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高等数学复旦大学出版社习题答案七

习题七

1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：

A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);

D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).

解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；

点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.

2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？

答: 在xOy面上的点，z=0;

在yOz面上的点，x=0;

在zOx面上的点，y=0.

3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？

答：x轴上的点，y=z=0;

y轴上的点，x=z=0;

z轴上的点，x=y=0.

4. 求下列各对点之间的距离：

（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.

解：（1

）s==

(2) s==

(3) s==

(4) s==

5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.

故

s==

s==.

6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则

222222

(4)1(7)35(2)

z z

-++-=++--

解得

153

154

即所求点为M （0，0，

149

）.

7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.

证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图

7-1

图7-1

9. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解：

232(2)3(3)

2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c

10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，

试以AB = c ，BC = a 表示向量1D A ,2D A ,3D A

和4D A .

解：1115

D A BA BD =-=-- c a

2225

D A B A B D =-=-- c a

3335

D A B A B D =-=-- c a

444.5

D A BA BD =-=-- c a

11. 设向量O M

的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.

解：设M 的投影为M '，则

P r j cos 604 2.2

u O M O M =?=?=

12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标.

解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则

{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----

155

解得x =-2, y =3, z =0

故A 的坐标为A (-2, 3, 0).

13. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求：

（1） 12P P 在各坐标轴上的投影；（2） 12P P

的模；

（3） 12P P 的方向余弦；（4） 12P P

方向的单位向量. 解：（1）12Pr j 3,x x a P P ==

12Pr j 1,y y a P P ==

12Pr j 2.z z a P P ==-

(2) 12P P =

(3) 12cos x

a P P α==

cos y

a P P β==

cos z a P P γ==

(4) 12012

P P P P ===+

e j

14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余

弦.

解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）

||==R

214cos cos cos αβγ=

15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 和c =-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a , b , c .

解：||==

||==

||3=

156

, , 3. a b c =

==a b c e

16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.

解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k 在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .

17.解：设{,,}x y z a a a a =

则有

c o s (1,1)

3x a i

a a i a i

π?===

? 求得12

x a =

设a 在xo y 面上的投影向量为b

则有{,,0}x y b a a =

则22cos 42a b

a b

π?=?

=? 则2

y a =

求得12

y a =±

又1,a =

则222

1x y z a a a ++=

从而求得11{,,}222a =± 或11{,,}222

-±

18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M M M =

，求向径O M

的坐标. 解：设向径O M

={x , y , z }

12{2,5,3}

{3,2,5}

M M x y z M M x y z =--+=----

因为，123M M M M =

所以，114

23(3)153(2) 433(5)3

x x x y y y z z z ?=?-=-??

-=--?=-????

+=-?=???

157

故O M ={111

,,344

-}.

19. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是236

,,777

，求点P 的坐标.

解：设P 的坐标为（x , y , z ）, 2222||(12)49P A x y z =++-=

得2229524x y z z ++=-+

126570cos 6, 7

z z γ=

?==

又122190cos 2, 7

x x α=

?==

123285cos 3, 7

y y β=

?==

故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570

,,494949

）. 20. 已知a , b 的夹角2π3

，且3,4==b a ，计算：

(1) a ·b ; (2) (3a -2b )·(a + 2b ). 解：（1）a ·b =2π1cos ||||cos 343463

???=??=-

??=-a b

(2) (32)(2)

3624-?+

=?+

?-?-?a b a b a a a b b a b b

23||44||

334(6)41661.

=+?-=?+?--?=-a a b b

21. 已知a =(4,-2, 4), b =(6,-3, 2),计算：

（1）a ·b ; (2) (2a -3b )·(a + b )；（3）2

||-a b 解：（1）46(2)(3)4238?=?+-?-+?=a b (2) (23)()2233-?+=?+?-?-?a b a b a a a b a b b b

2||3||

2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113

=-?-=?+-+--+-+=?--?=-a a b b (3) 222

||()()2||2||-=-?-=?-?+?=-?+a b a b a b a a a b b b a a b b

36238499=-?+=

158

22. 已知四点A （1，-2，3），B （4，-4，-3），C （2，4，3），D （8，6，6），求向量AB

在向量CD

上的投影.

