黄冈中学高考数学易错题精选(一)三角函数与平面向量
黄冈中学高考数学易错题精选（一）三角函数与平面向量
1．在同一坐标系中，函数x y sin =的图像和函数x y =的图像有( )个公共点..函数
x y sin =的图像和函数tan y x =（ (),x ππ∈-）的图像有( )个公共点.
A. 1 ,3
B. 1 ,1
C. 3, 1
D. 3, 3
2cos x x a +=在[0,2]π上有两个不同的实数解， 的取值范围是
则a ( )
A. (2,0)(1,2)a ∈-?
B. (2,2)a ∈-
C. (2,1)(1,2)a ∈-?
D.
(2,1)a ∈-
3.当2
0π
<
x x x f 2sin sin 82cos 1)(2 ++= 的最小值为( ) A.2 B.32 C.4 D.34 4．已知平面上直线l 的方向向量43 (,)55 e =- ， 点(0,0)O 和(1,2)A -在l 上的射影分别是' O 和' A ，则'' O A e λ= ，其中λ等于( ) A.2 B.-2 C.5 D. 5- 5.在A B C ?中,有命题:①AB AC BC -= ②若()()0AB AC AB AC +?-= ,则A B C ?为等腰三角形③对任意||||,CA BA m BC R m ≥-∈恒成立，则A B C ?的形状为直角三角形④若0AC AB ?> ,则A B C ?为锐角三角形.上述命题正确的是( ) A.①② B.①④ C.②③ D.②③④ 6．如图 123,,l l l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2 正三角形ABC 的三个顶点分别在1l 、2l 、3l 上，则△ABC 的边长是（ ） A ． B 3 C 4 D 3 7．设O 为△ABC 所在平面内一点，已知22222 2||||||||||||OA BC OB AC OC AB +=+=+ ， 、 则点O 是△ABC 的（ ） A ．重心 B ．垂心 C ．外心 D ．内心 8．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且在[－3，－2]上是减函数，βα,是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是 （ ）． A.(sin )(cos )f f αβ> B.(cos )(cos )f f αβ< C.(cos )(cos )f f αβ> D.(sin )(cos )f f αβ< 9．.若2 2sin sin =+βα,则βαcos cos +的取值范围是（ ） A ．?? ??? ?22, 0 B ．?? ??? ?- 22, 2 2 C ．[]2,2- D ．?? ??? ?- 214, 2 14 10.如果111C B A ?的三个内角的余弦值分别等于222C B A ?的三个内角的正弦值,则( ) A.111C B A ? 与222C B A ?都为锐角三角形. B. 111C B A ? 222C B A ?与都为钝角三角形. C.111C B A ? 为钝角三角形, 222C B A ?为锐角三角形. D. 111C B A ? 为锐角三角形, 222C B A ?为钝角三角形. 11．某时钟的秒针端点A 到中点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点间的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d = ．其中[0,60]t ∈ 12．若平面向量a ，b 满足||1,a b a b +=+平行于x 轴，(2,1)b =-，则a = ． 13．已知向量a =(1,2)-,b (1,)λ=(R λ∈），则使a 与b 的夹角为锐角的λ的范围为 ． 14．设点A （1，0），B （0，1），O 为坐标原点，点P 在线段AB 上移动，AP AB λ= ，若 OP AB PA PB ≥ ，则实数λ 的取值范围是 ． 15．已知向量(2,0)O B = ，向量(2,2)O C = ，向量)C A αα= ，则向量O A 与向量OB 的夹角的取值范围为 ． 16．点O 在A B C ?内部且满足220OA OB OC ++= ，则A B C ?面积与凹四边形A B O C 面积之 比是 ． 17.在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的 区间上的图像与函数()g x = 的图像所围成的封闭图形的面积是________。 18．在△ABC 中，已知3 A B = ，cos 6 B = ，AC 边上的中线BD =，则 s i n A = ． 19. 已知偶函数()f x 满足()(2)f x f x =+，且当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，其图象与直线12 y = 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为12,P P ，则1324P P P P ?= _________. 20．已知△ABC 中，(0,1),(2,4)(6,1)A B C ，P 为平面上任意一点，M 、N 分别使1()2 PM PA PB = + ， 1()3PN PA PB PC =++ ，给出下列相关命题：①//MN BC ；②直线MN 的方程为 310280x y +-=； ③直线MN 必过△ABC 的外心；④向量()(0) AB AC λλ+≠ 所在射线必过N 点，上述四个命题 中正确的是 _________.（将正确的选项全填上）． 21．对于函数sin (sin cos ()cos (sin cos x x x f x x x x ?≥?=? ,给出下列四个命题:(1) 该函数的值域是[1,1]-; (2) 当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时该函数取到最大值1;(3) 当且仅当32() 4 x k k Z ππ=- ∈ 时该函数取到最小值2 -;(4) 当且仅当322() 2 k x k k Z ππππ+<<+∈时()0f x <．正确的 序号有 ． 22．已知12,(,0)x x π∈-且12x x <，则下列五个不等式： ① 1 2 1 2 sin sin x x x x <； ②12sin sin x x <； ③12 121 (sin sin )sin( )2 2 x x x x ++>； ④12sin sin 2 2 x x >； ⑤ 1212 sin sin 22 x x x x < ． 其中正确的序号是 ． 23（1）已知13sin 5cos 9,13cos 5sin 15αβαβ+=+=，求sin()αβ+的值； （2）已知α、β、(0,)2 π γ∈，sin sin sin ,cos cos cos αγββγα+=+=，求βα- 的值． 24.如图，在△ABC 中，已知3=AB ，6=AC ，7BC =，AD 是BAC ∠平分线. （1）求证：2D C BD =； （2）求 AB DC ? 的值. A D 25.在ABC ?中，点M 是BC 的中点，AMC ?的三边长是连续三个正整数，且 .cot tan BAM C ∠=∠（I ）判断ABC ?的形状；（II ）求BAC ∠的余弦值。 26．在△ABC 中，已知a ,b ,c 成等比数列，且9a b c ++=． （1）求△ABC 的面积S 的最大值； （2）求BA BC 的最小值 27．已知圆22:9C x y +=以及圆C 内一定点P （1，2），M 为圆C 上一动点，平面内一点Q 满足关系：O Q O P O M =+ （O 为坐标原点）． （1）求点Q 的轨迹方程； （2）在O 、M 、P 不共线时，求四边形OPQM 面积的最大值及此时对应的向量OM ． 28．如图所示，在半径为r 的圆O 上的弓形中，底AB =，C 为劣弧 AB 上的一点，且CD ⊥AB ，D 为垂足，点C 在圆O 上运动，当点C 处于什么位置时，△ADC 的面积有最大值？ 