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初三数学教案-中考数学整式与分式专题复习精品

§1．4整式与分式

★课标视点把握课程标准, 做到有的放矢

1. 了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。

2. 了解整式的概念，会用简单的整式的加、减运算；会进行简单的整式的乘法运算（其

中多项式相乘仅指一次式相乘）。 3.

会推导乘法公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2；（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，了解公式的几何背景。

4. 会用提取公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。

5. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减

乘、除运算。

★热点探视把握考试脉搏, 做到心中有数

1.把n a a a a a ??? 个记作

A.n a

B.n ＋a

C.n a

D.a n (2005丽水市) 2.计算：a 2·a 3的结果是( )

A ．a 9

B ．a 8

C ．a 6

D ．a 5. (2005泉州市)

3.下列运算正确的是

A ．236a a a =

B ．()22ab ab =

C ．3a 2a 5a

D ．()

a = (2005长沙市)

4.下列运算正确的是( )．

A ． 6a+2a=8a 2

B ． a 2÷a 2=0

C ． a-(a-3)=-3 D.a -1·a 2=a 5. 因式分解4—4a+a 2，正确的是( )．

A ．4(1-a)+a 2

B ．(2-a)2

C ． (2-a)(2-a)

D ． (2+a)2(2005 玉林)

6．已知：a ＋b ＝m ，ab ＝－4, 化简（a －2）（b －2）的结果是

A. 6

B. 2 m －8

C. 2 m

D. －2 m (2005厦门) 7．

(2005 扬州) 8．计算

的结果为（）. （A ）1 （B ）x+1 （C ）

（D ）

（2005 武汉）

9．若代数式

x x -+的值是零，则x ＝；若代数式()()21x x -+的值是零，则x ; 当x 时，式子

x -有意义． (2005 镇江) 10.如下图是由边长为a 和b 的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算下图中阴影部分的面积，可以验证的一个公式是 .（ 2005泰州）

案例导学题型归纳引路, 做到各个击破

【题型一】整式的概念及整式的乘法运算

【例1

】1.(1) 下列计算正确的是( )

A.(-x)2005=x 2005

B.(2x)3=6x 3

C.2x 2+3x 2=5x 2

D.x 6÷x 2=x 3

(2)下列运算正确的是（）

A.18

36a a a =? B.936)()(a a a -=-?- C 2

36a a a =÷ D.936)()(a a a =-?- (3)挪威数学家阿贝尔，年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要

的恒等式——阿贝尔公式：右图是一个简单的阶梯形，可用两种方法，每一种把图形分割成为两个矩形．利用它们之间的面积关系，可以得到：a 1b 1+a 2b 2=

A . a 1(b 1－b 2)+(a 1+a 2)b 1

B . a 2(b 2－b 1)+(a 1+a 2)b 2 C. a 1(b 1－b 2)+(a 1+a 2)b 2 D. a 2(b 1－b 2)+(a 1+a 2)b 1 (4)现规定一种运算：，其中、为实数，则等

于 A ．

2．计算 3222

3(35

)a b a b a b a b a

b ÷+?--

3.计算：（a 2＋3）（a －2）－a （a 2

－2a －2）

【解】1．故应选（B ）（a 2＋3）（a －2）－a （a 2

－2a －2）

＝a 3－2a 2＋3a －6－a 3＋2a 2

＋2a ＝5a －6

b b

a b ab b b a ab b

a b b a b b a ab -=--+-+-+=--+?-+-+=22)()(

【导学】题设规定了一种新的运算“*”，要求考生按照“*”的运算法则解决与之有关的计

算问题：

【题型二】乘法公式

【例2】1.在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a>b ）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（） A.222()2a b a ab b +=++ B.222()2a b a ab b -=-+

C.22()()a b a b a b -=+-

D.2

(2)()2a b a b a ab b +-=+-

【解】

【导学】1. 代数式的几何解释或创设实际背景时把握情景或背景应该合理为原则，如“如果一个苹果4元，那么4a 表示a 个苹果的价钱”这样的解释欠妥．

【题型三】因式分解

【例3】1.下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为：

A.ay ax y x a +=+)(，

B.4)4(442

+-=+-x x x x

C.)12(55102-=-x x x x

D.x x x x x 3)4)(4(3162+-+=+- 1.

2.在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式44y x -，因式分解的结果是

))()((22y x y x y x ++-，若取x =9，y =9时，则各个因式的值是：(x －y )=0，(x +y )=18，

(x 2+y 2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式234xy x -，取x =10，y =10时，用上述方法产生的密码是： (写出一个即可)．在实数范围内分解因式：ab 2

－2a ＝_________.