解：AB

={3，-2，-6}，CD ={6，2，3}

Pr j C D A B C D A B C D ?=

4.7==- 23. 若向量a +3b 垂直于向量7a -5b ,向量a -4b 垂直于向量7a -2b ,求a 和b 的夹角. 解: (a +3b )·(7a -5b ) =227||1615||0+?-=a a b b ① (a -4b )·(7a -2b ) = 227||308||0-?+=a a b b ②

由①及②可得：22

1()

1||

||||

???=

a b a b a b a b a b

又2

1||02

>a b b ，所以1cos ||||

θ?==

a b a b ,

故1πarccos 2

θ==.

24. 设a =(-2,7,6),b =(4, -3, -8),证明：以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直.

证明：以a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a +b ,a －b ,且 a +b ={2,4, -2}

a -

b ={-6,10,14}

又(a +b )·(a -b )= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0 故(a +b )⊥(a -b ).

25. 已知a =3i +2j -k , b =i -j +2k ,求： (1) a ×b ; (2) 2a ×7b ; (3) 7b ×2a ; (4) a ×a . 解：（1） 2113323751

--?=

=----a b i j k i j k

(2) 2714()429870?=?=--a b a b i j k

(3) 7214()14()429870?=?=-?=-++b a b a a b i j k (4) 0?=a a .

26. 已知向量a 和b 互相垂直，且||3, ||4==a b .计算： (1) |(a ＋b )×(a －b )|； (2) |(3a ＋b )×(a －2b )|.

（1）|()()|||2()|+?-=?-?+?-?=-?a b a b a a a b b a b b a b

159

π2||||sin

242

=??=a b

(2) |(3)(2)||362||7()|+?-=?-?+?-?=?a b a b a a a b b a b b b a

π734sin

842=???=

27. 求垂直于向量3i -4j -k 和2i -j +k 的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦. 解：4113345551

1----?=

=--+--a b i j k i j k

与?a b

平行的单位向量)||

=±--+?a b e i j k a b

||sin ||||

θ?=

?a b a b .

28. 一平行四边形以向量a =(2,1,－1)和b =(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦. 解：两对角线向量为

13=+=-l a b i j ，232=-=+-l a b i j k

因为12|||2610|?=++=l l i j k

12|| ||=

l l 所以

1212||sin 1||||

θ?=

==l l l l .

即为所求对角线间夹角的正弦.

29. 已知三点A (2,-1,5), B (0,3,-2), C (-2,3,1)，点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，CA 的中点，证

明：1()4

M N M P A C B C ?=? .

证明：中点M ，N ，P 的坐标分别为

31(1,1,

), (1,3,), (0,1,3)2

M N P --

{2,2,2}M N =--

3{1,0,}2

M P =-

{4,4,4}AC =--

{2,0,3}BC =-

160

22222235233

M N M P ----?=

=++--i j k i j k

444444122080

AC BC ---?=

=++--i j k i j k

故 1()4

M N M P A C B C ?=? .

30.（1）解: x y z

x y z

i j k

a b a a a b b b ?=

=-+-+-y z z y z x x z

x y y x

a b a b i a b a b j a b a b k

（）（）（）则 C=-C +-+-y z z y x z x x z y x y y x y a b a b a b a b a b C a b a b C ??

（）（）（）（）

y z x

a a a

b b b C C C = 若 ,,C a b

共面，则有 a b ? 后与 C 是垂直的. 从而

C 0a b ??=

（）反之亦成立. （2） C x

y z x

a a a a

b b b b C C C ??=

（） a x

y z

y z b

b b b C C C C a a a ??= （） b x

y z

C C C C a a a a b b b ??=

（）由行列式性质可得:

y z x y z x y z

a a a

b b b C C C b b b C C C a a a C C C a a a b b b == 故

C a a b b C C a ??=??=??