29．如图所示，已知在△ABC 的边上作匀速运动的点D 、E 、F ，在时刻0t =时，分别从A 、 B 、 C 出发，各以一定速度向B 、C 、A 前进，当时刻1t =时到达B 、C 、A ． （1）试证明在运动过程中，△DEF 的重心不变； （2）若△ABC 的面积是S ，求△DEF 的面积的最小值． 30．已知椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>，(2,0)A 为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且 0AC BC = ，||2||OC OB BC BA -=- ． （1）求椭圆的方程； （2）若AB 上的一点F 满足230BO OA OF -+= ，求证：CF 平分∠BCA ． 三角函数与平面向量答案 1．B 解：当(0, )2 x π ∈时，tan sin x x x >> 所以(,)x ππ∈-时，sin y x =与y x =，tan y x =均 只有一个交点，即原点．故选B ． 2．C 解：由()2f x =sin()6 x π + 在 []π2,0的图像可知(2,1)(1,2)a ∈-?，故选C ． 3．C 解：因为02 x π < < ，所以sin 0,cos 0 x x >>， 所以 2 2 2cos 8sin ()4 sin 22sin cos x x f x x x x += ≥ =．故选C ． 4．B ．解：∵O A '' 与e 反向∴0 λ < 又|||||||cos |2O A OA e OA λ''==<>= 、 ∴2 λ=-.故选B ． 5．C.解：②向量几何意义可知AC AB =;③由向量几何意义可知AC ⊥AB. 故选C ． 6.D 解：设其边长是a ，AB 与2l 的夹角为θ， 则1sin ,2sin(60)a a θθ==?-，于是2s i n s i n (60a a θθ=?-， 得 5sin 0 2 2 θθ- =，所 以 t a n 5θ= 1cos sec θθ === sin θ = 所以1sin 3 a θ = = ，选D ． 7.B 解：由2222||||||||OA BC OB AC +=+ ，得2 2 22 0OA OB BC AC -+-= ， 即()()()()0OA OB OA OB BC AC BC AC +-++-= ，所以()()0OA OB BA BC AC BA +++= ， 即()0BA OA AC OB BC +++= ，即20BA OC = ，所以BA ⊥OC ． 同理，AC ⊥OB ，BC ⊥OA ，所以点O 是△ABC 的垂心，故选B ． 8.D . 解：对称轴为1=x ,又为偶函数,则函数是周期为2的函数．有[－3，－2]上是减函数可知[0，1] 是增函数. 故选D ． 9．D 解：设cos cos x αβ+=，则22 2 1(sin sin )(cos cos )2 x α βαβ+++=+， 即2 122cos()2 x α β+-= +，所以2 32cos()2 x αβ=+-． 显然，当cos()αβ-取得最大值时，2x 有最大值．所以2 702 x ≤ ≤ ， 即2 2 x - ≤≤ 选D ． 10．D 解：由已知条件知△A 1、B 1、C 1的三个内角的余弦值为均为正，则△A 1、B 1、C 1为锐 角三角形，假设△A 2、B 2、C 2为锐角三角形． 由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ?==-???==-???==-??得2 1 21 2 1 2 22A A B B C C πππ? =-?? ? =-??? =-?? 那么2 221113()2 2 A B C A B C ππ ++= -++= ，这与三角形内角和为π矛盾，所以假设不成立， 则△A 2、B 2、C 2为钝角三角形，故选D ． 11．解：因为经过t 秒，秒针转了 30 t π弧度，所以 5sin 2 60 d t π= ，所以10sin 60 t d π=。 12．解：设(,)a x y =，则(2,1)a b x y +=+-，依题意，知1y =．又22(2)(1)1x y ++-=， 故1x =-或-3，从而(1,1)a =-或(3,1) -． 13．0a b > 且a b ≠ ∴120λ ->且2λ≠-即入1(,2)(2, )2∈-∞-- ． 14．解：由已知，,(1,1)OP OA AB AB λ-==- ，所以(1,0)(1,1)(1,)OP OA AB λλλλ=+=+-= ， 从而(,)PA OA OP λλ=-=- ，(1,1)PB OB OP λλ=-=-- ． 所以121OP AB λλλ=-+=- ，(1)(1)2(1) PA PB λλλλλλ=---=- 由212(1)λλλ-≥-，得2 2410 λλ-+≤ ，所以112 2 λ- ≤≤+ ，又01λ ≤≤ ，所以 [12λ∈- ． 15 ．解：如图，因为||AC = A 在以C （2,2 显然，当OA 与C 相切时，OA 与OB 的夹角取得最大值和最小值． 在R t △OAC 中，||AC = ，||O C == ，所以6AO C π∠= ，又因为4 BO C π ∠= ，所以4 6 12 BO A π π π ∠= - = ，1 54 6 12 BOA π π π∠= + = ， 所以向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围为5[,]1212 π π ． 令2OB OB '= 2O C O C '= 则O 为△A B C ''的重心 则AOB OB C AOC S S S '''' ???==12 AOCA AOC S S ' ??= ， 214 BOC B OC S S ''??= ∴2AOB AOB BOC S S S ???==∴ 54 ABC ABO C S S ?= 17．解：由 ()f x = sin()ax ?+与()g x = 2a π 18．解：设E 为BC 中点，连结DE ，则DE//AB ，且3 D E =B E x =． 在△BED 中，2222cos BD BE ED BE ED BED =+-∠ ． 所以285233 6x =+ +? ，解之得1x =或73 x =- （舍）．故BC=2． 从而在△ABC 中，222282cos 3 AC AB BC AB BC B =+-= ， 所以3 AC = sin 6 B = sin sin sin 14 a b A A b = ?= 19．解：由图像可知13241324||||P P P P P P P P = 224=-=。 B ＇ 20．解：由条件可得出M 是AB 的中点，N 是△ABC 的重心，不难得出②、④是正确的． 21．解：作出函数()y f x =的图形可从图形中得（3）（4）正确 22．解：作出(,0)π-上函数sin y x =的图形sin x x 可看成图形上一点与原点所在直线斜率，由 图形可知（1）（3）（5）正确 23．解：（1）将13s i n 5c o s 9αβ+= 和13cos 5sin 15αβ+=两式的两边平方相加得：169130(s i n c o s c o s s i n )25 αβαβ+++=，即可得56sin()65 αβ+=． （2）由已知得 sin sin sin γβα=-，① c o s c o s c o s γβα=-+ ，② ①2+②2得22(sin sin )(cos cos )1βαβα-+-+=，即1sin sin cos cos 2 αβαβ+=， 即1cos()2 αβ-= ，所以3 πβα-=± ． 因为sin sin sin 0γβα=->，所以βα>．所以3 πβα-= ． 24. 解：（1）在ABD ?中，由正弦定理得sin sin AB BD AD B BAD = ∠∠①， 在A C D ?