())
.
(3)对数函数的性质: ①定义域:(0,+∞). ②值域:R . ③过点(1,0),即当x =1时,y =0.
④当a >1时,在(0,+∞)上是增函数;当0<a <1时,在(0,+∞)上是减函数.
基础例题
题型1(对数的计算)
1.求下列各式的值. (1)35
5log +21
2
log 1505
log -14
5log ; (2)log 2
1
25
×log 318×log 519.
练习题 1.计算:lg 12-lg 5
8
+lg12.5
-log 89·log 278;
2.log 535+21
2
log -log 5
150-log 514; 3.log 2125×log 318×log 51
9
.
4. 3991
log log 4log 32
+-. 5. 4lg 2lg 5lg 22+-
221(6).log 24lg log lg 2log 32+-- 7.
2lg 2lg3
111lg 0.36lg823
+++
例2.已知实数x 、y 、z 满足3x =4y =6z
>1. (1)求证:
2x +1y =2z
; (2)试比较3x 、4y 、6z 的大小.
练习题.已知log 189=a ,18b
=5,用a 、b 表示log 3645.
题型二:(对数函数定义域值域问题)
例1.已知函数()22log 1
x f x x -=-的定义域为集合A ,关于x 的不等式22a a x
--<的解集为B ,若A B ?,求实数a 的取值范围.
2.设函数2
2log (22)y ax x =-+定义域为A .
(1)若A R =,求实数a 的取值范围;
(2)若2
2log (22)2ax x -+>在[1,2]x ∈上恒成立,求实数a 的取值范围.
练习题1.已知函数()()
2lg 21f x ax x =++
(1)若()f x 的定义域是R ,求实数a 的取值范围及()f x 的值域; (2)若()f x 的值域是R ,求实数a 的取值范围及()f x 的定义域
2 求函数y =2lg (x -2)-lg (x -3)的最小值.
题型三(奇偶性及其单调性)
例题1.已知定义域为R 的函数f(x)为奇函数,且满足f(x +2)=-f(x),当x ∈[0,1]时,f(x)=2x
-1. (1)求f(x)在[-1,0)上的解析式; (2)求f(12
log 24)的值.
2. 已知f (x )=log 3
1[3-(x -1)2],求f (x )的值域及单调区间.
3.已知y =log a (3-ax )在[0,2]上是x 的减函数,求a 的取值范围.
4.已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. (Ⅰ)求函数()y f x =的定义域; (Ⅱ)判断函数()y f x =的奇偶性;
(Ⅲ)若(2)()f m f m -<,求m 的取值范围.
练习题1.已知函数f(x)=log a (x +1)-log a (1-x)(a >0,a≠1) (1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并给出证明;
(3)当a >1时,求使f(x)>0的x 的取值范围
2.函数()f x 是定义在R 上的偶函数,(0)0f =,当0x >时,12
()log f x x =.
(1)求函数()f x 的解析式; (2)解不等式2
(1)2f x ->-;
3.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且0x ≤时,12
()log (1)f x x =-+.
(Ⅰ)求(0)f ,(1)f ; (Ⅱ)求函数()f x 的表达式;
(Ⅲ)若(1)1f a -<-,求a 的取值范围.
题型4(函数图像问题)
例题1.函数f (x )=|log 2x |的图象是
1
1
x
y y y O
A B
C D
2.求函数y =log 2|x |的定义域,并画出它的图象,指出它的单调区间.
3.设f(x)=|lg x|,a ,b 为实数,且0<a <b. (1)求方程f(x)=1的解; (2)若a ,b 满足f(a)=f(b)=2f 2a b +??
???
, 求证:a·b=1,2
a b
+>1.
练习题:
1.已知0>a 且1≠a ,函数)1(log )(+=x x f a ,x
x g a -=11
log )(,记)()(2)(x g x f x F += (1)求函数)(x F 的定义域及其零点;
(2)若关于x 的方程2()2350F x m m -++=在区间)1,0[内仅有一解,求实数m 的取值范围. 2.已知函数f(x)=log 4(4x
+1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求k 的值;
(2)设g(x)=log 44?23x
a a ?????
?
-,若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a 的取值范围.
3.函数y =log 2|ax -1|(a ≠0)的对称轴方程是x =-2,那么a 等于
题型五:函数方程
1方程lg x +lg (x +3)=1的解x =___________________.
2.已知函数f (x )=?????<+≥,
4),1(,
4,)21(x x f x x
则f (2+log 23)的值为
4.已知函数1,0)((log )(≠>-=a a x ax x f a 为常数).
(Ⅰ)求函数()f x 的定义域;
(Ⅱ)若2a =,[]1,9x ∈,求函数()f x 的值域; (Ⅲ)若函数()
f x y a
=的图像恒在直线21y x =-+的上方,求实数a 的取值范围.
5.已知函数221log log (28).242
x x
y x =
??≤≤ (Ⅰ)令x t 2log =,求y 关于t 的函数关系式及t 的取值范围; (Ⅱ)求函数的值域,并求函数取得最小值时的x 的值.
6.设函数f (x )=lg (1-x ),g (x )=lg (1+x ),在f (x )和 g (x )的公共定义域内比较|f (x )|与|g (x )|的大小.