概率各章练习
第一章
一、 填空题
1.设事件A ，B 相互独立且互不相容，则min （P （A ）,P （B ））=___________.
2.从0，1，2，3，4五个数中任意取三个数，则这三个数中不含0的概率为___________。 3．袋中有50个球，其中20个黄球、30个白球，今有2人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率为_____________.
4.一批产品，由甲厂生产的占45% ，其次品率为5%，由乙厂生产的占 55%，其次品率为10%，从这批产品中随机取一件，恰好取到次品的概率为___________.
5. 设3.0)(,7.0)(=-=B A P A P ,则P(____
AB )=______.
6.已知,6.0)(,5.0)(==B A P A P 若B A 、互不相容，则=)(B P ；若B A 、相互独立，则=)(B P
7.已知====)|(,5.0)(,4.0)(,7.0)(B A P B A P B P A P 则
8.设生男生女是等可能的，某一个家庭有两个小孩，已知其中一个是女孩，则另一个也是女孩的概率为
9.已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P ，则=)(B A P 二、选择题
1.设A 与B 互为对立事件，且P （A ）>0，P （B ）>0，则下列各式中错误的是（ B ） A.P （A ）=1-P （B ） B.P （AB ）=P （A ）P （B ） C. P （AB ）=0 D.P （A ∪B ）=1 2．对一批次品率为p(0 A ．p B ．1-p C ．(1-p)p D ．(2-p)p 3.设A 和B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ D ） 互不相容 与、B A A 相容与、B A B )()()(B P A P AB P C =、 )()(A P B A P D =-、 4.设A ，B 为两个互不相容的随机事件,P （A ）=0.3, P （B ）=0.6,则P （A ｜B ）=（B ） A. 0.18 B.0 C. 0.5 D.1 5.某人独立射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多击中一次的概率为（ D ） A.0.002 B.0.008 C.0.08 D.0.104 6.设事件B A 与的概率均大于零，且B A 与为对立事件，则有（ B ） 相互独立与、B A A 互不相容与、B A B 相互独立与、B A C 相互独立与、B A D 7.设B A ,为任意两个事件，则下列结论肯定正确的是（ D ） A. A B B A =-)( B.A B B A =- )( C.A B B A ?- )( D.A B B A ?-)( 8.设10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则在前3个购买者中恰有一人中奖的概率为( D ) A.3.07.02 310??C B. 0.3 C. 7/40 D. 21/40 9.有γ个球，随机地放在n 个盒子中（γ≤n ），则某指定的γ个盒子中各有一球的概率为( B ). (A ) γ γn ! . (B ) γ γn C r n ! . (C ) n n γ ! . (D ) n n n C γ γ! . 10. 设事件A 和B 满足1}|{=A B P ，则( C ) A.A 是必然事件 B.A 包含事件B C.0)(=-B A P D.0)|(=A B P 三、 计算题 1.在10只晶体管中有2只是次品。不放回的抽取两次，每次一只，求下列事件的概率。（1）两只都是正品（2）至少有一只次品（3）一只是正品，一只是次品（4）第二只是次品 2. 将3个不同的球随机地放入4个不同的杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1, 2, 3 的概率. 3. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，求下列事件的概率： （1）事件A ：“其中恰有一位精通英语”； （2）事件B ：“其中恰有二位精通英语”； （3） 事件C ：“其中有人精通英语”. 4. 某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19.求 (1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？ 5.已知甲袋中有a 只红球，b 只白球，乙袋中有c 只红球，d 只白球。试求下列事件的概率： （1）合并两只口袋，从中随机取一只球，该球是红球； （2）随机的取一只袋，再从该袋中随机的取一只球，该球是红球； （3）从甲袋中随机的取一只球放入乙袋，再从乙袋中随机的取一只球，该球是红球. 6.有3只箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球，第二个箱子中有3个黑球，3个白球，第三个箱子中有3个黑球，5个白球，现随机的取一个箱子，再从这个箱子中随机的取一个球，求这个球是白球的概率。 7.甲机床的废品率为0.03, 乙机床的废品率为0.02,产量比为3:2。从产品中随机的取一件，求这件产品合格的概率，又如果已知取出的是废品，求他是甲机床生产的概率。 8．将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02,而 B 被误收作A 的概率为0.01. 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息 是A, 问原发信息是A 的概率是多少？ 9.设三个事件A ，B ，C 两两独立，且1,()()(),2A B C P A P B P C =Φ==< ()916 P A B C ??= ，求（1）()P A ；(2) 已知()0.7P A =,()0.3P A B -=,求()P A B . 10. 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人。1，2，3，4级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.5，0.2 。求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率。 第二章 一、 填空题 1.设随机变量X 在区间[1,3]上服从均匀分布，则P{1.5 2.5}=___________. 2.设X 的分布律为N k N a k X P ,,2,1,}{ == =，则=a 3. 设随机变量3.0}42{,2~2=< 4.设),(~p n b X ，且}3{2}2{}1{=====X P X P X P ，则=n ，=p 5.一射手对同一目标独立进行4次射击, 若至少命中一次的概率为 8081 , 则该射手的命中率 为_________. 6. 设随机变量X 服从参数λ=3的泊松分布，则P{X≥2}= . 7. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且1{0}2 P X == ，则λ = . 8.设随机变量X~N （2，4），则P{0 1.设x x f sin )(=，要使)(x f 为某个随机变量X 的概率密度，则X 的可能取值区间为( D ) (A)]2 3, [ππ (B)]2,2 3[ππ (C) ],0[π (D)]2 1, 0[π 2.设随机变量X 的概率密度为||)(x ce x f -=，则c ＝( C ). (A )12 - . (B ) 0. (C ) 2 1. (D ) 1. 3. 随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，随着σ的增大，概率{}σμ<-X P 满足( C ) (A)单调增大 （B ）单调减少 （C ）保持不变 （D ）增减不定 4. 设)1,1(~N X ,密度函数为)(x f ，则有( C ) (A)}0{}0{>=≤X P X P （B ）)()(x f x f -= （C ）}1{}1{>=≤X P X P （D ）)(1)(x F x F --= 5.