（2）若6=+b a ，ab ＝4，则b a -＝．

图2

图1

(3)如果012=-+x x ，那么代数式722

3-+x x 的值为…………………………（） A 、6 B 、8 C 、—6 D 、—8

(3)若13x x +=．求242

x x x ++的值是（）Ａ．

18 Ｂ．110 Ｃ．12 Ｄ．14

【导学】1.观察规律知13+=x y ; 2. 折叠时动手操作即可.

【题型四】分式运算

【例4】1．计算

x ----21

442的结果是 A. 21+-x B.21

--x C.21+x D.462

---x x (2005 威海)

2.已知若a b ＝35

，则

a ＋b

的值是( ) A.85 B.35 C.32 D.5

8 3. 化简

221

42x x x ---的结果是（） A. 12x + B. 12

x - C. 2324x x -- D. 2324x x +-

4. 下列分式的运算中，其中结果正确的是：

A .b a b a +=+211 B.3

23)(a a a =， C.b a b

a b a +=++22，D.319632-=+--a a a a

5．先化简后求值：)2

2(23--+÷--x x x x 其中x ＝22 ６．计算：44()()xy xy x y x y x y x y

+--+

解：2.∵222

211

111x x x x y x x x

-+-=÷-+-+ ＝

()2

1(1)1

1(1)(1)

1x x x x x x x

--÷

-++-+ ＝

()

1111(1)(1)

(1)x x x x x x x -+?

-++-- ＝11

1x x

-+ ＝1.

所以，在右边代数式有意义的条件下，不论x 为何值，y 的值不变。

解：

【导学】本题用到 “消元法”.注意没有必要分步运算.

★智闯三关发挥聪明睿智,关公怎比我强

核心知识----基础关

1．下列运算正确的是

2．实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球，它的直径约为0.00000156m ，则这

个数用科学记数法表示是（） A.5

0.15610-? B.5

0.15610? C.6

1.5610-? D.6

1.5610? 3．利用因式分解符合简便计算：57×99＋44×99－99正确的是 A ．99×(57＋44)＝99×101＝9999 B.99×(57＋44－1)＝99×100＝9900 C.99×(57＋44＋1)＝99×102＝10098 D.99×(57＋44－99)＝99×2＝198 4. 下列各式中运算不正确的是（）

A.235ab ab ab +=

B.23ab ab ab -=-

C.236ab ab ab =

D.2

233

ab ab ÷= 5．化简x －y －(x +y )的最后结果是( )

A.0

B.2x

C.－2y

D.2x －2y 6.分解因式a －ab 2的结果是( )

A.a (1+b )(1－b )

B.a (1+b )2

C.a (1－b )2

D.(1－b )(1+b )

7．把多项式2221a ab b -+-分解因式，结果是( )

A.(1)(1)a b a b -+--

B.(1)(1)a b a b -++-

C.(1)(1)a b a b +++-

D.(1)(1)a b a b ++--

8．已知：a ＋b ＝m ，ab ＝－4, 化简（a －2）（b －2）的结果是

A. 6

B. 2 m －8

C. 2 m

D. －2 m

9．在有理数范围内，下列各多项式能用公式法进行因式分解的是 C

A ．a 2－6a

B ．a 2－ab + b 2

C ．2241b ab a +-

D ．224

b ab a +-

10.若使分式22

x x x +--的值为0，则x 的取值为（）

Ａ．1或1- Ｂ．3-或１Ｃ．3-

Ｄ．3-或1-

11．计算：2(x ＋1)－x= ．

中考数学—分式的单元汇编附答案

一、选择题 1． a 的取值范围是（） A ．4a ≠- B ．4a ≥- C ．4a >- D ．4a >-且0a ≠ 2．分式 x 5 x 6 -+ 的值不存在，则x 的取值是 A ．x ?6=- B ．x 6= C ．x 5≠ D ．x 5= 3．下列式子中，错误的是 A ． 1a a 1 a a --=- B ．1a a 1 a a ---=- C ．1a 1a a a --- =- D ．1a 1a a a +--- = 4．分式： 22x 4- ，x 42x - 中，最简公分母是 A ．() ()2 x 4?42x -- B ．()()x 2x ?2+ C ．()()2 2x 2x 2-+- D ．()()2x 2?x 2+- 5．下列关于分式的判断，正确的是( ) A ．当x =2时， 1 2 x x +-的值为零 B ．无论x 为何值，23 1 x +的值总为正数 C ．无论x 为何值，3 1 x +不可能得整数值 D ．当x ≠3时， 3 x x -有意义 6．如果112111S t t =+，212111 S t t =-，则12S S =（） A ．12 21 t t t t +- B ．2121 t t t t -+ C ．1221 t t t t -+ D ．1212 t t t t +- 7．下列变形正确的是（）． A ． 1a b b ab b ++= B ．22 x y x y -++=- C ．22 2 ()x y x y x y x y --=++ D ． 231 93 x x x -=-- 8．已知有理式：4x 、4a 、1x y -、34x 、12 x 2、1 a ＋4，其中分式有（）