（）（）（）

161

31. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积. 解：设四顶点依次取为A , B , C , D .

{0,1,2}, {2,2,1}AB AD ==-

则由A ，B ，D 三点所确定三角形的面积为

111|||542|222

S AB AD =?=+-=

i j k .

同理可求其他三个三角形的面积依次为

故四面体的表面积12

S =++

32.解：设四面体的底为B C D ?，从A 点到底面B C D ?的高为h ，则 13B

C D

V S h =

?? ，

而119

48222

B C D

S BC BD i j k =?=--+= 又B C D ?所在的平面方程为:48150x y z +-+=

则43

h ==

故194

2323

V =

??= 33. 已知三点A (2,4,1), B (3,7,5), C (4,10,9)，证：此三点共线.

证明：{1,3,4}AB = ,{2,6,8}AC =

显然2AC AB =

则22()0AB AC AB AB AB AB ?=?=?=

故A ，B ，C 三点共线.

34. 一动点与M 0(1,1,1)连成的向量与向量n =(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程. 解：设动点为M (x , y , z ) 0{1,1,1}M M x y z =---

因0M M n ⊥ ,故00M M n ?=

即2(x -1)+3(y -1)-4(z -1)=0

整理得：2x +3y -4z -1=0即为动点M 的轨迹方程. 35. 求通过下列两已知点的直线方程：（1）（1，-2，1），（3，1，-1）；（2）（3，-1，0），（1，0，-3）.

162

解：（1）两点所确立的一个向量为 s ={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2} 故直线的标准方程为：

1212

x y z -+-==- 或

3112

x y z --+=

（2）直线方向向量可取为

s ={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3} 故直线的标准方程为：

312

x y z -+==-- 或 132

x y z -+==--

36. 求直线234035210

x y z x y z +--=??

-++=?的标准式方程和参数方程.

解：所给直线的方向向量为 123112237195

--=?=

=----s n n i j k i j k

另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17 于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:

71717

x y z --==--

且直线的参数方程为：

771719x t

y t z t =??

=-??=-?

37. 求过点(4,1,-2)且与平面3x -2y +6z =11平行的平面方程. 解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)

故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0

即3x -2y +6z +2=0.

38. 求过点M 0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M 0的线段OM 0垂直的平面方程.

解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n

故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0 即x +7y -3z -59=0

39. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.

解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为

122x y z b

b b

++=

又(1,2,-1)在平面上，则有

121122b

b b

-++=

163

得b =2.

故所求平面方程为

1424x y z ++=

40. 求过(1,1,-1), (-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程. 解：由平面的三点式方程知 111

21212131

0x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点，有11121

2121011

x y z --+----+=---+ 化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.

41. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形： (1) y =0; (2) 3x -1=0; (3) 2x -3y -6=0; (4) x – y =0; (5) 2x -3y +4z =0.

解：(1) y =0表示xOz 坐标面（如图7-2） (2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图

7-3)

图7-2 图7-3

(3) 2x -3y -6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x =3和y =-2的平面.(如图7-4) (4) x –y =0表示过z 轴的平面（如图7-5） (5) 2x -3y +4z =0表示过原点的平面（如图7-6）

图7-4 图7-5 图7-6 42. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x +y -z =0的平面. 解：设平面方程为Ax +By +Cz +D =0 则其法向量为n ={A ,B ,C }

已知平面法向量为n 1={1,1,-1} 过已知两点的向量l ={1,1,1}

由题知n·n1=0, n·l=0

即

0,.

A B C

C A B A B C

+-=

?==-?

++=

所求平面方程变为Ax-Ay+D=0

又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0

故平面方程为x-y=0.

43. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：

（1）经过点（5，-4，6）；（2）与平面2x-3y+z=0成π

的角.

解：（1）因平面过点（5，-4，6）故有5-4k-2×6=9

得k=-4.

（2）两平面的法向量分别为

n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}

且12

cos cos

||||42

====

n n

解得

k=±

44. 确定下列方程中的l和m:

(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;

(2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.

解：（1）n1={2,l,3}, n2={m,-6,-1}

232

,18

613

m l

?==?=-=

n n

(2) n1={3, -5, l }, n2={1,3,2}

315320 6.

l l

⊥??-?+?=?=

n n

45. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.

解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0

其法向量n={A,B,C}

n1={1,-1,1}, n2={2,1,1}

A C

A B C

A B C C

⊥?-+=?

⊥?++=?

n n

又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0

故所求平面方程为

C x y C z

-++=

即2x-y-3z=0

164

165

46. 求平行于平面3x -y +7z =5,且垂直于向量i -j +2k 的单位向量. 解：n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.

12,⊥⊥n n n n

故12177331521

--=?=

=+---n n n i j k i j k

则12).n =±

+-e i j k

47. 求下列直线与平面的交点： (1) 11126x y z -+==-, 2x +3y +z -1=0;

(2)

2132

x y z +--==, x +2y -2z +6=0.

解：（1）直线参数方程为1126x t y t z t =+??

=--??=?

代入平面方程得t =1 故交点为（2，-3，6）.

（2）直线参数方程为221332x t y t z t =-+??

=+??=+?

代入平面方程解得t =0. 故交点为（-2，1，3）. 48. 求下列直线的夹角：（1）533903210

x y z x y z -+-=??

-+-=? 和 2223038180

x y z x y z +-+=??

++-=?；

（2）

2314

x y z ---=

- 和 38

121y z x --?=?

--??=?

解：（1）两直线的方向向量分别为：

s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=5

333

j k

--={3,4, -1} s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=2

213

j k

-={10, -5,10}

166

由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直，夹角为

π2

(2) 直线

2314

x y z ---=

-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38

121y z x --?=?

--??=?

的方程可变

为22010

y z x -+=??

-=?,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是

1212

cos 0.2064

785θθ?=

≈?'

≈?s s s s

49. 求满足下列各组条件的直线方程：

（1）经过点（2，-3，4），且与平面3x -y +2z -4=0垂直；（2）过点（0，2，4），且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行；（3）过点（-1，2，1），且与直线3121

x y z --==-平行.

解：（1）可取直线的方向向量为 s ={3，-1，2} 故过点（2，-3，4）的直线方程为

2343

x y z -+-==-

（2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n 1与n 2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量

121

02{2,3,1}0

=?==--i

j k

s n n 故过点（0，2，4）的直线方程为

242

x y z --==-

（3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s ={2，-1，3}

故过点（-1，2，1）的直线方程为

1212

3x y z +--==-.

50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：（1）34273

x y z ++==

--和4x -2y -2z =3;

（2）

x y z =

=-和3x -2y +7z =8;

167

（3）

2233

x y z -+-=

-和x +y +z =3.

解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s ={-2，-7，3} 平面的法向量n ={4，-2，-2}，所以

(2)4(7)(2)3(2)0?=-?+-?-+?-=s n

于是直线与平面平行.

又因为直线上的点M 0（-3，-4，0）代入平面方程有4(3)2(4)2043?--?--?=-≠.故直线不在平面上.

(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量，故直线垂直于平面.

(3) 直线在平面上，因为3111(4)10?+?+-?=,而直线上的点（2，-2，3）在平面上. 51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线

230

x y z x y z -+-=??

+-+=? 的平面方程.

解：直线的方向向量为1

21231

-=++-i

j k

i j k , 取平面法向量为{1，2，3}，

故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ?-+++-=

即x +2y +3z =0.