中，由正弦定理得sin sin AC D C AD C C AD = ∠∠②， 又AD 平分BAC ∠，所以BAD C AD ∠=∠，sin sin BAD C AD ∠=∠， sin sin()sin ADB ADC ADC π∠=-∠=∠，由①②得36 BD AB D C AC = = ，所以2D C BD =. （2）因为2D C BD =，所以 BC DC 3 2= . 在△ABC 中，因为 2 2 2 222 37611cos 2237 21AB BC AC B AB BC +-+-= = = ???， 所以 22()||||cos()33AB D C AB BC AB BC B π?=?=?- 21122 37()3213=???-=- . 25. 解： （I ）设,,βα=∠=∠MAC BAM 则由?=+=90cot tan C C αα得 ?=+∴90B β ABM ?中，由正弦定理得 .sin sin ,sin sin MB AM B B AM BM = =α α 即同理得 ,sin sin MC AM C = β ,MC MB = ,sin sin sin sin β α C B = ∴ B C sin sin sin sin βα=∴ ,90,90?=+?=+B C βα ββααcos sin cos sin =∴ 即,2sin 2sin βα=?=+=∴90βαβα或 当?=90αβ时，,2 1MC BC AM == 与AMC ?的三边长是连续三个正整数矛盾， C B ∠=∠∴=∴,βα，ABC ?∴是等腰三角形。 （II ）地直角三角形AMC 中，设两直角边分别为,1,1,+-n n n 斜边为 由222)1()1(-+=+n n n 得n=4， 由余弦定理或二倍角公式得.25 7cos =∠BAC 或.25 7cos - =∠BAC 26．解：（1）由已知得2b ac =， 所以2 2 2 22 21cos 2222 a c b a c ac ac ac B ac ac ac +-+--= = ≥ = ， 所以(0,]3 B π∈ ．又92 2 a c b b +-==，所以3b ≤． 所以2 11sin sin 2 2 ABC S ac B b B ?= = 19sin 2 34 π≤ ??= 当且仅当3a b c === 时取等号．所以m ax 4 S = （2）因为222 1cos ()2 BA BC ac B a c b == +- 2 2 1[()2]2 a c ac b =+-- 2 2 1[(9)3]2 b b =--2 9243(),2 4b =-+ + 所以当3b =时，m in 9()2 BA BC = ． 27．解：（1）设(,)Q x y ，圆22:9C x y +=上任一点00(,)M x y ．又P （1，2）， 则00(,),(1,2),(,) O Q x y O P O M x y === ．由O Q O P O M =+ ，则有00(,)(1,2)(,)x y x y =+， 所以0012 x x y y =-?? =-?又22009x y +=，故Q 的轨迹方程为22(1)(2)9x y -+-=． （2）2O PQ M O PM S S ?= 1 2||||sin 2 OP OM POM =∠ POM =∠≤， 所以四边形OPQM 面积的最大值为POM=90o，则0OP OM = ． 设00(,)M x y ．由0OP OM = 及点M 在圆C 上得 0022 00209x y x y +=???+=?? ，解得005 5x y ?=???? =?? 或0055x y ?=??? ? =-?? ，即(55 O M =- 或5 5 - ． 28．解：设∠C AB θ=，过O 作OE ⊥AC ，E 为垂足，连结OA ，OB ． 因为,AB OA OB r ===，所以∠90AO B =?，所以∠45O AB =?， 所以22cos(45)AC AE r θ==+?． 在R t △ADC 中，c o s 2c A D A C r θθθ ==+?，sin 2cos(45)sin CD AC r θθθ==+?， 所以22 12cos (45)sin cos 2 ACD S AD CD r θθθ ?= =+? 22cos (45)sin 2r θθ=+?21cos(290)sin 22 r θθ++?= 2 1(1sin 2)sin 22 r θθ= -2 2 111[(sin 2)]2 2 4 r θ= -- + ． 所以当1sin 22 θ= ，即230θ=?，亦即15θ=?时， AC D S ?取得最大值，这时C 点的位置由∠CAB=15o确定。 29．解：（1）证明：设(,)A A A x y ，(,)B B B x y ，(,)C C C x y ． 由题意，在同一时刻t ，D 、E 、F 分A B 、BC 、C A 所成的比相同， 设为λ，则1AD BE C F t DB EC FA t λ ==== -．由定比分点坐标公式可求得： ((1),(1))B A B A D tx t x ty t y +-+- ((1),(1))C B C B E tx t x ty t y +-+- ((1),(1)) A C A C F tx t x ty t y +-+- 由三角形重心坐标公式求得△DEF 的重心坐标为(, ) 3 3 A B C A B C x x x y y y ++++， 与t 无关，即在运动过程中，△DEF 的重心不变． （2）因为 , 1AD AF t t AB AC ==-，所以△DFA 与△ABC 的底边与高对应成比例， 所以:():()(1),DFA ABC S S AD AF AB AC t t ??==- 即(1)DFA S t t S ?=-． 同理，(1)DEB EFC S S t t S ??==-． 所以()DEF ABC DFA DEB EFC S S S S S ?????=-++2 (331)t t S =-+2 11[3()]2 4 t S =- + ． 因为01t ≤≤，所以当12 t = 时，DEF S ?的面积取得最小值为 14 S ． 30．解：（1）易知2 a =．由||2||OC OB BC BA -=- ，得||2||BC AC = ，即||||OC AC = ． 又0AC BC = ，所以∠BCA=90o，即△ACO 为等腰直角三角形，所以(1,1)C ± 又C 点在 2 22 14 x y b + =上，所以2 43 b = ．所以椭圆的方程为 2 2 31 4 4 x y + =． （2）证明：由230BO OA OF -+= ，得3()0BO OA OA OF +--= 所以3BA FA = ，所以 F 分B A 所成的比2λ=，所以||2||BF FA = ．又||2|| DB CA = ， 所以 BF C B FA C A = ，故由角平分线定理知CF 平分∠BCA ． 三角函数与平面向量 1．在同一坐标系中，函数x y sin =的图像和函数x y =的图像有( )个公共点..函数 x y sin =的图像和函数tan y x =（ (),x ππ∈-）的图像有( B )个公共点. A. 1 ,3 B. 1 ,1 C. 3, 1 D. 3, 3 1．解：当 (0, )2 x π ∈时，tan sin x x x >> 所以(,)x ππ∈-时，sin y x =与 y x =，tan y x =均 只有一个交点，即原点．故选B ． 2cos x x a +=在[0,2]π上有两个不同的实数解， 的取值范围是 则a ( C ) A. (2,0)(1,2)a ∈-? B. (2,2)a ∈- C. (2,1)(1,2)a ∈-? D. (2,1)a ∈- 2．解：由()2 f x =sin()6 x π + 在 []π2,0的图像可知(2,1)(1,2)a ∈-?。 3.当2 0π < x x x f 2sin sin 82cos 1)(2 ++= 的最小值为( C ) A.2 B.32 C.4 D.34 3．解：因为02 x π < < ，所以sin 0,cos 0 x x >>， 所以 2 2 2cos 8sin ()4 sin 22sin cos x x f x x x x += ≥ =．