1.2.1函数的概念(2)

1.2.1 函数的概念（2）

【教学目标】

（1）进一步理解并掌握函数的相关概念和记号“)(x f ”的含义；

（2）会求一些简单函数的函数值、定义域和值域。

【教学重点与难点】

重点：理解函数的相关概念；

难点：符号“y=f(x)”的含义。

【教学过程】

一、课前复习：

1、函数的近代定义及函数的三要素；

2、函数记号“)(x f ”的含义

3、课前练习：

（1）判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？

① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1； ② f ( x ) = x 2；g ( x ) = (x + 1) 2

③ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2

x ； ④ 24)(,2)(2--=+=x x x g x x f ⑤13)(,13)(+=+=s s g x x f 。

（2）求下列函数的定义域：

① 1()||f x x x =

-； ② 1()11f x x =+； ③ f (x ) =

1+x +x

-21；

④()1f x =。 二、讲授新课： 例1、设一个矩形周长为80，其中一边长为x ，求它的面积s 关于x 的函数的解析式，并写出定义域。

分析：由题意知，另一边长为

2280x -，且边长为正数，所以0＜x ＜40. 所以s=8022

x x -? = （40－x ）x （0＜x ＜40）。 教师引导学生小结几类函数的定义域：

（1）如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；

（2）如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

（3）如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；

（4）如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（即求各集合的交集）

（5）实际问题中，要考虑变量的实际意义。

例2．已知函数)(x f 的定义域为[0，1]，求下列函数的定义域：

（1）)1(+x f ； （2）)(2

x f 。

例3．已知函数32)(+=x x f 的定义域为

（1）}3{≥=x x A ； （2）}5,1{>-<=x x x A 或；

（3）}4,3,2,1{=A ； （4）R A =

分别求该函数的值域。 例4．已知函数??

???<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，求)]}1([{-f f f 的值。

教师再次解释说明函数记号“)(x f ”的含义。

三、课堂小结：

1、函数的三要素是理解函数概念的基础，是掌握函数模型的基础。

2、要学会求解一些简单函数的定义域和值域，真正理解函数记号“)(x f ”的含义。

四、课堂练习：

P.24 习题1.2 A组3 五、课外作业：

P.24 习题1.2 A组5、6

二次函数的概念教学设计

二次函数的概念教学设计 教学目标和要求： （1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。 （2）过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力． （3）情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心． 教学重点： 对二次函数概念的理解。 教学难点： 由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。 教法学法设计： 1、从创设情境入手，通过知识再现，孕伏教学过程 2、从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程 3、利用探索、研究手段，通过思维深入，领悟教学过程 教学过程： 一、复习提问 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2。一次函数的定义是什么？

【设计意图】复习这些问题是为了引入一元二次此函数做铺垫，帮助学生加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较。 二、引入新课 电脑演示：拱桥、喷泉等与一元二次函数图像有关的图片引起学生对一元二次函数的好奇和兴趣。 探索问题1、 用周长为20m的篱笆围成矩形场地，场地面积y(m2)与矩形一边长x(m)之间的关系是什么？ 由学生认真思考并与同桌交流，然后回答下面的问题 1 设矩形靠墙的一边AB的长ｘｍ，矩形的面积yｍ2． 能用含x的代数式来表示y吗？ 2试填表（见课本） 3 x的值可以任意取？有限定范围吗？ 4我们发现y是x的函数，试写出这个函数的关系式 探究问题2 某商店将每件商品进价为8元的商品按每10元出售，一天可售出约100件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 由学生认真思考并与同桌交流，然后回答下面的问题 1设每件商品降低x元，该商品每天的利润为y，y是x的函数吗？x的值有限定吗？ 2怎样写出该关系式？