52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x -3y +z =3, x +3y +2z +1=0的交线的平面方程. 解：设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++= 其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3）故213(2)33(13(2)231)0λ?-?-+-++?-+?+= 解得λ=-4.

故所求平面方程为

2x +15y +7z +7=0

53. 求点（-1，2，0）在平面x +2y -z +1=0上的投影.

解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即

s =n ={1，2，-1}

所以垂线的参数方程为122x t y t z t =-+??

=+??=-?

将其代入平面方程可得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0

168

得23

t =-

于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点522(,,)333

54. 求点（3，-1，2）到直线10

240x y z x y z +-+=??-+-=?

的距离.

解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量

即1

11332

==-=---i

j k

n s j k 故过已知点的平面方程为y +z =1. 联立方程组10

2401x y z x y z y z +-+=??

-+-=??+=?

解得131,,.2

x y z ==-=

即13

(1,,)22

为平面与直线的垂足

于是点到直线的距离为2

d ==

55. 求点（1，2，1）到平面x +2y +2z -10=0距离.

解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s =n ={1，2，2} 所以垂线的参数方程为12212x t y t z t =+??

=+??=+?

将其代入平面方程得13

t =

故垂足为485

(,,)333

，且与点（1，2，1

）的距离为1d =

= 即为点到平面的距离.

56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.

解：球的半径为R ==

设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2

+(y -3)2

+(z +2)2

=14

即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程.

57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.

169

解：设该动点为M (x ,y ,z )

3.=

化简得：8x 2

+8y 2

+8z 2

-68x +108y -114z +779=0 即为动点的轨迹方程.

58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：（1）2

()()22a

x y -

+=; （2）2

149

-+=; （3）

=; （4）2

0y z -=;

（5）220x y -=; （6）220x y +=. 解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7-7. （2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图

7-8.

图7-7 图7-8 （3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图7-9. （4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图

7-10.

图7-9 图7-10

（5）母线平行于z 轴的两平面，如图7-11. （6）z 轴，如图

7-12.

图7-11 图7-12

170

59. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：（1）2

149y

x +

=; （2）22

369436x y z +-=;

（3）2

x -

=; （4）2

114

x +

（5）2

x y +-

解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13. (2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图

7-14.

图7-13 图7-14

(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15. (4) 单叶双曲面，如图

7-16.

图7-15 图7-16

(5) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图7-17.

图7-17

60. 作出下列曲面所围成的立体的图形： (1) x 2+y 2+z 2=a 2与z =0,z =

a (a >0); (2) x +y +z =4,x =0,x =1,y =0,y =2及z =0;

(3) z =4-x 2, x =0, y =0, z =0及2x +y =4; (4) z =6-(x 2+y 2),x =0, y =0, z =0及x +y =1.

171

解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-18，7-19，7-20，7-21所示

图7-18 图

7-19

图7-20 图7-21

61. 求下列曲面和直线的交点： (1)

181369x

=与

34236

x y z --+=

(2)

116

=与24

x y z +=

解：（1）直线的参数方程为

334624x t

y t z t =+??

=-??=-+?

代入曲面方程解得t =0,t =1.

得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）. (2) 直线的参数方程为

4324x t y t

z t =??

=-??=-+?

代入曲面方程可解得t =1,

得交点坐标为（4，-3，2）.

62. 设有一圆，它的中心在z 轴上，半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.

172

解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有

229

5x y z ?+=?

=±?

即为所求圆的方程. 63. 试考察曲面

=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程.

(1) 平面x =2; (2) 平面y =0; (3) 平面y =5; (4) 平面z =2.

解：（1

）截线方程为22

1332

x ?-

+=?????=? 其形状为x =2平面上的双曲线.

（2）截线方程为22194

0x z

y ?+=?

??=?

为xOz 面上的一个椭圆.

(3)

截线方程为22

y ?+=?

为平面y =5上的一个椭圆.