故选C ． 4．已知平面上直线l 的方向向量43 (,)55 e =- ，点(0,0)O 和(1,2)A -在l 上的射影分别是' O 和' A ，则'' O A e λ= ，其中λ等于( Ｂ ) A.2 B.-2 C.5 D. 5- 4．解：∵O A '' 与e 反向∴0 λ < 又|||||||cos |2O A OA e OA λ''==<>= 、∴2 λ =-.故选B ． 5. 5.在A B C ?中,有命题:①AB AC BC -= ②若()()0A B A C A B A C +?-= ,则 A B C ?为等腰三角形③对任意||||,CA BA m BC R m ≥-∈恒成立，则A B C ?的形状为直 角三角形④若0AC AB ?> ,则A B C ?为锐角三角形.上述命题正确的是( C ) A.①② B.①④ C.②③ D.②③④ 5．C.解：②向量几何意义可知AC AB =;③由向量几何意义可知AC ⊥AB. 故选C ． 6．如图123,,l l l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2， 正三角形ABC 的三个顶点分别在1l 、2l 、3l 上，则△ABC 的边长是（ D ） A ． B 3 C 4 D 3 6.解：设其边长是a ，AB 与2l 的夹角为θ， 则1sin ,2sin(60)a a θθ==?-，于是2sin sin(60)a a θθ=?-， 5sin 022θθ- =，所以tan 5 θ= 1cos sec θθ = = = ，sin θ = 所以1sin 3 a θ = = ，选D ． 7．设O 为△ABC 所在平面内一点，已知22222 2||||||||||||OA BC OB AC OC AB +=+=+ ，则点 O 是△ABC 的（ B ） A ．重心 B ．垂心 C ．外心 D ．内心 7.解：由2222 ||||||||OA BC OB AC +=+ ，得22220 OA OB BC AC -+-= ， 即()()()()0OA OB OA OB BC AC BC AC +-++-= ， 所以()()0OA OB BA BC AC BA +++= ， 即()0BA OA AC OB BC +++= ， 即20BA OC = ，所以BA ⊥OC ． 同理，AC ⊥OB ，BC ⊥OA ，所以点O 是△ABC 的垂心，故选B ． 8．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且在[－3，－2]上是减函数，βα,是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是 （ D ）． A.(sin )(cos )f f αβ> B.(cos )(cos )f f αβ< C.(cos )(cos )f f αβ> D.(sin )(cos )f f αβ< 8.D . 解：对称轴为1=x ,又为偶函数,则函数是周期为2的函数．有[－3，－2]上是减函数可知[0，1] 是增函数. 故选D ． 9．.若2 2sin sin = +βα,则βαcos cos +的取值范围是（ D ） A ．?? ??? ?22,0 B ．?? ??? ?- 22, 2 2 C ．[]2,2- D ．?? ??? ? - 214, 2 14 9．解：设cos cos x αβ+=，则2 2 2 1(sin sin )(cos cos )2 x α βαβ+++=+， 即2 122cos()2 x α β+-= +，所以2 32cos()2 x αβ= +-． 显然，当c o s ()αβ-取得最大值时，2 x 有最大值．所以2 702 x ≤ ≤ ， 即2 2 x - ≤≤ 选D ． 10.如果111C B A ?的三个内角的余弦值分别等于222C B A ?的三个内角的正弦值,则( D ) A. 111C B A ? 与222C B A ?都为锐角三角形. B. 111C B A ? 与222C B A ?都为钝角三角形. C. 111C B A ? 为钝角三角形, 222C B A ?为锐角三角形. D. 111C B A ? 为锐角三角形, 222C B A ?为钝角三角形. 10．解：由已知条件知△A 1、B 1、C 1的三个内角的余弦值为均为正，则△A 1、B 1、C 1为锐角 三角形，假设△A 2、B 2、C 2为锐角三角形． 由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ?==-???==-???==-??得21 21 2 1 222A A B B C C πππ? =-?? ? =-??? =-?? ， 那么2 221113()2 2 A B C A B C ππ ++= -++= ，这与三角形内角和为π矛盾，所以假设不成立，则 △A 2、B 2、C 2为钝角三角形，故选D ． 11．某时钟的秒针端点A 到中点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点间的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d = 10s i n 60 t π，其中[0,60]t ∈ 11．解：因为经过t 秒，秒针转了 30 t π弧度，所以 5sin 2 60 d t π= ，所以10sin 60 t d π=。 12．若平面向量a ，b 满足||1,a b a b +=+平行于x 轴，(2,1)b =-，则a =（-1，1）或（-3，1）． 12．解：设(,)a x y =，则(2,1)a b x y +=+-，依题意，知1y =．又22(2)(1)1x y ++-=， 故1x =-或-3，从而(1,1)a =-或(3,1)-． 13．已知向量a =(1,2)-,b (1,)λ=(R λ∈），则使a 与b 的夹角为锐角的λ的范围为 (-∞， -2)? 1 （-2，）2 ． 13．0 a b > 且a b ≠ ∴120λ->且2λ≠-即入1(,2)(2, )2 ∈-∞-- ． 14．设点A （1，0），B （0，1），O 为坐标原点，点P 在线段AB 上移动，AP AB λ= ，若 OP AB PA PB ≥ ，则实数λ 的取值范围是 [12 - ． 14．解：由已知，,(1,1)OP OA AB AB λ-==- ，所以(1,0)(1,1)(1,)OP OA AB λλλλ=+=+-= ， 从而(,)PA OA OP λλ=-=- ，(1,1)PB OB OP λλ=-=-- ． 所以121OP AB λλλ=-+=- ，(1)(1)2(1) PA PB λλλλλλ=---=- 由212(1)λλλ-≥-，得22410 λλ-+≤，所以112 2 λ- ≤≤+ ，又01λ ≤≤， 所以[12λ∈- ． 15．已知向量(2,0)O B = ，向量(2,2)O C = ，向量)C A αα= ，则向量O A 与向 量(2,2) O C = ，向量)C A αα= ，则向量O A 与向量OB 的夹角的取值范围 为 5[ , ]1212 π π ． 15．解：如图，因为||AC = A 在以C （2,2 显然，当OA 与C 相切时，OA 与OB 的夹角取得最大值和最小值． 在R t △OAC 中，||AC = ||O C == 6 AO C π ∠= ，又因为4 BO C π ∠= ， 所以4 6 12 BO A π π π ∠=- = ，1 54 6 12 BOA π π π∠= + = ，所以向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围 为5[ ,]1212 π π． 16．点O 在A B C ?内部且满足220OA OB OC ++= ，则A B C ?面积与凹四边形A B O C 面积之比是 54 16．解： 令2OB OB '= 2O C O C '= 则O 为△A B C ''的重心 则AOB OB C AOC S S S '''' ???