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第十六章分式全章教案

第十六章分式

16．1分式

16.1.1从分数到分式

一、教学目标

1．了解分式、有理式的概念.

2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点

1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 3.认知难点与突破方法

难点是能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.突破难点的方法是利用分式与分数有许多类似之处，从分数入手，研究出分式的有关概念，同时还要讲清分式与分数的联系与区别. 三、例、习题的意图分析

本章从实际问题引出分式方程v

+20100=v

-2060，给出分式的描述性的定义：像这样分母中

含有字母的式子属于分式. 不要在列方程时耽误时间，列方程在这节课里不是重点，也不要求解这个方程.

1．本节进一步提出P4[思考]让学生自己依次填出：7

10，a s ，33200，s

v .为下面的[观察]

提供具体的式子，就以上的式子v

+20100，v

-2060，a

s ，s

v ，有什么共同点？它们与分数有什么

相同点和不同点？

可以发现，这些式子都像分数一样都是（即A ÷B ）的形式.分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A 、B 都是整式，并且B 中都含有字母.

P5[归纳]顺理成章地给出了分式的定义.分式与分数有许多类似之处，研究分式往往要类比分数的有关概念，所以要引导学生了解分式与分数的联系与区别.

希望老师注意：分式比分数更具有一般性，例如分式B

可以表示为两个整式相除的商（除式不能为零），其中包括所有的分数 .

2． P5[思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件，分式才有意义？由分数的分母不能为零，用类比的方法归纳出：分式的分母也不能为零.注意只有满足了分式的分母不能为零这个条件，分式才有意义.即当B ≠0时，分式

才有意义. 3． P5例1填空是应用分式有意义的条件—分母不为零，解出字母x 的值.还可以利用这道题，不改变分式，只把题目改成“分式无意义”，使学生比较全面地理解分式及有关的概念，也为今后求函数的自变量的取值范围，打下良好的基础.

4． P12[拓广探索]中第13题提到了“在什么条件下，分式的值为0？”，下面补充的

例2为了学生更全面地体验分式的值为0时，必须同时满足两个条件：○1分母不能为零；○

2分子为零.这两个条件得到的解集的公共部分才是这一类题目的解.

B A

四、课堂引入

1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7

10，a

s ，33

200，s

v .

2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时.

轮船顺流航行100千米所用的时间为v

+20100小时，逆流航行60千米所用时间v

-2060小时，

所以v

+20100=v

-2060.

3. 以上的式子v

+20100，v

-2060，a

s ，s

v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不

同点？五、例题讲解

P5例1. 当x 为何值时，分式有意义.

[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x 的取值范围.

[提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.

(补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？（1）（2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．

满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习

1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x

2. 当x 取何值时，下列分式有意义？（1）（2）（3）

3. 当x 为何值时，分式的值为0？（1）（2） (3)

七、课后练习

1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？

(1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件个，做80个零件需小时.

（2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是千米/时，轮船的逆流速度是千米/时. (3)x 与y 的差于4的商是 .

1-m m

+-m m 11

2+-m m 45

22--x x x x 235

-+2

+x x x 57+x

x 3217-x x x --221

2．当x 取何值时，分式无意义？

3. 当x 为何值时，分式

的值为0？八、答案：

六、1.整式：9x+4, 209y +, 54-m 分式： x 7 , 2

38y y -，91-x

2．(1）x ≠-2 （2）x ≠ （3）x ≠±2 3．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1

七、1．18x, ,a+b, b a s +,4y x -; 整式：8x, a+b, 4y x -;

分式：x

80, b a s + 2． X = 3. x=-1

16.1.2分式的基本性质

一、教学目标

1．理解分式的基本性质.

2．会用分式的基本性质将分式变形. 二、重点、难点

1．重点: 理解分式的基本性质.

2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形. 3.认知难点与突破方法

教学难点是灵活应用分式的基本性质将分式变形. 突破的方法是通过复习分数的通分、约分总结出分数的基本性质，再用类比的方法得出分式的基本性质.应用分式的基本性质导出通分、约分的概念，使学生在理解的基础上灵活地将分式变形. 三、例、习题的意图分析

1．P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.