(4) 截线方程为22

0925

2x y

z ?-=?

??=?

为平面z =2上的两条直线.

64. 求曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=z 2在xOy 面上的投影曲线. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为

x y +=

故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为2

2220a x y z ?+=

???=?

65. 建立曲线x 2+y 2=z , z =x +1在xOy 平面上的投影方程. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为

x 2

+y 2

=x +1即22

15()2

x y -

高等数学复旦大学出版社课后习题答案

1. 解: (1)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ; x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等. (2)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 解: (1)要使函数有意义,必须 400x x -≥?? ≠? 即 40x x ≤?? ≠? 所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞U . (2)要使函数有意义,必须 30lg(1)010x x x +≥?? -≠??->? 即 301x x x ≥-?? ≠??

高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

高等数学下_复旦大学出版_习题十答案详解

206 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ +?? 与 2 [ln()]d D x y σ +?? 的大小，其中：（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）D 表示矩形区域{(, )|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有图10-1 12x y ≤+≤ 从而 0l n ()1 x y ≤+< 故有 2 l n ()[l n ()] x y x y +≥+ 所以 2 l n ()d [l n ()]d D D x y x y σσ+≥ +?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥ . 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 l n ()[l n ()] x y x y +<+ 所以 2 l n ()d [l n ()]d D D x y x y σσ+< +?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：（1 ）,{(,)|02,02}D I D x y x y σ==≤≤≤≤??; （2）2 2 sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ==≤≤≤≤??; （3）2 2 2 2 (49)d ,{(,)|4}D I x y D x y x y σ= ++=+≤?? . 解：（1）因为当(, )x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤

207 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤故 2d d d D D σσσ≤ ≤ ?? ?? ?? 即 2d d D D D σσσ ≤ ≤???? 而 d D σσ =?? （σ为区域D 的面积），由σ=4 得 8D σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 2 2 0sin sin 1x y ≤≤ 故 22 0d sin sin d 1d D D D x y σσσ ≤ ≤ ?? ?? ?? 即2 2 sin sin d d D D x y σσσ ≤ ≤ =?? ?? 而2 π σ= 所以222 0sin sin d π D x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 2 2 2 2 9494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 22 9d (49)d 25d D D D x y σσσ ≤ ++≤ ?? ?? ?? 即 2 2 9(49)d 25D x y σσσ ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 22 36π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：（1 ） 222 (, {(,)|};D a D x y x y a σ- =+≤?? （2 ） 2 2 2 , {(,)|}.D D x y x y a σ=+≤?? 解：（1 ） (, D a σ-?? 在几何上表示以D 为底，以z 轴为轴，以（0，0，a ）为顶点的圆锥的体积，所以

高等数学下册典型例题精选集合.doc

最新高等数学下册典型例题精选集合第八章多元函数及其微分法最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿的定义域是从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护与z? = / 1 定义域的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)

法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂，T() 丿解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<

而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂〉?T O 〉?T O兀十〉于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿法2利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小的性质。因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以