分式与二次根式练习题

分式练习题 1. （2013年天津市3分）若x=－1，y=2，则 222x 1x 64y x 8y ---的值等于【】 A ．117- B ．117 C ．116 D ．115 2. （2013年内蒙古包头3分）函数1y x 1=+中，自变量x 的取值范围是【】 A ．x ＞﹣1 B ．x ＜﹣1 C ．x ≠﹣1 D ．x ≠0 3. （2013年广东深圳3分）分式2x 4x 2 -+的值为0，则【】 A.x=－2 B. x=±2 C. x=2 D. x=0 4. （2013年湖南娄底3分）有意义的x 的取值范围是【】 A ．1x 2≥-且x≠1 B ．x≠1 C ．1x 2 ≥- D ．1x>2-且x≠1 5. （2013年湖北襄阳3分）有意义的x 的取值范围是． 6. （2013年重庆市B10分）先化简，再求值：2x 2x 1x 4x x 2x 4x 4+--??-÷ ?--+??，其中x 是不等式3x 71>+的负整数解。 7. （2013年贵州贵阳6分）先化简，再求值：22312x x x 1x x 2x 1 -??-÷ ?+++??，其中x=1． 8 （2013年黑龙江牡丹江农垦5分）先化简：24x 4x 4x x x ++??-÷ ?? ?，若﹣2≤x≤2，请你选择一个恰当的x 值（x 是整数）代入求值．

二次根式练习题 1.（2013年上海市4分）下列式子中，属于最简二次根式的是【】（A）（B（C）（D 2.（2013年广东珠海3分）实数4的算术平方根是【】 A．－2 B．2 C．±2 D．±4 3.（2013年广西贺州3分）1的值在【】 A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间 4.（2013年广西崇左3分）下列根式中，与是同类二次根式的是【】 A B C D 5.（2013年湖北武汉3分）x的取值范围是【】A．x<1 B．x≥1 C．x≤－1 D．x<－1 6.（2013年湖北荆州3分）计算】 A B C D 7.（2013年海南省3分）】 A B．C．D．2 8.（2013年山东临沂3分）】 A．B C．D 9. （2013年湖南常德3分）】 A．﹣1 B．1 C．4-D．7 10.（2013年湖北襄阳3分）有意义的x的取值范围是． 11.（2013年江苏宿迁3分）+的值是． 12.（2013年内蒙古包头3分）=．

中考数学—分式的全集汇编

一、选择题 1．若0x y y z z x abc a b c ---===<，则点P(ab ，bc)不可能在第（）象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 2．把分式2210x y xy +中的x y 、都扩大为原来的5倍，分式的值（） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小为 15 D ．扩大25倍 3．下列各式从左到右的变形正确的是（） A ． 22 11 88 a a a a ---=-++ B ．()() 2 2 1a b a b -+=- C ． 22 x y x y x y +=++ D ． 052520.11y y x x ++=-++ 4．下列各式中，正确的是（）． A ． 11 22 b a b a +=++ B ．221 42 a a a -=-- C ．22 11 1(1)a a a a +-=-- D ． 11b b a a ---=- 5．分式a x ，22x y x y +-，2 1 21 a a a --+，+-x y x y 中，最简分式有（）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．下列选项中，使根式有意义的a 的取值范围为a ＜1的是（） A ．a 1- B ．1a - C ． ()2 1a - D ． 1 1a - 7．将分式()0,0xy x y x y ≠≠-中的x .y 扩大为原来的3倍，则分式的值为：（） A ．不变； B ．扩大为原来的3倍 C ．扩大为原来的9倍； D ．减小为原来的 13 8．下列各式计算正确的是（） A ． a x a b x b +=+ B ．112 a b a b +=+ C ．2 2()a a b b = D ．11 x y x y - =-+- 9．如果把分式2x x y -中的x 与y 都扩大2倍，那么分式的值（） A ．不变 B ．扩大2倍 C ．缩小2倍 D ．扩大4倍 10．一种花粉颗粒直径约为0.0000065米，数字0.0000065用科学记数法表示为（） A ．0.65× 10﹣5 B ．65× 10﹣7 C ．6.5× 10﹣6 D ．6.5× 10﹣5