设随机变量X 的概率密度为f (x ),且为偶函数，则( ). (A ) ()()0 1a F a f x dx -=- ? . (B ) ()()0 12 a F a f x dx -= - ? . (C ) ()()F a F a -=. (D ) ()()21F a F a -=-. 6.设X 的密度函数为) 1(1 )(2 x x f += π，则X Y 2=的密度函数为( B ) A. ) 41(1 2 x +π B. ) 4(2 2 x +π C. ) 1(1 2 x +π D. x arctan 1 π 三、 计算题 1.设离散型随机变量X 的概率分布为 求X 的分布函数)(x F 并求}2/52/3{< 2．已知 1 1 1 ()1 33 x x F x x x <-?? -≤ 3．设随机变量X 的密度函数为(),x f x Ae x -=-∞<<+∞， 求（1）系数A ；（2）P{0 4. 设随机变量X 的分布函数为F （x ）=A+Barctan x , -∞ 5.设连续型随机变量X 的分布函数为()1,01/2,01/2,1x x Ae x F x x B e x -? =≤? ，求常数A ，B. 6.设随机变量()2 ~160,X N σ ，为使{}1202000.8P X <<>，标准差σ应多大. 7．设随机变量X 在（1，6）上服从均匀分布，求方程t 2+X t +1=0有实根的概率. 8. 随机变量04),,(~22=++X y y N X 且二次方程σμ无实根的概率为0.5，求μ. 9. 设 3个电子元件并联成一个系统，只有当3个元件损坏两个或两个以上时，系统才报废，已知电子元件的寿命服从参数为1000 1的指数分布，求系统的寿命超过 1000h 的概率. 10. 求（1）12+=X Y ；（2）2 X Z =的分布律. 11. 设X 服从参数1=λ的指数分布，求X e Y =的概率密度函数。 12. 设随机变量X 服从(1,2)上均匀分布,求随机变量2X Y e =的概率密度()Y f y . 13. 设随机变量X 服从(0.2)上均匀分布,求随机变量2Y X =的概率密度()Y f y . 第三章 一、选择题 1. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为?? ?<<-<<-=其他 , 0; 11,11, ),(y x c y x f 则常数c =（ A ） A. 4 1 B. 2 1 C. 2 D.4 2. 假设随机变量Y X ,相互独立，都服从同一0—1分布： 32}0{}0{====Y P X P ，1}1{}1{====Y P X P ，则==}{Y X P （ B ） A. 0 B.95 C. 97 D. 1 3.设随机变量),(Y X 服从}}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D 上的均匀分布，则下列正确的是( C ) A..),(Y X 落入第一象限的概率为1/2 B.Y X ,都不服从一维均匀分布 C.Y X ,相互独立 D.Y X ,不相互独立 二、计算题 1. 箱子中装有10件产品，其中2件次品，每次从箱子中任取一件，共取2次，定义随机变 量如下：0 1 X ?=? ?，若 第一次取出的是正品， 若第一次取出的是次品 0 1 Y ?=? ?，若 第二次取出的是正品， 若第二次取出的是次品 分别就下面两种情况（a ）放回抽样； （b ）不放回抽样。 求: (1) 随机变量（X ,Y ）的联合分布律： (2) X 与Y 是否独立？为什么？ 2. 将一枚硬币掷三次，以X 表示前2次出现正面的次数，Y 表示3次中出现正面的次数， 求（1）（X ,Y ）的联合分布律及边缘分布律；（2）{1,1}P X Y ≤≤（3）()P X Y =. 3．随机变量（X ,Y ）服从D 上的均匀分布，其中D 为x 轴、y 轴及直线21y x =+围成的三 角形区域，(1) 求随机变量（X ,Y ）的密度函数；(2) 写出关于X 及关于Y 的边缘密度函数； (3) 判断X 与Y 是否独立？为什么？ 4. 二维随机变量（X ,Y ）的联合概率密度函数(34), 0<,0(,)0, x y ke x y f x y -+?<∞<<∞ =??其他 ， 求（1）系数k . （2）关于X 及关于Y 的边缘密度函数. （3）{01, 02}P X Y ≤≤≤≤. (4) 判断 X 与Y 是否独立？为什么？ 5. 二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为2, 1 (,)0, c x y f x y ?<<=??其他 , c 为常数. 求（1）常数c. （2）关于X 及关于Y 的边缘密度函数. （3）{1}P X Y +≤. (4 ) X 与Y 是否独立？为什么？ 6. 设二维随机变量),ηξ(的概率密度(32) 0,0,)0x y x y Ae f x y -+>>?(=? ? 其它 求 （1）常数A （2）边缘（边际）概率密度 （3）ηξ,是否独立？为什么？ （4）),ηξ(落在区域2,0,0:<+>>y x y x R 内的概率。 7. 设Y X ,是相互独立的随机变量，且密度函数分别为20 2,()00x X x e f x x -≥?=? 30 3,()00y Y y e f y y -≥?=? ??-=-z z e e z f z z Z 8. 设随机变量X 和Y 相互独立，其概率密度分别为： ()1,01 0,X x f x ≤≤?=?? 其他 (),0 0,y Y e y f y -?>=? ?其他 求Y X +的概率密度. 第四章 一、选择题 1. 设321,,X X X 相互独立且均服从参数为3的泊松分布，令)(3 132 1X X X Y ++= ，则 =)(2 Y E ( C ) A.1 B.9 C.10 D.6 2.对于任意两个随机变量X 和Y ，若)()()(Y E X E XY E =，则( B ) A.)()()(Y D X D XY D = B. )()()(Y D X D Y X D +=+ C.X 和Y 相互独立 D.X 和Y 不相互独立 3. 若()()()Y E X E XY E ?=，则( B ) （A ）Y X , 相互独立 （B ）Y X , 不相关 （C ）Y X , 不独立 （D ）Y X , 相关 4. 设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于零，则()DY DX Y X D +=+是X 和Y （ C ） （A ）不相关的充分而非必要条件 （B ）独立的充分而非必要条件 （C ）不相关的充要条件 （D ）独立的充要条件 5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且它们分别在区间]3,1[-和]4,2[上服从均匀分布，则 =)(XY E （ C ） A.1 B.2 C.3 D.4 6.设6.0,1)(,4)(===XY Y D X D ρ，则)23(Y X D -为( C ) A.40 B.32 C.25.6 D.1 7.6 7. 设随机变量X 和Y 相互独立，且均服从()1,1N ，则（ C ） （A ）()5.00=<+Y X P （B ）()5.01=<+Y X P （C ）()5.00=>-Y X P （D ）()5.01=<-Y X P 二、填空题 1. 当X ，Y 相互独立时，相关系数 xy ρ= ；当Y=aX+b 时（a ，b 为常数）， XY ρ= 。 2. 设随机变量ηξ,相互独立，6=)3,=)ηξ((D D ，则=)3-ηξ2(D ______ 3. 若随机变量),(),,(22 2211~~σμησμξN N ，且ηξ,独立，则ηξ+~ 4. 设X 的密度函数为???<<-=其它 ,010),1(2)(x x x f ，则=)(X E ，=)(2X E 5. 已知随机变量ξ～N(-3,1), η～N(2,1), 且ηξ,相互独立, ,+-=232ηξζ, 则E ζ= ，=?D 6. 设ξ为一随机变量，令ξ ξξξ D E ) -= * (，则=*ξE ______，=*ξD ______ 7.已知)4.0,2(~2-N X ，则=+2)3(X E 8.设)6.0,10(~N X ，)2,1(~N Y ，且X 与Y 相互独立，则=-)3(Y X D 9.已知4.0,36)(,25)(===XY Y D X D ρ，则=+)(Y X D ，=-)(Y X D 10.如果随机变量()2 ,~σμN X ，则μ-=X Y 2服从 分布. 三、计算题 1..