的值,这里p≤n+1. 解:,由均差对称性 可知当有 而当P=n+1时 于是得 5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表
第一章典型例题 例3…,精确到10-3的近似值是多少? 解 精确到10-3=,即绝对误差限是?=, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=-1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X =(1,1,-1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)=0,得到X (1)=(1,3,5)T 第2次迭代,k =1 X (2)=(5,-3,-3)T 第3次迭代,k =2 X (3)=(1,1,1)T 第4次迭代,k =3
X (4)=(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组,雅可比迭代法收敛,而高斯-赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A =?? ?? ? ?????-122111221 于是 D =?? ?? ??????100010001 D -1 =D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0=?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ,根据迭代基本定理4,雅可比迭代法收敛。 高斯-赛德尔迭代矩阵为 G =-U ~ )L ~D (1-+ =-?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0,?2,3=2。由迭代基本定理4知,高斯-赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题: 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2,3个方程分别为 。
数值分析模拟试题 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、已知近似值* 2.4560x =是由真值x 经四舍五入得到,则相对误差限为 。 2 、为减少舍入误差的影响,应将10改写成 。 3、设(1,1,2,3)T x =-,则12_______,_______,_______x x x ∞===。 4、设1123A -??=????,则1________,________F A A ==,A 的谱半径()A ρ=。 5、用Gauss-Seidel 迭代法解方程组1212423 x ax ax x +=??+=-?,其中a 为实数,则该方法收敛的充要 条件是a 满足 。 6、迭代法12213k k k x x x +=+收敛于*x =,此迭代格式是 阶收敛的。 7、设01(),(),,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的Lagrange 插值基函数,则0()n i i l x ==∑。 8、设3()321f x x x =++,则差商[0,1,2,3]_____,[0,1,2,3,4]_____f f ==。 9、数值积分的辛普森公式为()b a f x dx ≈?。 10、数值积分公式0()()n b k k a k f x dx A f x =≈∑?中,0n k k A ==∑。 二、设函数2()(3)x x a x ?=+-,由迭代公式1()k k x x ?+=产生的序列为{}k x ,试讨论 ⑴当a 为何值时,序列{}k x 收敛; ⑵当a 取何值时,收敛速度最快,并指出迭代法收敛的阶。(12分) 三、设4()[0,2]f x C ∈,且(0)2,(1)1,(2)0,'(1)0f f f f ==-==,试求函数()f x 的三次 插值多项式()P x ,并求余项表达式。(14分) 四、用矩阵的直接三角分解法(即LU 分解)解方程组Ax b =,其中
一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有( )和( )位有效数字. A .4和3 B .3和2 C .3和4 D .4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ,则A =( ) A . 16 B .13 C .12 D .2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足( ) A . ()00l x =0, ()110l x = B . ()00l x =0, ()111l x = C .() 00l x =1,()111 l x = D . () 00l x =1,()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛,则它具有( )敛速。 A .超线性 B .平方 C .线性 D .三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程( ). A . 232 x x -+= B .232 1.5 3.5 x x -+= C . 2323 x x -+= D . 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题(每小题3分,共15分)
1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时,科茨系数()()() 33301213,88C C C ===,那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ,所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题(每题15分,共60分) 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据: 求分 段线性插值函数,并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈, ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%
数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解:按照定义,以上各数具有5位有效数字的近似值分别为:236.478, 0.0023471, 9.0000, 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9,因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004, -0.00200, -9000, 9310?, 23 10-?。 解:按照定义,以上各数的有效数字位数分别为5, 3, 4,1,1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ,所需时间* s 的近似值为t=35s ,若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-,试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解:因为t s v /=,所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系,并研究它的误差 传递。 解:151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ,计算出0I 后可通过(1)依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ,由此计算出的1I ,…,20I 也有误差,由(1)可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) (1)-(2)可得 01)5(5e e e n n n -=-=-,由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以(1)不稳 定。 (1) 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… (3) 如果能先求出20I ,则依次可以求出19I ,…,0I ,计算20I 时有误差,这样根据(3)计算19I ,…,0I 就有误差,误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ,误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根,要求有3为有效数字。 解:因为0)1()0( 华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C (2015年1月9日) 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚; 所有答案请按要求填写在本试卷上; 课程代码:S0003004; 4. 考试形式:闭卷; 5. 考生类别:硕士研究生; 本试卷共八大题,满分100分,考试时间为150分钟。 一、(12分)解答下列问题: 1)设近似值0x >,x 的相对误差为δ,试证明ln x 的绝对误差近似为δ。 2)利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值(须写出计算形式),并统计乘法次数。 (12分)解答下列问题: 1)设()235f x x =+,求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。 2)利用插值方法推导出恒等式: 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。 (1)设{}∞ =0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x q ,求1()q x 和2()q x 。 (2)求形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合: 四、(14分)对积分()10I f x dx = ?,试 (1)构造一个以012113,,424 x x x ===为节点的插值型求积公式; (2)指出所构造公式的代数精度; (3)用所得数值求积公式计算积分1 203x dx ?的精确值; (4)指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。 (1)设?? ????=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 (2)用列主元Gauss 消去法解方程组: 12312315410030.112x x x ????????????=????????????-?????? 六、(13分)对2阶线性方程组 11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? (11220a a ≠ ) (1)证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散; (2)当同时收敛时,试比较它们的收敛速度。 一. 单项选择题(每小题2分,共10分) 1. 在下列四个数中,有一个数具有4位有效数字,且其绝对误差限为 5102 1 -?,则该数是( ) A 0.001523 B 0.15230 C 0.01523 D 1.52300 2. 设方阵A 可逆,且其n 个特征值满足:n λλλ>≥> (21) ,则1-A 的主特征值是( ) A 11λ B n λ1 C 1λ或n λ D 11λ或n λ1 3. 设有迭代公式 → →+→+=f x B x k k ) () 1(。若||B|| > 1,则该迭代公式( ) A 必收敛 B 必发散 C 可能收敛也可能发散 4. 常微分方程的数值方法,求出的结果是( ) A 解函数 B 近似解函数 C 解函数值 D 近似解函数值 5. 反幂法中构造向量序列时,要用到解线性方程组的( ) A 追赶法 B LU 分解法 C 雅可比迭代法 D 高斯—塞德尔迭代法 二. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 设有方程组 ??? ??=+-=+-=+0 21324321 32132x x x x x x x x ,则可构造高斯—塞德尔迭代公式为 ?? ??? 2. 设?? ?? ??????----=111112101A ,则=∞A 3. 设1)0(,2'2 =+=y y x y ,则相应的显尤拉公式为=+1n y 4. 设 1)(+=ax x f ,2)(x x g =。若要使)(x f 与)(x g 在[0,1]上正交,则a = 5. 设 T x )1,2,2(--=→ ,若有平面旋转阵P ,使P → x 的第3个分量为0,则P = ???? ? ????? 三. 计算题(每小题10分,共50分) 1. 求 27的近似值。若要求相对误差小于0.1%,问近似值应取几位有效数字? 期末考试试卷(A 卷) 2007学年第二学期 考试科目: 数值分析 考试时间:120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题(每小题2分,共10分) 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时,应按照n 从小到大的顺序相加。 ( ) 2. 为了减少误差,进行计算。 ( ) 3. 用数值微分公式中求导数值时,步长越小计算就越精确。 ( ) 4. 采用龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题时,公式阶数越高,数值解越精确。( ) 5. 用迭代法解线性方程组时,迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关,与常数项无关。 ( ) 二、填空题(每空2分,共36分) 1. 已知数a 的有效数为0.01,则它的绝对误差限为________,相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____,2x =______,Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()((0)f x dx A f A f A f -≈++? 的代数精度尽量高,应使1A = ,2A = ,3A = ,此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时,使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+= 产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时,系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩 1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字,求绝对误差限。(4分) 解: 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ (6分) 解: {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= (6分) ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时,)(1k k x x ?=+ (0,1……)产生的序列{}k x 收敛于 2 解: ①迭代格式为: x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组,其中:?? ?=13A ?? ?2 2,?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α(0,1……)求解,问取什么实数α ,可使 迭代收敛 (8分) 解: 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分 数值分析试题及答案 一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有()和()位有效数字. A.4和3 B.3和2 C.3和4 D.4和4 2. 已知求积公式,则=() A. B.C.D. 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足() A.=0,B.=0, C.=1,D.=1, 4. 设求方程的根的牛顿法收敛,则它具有()敛速。 A.超线性B.平方C.线性D.三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程(). A.B. C.D. 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设, 则, . 2. 一阶均差 3. 已知时,科茨系数,那么 4. 因为方程在区间上满足,所以在区间内有根。 5. 取步长,用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案 1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题(每题15分,共60分) 1. 已知函数的一组数据:求分段线性插值函数,并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解, , 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 (1)写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式; (2)对于初始值,应用雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式分别计算(保留小数点后五位数字). 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯-塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯-塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 (1)请指出为什么初值应取2? (2)请用牛顿法求出近似根,精确到0.0001. 计算题3.答案 数值分析习题集 (适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》) 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?华南理工大学数值分析试题-14年下-C
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