中考数学分类试题整式

中考数学分类试题整式考点1：整式的有关概念相关知识： 1、单项式（1）数或字母的积的代数式叫做单项式。注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 2 3 14-，这种表示就是错误的，应写成b a 2 3 13- 。其含义有：①不含有加、减运算符号．②字母不出现在分母里．③单独的一个数或者字母也是单项式．④不含“符号”．（2）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如c b a 2 35-是6次单项式。注意系数与指数的区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看。 2、多项式（1）几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。（2）单项式和多项式统称整式。 3、同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。条件：①字母相同;②相同字母的指数相同合并依据：乘法分配律 4、代数式的值用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。类型一概念题 1. （2011广东湛江17,4分）多项式2 235x x -+是次项式．【答案】二；三类型二列代数式 1. （2011浙江金华，11，4分）“x 与y 的差”用代数式可以表示为 . 【答案】x –y 2. （2011浙江温州，15，5分）汛期来临前，滨海区决定实施“海堤加固”工程，某工程队承包了该项目，计划每天加固60米．在施工前，得到气象部门的预报，近期有“台风”袭击滨海区，于是工程队改变计划，每天加固的海堤长度是原计划的1.5倍，这样赶在“台风”来临前完成加固任务．设滨海区要加固的海堤长为a 米，则完成整个任务的实际时间比原计划时间少用了天（用含a 的代数式表示）．【答案】 180 a 3. （2011四川乐山12，3分）体育委员带了500元钱去买体育用品，已知一个足球a 元，一个篮球b 元。则代数式500-3a-2b 表示的数为。【答案】体育委员买了3个足球，2个篮球后剩余的经费 4. （2011江苏盐城，10，3分）某服装原价为a 元，降价10%后的价格为 ▲ 元．【答案】0.9a 类型三规律题 1. （2011浙江省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”，图A 3比图A 2多出4个“树枝”，图A 4比图A 3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A 6比图A 2多出“树枝”（） A.28 B.56 C.60 D. 124

整式、分式、二次根式

第二讲整式、分式一、课标下复习指南 (一)代数式 1．代数式用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独一个数或表示数的字母也叫做代数式． 2．求代数式的值用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算计算出结果，叫做求代数式的值． 3．代数式的分类 (二)整式 1．整式的有关概念 (1)单项式及有关概念由数字和字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数和单独的一个字母也叫单项式．单项式的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数． (2)多项式及有关概念几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数叫多项式的次数． (3)同类项的概念多项式中，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．两个常数项也是同类项． 2．整式的运算 (1)整式的加减 ①合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项． ②添(去)括号法则如果括号前面是正号，括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号． ③整式的加减几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号，合并同类项． (2)整数指数幂及其运算性质 ①整数指数幂正整数指数幂：?? ???≥????==),2(),1(为正整数个n n a a a a n a a n n

零指数幂：10=a (a ≠0)．负整数指数幂：n n a a 1= -(a ≠0，n 为正整数)． ②整数指数幂的运算性质(以下四式中m ，n 都是整数) a m ·a n ＝a m ＋n ： (a m )n ＝a mn ； (ab )m ＝a m ·b m ． a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0)． (3)整式的乘法 ①单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含的字母，连同它的指数作为积的一个因式． ②单项式乘以多项式，根据分配律用这个单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． ③多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． ④乘法公式： (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2； (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2；常用的几个乘法公式的变形： a 2＋ b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ； (a －b )2 ＝(a ＋b )2 －4ab ． (4)整式的除法(结果为整式的) ①单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，只在被除式里含有的字母，连同它的指数也作为商的一个因式． ②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 3．因式分解的概念 (1)因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．在因式分解时，应注意： ①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解． ②因式分解后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时，每个因式的首项不含负号． ③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形． (2)因式分解的方法 ①提公因式法： ma ＋mb ＋mc ＝m (a ＋b ＋c )． ②运用公式法： a 2 －b 2＝(a ＋b )(a －b )； a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2： *③十字相乘法： x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )． ④用一元二次方程求根公式分解二次三项式的方法：

中考数学—分式的分类汇编及解析

一、选择题 1．已知12x y -=3，分式4322x xy y x xy y +-+-的值为( ) A ． 3 2 B ．0 C ． 23 D ． 94 2．分式 x 2 2x 6 -- 的值等于0，则x 的取值是 A ．x 2= B ．x ?2=- C ．x 3= D ．x ?3=- 3．在式子： 2x 、5x y + 、12a - 、1x π-、21x x +中，分式的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．下列等式成立的是（） A ．|﹣2|=2 B ﹣1）0=0 C ．（﹣ 12 ）﹣1 =2 D ．﹣（﹣2）=﹣2 5．分式a x ，22x y x y +-，2 121 a a a --+，+-x y x y 中，最简分式有（）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．已知a ＜b 的结果是( ) A B C ． D ． 7．生物学家发现一种病毒的长度约为0.00 004mm ，0.00 004用科学记数法表示是（） A ．40.410-? B ．5410-? C ．54010-? D ．5410? 8．已知分式3 2 x x +-有意义，则x 的取值范围是（） A ．x ≠-3 B ．x≠0 C ．x≠2 D ．x=2 9．将分式2 x x y +中的x 、y 的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（） A ．扩大3倍 B ．缩小3倍 C ．保持不变 D ．无法确定 10．若分式5 5 x x -+的值为0，则x 的值为( ) A ．0 B ．5 C ．－5 D ．± 5 11．（下列化简错误的是（） A ）﹣1= 2 B =2 C 52 =± D ）0=1