高数题库

武科院试题一、填空题（4×3分=12分） 1．设 )(0x f '存在，则=--+→h h x f h x f h ) 3()2(lim 000 2. 函数 593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值为 . 3. 逐次积分? ?=x x dy y x f dx I 22 ),(更换积分次序后为_______________________. 4. 微分方程06'''=--y y y 的通解为 . 二、单项选择题（4×3分=12分） 1．设函数)(x f 在0x x =处连续，若0x 为)(x f 的极值点，则必有（A ）0)(0='x f （B ）0)(0≠'x f （C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在（D ）)(0x f '不存在 2．设 )(x f 是[0，+∞]上的连续函数，0>x 时，])([ 0'? dt t f x = (A))(x f - (B))(x f (C))(t f (D))(t f - 3、已知三点)1,0,1(-A ，)0,2,1(B -，)1,2,1(--C ，则 =? （A ）63 （B ） 62 （C ）26 （D ）36 4、函数x e xy u +=2在点（1,1）处的梯度为_______ （A ）)1,2(e + （B ） )1(2e + （C ）)1(2e + （D ）)2,1(e + 三、计算题（每小题7分，共56分） 1．计算极限 12cos 1lim 21 +-+→x x x x π 2. 求曲面 3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的切平面及法线方程. 3．设 y x z arctan =，而v u y v u x -=+=,，求v u z z , 4. 设()()? ? ?-=-=t y t t x cos 14sin 2，求22dx y d 5. 计算不定积分 ?dx x 2ln 6. 计算二重积分σd y x D ??22 ，其中D 是由直线2=x ，x y =及曲线1=xy 在第一象限内所围成的闭区域. 7. 求微分方程x xy dx dy 42=+的通解. 8. A , B 为何值时，平面054:=-++z By Ax π垂直于直线t z t y t x L 22,35,23:--=-=+=？四、（10分）求抛物线342-+-=x x y 及其在点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成的图形的面积. 五、（10分）设)(x f 在[1x ，2x ]上可导，且0＜1x ＜2x ，试证明在（1x ，2x ）内至少存在一点ξ，使 )(')() ()(2 11221ξξξf f x x x f x x f x -=-- 高等数学试题一、填空题（每小题3分共15分） 1 .2arccos x y = 则=)0(/y _________. 2. 设x e x f arctan )(=,则=)(x df _______________.

高等数学习题11答案(复旦大学出版社)

261 习题十一 3．计算下列对坐标的曲线积分： (1)() 22d -?L x y x ，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； (2)d L xy x ? 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)； (6)()322d 3d d x x zy y x y z Γ++-?，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2， ()()2 22224 35001156 d d 3515 L x y x x x x x x ??-=-=-=-?????? (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1 cos 0πsin x a a t t y a t =+?≤≤?=? L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故 ()()()()() 12 π 200π32 0π π322003 d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π 2L L L a xy x xy x xy x a a t a a t t x a t t t a t t t t a =+'=?++=-+=-+=-???????? (6)直线Γ的参数方程是32=??=??=?x t y t z t t 从1→0．

262 故()()3220322103 10 4 1 d 3d d 27334292d 87d 187487 4x x zy y x y z t t t t t t t t t Γ++-??=?+??+-???==?=-??? 7．应用格林公式计算下列积分： (1)()()d d 24356+-++-? x y x y x y Γ ，其中L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4， Q =3x +5y -6，3Q x ?=?，1P y ?=-?，由格林公式得 ()()d d 24356d d 4d d 4d d 14322 12 L D D D x y x y x y Q P x y x y x y x y +-++-????-= ????? ===???=??????? 8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： (1)星形线x = a cos 3t ，y = a sin 3t ；解：(1) ()()()()()2π 3202π2π242222002π20 2π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 4 3d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416 312π+d cos 2cos61623π8L A y x a t a t t t a t t t a t t t a t t t a t t t t t a t t t a =-=-?-==?= --=--+??=+????=??????? 9．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： (2)()()()()3,423221,2d d 663x y xy y x y xy +--? ； (3)()() 1,22 1,1d d x y x x y -?沿在右半平面的路径；

高数典型例题解析

第一章函数及其图形例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设

解：在令t=cosx-1，得又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有。 5：例 f(2)没有定义。注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有。因此，所给函数是有界的，即应选择B。例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

高等数学(复旦大学版)第十章_多元函数积分学(一)

第十章多元函数积分学（Ⅰ）一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。第一节二重积分教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题教学容：一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值.