公共汽车起点站于每时的10分，30分，55分发车，某乘客不知发车时间，在每小时的任意时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望。 2．设X 的密度函数为, 0 ()0, x e x f x -?>=? ?其他 ，求1）E （X ）；（2）E （2X ）；（3）E （X e X 2-+）. 3．设（X ，Y ）的概率密度为212, 01 (,)0, y y x f x y ?≤≤≤=?? 其他 求E （X ），E （Y ），E （XY ），E （X 2+Y 2）, D （X ），D （Y ）. 4. 设随机变量X 的密度函数为?? ?+=0 )(B Ax x f 01,x ≤≤其它 且7(),12 E X = 求A ，B . 5.设随机变量),ηξ(的联合概率密度为 其它 2 0, 100),(2≤≤≤≤? ? ?+=y x kxy x y x f 求 （1）求系数k ;（2）),ηξ(关于ηξ,的边缘概率密度)(),(y f x f ηξ ;（3）判定ηξ,的独立性，并说明理由；（4）计算1)>+ηξ(P ；（5）求E ξ，E η. 6. 设（X 求1）2,2 -++Y X Y X 的概率分布；2）E （-2X+3） ； 3）E （2Y -1）；4）D （2X+8） 7. 设),(Y X 在I 上服从均匀分布，其中I 为直线x=0，y=0及直线x+y-1=0所围成的区域。求1)X 的边缘密度函数和Y 的边缘密度函数，并判断其相互独立性； 2)EX ，EY 。 8. 设二维随机变量)Y X ,(的概率密度 ???≤≤≤+=(其它， 01 0),(),x y y x c y x f 求（1）常数c （2）边缘概率密度 （3）Y X ,是否独立？为什么？（4）)(XY E 9. 设（X ，Y ）的联合概率函数为 （1）求X 与Y 的协方差(,)Cov x y ； （2）求X 与Y 的相关系数X Y ρ； （3）求()D X Y +. 10.设随机变量（X ，Y ）的分布密度为：? ?=其它0),(y x f ，（1）确定常 数k ；（2）求X 和Y 的边缘分布密度函数，并判断X 与Y 的相互独立性；（3）求)(XY E 11. 随机变量（X ，Y ）具有概率密度()1 (), 02,02 ,8 0,x y x y f x y other ?+≤≤≤≤?=??? ， 求E (X )，E (Y )， cov (X ,Y ) , XY ρ, D (X +Y ). 12. 设22 ~(1,3),~(0,4),X N Y N 且1,2 X Y ρ=- 设3 2 X Y Z = + ， (1)求(),().E Z D Z (2)求X Z ρ, (3)问X,Z 是否相互独立?为什么? 第五章 一、选择题 1.设,,,21 X X 为独立同分布序列，且),,2,1( =i X i 服从参数为λ的指数分布，则下列（ A ）成立 A.)(}{ lim 1 x x n n X P n i i n φλ=≤-∑=∞ → B. )(}{ lim 1 x x n n X P n i i n φ=≤-∑=∞ → C. )(}{ lim 1 x x n X P n i i n φλ λ =≤-∑=∞ → D. )(}{ lim 1 x x n X P n i i n φλ λ=≤-∑ =∞ → 2.设n X X X ,,,21 为独立同分布的随机变量序列，且都服从参数为2的指数分布，则当n 充分大时，随机变量∑ == n i i n X n Y 1 1的概率分布近似服从（ B ） A.)4,2(N B.)4 ,2(n N C.)41 , 21 (n N D.)4,2(n n N 三、计算题 1设各零件的重量都是随机变量，且相互独立同分布，其数学期望为0.5kg ，均方差为0.1kg ，问5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是多少？ 2.求总体)3,20(N 的容量分别10，15为的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。 3. 某保险公司设置某一险种，规定每一保单有效期为一年，有效理赔一次，每份保单收取保费12元，理赔额为1000元，据估计每份保单索赔概率为0.005，设公司共卖出这种保单10000份，求 1)该公司在该险种上获得的平均利润； 2)该公司一年的利润不少于60000元的概率为多少？ 4.某计算机系统有120个终端，每个终端有5％的时间在使用，若各个终端是否使用是相互独立的，求至少有10个终端在使用的概率。 5.一加法器同时收到20个噪声电压)20,,2,1( =i V i ，设它们是相互独立的随机变量，且 都服从区间)10,0(上的均匀分布，记∑== 20 1 i i V V ，求}105{≥V P . 6. 有一批钢材，其中80%的长度不小于3米，现从钢材中随机取出100根，用中心极限 定理求小于3米的钢材不超过30根的概率。 第六章 一、填空题 1.若)1,0(~N X ，则2X 服从 . 2.若)(~n t X ，则2X 服从 . 3.设总体)(~λπX ，n X X X ,,,21 是来自X 的样本，X 和2S 分别是样本均值和样本方差，则)(X E ＝ ，)(X D ＝ ，)(2S E ＝ . 4.设621,,,X X X 是来自正态总体)1,0(N 的样本，则=c 时随机变量 ])()[(2654 2 32 1X X X X X X c Y +++++=服从2 χ分布，自由度为 . 5.设n X X X ,,,21 为来自总体),(~2σμN X 的样本，则2 1 2 ) (σ ∑=-= n i i X X Y 服从 . 6.设321,,X X X 为取自总体X 的样本，若32 14121?cX X X ++ =μ 是EX =μ的一个无偏 估计，则常数=c . 7.设总体X 的分布列为.1,0,)1(}{1=-==-x p p x X P x x ，n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，则样本均值的数学期望为 ，样本均值的方差为 ，=2 ES . 8. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本,9,==DX EX μ, X 为样本均值,试用切比雪夫不等式估计}2|{|<-μX P ，}3|{|>-μX P . 9.设2 ,σμ==DX EX ，由切比雪夫不等式知}3|{|σμ≥-X P . 二、选择题 1.设样本921,,,X X X 来自总体),3(~2 σN X ，X 为样本均值，则服从σ 9 3-X ( D ) A.)8(t B.)9(t C.)8(2χ D.)1,0(N 2. 设n X X X ,,,21 为来自总体),(~2 σμN X 的样本,则S X n Y ) (μ-= 服从( C ) A.)1(2 -n χ B.)1,0(N C.)1(-n t D.)(n t 3.设X 与Y 相互独立同服从标准正态分布，则Q=Y X ～（ B ） A. N(0, 1); B. t(1); C.χ2 (1); D.F(1, 1) 4. 设总体X ～N(μ, σ2), X 为样本均值， 则P{X =μ}=（ C ） A) 1； B)1-α; C),0; D)大于0. 5. 从正态分布的总体中分别抽取样本量为4，16，36的样本，但样本容量增大时，样本均值的标准差（ C ） A.保持不变 B.增加 C.变小 D.等于总体标准差 6. 假设总体服从均匀分布，从此总体中抽取容量为36的样本，则样本均值的抽样分布（B ） A.服从非正态分布 B.近似正态分布 C.服从t 分布 D.服从2χ分布 7.从均值为200，标准差为50的总体中抽取容量为100的简单随机样本，则样本均值的期望和方差分别为（ B ） A.150和50 B.200和25 C.100和10 D.250和15 8.从两个正态总体中分别抽取两个独立样本，则两个样本方差比的抽样分布近似服从（ C ） A.正态分布 B. t 分布 C.F 分布 D. 2χ分布 三、计算题 1．指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？ 6 126361416 1 1, , (), m a x {,...,} 6 i i T X T X T X E X T X X θ== =-=-=∑ . 2．