整式+分式+二次根式

页脚内容1 整式的乘法与因式分解一、选择题： 1.下列计算中正确的是 ( ) A ．842a a a =? B ．22a a a =÷ C ．5322a b a =+ D ．632)(a a -=- 2.下列运算中，正确的是 ( ) A. 632x x x =? B. 623)(x x =- C.2523a a a =+ D. 333)(b a b a =+ 3.化简23)()(x x -?-的结果正确的是 ( ) A.6x - B.6x C.5x D.5x - 4.下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有 ( ) ①5236)2(3x x x -=-?；②ab b a b a 2)2(423-=-÷③523)(a a = ； ④2 3)()(a a a -=-÷- A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.如果)(m x +与)3(+x 的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为 ( ) A ．－3 B ．3 C ．0 D ．1 6.若153=x ,53=y 则y x -3等于 ( ) A ．5 B ．3 C ．15 D ．10

页脚内容2 7.))((22a ax x a x ++-的计算结果是 ( )． A ．3232a ax x -+ B ．33a x - C.3232a x a x ++ D ．322322a a ax x -++ 8.计算232x x ÷的结果是（） A ．x B ．x 2 C ．52x D ．62x 9.下列各式是完全平方式的是 ( )． A ．4 12+-x x B ．21x + C ．1++xy x D ．122-+x x 10. 若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于 ( ) A. 3 B. -5 C. 7 D. 7或-1 11.把多项式a ax ax 22--分解因式，下列结果正确的是 ( ) A ．)1)(2(+-x x a B ．)1)(2(-+x x a C ．2)1(-x a D ．)1)(2(+-ax ax 12.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（） A. 22)(b a -+ B. mn m 2052- C. 22y x -- D.92+-x 二、填空题： 13.计算：23)(y x -= 532)(x x ÷ = 14.计算：)3 2)(32(n m n m --+-＝__________.

初三中考数学分式方程及其应用

课时11．分式方程及其应用【课前热身】 1．方程22123=-+--x x x 的解是x= ． 2. 已知2+x a 与2-x b 的和等于4 42-x x ，则=a ，=b . 3．解方程1 2112-=-x x 会出现的增根是（） A ．1=x B.1-=x C. 1=x 或1-=x D.2=x 4．如果分式12-x 与3 3+x 的值相等,则x 的值是( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 5．如果3:2:=y x ，则下列各式不成立的是（） A ．35=+y y x B ．31=-y x y C ．312=y x D ．4 311=++y x 6．若分式 1 22--x x 的值为0，则x 的值为（） A. 1 B. -1 C. ±1 D.2 【考点链接】 1．分式方程:分母中含有的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去. 3. 用换元法解分式方程的一般步骤： ① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答. 4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否 . 5．易错知识辨析：（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项.

（2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根. （3）如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值. 【典例精析】例1 解分式方程：1233x x x =+--．例2 在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电. 该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度. 例3 某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天比甲小组多修8套；学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元．（1）求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套．（2）在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天10元的生活补助．现有以下三种修理方案供选择： ① 由甲单独修理；② 由乙单独修理；③ 由甲、乙共同合作修理．你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明．【中考演练】 1．方程0112=--x x 的解是． 2．若关于x 方程23 32+-=--x m x x 无解，则m 的值是．

初三中考数学分式及其运算

考点跟踪训练4 分式及其运算一、选择题 1．(2010·孝感)化简????x y －y x ÷x －y x 的结果是( ) A. 1y B. x ＋y y C.x －y y D ．y 答案 B 解析原式＝x 2－y 2xy ·x x －y ＝(x ＋y )(x －y )xy ·x x －y ＝x ＋y y . 2．(2011·宿迁)方程2x x ＋1－1＝1x ＋1 的解是( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．0 答案 B 解析把x ＝2代入方程，可知方程左边＝43－1＝13，右边＝13 .∴x ＝2是方程的解． 3．(2011·苏州)已知1a －1b ＝12，则ab a －b 的值是( ) A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2 答案 D 解析 1a －1b ＝12，2b －2a ＝ab ，－2(a －b )＝ab ，所以ab a －b ＝－2. 4．(2011·威海)计算1÷1＋m 1－m ·()m 2－1的结果( ) A ．－m 2－2m －1 B ．－m 2＋2m －1 C ．m 2－2m －1 D ．m 2－1 答案 B 解析原式＝1×1－m 1＋m ×(m ＋1)(m －1)＝－(m －1)2＝－m 2＋2m －1. 5．(2011·鸡西)分式方程x x －1－1＝m (x －1)(x ＋2) 有增根，则m 的值为( ) A ．0和3 B ．1 C ．1和－2 D ．3 答案 D 解析去分母，得x (x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝m ，当增根x ＝1时，m ＝3；当增根x ＝－2 时，m ＝0，经检验，当m ＝0时，x x －1 －1＝0.x ＝x －1，方程无解，不存在增根，故舍去m ＝0.所以m ＝3. 二、填空题 6．(2011·嘉兴)当x ______时，分式13－x 有意义．答案 ≠3 解析因为分式有意义，所以3－x ≠0，即x ≠3. 7．(2011·内江)如果分式3x 2－27x －3 的值为0，那么x 的值应为________．答案－3 解析分母x －3≠0，x ≠3；分子3x 2－27＝0，x 2＝9，x ＝±3，综上，x ＝－3. 8．(2011·杭州)已知分式x －3x 2－5x ＋a ，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝________；当x <6时，使分式无意义的x 的值共有________个．答案 6,2