2．P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.

教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.

3．P11习题16.1的第5题是：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.

“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5.

x 80

x x --212

2-+x x

四、课堂引入

1．请同学们考虑：与相等吗？与相等吗？为什么？

2．说出与之间变形的过程，与之间变形的过程，并说出变形依据？

3．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质. 五、例题讲解

P7例2.填空：

[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.

P11例3．约分：

[分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.

P11例4．通分：

[分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.

（补充）例5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.

a b 56--， y

x 3-， n m --

2， n

m 67--， y

x 43---。

[分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变.

解

：

a b 56--=

b 56，

x 3-=

x 3-

，

m --

m 2，

n m 67--

=n m 67 ， y x 43---=y

43。六、随堂练习

1．填空：

(1) x x x 3222+= ()3+x (2) 3

2386b b a =()3

3a （3) c a b ++1=()cn an + (4) ()2

22y x y x +-=()

y x -

2．约分：

（1）c ab b a 2263 （2）2228m n n m （3）5

2164xyz

yz x - （4）x y y x --3)(2

3．通分：（1）

321ab 和c b a 2252 （2）xy a

2和2

3x b 4320152498

2015

24983

（3）

223ab c 和28bc a - （4）11-y 和1

4．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.

(1) 2

33ab

y x -- (2) 2317b a --- （3) 2135x a -- (4) m b a 2)(-- 七、课后练习

1．判断下列约分是否正确：（1）

c b c a ++=b a （2）2

2y x y

x --=y x +1 （3）

m n

m ++=0 2．通分：（1）

231ab 和b a 272 （2）x x x --21和x

x x +-2

1 3．不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“-”号. （1）b a b a +---

2 （2）y

x y

x -+--32

八、答案：

六、1．(1)2x (2) 4b （3） bn+n (4)x+y

2．（1）

bc a 2 （2）n m 4 （3）24z

x - （4）-2(x-y)2

3．通分：

（1）

321ab = c

b a a

c 32105， c b a 2252= c b a b 3

2104 （2）xy a 2= y x ax 263， 23x b = y

x by

262

（3）223ab c = 2

812c ab c 28bc a -= 228c ab ab （4）11-y =)1)(1(1+-+y y y 11+y =)

1)(1(1

+--y y y

4．(1) 233ab y x (2) 2317b a - （3) 2

135x

a (4) m

b a 2

)(--

16．2分式的运算

16．2．1分式的乘除(一)

一、教学目标：理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算. 二、重点、难点

1．重点：会用分式乘除的法则进行运算. 2．难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算 . 3. 难点与突破方法

分式的运算以有理数和整式的运算为基础，以因式分解为手段，经过转化后往经过转化后往往可视为整式的运算.分式的乘除的法则和运算顺序可类比分数的有关内容得到.所以，教给学生类比的数学思想方法能较好地实现新知识的转化.只要做到这一点就可充分发挥学生的主体性，使学生主动获取知识.教师要重点处理分式中有别于分数运算的有关内容，使学生规范掌握，特别是运算符号的问题，要抓住出现的问题认真落实. 三、例、习题的意图分析

1．P13本节的引入还是用问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍，这两个引例所得到的容积的高是n

ab v ?，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的???

?÷n b m a 倍.引出了分式的乘除法的实际存在的意义，进一步引出P14[观察]从分数的乘除法引导学生类比出分式的乘除法的法则.但分析题意、列式子时，不易耽误太多时间.

2．P14例1应用分式的乘除法法则进行计算，注意计算的结果如能约分，应化简到最简.

3．P14例2是较复杂的分式乘除，分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.

4．P14例3是应用题，题意也比较容易理解，式子也比较容易列出来，但要注意根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)2

=a 2

-2a+1

-2+1,即(a-1)2

-1.这一点要给学生讲清楚，才能分析清楚“丰收2号”单位面积产量高.（或用求差法比较两代数式的大小）

四、课堂引入

1.出示P13本节的引入的问题1求容积的高n