26.1二次函数的概念

26.1二次函数的概念 教学目标：1、理解二次函数的概念；掌握二次函数解析式的典型特征，能判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是不是二次函数。 2、对简单的实际问题，能根据具体情景中两个变量之间的依赖关系列出二次函 数解析式，并确定函数的定义域。 3、经历从实际问题引进二次函数概念的过程，体会用函数去描述、研究变量之 间的变化规律的意义。 4、培养学生的观察、分析、总结能力，让学生体会二次函数是研究和解决生产、 生活实际问题的有用工具。 教学重点：引进二次函数的概念，并帮助学生理解概念，初步学会用二次函数描述实际问题中两个变量之间的依赖关系。 教学难点：让学生根据具体问题情景中两个变量之间的依赖关系列出二次函数解析式，并确定函数的定义域。 教学用具：多媒体工具。 教学过程： [复习] 函数的意义，一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式和定义域。 [新知探索1 ] （学生探索回答） 1、请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y 与x 之间的关系： (1)圆的面积y (cm2)与圆的半径x ( cm ); (2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y万元; (3)一个边长为4厘米的正方形，若它的边长增加x厘米，则面积随之增加y平方厘米，求y 关于x的函数解析式。 2、仔细观察上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征? （1）y =πx2（2）y = 2(1+x)2=2x2+4x+2 （3）y= (x+4)2-42= x2+8x 3、得出结论：经化简后都具有y=ax2+bx+c 的形式，a,b,c是常数, a≠0。 [讲授]我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 注:在二次函数中,含x的代数式必须是整式,含x项的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。 [新知探索2 ] 问题：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？ 例如：圆的面积y ( cm2 )与圆的半径x（cm)的函数关系是y =πx2, 其中自变量x能取哪些值呢？(x>0) 注意:在实际应用问题中, 必须注意函数的定义域,自变量x的取值符合实际意义. [趣味练习] （演练竞技场） 6个动物的图片，每个图片后面都有一个题目，学生可以选择动物的图片来回答后面的题目，同学可以一起帮助解决问题。6个题目为： 1、已知二次函数y=x2-x- 2。（1）当x= 1 时，求函数y的值；（2）当x取何值时，函数值 为0？ 2、说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项，（1）y=-3x2-x-1（2）y=x2+x （3）y=5x2-6 3、对于任意实数k,下列函数一定是二次函数的是( )

121函数的概念(1)补充练习

变式训练 1.已知a 、b ∈N *,f (a +b )=f (a )f (b ),f (1)=2,则 )2006()2007()2()3()1()2(f f f f f f +++ =_________.分析:令a =x ,b =1(x ∈N *), 则有f (x +1)=f (x )f (1)=2f (x ), 即有) ()1(x f x f +=2(x ∈N *). 所以,原式= 2006222++=4012. 答案：4012 2.2007山东蓬莱一模,理13设函数f (n )=k (k ∈N *),k 是π的小数点后的第n 位数字,π= 3.1415926535…,则[]{} 100 )10(f f f 等于________. 分析:由题意得f (10)=5,f (5)=9,f (9)=3,f (3)=1,f (1)=1,…, 则有[]{} 100 )10(f f f =1. 答案：1 2.2007山东济宁二模,理10已知A={a ,b ,c },B={-1,0,1},函数f :A→B 满足f (a )+f (b )+f (c )=0,则这样的函数f (x )有( ) A.4个 B.6个 C.7个 D.8个 活动：学生思考函数的概念,什么是不同的函数.定义域和值域确定后,不同的对应法则就是不同的函数,因此对f (a ),f (b ),f (c )的值分类讨论,注意要满足f (a )+f (b )+f (c )=0. 解：当f (a )=-1时, 则f (b )=0,f (c )=1或f (b )=1,f (c )=0, 即此时满足条件的函数有2个; 当f (a )=0时, 则f (b )=-1,f (c )=1或f (b )=1,f (c )=-1或f (b )=0,f (c )=0, 即此时满足条件的函数有3个; 当f (a )=1时, 则f (b )=0,f (c )=-1或f (b )=-1,f (c )=0, 即此时满足条件的函数有2个. 综上所得,满足条件的函数共有2+3+2=7(个). 故选C. 点评：本题主要考查对函数概念的理解,用集合的观点来看待函数. 变式训练 若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解析式为y =x 2,值域是{1,4}的“同族函数”共有( ) A.9个 B.8个 C.5个 D.4个 分析:“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数. 令x 2=1,得x =±1;令x 2=4,得x =±2. 所有“同族函数”的定义域分别是{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2},