2018年中考数学真题汇编整式

2018年中考数学真题汇编:整式 (31题) 一、选择题 1. (2018四川内江)下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 2.(2018广东深圳)下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 3.(2018浙江义乌)下面是一位同学做的四道题：①.② .③ .④ .其中做对的一道题的序号是（） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 4.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 5.下列运算正确的是（）。 A. B. C. D. 【答案】C 6.下列运算：①a2?a3=a6 ，②（a3）2=a6 ，③a5÷a5=a，④（ab）3=a3b3 ，其中结果正确的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 7.下列运算正确的是（） A. B. C. D.

【答案】C 8.计算的结果是（） A. B. C. D. 【答案】B 9.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 10.计算的结果是（） A. B. C. D. 【答案】C 11.下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 12.下列计算结果等于的是（） A. B. C. D. 【答案】D 13.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 14.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 15.下列计算正确的是（）。 A.(x+y)2=x2+y2 B.(－xy2）3=－x3y6

C.x6÷x3=x2 D.=2 【答案】D 16.下面是一位同学做的四道题①（a+b）2=a2+b2 ，②（2a2）2=-4a4 ，③a5÷a3=a2 ， ④a3·a4=a12。其中做对的一道题的序号是（） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 17.下列计算正确的是（） A.a3+a3=2a3 B.a3·a2=a6 C.a6÷a2=a3 D.（a3）2=a5 【答案】A 18.计算结果正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 19.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 20.在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a>b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1 ，图2中阴影部分的面积为S2 ．当AD-AB=2时，S2-S1的值为（） A.2a B.2b C.2a-2b D.-2b 【答案】B

中考数学代数式整式分式二次根式知识点

知识点大全 2. 代数式（分类） 2.1. 整式（包含题目总数：15） 001020； 001030； 001040； 001050； 001070； 001110； 001130； 001140； 001150； 001160； 001170； 001180； 001200； 001220； 001230； 2.1.1. 整式的有关概念用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．只含有数与字母的积的代数式叫单项式．注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如： b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 23 13-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式．几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．单项式和多项式统称整式．用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值．

知识点大全注意： (1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入． (2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入． 2.1.2. 同类项、合并同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．注意： (1)同类项与系数大小没有关系； (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 2.1. 3. 去括号法则去括号法则1：括号前是“＋”，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号．

中考数学专题复习：分式

中考数学专题复习：分式【基础知识回顾】一、分式的概念若A，B表示两个整式，且B中含有那么式子就叫做公式【名师提醒：①：若则分式A B 无意义 ②：若分式A B =0，则应且】二、分式的基本性质分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。 1、a m a m ? ? = a m b m ÷ ÷ = （m≠0） 2、分式的变号法则 b a - = b 3、约分：根据把一个分式分子和分母的约去叫做分式的约分。约分的关键是确保分式的分子和分母中的约分的结果必须是分式 4、通分：根据把几个异分母的分式化为分母分式的过程叫做分式的通分通分的关键是确定各分母的【名师提醒：①最简分式是指 ②约分时确定公因式的方法：当分子、分母是多项式时，公因式应取系数的应用字母的当分母、分母是多项式时应先再进行约分 ③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的相同字母分母中有多项式时仍然要先通分中有整式的应将整式看成是分母为的式子④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项】三、分式的运算： 1、分式的乘除 ①分式的乘法：b a . d c = ②分式的除法：b a ÷ d c = = 2、分式的加减

