Gamma分布的可加性

概率论中几种具有可加性的分布及其关系

目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1 几种常见的具有可加性的分布 (1) 1.1 二项分布 (2) 1.2 泊松分布（Possion分布） (3) 1.3正态分布 (4) 1.4 伽玛分布 (6) 1.5 柯西分布 (7) 1.6 卡方分布 (7) 2 具有可加性的概率分布间的关系 (8) 2.1 二项分布的泊松近似 (8) 2.2 二项分布的正态近似 (9) 2.3 正态分布与泊松分布间的关系 (10) 2.4 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系 (11) 3 小结 (12) 参考文献 (12) 致谢 (13)

概率论中几种具有可加性的分布及其关系 摘要概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容.所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布.结合其特点，这里给出了概率论中几种具有可加性的分布：二项分布，泊松分布，正态分布，柯西分布，卡方分布以及伽玛分布.文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明，这里给出了证明分布可加性的两种方法，即利用卷积公式和随机变量的特征函数.除此之外，文章就可加性分布之间的各种关系，如二项分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等，进行了不同层次的讨论. 关键词概率分布可加性相互独立特征函数 Several Kinds of Probability Dstribution and its Relationship with Additive Abstract Probability and mathematical statistics in the probability distribution of additivity is a very important content.The distribution of the so-called additivity refers to the distribution of the same kind of independent random variables and distribution are still belong to this kind of https://www.wendangku.net/doc/c56824032.html,bined with its characteristics, here given several has additivity distribution in probability theory: the binomial distribution, poisson distribution and normal distribution and cauchy distribution, chi-square distribution and gamma distribution.Article discusses the nature of all kinds of distribution and its proof of additivity, additive of proof distribution are also given two methods, namely using convolution formula and characteristic function of a random variable. In addition, this paper the relationships between the additive property distribution, such as the binomial distribution of poisson approximation, Di mo - Laplace's central limit theorem, and so on, has carried on the different levels of discussion. Key Words probability distribution additivity property mutual independence characteristic function 引言概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科，在概率论与数理统计中，有时候我们需要求一些随机变量的和的分布，在这些情形中，有一种求和类型比较特殊，即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变，这一求和过程称为概率分布的“可加性”.概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念，本文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布，包括二项分布，泊松分布，正态分布，伽玛分布，柯西分布和卡方分布.文章最后讨论了几项分布之间的关系，如二项分布的泊松近似，正态近似等等. 1 几种常见的具有可加性的分布 在讨论概率分布的可加性之前，我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数,首先来看卷积公式[1]：

数学概率多种分布的可加性原理

数学概率多种分布的可加性 1、0-1分布 作为离散变量，0-1分布的变量取值范围是0,1，两个0-1分布相加后取值范围变为0、1、2，显然与原来不一样，所以不满足可加性。 2、二项分布b （n ，p ） 设()~,X b n p ，()~,Y b m p ，且X ，Y 相互独立，令Z=X+Y 。由卷积公式， ()0()()k i P Z k P X i P Y k i =====-∑。因为可能性的缘故，i<=n ，k-i<=m ，因此 max{0,},min{,}a k m b n k =-=。则 ()()()(1) b b k m n k i m n k i i a i a P Z k P X i P Y k i p p C C +--======-=-∑∑，b i m k n k i m n i a C C C -+==∑Q ， ()(1) k k m n k m n P Z k C p p +-+∴==-。因此，二项分布有可加性。 3、 负二项分布 设X 、Y 为满足系数为m 、n 的负二项分布且独立，令Z=X+Y 。有卷积公式 ()0()()k i P Z k P X i P Y k i =====-∑，由于可能性，m<=i<=k-n ，则 ()1111()()(1) b k n k k m n m n i k i i a i m P Z k P X i P Y k i p p C C --------======-=-∑∑， 111111k n m n m n i k i k i m C C C ---+-----==∑Q ，()11 (1)m n k k m n k P Z k C p p +----∴==-。因此，负二项分布有可加性。 4、几何分布 变量的取值范围相加后不再是1、2、3……而是2、3……，所以不再是几何分布，没有可加性。 5、均匀分布 设X ，Y 满足均匀分布X 对应a1、a2，Y 对应b1、b2，且相互独立。令Z=X+Y ，则a1+a2<=z<=b1+b2.卷积公式 ()()()Z X Y P z P z y P y dy +∞ -∞ = -?，1 2 2 1 max{,},min(,)a z b a b b z a =-=- 则1122()()()()() Z X Y b a P z P z y P y dy b a b a +∞ -∞ -= -= --? 。因此，均匀分布没有可加性。