二次函数的概念和意义

二次函数1 一、二次函数的概念 1.二次函数的一般形式是：__________________ ，其中a 、b 、c 是____数，___ ≠0. 2.二次函数还有三个特殊形式，分别是______________，________________，_______________. 3.一般情况下，二次函数自变量的取值范围是__________________ 例1 已知关于x 的函数x m x m y m m )1() 1(2-++=-. （1） 当m 为何值时，此函数是二次函数？（2）当m 为何值时，此函数是一次函数？ 练11.下列函数中，哪些是二次函数? ________________________________ (1)y=5x ＋1 (2)y=4x 2－1 (3)y=2x(x 2－3x) (4)c bx ax y ++=2（5）y=2x － 2 1 x ＋1 2.若222)1()32(m x m x m m y +-+--=是关于x 的二次函数，则m 应满足条件______________. 3.若x x m m y m m 2)(2 2-+=-是关于x 的二次函数，求关于x 的不等式（m-4）x ＞m+2的最大整数值. 二、根据实际问题列二次函数的解析式 例2如图，学校要修建草坪，形状是直角梯形，其中有两条边的夹角是135°的两面墙，另外两条边是总长为30米的栅栏。求梯形面积y 与高x 的函数关系式，并写出x 的取值范围。 一个长为4cm,宽为3cm 的矩形，如果长和宽都增加xcm ，那么它的面积就会增加y 2cm . y 与x 的函数关系式是__________________，自变量x 的取值范围是_______________。 2.用长为8m 的铝合金条做成如图形状的一个矩形窗框，设宽为xm,窗户的透光面积为y 2m ,那么这个窗户的透光面积与宽的关系式是____________，自变量x 的取值范围是_______________。 3.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCA=90°,AB=AD,AC=4BC,设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y,求y 与x 的函数关系式。 三、二次函数2ax y =的图像和性质

二次函数的有关概念

二次函数的有关概念
课标解读：
考点归纳
考试内容 用配方法把抛物线的解析式化为
y ? a(x ? h)2 ? k 形式
二次函数的
概念
根据已知条件用待定系数法确定二次函数
解析式
目标要求 理解
掌握
题型 选择题 填空题 选择题 填空题 解答题
二次函数与一 根据函数求一元二次方程的根，由一元二次
元二次方程的 方程根的情况判断抛物线与 x 的交点；
联系
根据图象判断一元二次不等式的解集
灵活运用
选择题 填空题 解答题
〖核心知识点梳理〗：
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如 y ? ax2 ? bx ? c （ a，b，c 是常数， a ? 0 ）的 函数，叫做二次函数。 [注意]：和一元二次方程类似，二次项系数 a ? 0 ，而 b，c 可以为零。二次函数 的定义域是全体实数．
2. 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的结构特征：
(1)等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． (2) a，b，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．
考点： (1)关于 x 的代数式一定是整式, (2)a,b,c 为常数,且 a≠0. (3)等式的右边最高次数为 2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.