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高等数学试题库第二章导数和微分一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

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《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（） A ．，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（）

A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 14、设满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、

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华中师大学网络教育《高等数学》练习测试题库一．选择题 1.函数y=1 12+x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（） A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B ．23，32，45，5 4 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 )1sin(lim 21x x x （） A.1 B.0 C.2 D.1/2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( )

A.1 B.2 C.6 D.1/6 8.当x 1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） A.x2-1 B. x3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x0不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x0必不连续 B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续

高等数学复旦大学出版社习题答案七

习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 02 s= x s== y s== 5 z s==. 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则 222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得 14 9 z=

即所求点为M （0，0， 149 ）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图 7-1 图7-1 9. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解： 232(2)3(3) 2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以AB =c ，BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A . 解：1115D A BA BD =-=-- c a 222 5D A BA BD =-=--c a 333 5D A BA BD =-=--c a 444 .5 D A BA BD =-=--c a 11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则 1 Pr j cos604 2.2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标. 解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则 {4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----

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（一）函数、极限、连续一、选择题： 1、在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。 (A) ;1+=x y (B);2x x y -= (C)34+-=x y (D)25-=x y 2、当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( ) （A ）无穷大量（B ）无穷小量（C ）无界函数（D ）有界函数 3、当x →1时，31)(,11)(x x x x x f -=+-= ?都是无穷小，则f (x )是)(x ?的( ) （A ）高阶无穷小（B ）低阶无穷小（C ）同阶无穷小（D ）等阶无穷小 4、 x =0是函数1 ()arctan f x x =的( ) （A ）可去间断点（B ）跳跃间断点；（C ）振荡间断点（D ）无穷间断点 5、下列的正确结论是（）（A ）)(lim x f x x →若存在，则f (x )有界；（B ）若在0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0 x g x x →),(lim 0 x h x x →都存在，则 ),(lim 0 x f x x →也存在；（C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0, 在(a , b )内有唯一的实根; （D ）当∞→x 时，x x x x x a sin )(,1)(==β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比. 二、填空题： 1、若),1(3-=x f y Z 且x Z y ==1 则f (x )的表达式为 ; 2、已知数列n x n 101 4- =的极限是4, 对于,101 1=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ; 3、 3214lim 1 x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、设,)(a x a x x f --= 则x =a 是f (x )的第类间断点; 5、 ,0 , ; 0, )(,sin )(?? ?>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则

复旦高等数学B期终试卷Word版

复旦大学数学科学学院 2008～2009学年第二学期期末考试试卷 A 卷 B 卷课程名称：__高等数学B _________ 课程代码： MATH120004.02.03__ 开课院系：__数学科学学院 _____________ 考试形式：闭卷姓名：学号：专业：题号一二三四五六七八总分得分 (以下为试卷正文) （装订线内不要答题）

注意：答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。一、简单计算（每题4分，共40分） 1. 写出函数y x x u +=arccos 的定义域。 2. 求( )2 20 1ln lim y x e x y y x ++→→。 3. 设f 是一个三元可微函数，() xy y x y x f u 2,,2 222-+=，求 y u ??。 4. 设()y x z z ,=是由方程()0,,=+xz z y xy F 所确定的隐函数，且F 具有连续的一阶偏导数，求 x z ??。 5. 交换二次积分 ()? ? 20 32 ,y y dx y x f dy 的积分顺序。

6. 求级数()() ∑ ∞ =+-113231 k k k 的和。 7. 判别级数∑∞ =1 3sin 2n n n π 的收敛性。 8. 求幂级数() ∑∞ =--1 1 21n n n n n x 的收敛域。 9. 求方程() 042 =-+dy x x dx y 的通解。 10. 求方程023=+'-''y y y 的通解。（装订线内不要答题）

二、设 ()333,y x y x f +=，判断()y x f ,在()0,0处是否可微，为什么？（6分）三、计算二重积分( )dxdy xe y I D y ??+=2 ，其中D 是由1=y ，2 x y =及0=x 所围成的有界闭区域。（6分）

关于高等数学经典方法与典型例题归纳

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限【说明】 (1)常见等价无穷小有：

高等数学复旦大学出版社习题答案七

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