第二章 随机变量及其概率分布

第二章 随机变量及其概率分布 教学目的与要求 1. 熟练掌握一维离散型随机变量及其分布的概念，会求一维离散型随机变量的分布列； 2. 熟练掌握一维随机变量分布函数的概念与性质； 3. 熟悉一维离散型随机变量的分布函数与分布列的关系； 3. 理解一维连续型随机变量分布函数与分布密度的概念及其关系； 4. 熟记常见的几种分布的表达形式. 6. 熟悉随机变量函数的分布函数与分布密度的计算公式. 教学重点 一维离散型、连续型随机变量及其分布 教学难点 随机变量函数的分布 教学方法 讲解法 教学时间安排 第11-12学时 第一节 随机变量 第四节 随机变量的分布函数 第13-16学时 第二节 离散型随机变量 第三节 连续型随机变量 第17-18学时 第五节 随机变量函数的分布 习题辅导 教学内容 第一节 随机变量 一、随机变量 在上一章所讲的有些随机试验的样本空间中基本事件是用数值描述的，这就提示我们，无论什么随机试验，如果用一个变量的不同取值来描述它的全部可能结果，样本空间的表达及其相应的概率就显得更明了、更简单.事实上，这种想法是可以的，为此，引入一个新概念. 定义2.1 设E 维随机试验，()ωΩ=为其样本空间，若对任意的ω∈Ω，有唯一的实数与之对应，且对{},x R x ξ?∈≤为事件，则称()ξω为随机变量. 这样，事件可通过随机变量的取值来表示，随机变量,(),(),b a b ξξξ≤<≤L 等都表

示为事件，其中,a b 表示任意实数.即用随机变量的各种取值状态和取值范围来表示随机事件. 二、分布函数的定义与性质 定义2.2 定义在样本空间Ω上，取值于实数域的函数()ξω，称为是样本空间Ω上的（实值）随机变量，并称 ()(()), (,)F x P x x ξω=≤∈-∞∞ 是随机变量()ξω的概率分布函数.简称为分布函数. 分布函数的性质： （1）单调性 若12,x x <则12()()F x F x ≤； （2）()lim ()0x F F x →-∞ -∞== ()lim ()1x F F x →+∞ +∞== （3）右连续性 (0)()F x F x += 反过来，任一满足这三个性质的函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数.因此，满足这三个性质的函数通常都称为分布函数. 由分布函数还可以下列事件的概率： {()}1(){()}(0) {()}1(0){()}()(0) P x F x P x F x p x F x P x F x F x ξωξωξωξω>=-<=-≥=--==-- 由此可见，形如12121212{()},{()},{()},{()}x x x x x x x x ξωξωξωξω≤≤<<<≤≤<这些事件以及它们经过有限次或可列次并、交、差以后的概率，都可以由()F x 算出来，所以()F x 全面地描述了随机变量()ξω的统计规律. 第二节 离散型随机变量 一、离散型随机变量的概念及其分布 定义 2.2 定义在样本空间Ω上，取之于实数域R ，且只取有限个或可列个值的变量 ()ξξω=，称作是一维（实值）离散型随机变量，简称为离散型随机变量.称

概率论中几种具有可加性的分布与关系

. 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1 几种常见的具有可加性的分布 (1) 1.1 二项分布 (2) 1.2 泊松分布（Possion分布） (3) 1.3 正态分布 (4) 1.4 伽玛分布 (6) 1.5 柯西分布 (7) 1.6 卡方分布 (7) 2 具有可加性的概率分布间的关系 (8) 2.1 二项分布的泊松近似 (8) 2.2 二项分布的正态近似 (9) 2.3 正态分布与泊松分布间的关系 (10) 2.4 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系 (11) 3 小结 (12) 参考文献 (12) 致 (13)