[考点例题精解]： (1)下列函数中，是二次函数的为_______.
A. y ? 2x ?1
B. y ? (x? 2)2 ? x2
C.
2 y ? x2
D. y ? 2x(x?1)
(2)函数 y ? (m? 2) xm2?m?4 ? (m?3) x? m 是二次函数，则 m 的值为_______.
A.1 或-6
B.1
C.-2 或 3
D.3
二、二次函数的三种解析式 1. 一般式： y ? ax2 ? bx ? c （ a ， b ， c 为常数， a ? 0 ）； 2. 顶点式： y ? a(x ? h)2 ? k （ a ， h ， k 为常数， a ? 0 ）； 3. 两根式： y ? a(x ? x1)(x ? x2 ) （ a ? 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐
标）. [注意]：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二
次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b2 ? 4ac ? 0 时， 抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以 互化.
三、待定系数法求二次函数解析式
用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条 件，根据不同条件选择不同设法(具体问题具体分析)。 1、设一般式：y=ax2+bx+c(a≠0）
若已知三个点，代入解析式，得到关于 a、b、c 的三元一次方程组，解方程 组求出 a、b、c 的值，得出解析式。 2、设顶点式 y ? a(x? h)2 ? k(a ? 0) ：
若已知二次函数图象顶点坐标或对称轴方程与最大值（最小值）将已知代入， 求出待定系数，得出解析式。 3、设两根式： y ? a(x? x1)(x? x2 )(a ? 0)

二次函数的定义、图像及性质

二次函数的定义、图像及性质 一、基本概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）

3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下：

2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法2： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数 ()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数 2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开 口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，， ()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数 2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

高中数学121函数的概念同步测试(含解析,含尖子生题库)新人教A版必修

1.2.1函数的概念同步测试 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( ) ①y 是x 的函数 ②对于不同的x ，y 的值也不同 ③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量 ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．函数f (x )＝????x －120＋|x 2－1|x ＋2 的定义域为( ) A.? ???－2，12 B ．(－2，＋∞) C.????－2，12∪????12，＋∞ D.??? ?12，＋∞ 3．已知函数f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．6 D ．－6 4．若函数g (x ＋2)＝2x ＋3，则g (3)的值是( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．函数f (x )＝x 2－2x ＋5定义域为A ，值域为B ，则集合A 与B 的关系是________． 6．设f (x )＝11＋x ，则f [f (x )]＝________. 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．判断下列各组函数是否是相等函数． (1)f (x )＝(x －2)2，g (x )＝x －2； (2)f (x )＝x 3＋x x 2＋1 ，g (x )＝x . ． 8．已知函数f (x )＝6x －1 －x ＋4， (1)求函数f (x )的定义域； (2)求f (－1), f (12)的值． 尖子生题库☆☆☆ 9．(10分)已知函数f (x )＝x 2 1＋x 2 . (1)求f (2)与f ????12， f (3)与f ??? ?13. (2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与f ????1x 有什么关系？并证明你的发现． (3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＋f ????12＋f ????13＋…＋f ??? ?12 013. 1.2.2 函数的表示法(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．已知函数f (x )的定义域A ＝{x |0≤x ≤2}，值域B ＝{y |1≤y ≤2}，下列选项中，能表示f (x )的图象的只可能是( )

二次函数知识点梳理

二次函数的基础 一、考点、热点回顾 二次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴ c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵ c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得 到前者，即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2 y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2 y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、 与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -．