①用分母分式相加减：b a ± c a = ②异分母分式相加减：b a ± d c = = 【名师提醒：①分式乘除运算时一般都化为法来做，其实质是的过程 ②异分母分式加减过程的关键是】 3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即(b a )m = 1、分式的混合运算：应先算再算最后算有括号的先算括号里面的。 2、分式求值：①先化简，再求值。 ②由值的形式直接化成所求整式的值 ③式中字母表示的数隐含在方程的题目条件中【名师提醒：①实数的各种运算律也符合公式 ②分式运算的结果，一定要化成 ③分式求值不管哪种情况必须先此类题目解决过程中要注意整体代入】[] 【重点考点例析】考点一：分式有意义的条件例1 （?宜昌）若分式 2 1 a 有意义，则a的取值范围是（） A．a=0 B．a=1 C．a≠－1 D．a≠0 思路分析：根据分母不等于0列式即可得解．解：∵分式有意义， ∴a+1≠0， ∴a≠－1．故选C．点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义?分母为零；（2）分式有意义?分母不为零；（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．对应训练 1．（?湖州）要使分式1 x 有意义，x的取值范围满足（）

年中考数学专题练习整式及其运算

1 整式及其运算知识点1.整式的运算：例1.计算：（1） )3 1 23()31(22122y x y x x +-+--；（2）()() 222223254bc a b a c b a ab -÷-?+；（3）()()y x a y x a +--+22. 知识点2.因式分解：例2.把下列多项式因式分解：（1）2 2 3 2xy y x x +-；（2）()()m n n n m n m 2243 2-+-. 知识点3.化简，求值：例3.先化简，再求值：()()()2 2 32a b a b a b a -+-++，其中62== b a ，. 知识点4.探索规律：例4.观察下列各算式，并寻找规律： ()25111100225152++??==；()25122100625252++??==； ()251331001225352++??==；()251441002025452++??==；… （1）找出规律，并按规律在横线上填空： _____________________________5625752==；_____________________________7225852==；（2）用含字母的等式表示上述规律：__________________________________________；（3）利用上述规律，计算2 995的值. 知识点5.乘法公式的相关背景：例5.图1是一个长为m 2、宽为n 2的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形. （1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（用含m ，n 的代数式表示）；（2）根据（1）中结论，请写出下列三个代数式()2 n m +，()2 n m -，m n 之间的等量关系；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若 78==+ab b a ，，求b a -和22b a +的值. 基础训练： 1.用代数式表示“比2 m 的2倍大1”的那个数是（） ()12.2+m A 12.2+m B ()212.+m C ()2 12.+m D 2.若正方形的周长是a ，则这个正方形的面积为（） 2 .a A 2 16.a B 16 .2 a C a D . 3.下列计算中，正确的是（） 222.x x x A =+ ()2263.x x B = ()42.22-=-x x C 23.x x x D =÷ 4.下列各代数式中，是六次式的是( ) 3 2 .y x A 6 2.xy B 3 .32c ab C ()6 .mn D 5.下列去括号中，正确的是 ( ) .A ()b a b a --=--22 ()b a b a B +-=--22. ()b a b a C 222.--=-- ()b a b a D 222.+-=-- 6.下列运算中，正确的是（） xy y x A 532.=+ y x xy y x B 22254.-=- 632623.--=?x x x C ()3224224.x xy y x D -=-÷ 7.若2232 =-y y ，则=--1462 y y （）

整式、分式、二次根式的性质和概念

1、整式的概念和指数：与统称为整式。单项式包括：、、；一个单项式中所有字母的叫做这个单项式的次数。多项式：几个单项式的代数和多项式。单项式中次数最的项就是这个多项式的次数。 2、分式的概念和意义：一般地，形如式子B A ，且 B ≠0叫做分式。（1）、分式有意义的条件：（2）、分式无意义的条件：（3）、分式为0的条件：（4）、分式的基本性质：分式的分子与分母同时（一个不等于0）的整式，分式的值不变。（5）、约分：（6）、最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这种分式叫做最简分式。（7）、通分：（8）、最简公分母：（9）、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。注意：分母有理化时，分子与分母需要同时乘分母的有理化因式。 3、二次根式的概念和意义：（1）、定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。（2）、二次根式有意义的条件：二次根式无意义的条件：（3）、二次根式的性质： ()a 2 =a(a ≥0);

a 2=a =?????<-=>)0()0(0)0(a a a a a a b =a b ? (a ≥0, b ≥0); ④b a =b a ( a ≥0, b ＞0)。（4）、最简二次根式：中不含二次根式；被开方数中不含能开得尽的因数或因式。（5）、同类二次根式：最简二次根式后，被开方数相同，叫做同类二次根式。知识点二：代数式的运算 (一)、整式的加减运算 (1)、同类项：（2）、合并同类项法则：（3）、去括号法则：（4）、整式的加减的实质就是合并同类项。（二）、整式的乘除（1）、同底数幂的乘法：a m ·a n = ，底数不变，指数相加. （2）、幂的乘方与积的乘方：(a m )n = ，底数不变，指数相乘；（3）、(ab)n = ，积的乘方等于各因式乘方的积. （4）、单项式的乘法：系数相乘，相同字母，只在一个因式中含有的字母，连同指数写在积里. （5）、单项式与多项式的乘法：m(a+b+c)= ，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

2019届中考数学专题复习分式方程专题训练(含答案)