概率论中几种具有可加性的分布及其关系 概率论中几种具有可加性的分布及其关系 摘要 概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的容.所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布.结合其特点，这里给出了概率论中几种具有可加性的分布：二项分布，泊松分布，正态分布，柯西分布，卡方分布以及伽玛分布.文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明，这里给出了证明分布可加性的两种方法，即利用卷积公式和随机变量的特征函数.除此之外，文章就可加性分布之间的各种关系，如二项分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等，进行了不同层次的讨论. 关键词 概率分布 可加性 相互独立 特征函数 Several Kinds of Probability Dstribution and its Relationship with Additive Abstract Probability and mathematical statistics in the probability distribution of additivity is a very important content.The distribution of the so-called additivity refers to the distribution of the same kind of independent random variables and distribution are still belong to this kind of https://www.wendangku.net/doc/c56824032.html,bined with its characteristics, here given several has additivity distribution in probability theory: the binomial distribution, poisson distribution and normal distribution and cauchy distribution, chi-square distribution and gamma distribution.Article discusses the nature of all kinds of distribution and its proof of additivity, additive of proof distribution are also given two methods, namely using convolution formula and characteristic function of a random variable. In addition, this paper the relationships between the additive property distribution, such as the binomial distribution of poisson approximation, Di mo - Laplace's central limit theorem, and so on, has carried on the different levels of discussion. Key Words probability distribution additivity property mutual independence characteristic function 引言 概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科，在概率论与数理统计中，有时候我们需要求一些随机变量的和的分布，在这些情形中，有一种求和类型比较特殊，即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变，这一求和过程称为概率分布的“可加性”.概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念，本文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布，包括二项分布，泊松分布，正态分布，伽玛分布，柯西分布和卡方分布.文章最后讨论了几项分布之间的关系，如二项分布的泊松近似，正态近似等等. 1 几种常见的具有可加性的分布 在讨论概率分布的可加性之前，我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数,首先来看卷积公式[1]： ①离散场合的卷积公式 设离散型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的分布列分别是n k a k P k ,1,0,)(???===ζ和.,,1,0,)(n k b k P k ???===ξ则ξζ?+=的概率分布列可表示

概率论中几种具有可加性的分布及其关系

概率论中几种具有可加性 的分布及其关系 Prepared on 22 November 2020

目录 摘要 (1) 关键词 (1) A b s t r a c t (1) K e y w o r d s (1) 引言 (1) 1几种常见的具有可加性的分布 (1) 二项分布 (2) 泊松分布（Possion分布） (3) 正态分布 (4) 伽玛分布 (6) 柯西分布 (7) 卡方分布 (7) 2具有可加性的概率分布间的关系 (8) 二项分布的泊松近似 (8) 二项分布的正态近似 (9) 正态分布与泊松分布间的关系 (10) 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系 (11) 3小结 (12) 参考文献 (12) 致谢 (13)

概率论中几种具有可加性的分布及其关系 摘要概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容.所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布.结合其特点，这里给出了概率论中几种具有可加性的分布：二项分布，泊松分布，正态分布，柯西分布，卡方分布以及伽玛分布.文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明，这里给出了证明分布可加性的两种方法，即利用卷积公式和随机变量的特征函数.除此之外，文章就可加性分布之间的各种关系，如二项分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等，进行了不同层次的讨论. 关键词概率分布可加性相互独立特征函数 SeveralKindsofProbabilityDstributionanditsRelationshipwithAdd itive 'scentrallimittheorem,andsoon,hascarriedonthedifferentlevelsofdiscussion. KeyWords probabilitydistributionadditivitypropertymutualindependencecharacteristicfunction 引言概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科，在概率论与数理统计中，有时候我们需要求一些随机变量的和的分布，在这些情形中，有一种求和类型比较特殊，即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变，这一求和过程称为概率分布的“可加性”.概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念，本文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布，包括二项分布，泊松分布，正态分布，伽玛分布，柯西分布和卡方分布.文章最后讨论了几项分布之间的关系，如二项分布的泊松近似，正态近似等等. 1几种常见的具有可加性的分布 在讨论概率分布的可加性之前，我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数,首先来看卷积公式[1]： ①离散场合的卷积公式设离散型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的分布列分别是 n k a k P k ,1,0,)(???===ζ和.,,1,0,)(n k b k P k ???===ξ则ξζ?+=的概率分布列可表示为 ②连续场合的卷积公式设连续型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的密度函数分别是 )(),(y f x f ξζ，则它们的和ξζ?+=的密度函数如下 其证明如下： ξζ?+=的分布函数是dxdy y f x f z f z F z y x )()()()(ξζ?ξζ??≤+= ≤+= 其中)(x F ζ为ζ的分布函数，对上式两端进行求导，则可得到ξζ?+=的密度函数：