==12 AOCA AOC S S '??= ，12AOB AB O S S '??= 14 BOC B OC S S ''??= ∴2AOB AOB BOC S S S ???==∴ 54 ABC ABO C S S ?= 17.在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像与函 数()g x =的图像所围成的封闭图形的面积是 __ 。 17 ．解：由 ()f x = sin()ax ?+ 与()a x = 2a π . 18．在△ABC 中， 已知3 A B = cos 6 B =AC 边上的中线BD =，则sin A = 14 ． . 18．解：设E 为BC 中点，连结DE ，则DE//AB ，且3 D E =B E x =． 在△BED 中，2222cos BD BE ED BE ED BED =+-∠ ． 所以285233 6x =+ +? ，解之得1x =或73 x =- （舍）． B ＇ 故BC=2． 从而在△ABC 中，222282cos 3 AC AB BC AB BC B =+-= ， 所以3AC = sin 6 B = 由sin sin sin 14 a b A A b =?= 19. 已知偶函数()f x 满足()(2)f x f x =+，且当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，其图象与直线12y = 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为12,P P ，则 1324P P P P ?= ___4_______. 19．解：由图像可知13241324||||P P P P P P P P = 224=-=。 20．已知△ABC 中，(0,1),(2,4)(6,1)A B C ，P 为平面上任意一点，M 、N 分别使1()2 PM PA PB = + ， 1()3PN PA PB PC =++ ，给出下列相关命题：①//MN BC ；②直线MN 的方程为 310280x y +-=；③直线 MN 必过△ABC 的外心；④向量()(0)AB AC λλ+- 所在射线必过N 点，上述四个命题中正确的是 ②④ （将正确的选项全填上）． 20．解：由条件可得出M 是AB 的中点，N 是△ABC 的重心，不难得出②、④是正确的． 21．对于函数sin (sin cos ()cos (sin cos x x x f x x x x ?≥?=? ,给出下列四个命题:(1) 该函数的值域是[1,1]-; (2) 当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时该函数取到最大值1;(3) 当且仅当32() 4 x k k Z ππ=- ∈ 时该函数取到最小值2 - ;(4) 当且仅当322() 2 k x k k Z ππππ+<<+∈时()0f x <．正确的 序号有(3)(4) ． 21．解：作出函数()y f x =的图形可从图形中得（3）（4）正确 22．已知12,(,0)x x π∈-且12x x <，则下列五个不等式： ① 1 2 1 2 sin sin x x x x <； ②12sin sin x x <； ③12 121 (sin sin )sin( )2 2 x x x x ++>； ④2 1sin sin 2 2 x x >； ⑤ 1 2 1 2 sin sin 22x x x x < ． 其中正确的序号是 ①③⑤ ． 22．解：作出(,0)π-上函数sin y x =的图形 sin x x 可看成图形上一点与原点所在直线斜率，由 图形可知（1）（3）（5）正确 23（1）已知13sin 5cos 9,13cos 5sin 15αβαβ+=+=，求sin()αβ+的值； （2）已知α、β、(0,)2 π γ∈，sin sin sin ,cos cos cos αγββγα+=+=，求βα- 的值． 23．解：（1）将13s i n 5c o s 9αβ+= 和13cos 5sin 15αβ+=两式的两边平方相加得：169130(s i n c o s c o s s i n )25 αβαβ+++=，即可得56sin()65 αβ+=． （2）由已知得 sin sin sin γβα=-，① c o s c o s c o s γβα=-+ ，② ①2+②2得22(sin sin )(cos cos )1βαβα-+-+=，即1sin sin cos cos 2 αβαβ+=， 即1cos()2 αβ-= ，所以3 πβα-=± ． 因为sin sin sin 0γβα=->，所以βα>．所以3 πβα-=． 24.如图，在△ABC 中，已知3=AB ，6=AC ，7BC =，AD 是BAC ∠平分线. （1）求证：2D C BD =； （2）求 AB DC ? 的值. 24. 解：（1）在ABD ?中，由正弦定理得sin sin AB BD AD B BAD = ∠∠①， 在A C D ?中，由正弦定理得sin sin AC D C AD C C AD = ∠∠②， 又AD 平分BAC ∠，所以BAD C AD ∠=∠，sin sin BAD C AD ∠=∠， sin sin()sin ADB ADC ADC π∠=-∠=∠，由①②得36 BD AB D C AC = = ，所以2D C BD =. （2）因为2D C BD =，所以 BC DC 3 2= . 在△ABC 中，因为 2 2 2 222 37611cos 2237 21AB BC AC B AB BC +-+-= = = ???， 所以 22()||||cos()33AB D C AB BC AB BC B π?=?=?- 2112237()3213=???-=- . 25.在ABC ?中，点M 是BC 的中点，AMC ?的三边长是连续三个正整数，且 .cot tan BAM C ∠=∠（I ）判断ABC ?的形状；（II ）求BAC ∠的余弦值。 A D 25. 解： （I ）设,,βα=∠=∠MAC BAM 则由?=+=90cot tan C C αα得 ?=+∴90B β ABM ?中，由正弦定理得 .sin sin ,sin sin MB AM B B AM BM = =α α 即同理得 ,sin sin MC AM C = β ,MC MB = ,sin sin sin sin β α C B = ∴ B C sin sin sin sin βα=∴ ,90,90?=+?=+B C βα ββααcos sin cos sin =∴ 即,2sin 2sin βα=?=+=∴90βαβα或 当?=90αβ时，,2 1MC BC AM == 与AMC ?的三边长是连续三个正整数矛盾， C B ∠=∠∴=∴,βα，ABC ?∴是等腰三角形。 （II ）地直角三角形AMC 中，设两直角边分别为,1,1,+-n n n 斜边为由 2 2 2 )1()1(-+=+n n n 得n=4， 由余弦定理或二倍角公式得.25 7cos =∠BAC 或.25 7cos - =∠BAC 26．在△ABC 中，已知 a , b , c 成等比数列，且9a b c ++=． （1）求△ABC 的面积S 的最大值； （2）求BA BC 的最小值． 26．解：（1）由已知得2b ac =， 所以2 2 2 22 21cos 2222 a c b a c ac ac ac B ac ac ac +-+--== ≥ = ，所以(0,]3 B π ∈． 又922a c b b +-=≤= ，所以3b ≤． 所以2 11sin sin 2 2 ABC S ac B b B ?= = 19sin 2 3 4 π≤ ??= 当且仅当3a b c === 时取等号．所以m ax 4 S = 函数零点易错题 三角函数重难点 教师版 函数的零点是函数图象的一个重要的特征，同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容，在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，因此要重视对函数零点的学习．