261二次函数(2)教案新人教版

《26.1 二次函数（第2课时）》教案 目标目标1：能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质 目标2：在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感 检测内容提要T 方法&策略反思/评价 前通过提问学生， 巩固已学知识。 由课件和演示 激发学生兴趣。（一）创设情境导入新课 导语一回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征， 思考二次函数的图象又有何特征呢？、 导语二展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家 欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？ 导语三用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路 线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？ （二）合作交流解读探究 1．函数y=ax2的图象画法及相关名称 2、共同探究二次函数图像有何特征？ 3、函数y=ax2的图象特征及其性质 在同一坐标系中，画出y= 2 1 x2，y=2x2的图象. 4、比较函数y=-x2，y=- 2 1 x2，y=-2x2的图象.找出它们的异 同点. 5’ 5’ 3’ 12’ 5’ 一、1、提问2——3名学生。 2、通过课件演示和实际演示趣味引入新课 二、1、画y=x2的图象 学生复习画图像的一般步骤：列表→描点→连 线， 学生动手实践、尝试画y=x2的图象；学生独 立完成，同桌互检。 教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出 y=x2的图象， 2、分4人小组进行探究，观察二次函数图像， 探究二次函数图象的特征，用小卡展示，小组 互相点评，师生共同归纳。 结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称 轴；③开口及开口方向. 3、学生自己完成此题。 4、分6人小组进行讨论，找出所画函数的异 提问的人数应该再多些，要关注 不同层次的学生。 小组讨论时要多关注边缘人 应将学生尝试画的图象选几个展 示出来，针对性纠正图象画错的 原因。 将思考留给学生，也将发言的机 会留给学生，老师只做引导者。 中通过尝试画二次函数图象，能正确的画出二次函数的图象。由观察到小组探讨，归纳函数y=ax2的性质，并能根据其进行应用。

121函数的概念(1)

§1.2.1 函数的概念（1） 学习目标 1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； 2. 了解构成函数的要素； 3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合. 学习过程 一、课前准备 15~ P 17，找出疑惑之处） 复习1：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 复习2：（初中对函数的定义）在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、新课导学 探究任务一：函数模型思想及函数概念 问题：研究下面三个实例： A . 一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-. B . 近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞 问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况. C . 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低. 年份 1991 1992 1993 1994 1995 … 恩格尔系数% 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 … 讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？ 归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →. 新知：函数定义. 设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈. 其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）. 试试：

二次函数的定义、图像及性质

二次函数的定义、图像及性质 一、基本概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c a≠）的函数，叫做二次函 ，，是常数，0 数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 =+的性质：（上加下减） y ax c

3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下：

2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法2： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数 ()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得 到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数 2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开 口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点 为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ， （若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数 2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

广东省广州市南武中学高中数学必修一导学案121函数的概念(2)

一、三维目标： 知识与技能：进一步体会函数概念；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表 示某些集合。 过程与方法：了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域。掌握判别两个函 数是否相等的方法。 情感态度与价值观:激发学习兴趣，培养审美情趣。 二、学习重、难点： 重点：用区间符号正确表示数的集合，求简单函数定义域和值域及函数相等的判断。 难点：求函数定义域和值域。 三、学法指导：阅读教材, 熟练使用“区间”的符号表示函数的定义域和值域。 四、知识链接： 1. 写出函数的定义： 注： （1）对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“y 是x 的函数”,绝对不能理解为“y 等于f 与x 的乘积”，在不同的函数中，f 的具体含义不一样；y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f 可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a 时的函数值。 （2）定义域是自变量x 的取值范围； （3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。 2.集合的表示方法有： 。 五、学习过程： A 问题1. 区间的概念 在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用 表示包括在区间内的端点，用 表示不包括在区间内的端点； 实数集R 也可以用区间表示为 ，“∞”读作“ ”，“-∞”读作“ ”，“+∞”读作“ ”，还可以把满足x ≥a, x>a, x ≤b, x

二次函数的概念(教学设计)

《二次函数的概念》 教学设计 两江中学陈尧 一、教材分析 本节课是九年级上册第二十二章“二次函数”第一节的内容。二次函数是在学生学习了一次函数、反比例函数、一元二次方程后所学习的一种重要函数。学习它既是对前面所学的函数、一元二次方程相关知识的巩固，又为今后高中学习其他的函数打下坚实的基础,同时能加深学生对函数的理解，并使学生更为深刻的理解“数形结合”和“建模”的重要思想。本节课——二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图像和性质做铺垫。因此这节课的内容在教材中起着非常重要的作用。 二、学情分析 九年级的学生已具备一定的观察能力、记忆能力和想象能力，同时学生学习的自主能动性、合作交流意识还有一定的不足；因此，本节课一方面运用生活实例，引发学生的兴趣，让其带着问题去学习、探究、合作交流，使学生们能全身心的融入课堂；另一方面，努力创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学习的主动性。 三、教学目标分析 根据教学大纲要求、新课程标准精神，我确定了4个层面的教学目标，（一）知识与能力： 1、结合具体的情境体会二次函数的意义，理解二次函数的相关概念。 2、能够表示简单变量之间的二次函数关系。 （二）数学思考: 1、经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，感受到二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 2、通过二次函数的学习使学生进一步体会建立函数模型的思想。 （三）问题解决： 1、能应用二次函数的相关知识解决简单的实际问题。 （四）情感态度：