设12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，在下列三种情况下， 分别求2(),(),()E X D X E S ： （1）(1,)X B p ；（2）()X E λ ；（3）(0,2)X U θ ，其中0>θ 3．设()15,...,X X 是来自标准正态总体的样本， （1）求常数c ，使()2212X c X X =+服从2χ分布，并指出它的自由度. （2）求常数d ，使X X d += 服从t 分布，并指出它的自由度. 4.从正态总体)4,100(N 中抽取容量为16的样本，样本均值为X ，求k 使得 95.0}|100{|=<-k X P 成立。 5. 在正态总体)4,12(N 中抽取一容量为5的样本521,,,X X X ， （1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率； （2）求概率}15),,,{max(521>X X X P ，}10),,,{min(521 6.求总体)3,20(N 的容量分别10，15为的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。 7.从总体)20,50(2 N 中抽取容量为100的样本，求使样本均值X 与总体均值EX 之差的绝对值小于2的概率。 第七章 一、选择题 1.根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间（ D ） A.以95%的概率包含总体均值 B. 有5%的可能性包含总体均值 C.绝对包含总体均值 D.绝对包含总体均值或绝对不包含总体均值 2.95%的置信水平是指（ B ） A.总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率为95% B.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为95% C.总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率为5% D. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为95% 3.在置信水平不变的条件下，要缩短置信区间，则（ A ） A.需要增加样本容量 B.需要减少样本容量 C.需要样本容量不变 D.需要改变统计量的抽样标准差 4.设正态总体的方差未知,则置信度为α-1的均值μ的置信区间的长度为样本标准差S 的( B )倍. A.)(2n t α B. )1(22 -n t n α C. )1(2 -n t n S α D. 1 -n S 5.在用样本的估计量估计总体参数时，评价估计量的标准之一是使它与总体参数的离差越小越好，这种评价标准称为（ B ） A.无偏性 B.有效性 C.一致性 D.充分性 6. 设总体()2 ,~σ μN X ，()n X X X ,,,21 是取自总体X 的样本，若2,σμ均是未知的， 则2σ的无偏估计是（ C ） A. () ∑=-n i i X X n 1 2 1 B. ()∑=-n i i X n 1 2 1 μ C. () ∑=--n i i X X n 1 2 1 1 D. ()∑=--n i i X n 1 2 1 1 μ 7.设()n X X X ,,,21 是取自总体X 的样本，X 的分布函数()θ;x F 含未知参数θ，则（ C ） （A ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量相同 （B ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不同 （C ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不一定相同 （D ）未知参数θ的估计量是惟一的 8. 设正态总体X 的标准差为1，由来自X 样本容量为25的简单随机样本建立的数学期望μ的0.95置信区间，则置信区间的长度等于（ A ） （A ）7840.0 （B ）3290.0 （C ）3920.0 （D ）6936.0 二、填空题 1. 设321,,X X X 为取自总体X 的一个样本，若3 2 13121?cX X X ++ =μ 为EX =μ的一 个无偏估计，则常数=c 。 2．设总体),(~2σμN X ，其中2,σμ均未知，,X 2 S 分别为样本n X X X ,,,21 的均值 与方差，则μ的置信度为90%的置信区间为 。 3. 设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,若∑== n i i i X 1 ?α μ为总体均值EX 的无偏 估计,则=∑=n i i 1 α 。 4. 设1021,,,X X X 为取自总体X 的一个样本,∑ == 3 1 13 1?i i X μ,∑==5 1 25 1?i i X μ , ∑==10 1 310 1 ?i i X μ ,则最有效的是 。 三、计算题 1.设总体X 的概率密度为 ??? ??<≥=-0,0 0,1)(x x e x f x θθ 其中0>θ为未知参数， n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,求：θ的矩估计量及极大似然估计量. 2.设总体X 的概率密度为 ?? ?? ?≤≤=-其他 ,01 0,)(1 x x x f θθ 其中0>θ为未知参数， n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,求：θ的矩估计量及极大似然估计量. 3.设总体X 在(0,)a 服从均匀分布，a 为未知参数，12,,,n X X X 为取自总体X 的一个样本。 (1) 求a 的矩估计量a ?； (2) a ?是否为a 的无偏估计量? 4. 设从均值为μ，方差为2 0σ>的总体中，分别抽取容量为12,n n 的两独立样本. 1X 和2X 分别是两样本的均值. 试证（1）对于任意常数12,(1),a b a b Y a X b X +==+，都是μ的无偏估计； （2）确定常数，,a b 使()D Y 达到最小。 5. 总体X ～)2,(θθU , 其中0>θ是未知参数, 又n X X X ,,,21 为取自该总体的样本,X 为样本均值. 证明:X 3 2?= θ是参数θ的无偏估计. 6.已知某种材料的抗压强度X ～N (μ,2 σ), 现随机地抽取10个试件进行抗压试验, 测得数据如下: 482, 493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 394, 469. (1) 求平均抗压强度μ的点估计值; (2) 求平均抗压强度μ的置信水平为95%的置信区间; (3) 若已知σ=30, 求平均抗压强度μ的置信水平为95%的置信区间; (4) 求2 σ的点估计值; (5) 求2σ的置信水平为95%的置信区间; (6) 求σ的点估计值; (7) 求σ的置信水平为95%的置信区间. 7．某种新型塑料的抗压力),(~2σμN X ,其中2,σμ均未知.现任取10个试件作压力试 验,测得数据如下:49.3, 48.6, 47.5 ,48, 51.2, 45.6, 47.7, 49.5, 46, 50.6. 试求:置信度为95%的 2 ,σμ的置信区间. 8. 设总体()2 ,~σ μN X ，()n X X X ,,,21 是取自总体X 的样本，试选择适当的常数C ， 使()∑-=+-1 1 2 1n i i i X X C 为2σ的无偏估计。 9.假设新生儿体重ξ（单位：g ）服从正态分布)(2,σμN ，现测量10名新生儿体重，得如下： 3100 3480 2520 3700 2520 3200 2800 3800 3020 3260 试求总体均值μ及总体方差2σ的极大似然估计值. 第八章 一、选择题 1.在假设检验中，不拒绝原假设意味着（ D ） A.原假设肯定是正确的 B.原假设肯定是错误的 C.没有证据证明原假设是正确的 D.没有证据证明原假设是错误的 2. 在假设检验中,作出拒绝假设0H 的决策时,则可能( A )错误. A.犯第一类 B. 犯第二类 C.犯第一类,也可能犯第二类 D. 不犯 3.在假设检验中，原假设和备择假设（ C ） A.都有可能成立 B.都有可能不成立 C.只有一个成立而且必有一个成立 D.原假设一定成立，备择假设不一定成立 4.在假设检验中，第一类错误是指（ A ） A.当原假设正确时拒绝原假设 B. 当原假设错误时拒绝原假设 C.