分式方程 A 级基础题 1．解分式方程3x －1x －2 ＝0去分母，两边同乘的最简公分母是( ) A ．x (x －2) B ．x －2 C ．x D ．x 2 (x －2) 2．(2018年海南)分式方程x 2－1x ＋1 ＝0的解是( ) A ．－1 B ．1 C ．±1 D．无解 3．分式5x 与3x －2 的值相等，则x 的值为( ) 4．(2018年湖南衡阳)衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为( ) A.30x －361.5x ＝10 B.30x －301.5x ＝10 C.361.5x －30x ＝10 D.30x ＋361.5x ＝10 5．(2017年四川南充)如果 1m －1＝1，那么m ＝__________. 6．(2018年广东广州)方程1x ＝4x ＋6 的解是________． 7．(2018年山东潍坊)当m ＝________时，解分式方程 x －5x －3＝m 3－x 会出现增根． 8．若分式方程x －a x ＋1 ＝a 无解，则a 的值为________． 9．某次列车平均提速20 km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶400 km ，提速后比提速前多行驶100 km ，设提速前列车的平均速度为x km/h ，则可列出方程________________． 10．解方程． (1)解分式方程：x x －1＋21－x ＝4； (2)(2018年四川绵阳)解分式方程： x －1x －2＋2＝32－x . 11.(2018年江苏泰州)为了改善生态环境，某乡村计划植树4000棵．由于志愿者的支援，实际工作效率提高了20%，结果比原计划提前3天完成，并且多植树80棵，原计划植树多少天？

中考数学—分式的全集汇编及解析

一、选择题 1．纳米是一种长度单位，1纳米=10-9米，已知某种植物花粉的直径约为35000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为（） A ．43.510?米 B ．43.510-?米 C ．53.510-?米 D ．93.510-?米 2．下列判断错误．．的是（） A ．当23x ≠ 时，分式1 32 x x +-有意义 B ．当a b 时，分式 22 ab a b -有意义 C ．当1 2x =-时，分式214x x +值为0 D ．当x y ≠时，分式22 x y y x --有意义 3．计算2 21 93x x x +--的结果是（） A ． 13 x - B ． 13 x + C ． 13x - D ． 233 9 x x +- 4．下列各式中，正确的是（）． A ． 11 22 b a b a +=++ B ．2 21 42 a a a -=-- C ．22 11 1(1)a a a a +-=-- D ． 11b b a a ---=- 5．下列变形正确的是（）． A ． 1a b b ab b ++= B ．22 x y x y -++=- C ．22 2 ()x y x y x y x y --=++ D ． 231 93x x x -=-- 6．下列各式中的计算正确的是（） A ．2 2b b a a = B ． a b a b ++=0 C ．a c a b c b +=+ D ． a b a b -+-=-1 7．已知a ＜b 的结果是( ) A B C ． D ． 8．计算正确的是（） A ．（﹣5）0=0 B ．x 3+x 4=x 7 C ．（﹣a 2b 3）2=﹣a 4b 6 D ．2a 2?a ﹣1=2a 9．生物学家发现一种病毒的长度约为0.00 004mm ，0.00 004用科学记数法表示是（） A ．40.410-? B ．5410-? C ．54010-? D ．5410? 10．2018年3月3日，新浪综合网报道：“中科院发明首个抗癌DNA 纳米机器人，可精准阻断肿瘤血管饿死肿瘤!”．中国科学家团队研发出的这种可编程、基于 DNA 折纸技术的纳米机器人大小只有90× 60×2nm ，nm 是长度计量单位，1nm=0.000000001米，则2nm 用

中考数学整式知识点归纳

中考数学整式知识点归纳 1. 概念：用基本的运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数与字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 2. 代数式的值：用数代替代数式里的字母，按照代数式的运算关系，计算得出的结果。单项式和多项式统称为整式。 1.单项式：1数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。单独的一个数或字母可以是两个数字或字母相乘也是单项式。 2单项式的系数：单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。 3单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 2.多项式：1几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。 2多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。 3.多项式的排列： 1把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。 2把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。由于单项式的项，包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分，一起移动。 1.同类项所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也叫同类项。同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关。 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。即同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3.整式的加减：有括号的先算括号里面的，然后再合并同类项。 4.幂的运算： 5.整式的乘法：

1单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的因式。 2单项式与多项式相乘法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 3多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 6.整式的除法 1单项式除以单项式：把系数与同底数幂分别相除作为上的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 2多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。把一个多项式化成几个整式的积的形式 1提公因式法：公因式多项式各项都含有的公共因式吧公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。取各项系数的最大公约数作为因式的系数，取相同字母最低次幂的积。公因式可以是单项式，也可以是多项式。 2公式法：A.平方差公式;B.完全平方公式感谢您的阅读，祝您生活愉快。

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