1、学生体会数学与让人们生活的联系。 2、在探究二次函数的学习活动中，体会二次函数的特点，并通过探究得到发现的乐趣。 四、教学重难点 重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式。 难点：正确列出实际问题中的二次函数的解析式。 五、教学用具准备 多媒体课件、视频 六、教学过程

人教版九年级上册第26章二次函数261二次函数学案

九年级下册26.1.1二次函数（第1课时）学案 学生姓名 班级 学习目标： 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程， 进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2.理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式。 学习重点：二次函数的概念和解析式 学习难点：列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 学法指导：阅读教材P2 — 3 , 完成课前预习导学 【预习导学】 1：知识回顾 一次函数一般式： 正比例函数一般式： 反比例函数一般式： 2：探究 1．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 关于x 的关系式 为是什么？ 2．多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？ n 边形有＿＿＿个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作＿＿＿＿条对角 线。因此，n 边形的对角线总数d =＿＿＿＿＿＿。 3．某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量 增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定，y 与x 之间的关系应怎样 表示？ 这种产品的原产量是20件，一年后的产量是 件，再经过一年后的产量是 件，即两年后的产量为 。 思考：上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 归纳：我们把形如 (其中a,b,c 是常数, )的函数叫做二次函数 其中x 是自变量，a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项。 练习1：分别指出上述三个函数解析式中各次项的系数 （1） （2） （3） 练习2：下列函数中，哪些是二次函数?若是请指出各项的系数？ (1)y=5x ＋1 (2)y=4x 2－1 (3)y=2x 3－3x 2 (4)y=5x 4－3x ＋1 （5）y=x -2－x (6) 21x y -=+1

二次函数基本概念练习题

二次函数基本概念练习题 1、抛物线y=2x2-3x-5与y轴交点的坐标是 2二次函数y=x2-2x+4，当x 时，函数 值y随自变量x的增大而增大, 当x 时，y值大于零 3、把抛物线y=3x2-2x+4向左平移3个单位 再向下平移2个单位后所得抛物线 4、若一元二次程ax2+bx+c=0的两个根式-3 和1，则二次函数y=ax2+bx+c的图像的对称 轴是 5、若右图为二次函数y=ax2+bx+c的图像， 则一次函数y=ax+bc的图像不经过象 限 6、（1）对于抛物线y=2x2-8x+1，下列结论 中正确的是（） A、对称轴为x=2，有最大值-7 B、对称轴为x= 2，有最小值-7 C、对称轴为x= -2，有最大值25 D、对称轴为x=-2，有最小值25 7、已知二次函数y=a(x+1)2+c的图 像如图，则函数y=ax+c 的图象只可能是（） 8、若抛物线y=2x2-4x+m的顶点关于原 点对称点的坐标（-1，-3）则m的值 9、已知抛物线y=x2-13x+40与x 轴的交点坐 标分别是（5，0）（8，0）点,则方程 x2-13x+40=0的解 为 . 10、若关于x的一元二次方程 220 x x k +-=没有实数根，则k的取值范 围是． 11、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 所示，则a、b、c的符号为（） A、a>0,b=0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a>0,b=0,c<0 D、a<0,b=0,c<0 12、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数 y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是 （） 13、二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点 A(－1，0)、B(3，0)两点．其顶点坐标是 _____________ 14、将y=2x2-12x+16配方成y=a(x-h)2+k的 形式是它的对称轴 是，顶点坐标是，它有 最值，值是 15、函数y=-2x2+x-4当x> 时，函数值 随着y随x的增大而减小。