下面就函数的零点判定中的几个误区进行剖析，希望对大家有所帮助． 1． 因＂望文生义＂而致误 例１．函数23)(2+-=x x x f 的零点是 （ ） Ａ．()0,1 Ｂ．()0,2 Ｃ．()0,1，()0,2 Ｄ．１，２ 错解：Ｃ 错解剖析：错误的原因是没有理解零点的概念，＂望文生义＂，认为零点就是一个点．而函数的零点是一个实数，即使()0=x f 成立的实数x ，也是函数 ()x f y =的图象与x 轴交点的横坐标． 正解：由()0232=+-=x x x f 得，x ＝１和２，所以选Ｄ． 点拨：求函数的零点有两个方法，⑴代数法：求方程()0=x f 的实数根，⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与x 轴交点的横坐标． 即使所求． 2． 因函数的图象不连续而致误 例２．函数()x x x f 1 +=的零点个数为 （ ） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 错解：因为2)1(-=-f ，()21=f ，所以()()011<-f f ，函数()x f y =有一个零点，选Ｂ． 错解剖析：分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数()x x x f 1+=的图象是不是连续的，这里的函数图像是不连续的，所以不能用零点判定定理． 正解：函数的定义域为()()+∞?∞-,00,，当0>x 时，()0>x f ，当0 三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???- 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 三角函数中的易错题 三角函数是中学数学的重要内容，但涉及知识重复、题型多样，解题方法灵活多变，但不少学生由于对知识理解的不深或思维不严密，做题过程中往往由于忽视一些条件而导致错误，现针对学生们容易出现的一些问题给予点拨。 一．例1、求函数y= x x 2tan 1tan 2- 的最小正周期 错解：∵ y=x x 2tan 1tan 2-= tan 2x ∴ T= π/2 假如 T=π/2 是y=x x 2tan 1tan 2- 的最小正周期 则有∫（0+π/2)=∫(0) 成立 而实际上 当x=0+π/2时，函数y= x x 2tan 1tan 2- 无意义 ∴T=π/2不是函数y= x x 2tan 1tan 2-的最小正周期 正解： y= x x 2tan 1tan 2- 其定义域为x=k π±π/4 x ≠k π+π/2 由图像可知：函数y= x x 2tan 1tan 2- 最小正周期应为π 练习： 求函数y=x x x x cos 3cos sin 3sin ++ 的周期T ［T= π ］ 二、例2、设sin α+ sin β =1/3 求sin α-cos 2β的最值。 错解：sin α=1/3-sin β 由 -1≤sin α≤1 知 -1≤1/3-sin β≤1 ∴-2/3≤sin β≤4/3 ∵sin β≤1 ∴-2/3≤sin β≤1 ∴sin α-cos β=1/3-sin β-(1-sin β）=(sin β-1/2)-11/12 当 sin β=1/2时，有最小值-11/12 当sinβ=-1时, 有最大值4/3 分析：最大值不对，原因在于未注意函数的有界性 正解：sinα-cosβ=(sinβ-1/2)-11/12 当sinβ=1/2时，有最小值-11/12 当sinβ=2/3时, 有最大值4/9 练习：若sinαsinβ=1/3 则cosαcosβ的取值范围。［-2/3,2/3］三、例3、在△ABC中，sinA=3/5, cosB=5/13 求cosC 错解：∵sinA=3/5 ∴cosA=±4/5 ∵cosB=5/13 ∴sinB=12/13 ∴cosC=-cos(A+B)=16/65或56/65 分析：A、B、C是三角形的内角，当A+B＜π时应深入讨论A、B的实际变化范围。 即由sinA=3/5 而1/2<3/5π 不合题意 ∴只有π/6 高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点 F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60) 【答案】2.5m. 【解析】 试题分析：设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得 AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值． 试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=， ∴CF=tan·DF=， 又∵CB=4， ∴BF=4－， ∵AB=6，DE=1，BM= DF=， ∴AN=5－，EN=DM=BF=4－， 在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－， tan==0．60， 解得=2．5， 答：DM和BC的水平距离BM为2．5米． 考点：解直角三角形． 2．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O 于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G. (1)求证：△PAC∽△PDF； (2)若AB＝5，，求PD的长； (3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围) 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【解析】 试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论. （2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得 ，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长， 由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长. （3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得 ，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果. 试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B， 又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC. ∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD. 又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF. （2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5， ∴.∴. ∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴. ∵AB⊥CD，∴. 如图，连接BP， ∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，. ∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6. 