可加性

多种分布的可加性 1、0-1分布 作为离散变量，0-1分布的变量取值范围是0,1，两个0-1分布相加后取值范围变为0、1、2，显然与原来不一样，所以不满足可加性。 2、二项分布b （n ，p ） 设()~,X b n p ，()~,Y b m p ，且X ，Y 相互独立，令Z=X+Y 。由卷积公式， ()0()()k i P Z k P X i P Y k i =====-∑。因为可能性的缘故，i<=n ，k-i<=m ，因此 max{0,},min{,}a k m b n k =-=。则 ()()()(1) b b k m n k i m n k i i a i a P Z k P X i P Y k i p p C C +--======-=-∑∑，b i m k n k i m n i a C C C -+==∑ ， ()(1) k k m n k m n P Z k C p p +-+∴==-。因此，二项分布有可加性。 3、负二项分布 设X 、Y 为满足系数为m 、n 的负二项分布且独立，令Z=X+Y 。有卷积公式 ()0()()k i P Z k P X i P Y k i =====-∑，由于可能性，m<=i<=k-n ，则 ()1111()()(1) b k n k k m n m n i k i i a i m P Z k P X i P Y k i p p C C --------======-=-∑∑， 111111 k n m n m n i k i k i m C C C ---+-----==∑ ，()11(1)m n k k m n k P Z k C p p +----∴==-。因此，负二项分布有可加性。 4、几何分布 变量的取值范围相加后不再是1、2、3……而是2、3……，所以不再是几何分布，没有可加性。 5、均匀分布 设X ，Y 满足均匀分布X 对应a1、a2，Y 对应b1、b2，且相互独立。令Z=X+Y ，则a1+a2<=z<=b1+b2.卷积公式 ()()()Z X Y P z P z y P y dy +∞ -∞ = -?，1221max{,},min(,)a z b a b b z a =-=- 则1122()()()()() Z X Y b a P z P z y P y dy b a b a +∞ -∞ -= -= --? 。因此，均匀分布没有可加性。

北师教育统计学作业答案精编版

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《教育统计学》作业 客观题部分： 一、选择题（每题1分，共15题） 1、下列分布中哪一种是单峰对称分布？( C ) A. F分布 B. χ2分布 C. t分布 D.二项分布 2、当一组数据用中位数来反映集中趋势时，这组数据最好用哪种统计量来表示离散程度？( B ) A.全距 (差异量） B.四分位距（差异量） C.方差（差异量） D.标准差（差异量） 3、总体不呈正态分布，从该总体中随机抽取容量为1000的一切可能样本的平均数的分布接近于：( D ) A.二项分布 B. F分布 C.t分布 D.正态分布 4、检验某个频数分布是否服从正态分布时需采用：( C ) A. Z检验 B. t检验 C.χ2 检验 D. F检验 5、对两组平均数进行差异的显着性检验时，在下面哪种情况下不需要进行方差齐性检验？( B ) A. 两个独立样本的容量相等且小于30； B. 两个独立样本的容量相等且大于30； C. 两个独立样本的容量不等，n1小于30，n2大于30； D. 两个独立样本的容量不等，n1大于30，n2小于30。 6、下列说法中哪一个是正确的？( C )

A.若r1=0.40，r2=0.20，那么r1就是r2的2倍； B.如果r=0.80，那么就表明两个变量之间的关联程度达到80%； C.相关系数不可能是2； D.相关系数不可能是-1。 7、当两列变量均为二分变量时，应计算哪一种相关？( B ) A.积差相关（两个连续型变量） B.φ相关 C.点二列相关（一个是连续型变量，另一个是真正的二分名义变量） D.二列相关 (两个连续型变量，其中之一被人为地划分成二分变量。） 8、对多组平均数的差异进行显着性检验时需计算：( A ) A.F值 B. t值 C. χ2 值 D.Z值 9、比较不同单位资料的差异程度，可以采用何种差异量（ A ） A.差异系数 B.方差 C.全距 D.标准差 10、教育统计学科的基本结构是（ C ） A. 描述统计学、量化统计学 B. 描述统计学、推断统计学、量化统计学 C. 描述统计学、推断统计学、多元统计 D. 描述统计学、多元统计、量化统计学 11、统计分析包括（ D ） A. 多元分析与方差分析 B. 回归分析与区间分析 C. 方差分析与区间分析 D. 回归分析与方差分析 12、从自变量的一个取值去估计因变量的相应取值的完整分析与计算过程称为（ B ） A. 多元分析 B. 回归分析 C. 方差分析 D. 区间分析 13、回归分析的基本原理是（ A ）