人教版·数学Ⅰ_§121函数的概念

课题：§1.2.1函数的概念 教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻 画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想． 教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画 函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域； 教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数； 教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 教学过程： 一、引入课题 1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； 2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思 想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题； （3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 1

备用实例： 我国2003年4月份非典疫情统计： 3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖 关系； 4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否 是函数关系． 二、新课教学 （一）函数的有关概念 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）． 注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； 2

二次函数概念

二次函数概念 一、教学目标 1、理解二次函数的有关概念。 2、理解和掌握一元二次方程和二次函数的关系。 3、注意结合其他函数知识和方程知识，准确的把握知识间的联系与区别，注重对函数思想的理解与应用。 二、重点、难点 重点：二次函数的有关概念的理解和应用。 难点：二次函数的综合应用。 三、考点分析 这部分知识是中考的重点、难点也是中考中的热点问题，通常出现在中考中的第24题，其难度较大也是学生最容易失分的一类题目。 【例题精解】 【例题1】 【基础型】：1、下列函数关系式，是二次函数的是 （ ） （A ）21x y = （B ）x y 2= （C ）2mx y = （D ）()a ax x a y +-+=221 2、已知关于x 的二次函数()2321--+=m m x m y ，则m 的值是 （ ） （A ）1- （B ）0 （C ）4 （D ）41-或 【延伸型】已知函数()()()2 2348232k x n m kx x n m x n m y ++++-++-=，且当1=x 时，7=y ，求原函数关系式及n m 的值。 【例题2】 【基础型】：1、已知一个二次函数，当61 -=-=y x ，；当2,1-==y x ；当3,2==y x 。求这个二次函数的解析式。

2、已知二次函数c bx ax y ++=2 ，当;40==y x 时，当;81-==y x 时，当2,2==y x 。求：（1）当3-=x 时，y 的值；（2）当14=y 时，x 的值。 【延伸型】两条直线相交最多有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个焦点，若n 条直线相交，交点个数最多为m 个，求m 关于n 的函数关系式，并指出是什么函数。 【例题3】【综合型】 【基础型】某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱的售价只能在40-----70元之间，市场调查发现：若每箱50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱。 （1）写出平均每天的销售量（y ）与每箱售价x （元）之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）求出商场平均每天销售这种牛奶的利润w （元）与每箱牛奶的售价x （元）之间的函数关系式。

二次函数的定义

二次函数的定义 一、复习旧知 1.什么是函数？ 设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫做自变量。 2.以前学过哪些函数 正比例函数：()0≠=k kx y 一次函数：()0≠+=k b kx y 反比例函数：()0≠= k x k y 二、探索新知 1.请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）正方体表面积y (2cm )与棱长 x ( cm ) （2）多边形的对角线y 与边数x （3）某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 随计划所定的x 的值而确定。 问题：1.尝试写出y 与x 之间的关系式 (1) 26x y = (2)x x x x y 3221)3(212-=-= (3)()20402012022++=+=x x x y 2.上述三个函数解析式有什么共同的特点？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 上述三个函数解析式经化简后都具c bx ax y ++=2（c b a ,,都是常数，0≠a ）的形式，都 是用自变量的二次式表示的。 下面我们给出二次函数的定义：一般的，我们把形如c bx ax y ++=2 （c b a ,,都是常数，0≠a ）的函数，叫做二次函数。你其中x 是自变量，c b a ,,分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。 思考：1.上述概念中的a 为什么不能为零？ 2.对于二次函数c bx ax y ++=2 中的c b ,可否为零？若c b ,各自为零或均为零，上述函数的式子可改写成怎么样？它们还是不是二次函数？