由（1）△PAC∽△PDF得，即. ∴PD的长为. （3）如图，连接BP，BD，AD， 三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2 正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan = 三角函数 一、重点突破 1、关于任意角的概念 角的概念推广后，任意角包括、正角、负角、零角；象限角、轴上角、区间角及终边相同的角 2、角的概念推广后注意“0°到90°的角”、“第一象限角”、“钝角”和“小于90°的角”这四个概念的区别 3、两个实用公式：弧度公式：l=|α|r，扇形面积公式：S=|α|r2 4、三角函数曲线即三角函数的图像，与三角函数线是不同的概念 5、利用任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式，诱导公式可以解决证明、化简、求值问题，而求值有“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”三类。 6、应用两角和与差的三角函数公式应注意： ⑴当α，β中有一个角为的整数倍时，利用诱导公式较为简便。 ⑵善于利用角的变形如β=(α+β)－α2α=(α+β)+(α－β)，+2α=2(α+)等 ⑶倍角公式的变形——降幂公式：sin2α=，cos2α=，sinαcosα=sin2α应用十分广泛. 7、三角函数的图像和性质，重点掌握：， ⑴周期性的概念；⑵y=Asin(ωx+)的图像是由y=sinx的图像经过怎样的变换得到 ⑶五点法作图. 8、三角求值问题的解题思路： ⑴三种基本变换：角度变换、名称变换、运算结构的变换 ⑵给值求角问题的基本思路 ①先求出该角的一个三角函数值；②再根据角的范围与函数值定角，要注意角的范围对三角函数值的影响。 9、注意活用数学思想方法：方程思想、数形结合，整体思想、向量方法 二、注意点 ㈠三角函数y=Asin(ωx∈) (Aω>0)的性质 1、奇偶性：当=kπ+时是偶函数，当=kπ时是奇函数，当≠时是非奇非偶函数 (k∈Z) 2、对称性：关于点(0)中心对称，关于直线x= (k∈Z)轴对称. ㈡任意角三角函数 1、当α为第一象限角时，sinα+cosα>1 2、当α∈(－+2kπ +2kπ)，k∈Z时，sinα－cosα<0 (点在x－y=0下方) 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝， 在Rt ADE ?E 中，3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ． 【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC． （1）求证：∠AEC=90°； （2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由； （3）若DC=2，求DH的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）四边形AOCD为菱形； （3）DH=2． 【解析】 试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得 ，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出 ∠AEC=90°； （2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； （3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由 DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长． 试题解析：（1）连接OC， 高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα 2020-2021学年高考数学（理）考点：三角函数的图象与性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，????π2，1，(π，0)，??? ?3π2，－1，(2π，0)． (2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，????π2，0，(π，－1)，??? ?3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) ?? π 概念方法微思考 1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？ 提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期． 2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？ 提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π 2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 1．（2019?新课标Ⅱ）若14 x π = ，234 x π = 是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则(ω= ) A ．2 B ． 32 C ．1 D ． 12 【答案】A 【解析】14 x π = ，234 x π = 是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点， 322( )44T πππ πω ∴=-== 2ω∴=， 故选A ． 2．（2019?新课标Ⅱ）下列函数中，以2π为最小正周期且在区间(4π，)2 π 单调递增的是( ) A ．()|cos2|f x x = B ．()|sin 2|f x x = C ．()cos ||f x x = D ．()sin ||f x x = 【答案】A 【解析】()sin ||f x x =不是周期函数，可排除D 选项； ()cos ||f x x =的周期为2π，可排除C 选项； ()|sin 2|f x x =在 4π处取得最大值，不可能在区间(4π，)2 π 单调递增，可排除B ． 故选A ． 3．（2019?新课标Ⅲ）设函数()sin()(0)5f x x π ωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下 述四个结论： ①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0, )10 π 单调递增 ④ω的取值范围是12 [5 ，29)10 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④ 【答案】D 【解析】当[0x ∈，2]π时，[ 5 5x π π ω+ ∈，2]5 π πω+， ()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点， 三角部分易错题选 一、选择题： 1．为了得到函数?? ? ? ?- =62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A 向右平移 6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3 π 答案: B 2．函数?? ? ? ??+=2tan tan 1sin x x x y 的最小正周期为 ( ) A π B π2 C 2 π D 23π 答案: B 3．曲线y=2sin(x+)4πcos(x-4π)和直线y=2 1 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P 1、P 2、P 3……，则|P 2P 4|等于 （ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 正确答案：A 4．