当备择假设正确时没有拒绝原假设 D. 当备择假设不正确时未拒绝备择假设 5.当备择假设为10:H μμ<，此时的假设检验称为（ C ） A.双侧检验 B.右侧检验 C.左侧检验 D.显著性检验 二、填空题 1. 设n X X X ,,,21 为取自总体),(~2 σμN X 的一个样本,2 σ未知,检验假设 0H :0μμ= ,用统计量 . 2.t 统计量在置信水平1-α下，对称置信区间))1(),1((2 /2 /-+-- n t n S X n t n S X α α长 度最短. 3.2 χ统计量在置信水平1-α下，置信区间)) 1()1(, )1()1((2 2 /12 22 /2 -----n S n n S n αα χ χ长度不一定最短. 三、计算题 1. 设机器包装的每袋食盐的净重服从正态分布.规定每袋标准重量为500克,某天开工后,为检验机器工作是否正常,从装好的食盐中随机抽取9袋,测得净重(单位:克)为:497, 507, 510, 475, 484, 488, 524, 491, 515.问:这天机器工作是否正常()05.0=α? 2.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程.（0301.2)35(025.0=t ，0281.2)36(025.0=t ）. 3.市质监局接到投诉后，对某金商进行质量调查，现从其出售的标志18K 的项链中抽取9件进行检测，检测标准为：标准值18K 且标准差不得超过0.3K ，检测结果如下： 17.3 16.6 17.9 18.2 17.4 16.3 18.5 17.2 18.1 假定项链的含金量服从正态分布，试问检测结果能否认定金商出售的产品存在质量问题？ （显著性水平. 0=α ） 第一章小测试 一、选择题 1.设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 不全发生可表示为（ ） A. ABC B. ABC C. C B A D. C B A 2.设事件A 和B 互为对立事件，则下列各式不成立的是（ ） A. ()0P AB = B. ()0P AB = C. ()1P A B = D.()1P B A = 3.将一枚均匀硬币抛掷3次，则至少有2次出现币值面朝上的概率是（ ） A. 18 B. 38 C. 12 D. 58 4.盒内有6个产品，其中正品4个次品2个，不放回地一个一个往外取产品，则第二次才取到次品的概率与第二次取产品时取到次品的概率分别为（ ） A. 41153， B. 441515， C. 1133 ， D. 14315， 5.设两个事件A 和B 相互独立，且()0.5P A =，()0.4P B =， 则()P A B 的值是（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.6 6.对于任意事件A,B,若A B ?,则下列各等式不成立的是（ ） A. B B A = B. φ=B -A C. B B A = D. φ=B A 7.设A,B 为任意两个概率不为0的互斥事件，则下列结论中一定正确的是（ ） A. ()()P A B P A = B. ()()()P A B P A P B -=- C. ()()()P AB P A P B = D.()()P A B P A -= 8.将一枚均匀硬币抛掷3次，则恰有一次出现币值面朝上的概率是（ ） A. 38 B. 18 C. 58 D. 12 9. 已知在10只电子元件中，有2只是次品，从其中取两次，每次随机地取一只，作不放回抽取，则第二次取出的是次品的概率是（ ） A. 145 B. 15 C. 1645 D. 845 10.设两个事件A 和B 相互独立，且()0.6P A =，()0.3P B =， 则()P A B 的值是（ ） A. 0.3 B. 0.7 C. 0.72 D. 0.9 11.事件A 、B 、C 中恰有一个事件发生的事件是（ ） A ．ABC B ． C AB C ．C B A D ．C B A C B A C B A ++ 12．设A 和B 是两个随机事件，则下列关系式中成立的是（ ） 第一章 随机事件与概率练习题 1.设 A 、B 、C 为三个事件，用 A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： （1）仅 A 发生； （2） A 与C 都发生，而 B 不发生； （3）所有三个事件都不发生；（4）至少有一个事件发生； （5）至多有两个事件发生； （6）至少有两个事件发生； （7）恰有两个事件发生； （8）恰有一个事件发生 分析：利用事件的运算关系及性质来描述事件. 解：（1） A BC ；（2） A BC ；（3） A BC 或 A ? B ?C ；（4） A ? B ?C 或 ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC ；（5） A ? B ?C 或 ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC ； （6） A B ? AC ? BC 或 A BC ? ABC ? ABC ? ABC ； （7） A BC ? ABC ? ABC ；（8） A BC ? ABC ? ABC . 随机事件的关系和运算 叫对偶律 1．某射手向一目标射击两次，A i 表示事件“第i 次射击命中目标”，i =1，2，B 表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B =（ ） A ．A 1A 2 B ．21A A C ．21A A D ．21A A 2．设A ，B ，C 为随机事件，则事件“A ，B ，C 都不发生”可表示为( ) A ． B.BC C ．ABC D. 3.设A 、B 、C 为三事件，则事件=C B A Y （ ） A.A C B B.A B Y C C.(Y A B )C D.(Y A B )C Y 4设A 、B 为任意两个事件，则有（ ） A.（A ∪B ）-B=A B.(A-B)∪B=A C.(A ∪B)-B ?A D.(A-B)∪B ?A 5. 设A 、B 为随机事件，且B A ?，则B A ?等于（ ） A.A B.B C.AB D.B A ? 2.古典概型 1.从标号为1，2，…，101的101个灯泡中任取一个，则取得标号为偶数的灯泡的概率为 （ ） 第一章测试题 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 6．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 7．设A 、B 、C 为三个事件，已知()()0.6,0.4P B A P C AB ==，则()P BC A =（ ） .A 0.3 .B 0.24 .C 0.5 .D 0.21 8．设A ，B 是两个随机事件，且0 第一章练习 1、当下列条件满足时，事件A 与B 互为对立。（ ） （A ）、Φ=AB （B ）、Ω=?B A （C ）、Φ=AB 且Ω=?B A （D ）、A 与B 互不相容 2、每次试验的成功率为)10(< .1. 解：（正， 正）， （正， 反）， （反， 正）， （反， 反） A （正 ，正） ， （正， 反） .B （正，正），（反，反） C （正 ，正） ， （正， 反） ，（反，正） 2.解：(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解：(1) ABC ；(2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ； (4) ABC ABC ABC ；( 5) A B C ； (6) ABC ；(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ；(9) ABC 4. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中； 甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解：如图： 第一章概率论的基本概念习题答案 每次拿一件，取后放回，拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 （A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解： P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ；8C ； C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ；c 教 案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics ) Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用1A 、2A 、 3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标” ，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件： （1）只击中第一枪； （2）只击中一枪； （3）三枪都没击中； （4）至少击中一枪。 Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 1A 32A A 。 （2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A . （4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A . Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为 21,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值： （１）A 与B 互斥； （２）；B A ? （３）81)(=AB P ． Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -. （1） 因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)= 21 （2） 因为；B A ?所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -= 6 13121=- 概论论与数理统计 习题参考解答 习题一 8. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率. 解: 设事件A ={出现3个正面} 基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件, 则125.0812 1)(3====n n A P A . 9. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门 基本事件总数210C n =, 有利于A 的基本事件数2 7C n A =, 467.0157910212167)(21027==?????==C C A P 因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P . 10. 一部四卷的文集随便放在书架上, 问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少? 解: 设A ={能打开门}, 基本事件总数2412344=???==P n , 有利于A 的基本事件数为2=A n , 因此, 0833.012 1)(===n n A P A . 11. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3, 基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i 则 00006.09833512196979697989910054321)(006.098 3359532195969739697989910054321)(138.098 33209495432194959697396979899100543213)(856.033 4920314719969798991009394959697)(510029733510039723225100 49711510059700=??==???????????====??= ??????????????====???= ????????????????=?===????=????????===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P 12. N 个产品中有N 1个次品, 从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ), 求其中有k (k ≤n )个次品的概率. 解: 设A k 为有k 个次品的概率, k =0,1,2,…,n , 基本事件总数n N C m =, 有利于事件A k 的基本事件数k n N N k N k C C m --=11,k =0,1,2,…,n , 因此, n k C C C m m A P n N k n N N k N k k ,,1,0,)(11 ===-- 13. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率. 解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310 121315==???????===C C C C n n A P A 14. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率. 解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件, 则基本事件总数1644=?=n , 有利于A 的基本事件数422=?=A n , 有利于B 的基本事件数632=?=B n , 则25.04 1164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B . 第一章 随机事件与概率 1．从0,1,2,,9十个数字中，先后随机取出两数，写出下列取法中的样本空间： (1)放回时的样本空间1Ω (2)不放回时的样本空间2Ω 解： (1) 100 01 02 0910 11 12 1990 91 92 99??????Ω=????????，(2)2 01 02 03 0910 12 13 1990 91 92 98??????Ω=???????? 2.一个袋内装有４个白球和５个红球，每次从袋内取出一球，直至首次取到红球为止。写出下列两种取法的样本空间： (1)不放回时的样本空间1Ω (2)放回时的样本空间2Ω 解：(1)Ω１＝{红，白红，白白红，白白白红，白白白白红｝ (2)Ωn 个 ２＝｛红，白红，，白白白红｝ 5.设样本空间{0,1,2,,9},A Ω=事件＝{2,3,4},B={3,4,5},C={4,5,6}，求： (1)A B (2) ()A B C 解：(1) {2,3,4,5}A B A B A B === (2) ()(){4,5} {0,1,5,6,7,8,9}{4,5} {0,1,4,5,6,7,8,9}A B C A BC A ==== 11.小何买了高等数学、高等代数、解析几何、和大学英语四本书放到书架上，问各册自左向右或自右向左排列恰好是上述次序概率。 解： 214!12P == 15.在整数0-9中，任取4个，能排成一个四位偶数的概率。 解：4105040n A ==， 3112 94882296k A C C A =+= 22960.465040k p n ∴= == 14. 设n 个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这n 个人的任意排列中，甲 第一章 概率论的基本概念练习题 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件 D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -. 6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立？举例说明。 7. 对于事件C B A ,,，试问C B A C B A +-=--)()(是否成立？举例说明。 8. 设 31)(=A P ，21 )(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ?， （3） 81 )(=AB P . 9. 已知 41)()()(===C P B P A P ，161 )()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。 10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：=A “三个都是红灯”=“全红”； =B “全绿”； =C “全黄”； =D “无红”； =E “无绿”； =F “三次颜色相同”； =G “颜色全不相同”； =H “颜色不全相同”。 11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求： （1）（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2）（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。 12. 从9,,2,1,0 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率： {}501与三个数字中不含=A ，{}502或三个数字中不含=A 。 13. 从9,,2,1,0 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。 14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率： （1）6人中至少有1人生日在10月份； 第一章 随机事件和概率 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有一个发生的概率等于（ ） .A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+- 6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（ ） .A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆 00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”； (3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？ 《概率论与随机过程》第一章习题 1.写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。 （4）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5）一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。 （6）甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7）一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9）有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。 （10）测量一汽车通过给定点的速度。 （11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1）A发生，B与C不发生。 （2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C都发生。 （4）A，B，C中至少有一个发生。 （5）A，B，C都不发生。 （6）A，B，C中至多于一个发生。 （7）A，B，C中至多于二个发生。 （8）A，B，C中至少有二个发生。 3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，?????? ≤<=121x x A ，? ?????<≤=2341x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，1)(=AC P ，求A ，B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算） （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少 8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求 第4只次品管子在下列情况发现的概率。 （1） 在第5次测试发现。 （2） 在第10次测试发现。 9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一 事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及)(B A P ?。 10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概 率。 （1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。 （3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。 11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率 习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. 解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式 B C B C =I U , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观 察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}； (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为 {10}. |0,1,2,n n +=L 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事 件： (1) 仅有A 发生； (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) ; (3) A B C U U ABC ABC ABC U U ; (4) ABC ABC ABC ABC U U U ; (5) ABC ; (6) ()A B C U . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2A A U 3； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目 标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击 中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没 有击中目标. 习题1-3 概率论与数理统计课后习题答案 第一章总习题 1．填空题 （1）假设B A ,是两个随机事件，且B A AB ?=，则()A B =U ，()=AB ； 解：AB A B AB A B =??=即AB 与A B U 互为对立事件，又AB A B ?U 所以()(),.AB A B A B AB A B AB Ω==?== （2）假设B A ,是任意两个事件，则( )()()() ()P A B A B A B A B ??=?? . 解 ： ()( )()() ()()P A ?= ? () () 0P B == . （3）.已知41)()()(= ==C P B P A P ， 0)(=AB P ， 16 1 )()(==BC P AC P 。则事件A 、B 、C 全不发生的概率为 解：所求事件的概率即为() P ABC ,又,ABC AB ?从而()()00,P ABC P AB ≤≤=则 ()0P ABC =，所以 ()() ()1P ABC P A B C P A B C ==- ()()()()()()()313 11.488 P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =---+++-=-+= 2．