东师教育统计与测量18春在线作业2

(单选题) 1: 下列选项中，属于称名变量是（）。 A: 邮编130021 B: 身高1.79米 C: 成绩80分 D: 班级第10名 正确答案: (单选题) 2: 编制教育测验时，任何试题都要遵循的编制原则是（）。 A: 每道试题测量的是重要的学习结果 B: 文字表述力求简短 C: 答案要简短具体 D: 慎重使用描述目的的行为动词 正确答案: (单选题) 3: 高中毕业会考的目的主要是（）。 A: 选拔 B: 分类 C: 诊断 D: 资格鉴定 正确答案: (单选题) 4: 测验对处于特定情境中个体行为预测时的有效性，这一概念叫做（）。 A: 同质性信度 B: 复本信度 C: 效标关联效度 D: 重测信度 正确答案: (单选题) 5: 下列选项中，属于称名变量特点的是（）。 A: 单位相等 B: 无类别意义 C: 相对参照点 D: 无大小意义 正确答案: (单选题) 6: 将某班每个学生的英语考试成绩都增加10分，与原来相比其平均数和标准差的变化是（）。A: 平均数不变，标准差不变 B: 平均数和标准差都增加10分 C: 平均数增加10分，标准差不变 D: 平均数不变，标准差增加10分 正确答案: (单选题) 7: 总体非正态分布、大样本时，总体平均数显著性检验采用的方法是（）。 A: Z检验 B: t检验 C: F检验 D: 卡方检验 正确答案: (单选题) 8: 总体非正态分布、大样本时，平均数的抽样分布为（）。 A: t分布 B: 正态分布 C: 近似正态 D: 二项分布 正确答案: (单选题) 9: 单因素方差分析主要适用于（）。 A: 两独立样本平均数间差异的显著性检验 B: 两个小样本平均数间差异的比较 C: 两个以上独立样本平均数间差异的比较 D: 方差的齐性检验

数学概率多种分布的可加性原理知识分享

数学概率多种分布的可加性原理

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分布的可加性与正态分布的性质--matlab

第三次试验报告 试验六：分布的可加性 poison分布可加性 分析：由最后一图可知：P(10)与P(5)的人数总和与P(15)的人数和几乎一致，泊松分布具有可加性。 二项分布可加性 分析：由最后一图可知：B(3，0.6)与B(2，0.6)的人数总和与B(5，0.6)的人数和几乎一致，二项分布具有可加性。

分析：由最后一图可知：N(10，2)与N(30，4)的人数总和与N(40，6)的人数和几乎一致，正态分布具有可加性。 实验七：期中考试成绩分析 数据省略列举。 代码： n1=length(x) %x y 长度 n2=length(y) Ex=sum(x)/n1 % x y 期望 Ey=sum(y)/n2 Dx=sum((x(1,:)-Ex).^2)/n1 %X Y 方差 Dy=sum((y(1,:)-Ey).^2)/n2 Dxx=sqrt(Dx) % x y 标准差 Dyy=sqrt(Dy) cov=sum((x-Ex).*(y-Ey))/n1 %cov(x, y) 结果 n1 = 65 n2 = 65 Ex = 64.7231 Ey = 81.8154 Dx = 428.323 Dy = 162.9813 Dxx = 20.6960 Dyy = 12.7664 cov = 259.8258 分析：1、期望来看本班 较低； 2、方差来看，本班较大， 成绩比较分散； 3、cov（x， y）不懂正态分布可加性

成绩评价：总的来说本次成绩是不理想的。 1、基础知识不牢固，虽然当时知道但却错了填空题； 2、思维过于复杂，将计算题第一题想太多了； 3、得复习高数积分求导的公式，不得再弄错了； 4、看题得仔细，不能把离散分布变量与连续分布变量弄混了 学习及复习计划： 1、绝对不能缺课，上课要仔细听讲； 2、作业不能对照例题来做，要先看例题，在独立完成作业； 3、多与老师同学沟通，了解最新信息。 期末成绩期望:力争达到90分及其以上 实验八：正态分布的质 N（mu， sigma^2） I）f(x)关于x=mu对称； II）f（x）在x=mu处有最大值f（x）=1/sqrt(2*pi*sigma)； III）二维正态分布的边缘分布还是正态分布； IV）二维正态分布中，X与Y相互独立的充要条件为p=0； V）当X~N(mu, sigma^2)时，Y=kX+c~N(k*mu+c, (k*sigma)^2); VI）正态分布具有可加性；