下列四个函数y=tan2x ，y=cos2x ，y=sin4x ，y=cot(x+ 4π),其中以点(4 π ,0)为中心对称的三角函数有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 正确答案：D 5．函数y=Asin(ωx+?)(ω>0,A ≠0)的图象与函数y=Acos(ωx+?)(ω>0, A ≠0)的图象在区间 (x 0,x 0+ω π )上（ ） A ．至少有两个交点 B ．至多有两个交点 C ．至多有一个交点 D ．至少有一个交点 正确答案：C 6． 在?ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则∠C 的大小应为( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 6 π或π65 D ． 3π或3 2π 正确答案：A 错因：学生求∠C 有两解后不代入检验。 7．已知tan α tan β是方程x 2 +33x+4=0的两根，若α，β∈(-2 ,2π π)，则α+β=（ ） A ． 3 π B ． 3 π或-π32 C ．- 3 π或π32 D ．-π3 2 正确答案：D 错因：学生不能准确限制角的范围。 8． 若sin cos θθ+=1，则对任意实数n n n ，sin cos θθ+的取值为（ ） A. 1 B. 区间（0，1） C. 121 n - D. 不能确定 解一：设点(sin cos )θθ，，则此点满足 x y x y +=+=???1 1 22 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 三角函数 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边及x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ， 定理1 同角三角函数的基本关系式， 倒数关系：tan α= αcot 1,商数关系：tan α=α α αααsin cos cot ,cos sin =； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α; （ Ⅳ）s in ?? ? ??-απ2 =co s α, co s ?? ? ??-απ 2 =s in α（奇变偶不变，符号看象 限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。 单调区间：在区间?? ? ?? ?+-22,2 2ππππk k 上为增函数，在区间 ?? ???? ++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π 时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2 π时, y 取最小值-1。对称性：直线x =k π+2 π均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。单调 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 1．（2010?嘉祥县校级模拟）已知函数 （ω＞0）， ，且f （x ）在区间 单调递减，则ω的值为（ ） 2．（2006?奉贤区一模）函数，则集合{x|f （f （x ））=0} 元素的个数有（ ） 3.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为 4．（2011?安徽）已知函数f （x ）=sin （2x+φ），其中φ为实数，若f （x ）≤|f （）|对x ∈R 恒成立，且)()2 (ππ f f ＞，则f （x ）的单调递增区间是（ ） 5．已知ω＞0，函数f （x ）=cos （﹣ωx ）在（，π）上单调递减，则ω的取值范围是（ ） 6．（2014?大庆一模）已知函教f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）的图象与直线y=b （0＜b ＜A ）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f （x ）的单调递增区间是（ ） 7.（2013?和平区校级二模）函数f （x ）在R 上既是奇函数又是减函数，且当θ∈（0，）时，f （2cos 2θ+2msin θ）+f （﹣2m ﹣3）＞0恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 8．（2012?安徽模拟）函数)2 sin()(?π +=x a x f 的一个零点为，且 ， 对于下列结论：①；②；③ ④f （x ）的单 调减区间是 ；⑤f （x ）的单调增区间是 ．其中正确的结论是．（填写所有正确的结论编号） 9.（2014?陕西校级一模）方程在区间[0，π]内的所有实根之和为．（符号[x]表示不超过x的最大整数）． 10.（2009?静安区一模）（理）已知函数a cos 4 )(sin cos ) (的 =) 2 sin ( x a x x - x - x - f+ 定义域为，则实数a的取值范围是．11.（2014秋?宿豫区校级期中）已知函数f（x）=2x2﹣3x+1．（1）当0≤x≤时，求y=f（sinx）的最大值；（2）问a取何值时，方程f（sinx）=a﹣sinx在[0，2π）上有两解 12.（2013春?下城区校级期中）已知函数f（x）=，x∈[0，） （1）若g（x）=f（x）+，求g（x）的最小值及相应的x值 （2）若不等式（1﹣sinx）?f（x）＞m（m﹣sinx）对于恒成立，求实数m的取值范围． 13．设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立，则 ①f（）=0；②|f（）|＜|f（）|；③f（x）既不是奇函数也不是偶函数； ④f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；⑤经过点（a，b）的所有直线均与函数f（x）的图象相交．以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）． 三角函数知识点 一．考纲要求 考试内容3 要求层次 A B C 三角函数、 三角恒等 变换、 解三角形 三角函数 任意角的概念和弧度制 √ △ 弧度与角度的互化◇ √ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 √ 诱导公式 √ △ 同角三角函数的基本关系式 √ 周期函数的定义、三角函数的周期性 √ 函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象 和性质 √ 函数sin()y A x ω?=+的图象 √ 用三角函数解决一些简单的实际问题◇ √ 三角 恒等 变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的恒等变换 √ 解三角形 正弦定理、余弦定理 √ △ 解三角形 √ △ 二．知识点 1．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 2.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α 4、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。 （2）商数关系： ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． x y +O — — + x y O — + + — + y O — + + — (3) 若 o函数零点易错题、三角函数重难点教师版)
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