选择题 （1）设8.0)(=A P ，7.0)(=B P ，()8.0=B A P ，则下列结论正确的是(). （A ）事件A 与事件B 相互独立；（B ）事件A 与事件B 互逆； （C ）A B ?；（D ）()()()P A B P A P B =+. 解：因为()56.0)()(==B A P B P AB P ，而56.0)()(=B P A P ，即)()()(B P A P AB P =，所以事件A 与事件B 相互独立，选（A ）. 西南财经大学《 概率论与数理统计》第一章单元测试 满分100分 考试时间 120分钟 一、选择题（每题2分，共20分） 1.事件A ，B 为对立事件，则（ ）不成立。 (A) 0)(=AB P ; (B) A P (B )=0; (C) )(B A P Y =1; (D) P (B A Y )=1 2.对于任意两个事件A 与B ，则有)(B A P -为（ ） (A) )()(B P A P -； (B) )()()(AB P B P A P +-； (C))()(AB P A P -； (D) )()(AB P A P + 3.设 B A ,相互独立，7.0)(=A P ，88.0)(=B A P Y ，则 ).()(=-B A P （A ）0.10; (B) 0.52; (C) 0.42; (D) 0.28 4.设A ，B 为随机事件，0)(>B P ，1)|(=B A P ，则必有（ ）。 A. )()(A P B A P =? B. B A ? C. )()(B P A P = D. )()(A P AB P = 5.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为43，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（ ）。 A. 343）（ B. 41432?）（ C. 43412?）（ D. 2244 1C ）（ 6.已知A 、B 、C 为三个随机事件，则A 、B 、C 不都发生的事件为（ ）。 A. C B A B. ABC C. A +B +C D. ABC 7.若随机事件A 与B 相互独立，则)(B A P +＝（ ）。 A. )()(B P A P + B. )()()()(B P A P B P A P -+ C. )()(B P A P D. )()(B P A P + 8.设随机事件A 、B 互不相容，q B P p A P ==)( ,)(，则)(B A P ＝（ ）。 第一章 随机事件及其概率 习题一 一、填空题 1．设样本空间}20|{≤≤=Ωx x ，事件}2341|{ },121| {<≤=≤<=x x B x x A ，则B A Y 1 3{|0}{|2}42x x x x =≤<≤≤U , B A 113{|}{|1}422 x x x x =≤≤< 第一章 概率论的基本概念 基础训练I 一、选择题 1. 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为：（ D ）。 A ）甲种产品滞销，乙种产品畅销； B ）甲乙产品均畅销； C ）甲种产品滞销； D ）甲产品滞销或乙种产品畅销. 2、设A ,B ,C 是三个事件，则C B A ??表示（ C ）。 A ） A , B , C 都发生； B ） A ,B ,C 都不发生； C ） A ,B ,C 至少有一个发生； D ） A ,B ,C 不多于一个发生 3、对于任意事件B A ,，有=-)(B A P （ C ）。 A ）)()( B P A P -； B ）)()()(AB P B P A P +-； C ）)()(AB P A P -； D ）)()()(AB P B P A P -+。 4、已知5个人进行不放回抽签测试，袋中5道试题（3道易题，2道难题），问第3个人 抽中易题的概率是( A ) 。 A ） 3/5； B ）3/4； C ）2/4； D ）3/10. 5、抛一枚硬币，反复掷4次，则恰有3次出现正面的概率是（ D ）。 A ） 1/16 B ） 1/8 C ） 1/10 D ） 1/4 6、设()0.8P A =，()0.7P B =，(|)0.8P A B =，则下列结论正确的有（ A ）。 A ） B A ,相互独立； B ）B A ,互不相容； C ）A B ?； D ）)()()(B P A P B A P +=?。 二、填空题 1.设C B A ,,是随机事件，则事件“A 、B 都不发生，C 发生”表示为C B A , “C B A ,,至少有两个发生”表示成B C AC AB ?? 。 2.设A 、B 互不相容，4.0)(=A P ，7.0)(=?B A P ，则=)(B P 0.3 ； 3. 某市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%的住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种的住户百分比是：30%； 4.设4/1)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P ,8/1)(=AC P ，则C B A 、、三件事至少有一个发生的概率为：5/8； 第一章复习题解答 1.某科技馆在某一星期里(7天)曾接待过3位专家来访?求这3位专家在同一天来访的概 率? C 1 解：A = “三位专家同一天来访”，则P(A) C 7 0.0204 。 73 2?设A,B 是两随机事件，且 P(A B) 0.3 , (1 )若A,B 互不相容，求 P(A)； (2) 若 A,B 独立，P(B) 0.1,求 P(A)； (3) 若 P(B | A) 0.4，求 P(A)； (4) 若 P(A B) 0.7，求 P(B). 解：(1)P(A B) P(A) P(AB) 因为A 、B 互不相容，所以 P(AB) 0，P(A) P(A B) 0.3 (2)因为 A, B 独立，所以 P(AB) P(A)P(B). 0.3 P(A B) P(A) P(AB) P(A) P(A)P(B) 所以，P(A) 3?设某地区成年居民中肥胖者占 10%,不胖不瘦者占82%,瘦者占8%,又知肥胖者患高血压 的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为 10%,瘦者患高血压病的概率为 5%. (1) 求该地区居民患高血压病的概率； P(A) P(A) 0.1 0.9P(A) (3) 0.4 P(B| A) P(AB) P(A B) P(A) P(A) P(A) P(A B) 0.4 03 0.75 0.4 (4) 0.7 P(A B) P(B) P(AB) P(B) P(A B) P(B) 0.7 P(A B) 0.7 0.3 0.4 (2)现知该地区某一成年居民患有高血压病，求其是肥胖者的概率 解：(1 )设A , A2, A3分别表示该地区居民为肥胖者、不胖不瘦者、瘦者，B表示该地区居民患高血压病? 据全概率公式知： P(B) P(B|A)P(A) P(B|")P(A) P(B|A3)P(A3) 0.2 0.1 0.1 0.82 0.05 0.08 0.106 (2)据贝叶斯公式知： P(A|B) P(AB)/P(B) [P(B| A)P(AJ]/P(B) [0.2 0.1]/0.106 10/53 第二章复习题解答 x , 1 x 0 1.随机变量X?f (x) As in x , 0 x 2 0 ,其他 求：(1)A (2) X 的分布函数F(x) (3)P(0 X -) 0 - 解：(1)1-1(-x)dx 021 Asin xdx，求得A . 2 ⑵X 的分布函数F(x) 解：当x 1时, F(x) P(X x) x f (t)dt 0 当1 x 0时, F(x) P(X x) x f (t)dt x 1( t)dt 1x2 2 2 当0 F(x) P(X x) x 0 t)dt x sint . , cosx x 时， 2 f(t)dt 1( dt 1 - 0 2 2 x 0 /2 sint ‘ 当_ 2 x 时，F(x) P(X x) f(t)dt 1( t)dt 0 dt 1 2 7 x 1 1 x2 — -------- 1 x 0 2 2 因此：F(x) 1cosx ,0 x __ 2 2概率论第一章小测试
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