匀速圆周运动

教学过程

一、复习预习

1、平抛运动定义：

2、平抛运动的特点和性质：

3、平抛运动的规律：① 水平方向上做匀速直线运动；

② 竖直方向上做自由落体运动。

（1）、平抛运动物体的位置

任意一点的位置坐标: 水平方向x = v 0 t 竖直方向: 22

1

gt y = 任意时间t 内的位移大小:

2)

2

1

()(22022gt t v y x s +=+=

位移方向:

2tan v gt

x y =

=θ

（2）、平抛运动的轨迹 平抛运动的轨迹是一条抛物线 2

2

v 2x g y =

（3）、平抛运动的速度

平抛运动水平方向做匀速直线运动 Vx=V 0 平抛运动竖直方向做竖直落体运动 Vy=gt 平抛运动物体的速度

速度的大小：

v ===

速度方向:

00

tan y

v gt

v v α==

二、知识讲解

考点1：线速度的理解

1、物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢的物理量，线速度是物体做匀速圆周运动的瞬时速度。

2、定义：质点做圆周运动通过的弧长Δl和所用时间Δt的比值叫做线速度。

3、定义式：v =Δs/Δt。单位：m/s（s是弧长，不是位移）

4、瞬时性：当选取的时间Δt很小很小时（趋近零），弧长Δl就等于物体在t时刻的位移，定义式中的v，就是直线运动中学过的瞬时速度了。

5、方向：线速度的方向在圆周各点的切线方向上。

注意：“匀速圆周运动”中的“匀速”指的速度的大小不变，即速率不变；而“匀速直线运动”的“匀速”指的速度不变是大小方向都不变，二者并不相同。

结论：线速度是矢量，它既有大小，也有方向。

6、匀速圆周运动是一种非匀速运动，因为线速度的方向在时刻改变。

考点2：角速度的理解

1、物理意义：描述质点转过的圆心角的快慢。

2、定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过Δθ的角度跟所用时间Δt的比值，就是质点运动的角速度。

3、大小ω=Δθ/Δt

4、单位：弧度每秒（rad／s）

考点3：线速度、角速度、周期频率关系

（1）线速度、角速度、周期频率关系

线速度与周期关系：由v=s/t得v=2πr/T

角速度与周期关系：由ω=θ/tω=2π/T

由上述得：线速度与角速度关系：v=rω考虑到转速则有：ω=2πn。V=2πnr （2）关于Ｖ＝ωr的讨论：

当ω一定时：V与r成正比

当V一定时：ω与r成反比

当r一定时：V与ω成正比

三、例题精析

【例题1】：如图所示的传动装置中，a、b两轮同轴转动．a、b、c三轮的半径大小的关系是ra=rc=2rb．当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比分别为多少？

【答案】：2∶2∶1、2∶1∶1

【解析】：由于皮带不打滑，因此，b、c两轮边缘线速度大小相等，设vb=vc=v．

由v=ωr得两轮角速度大小的关系

ωb∶ωc=rc∶rb=2∶1．

因a、b两轮同轴转动，角速度相等，即ωa=ωb，所以a、b、c三轮角速度之比

ωa∶ωb∶ωc=2∶2∶1．

因a轮边缘的线速度

va=ωara=2ωbrb=2vb，

所以a、b、c三轮边缘线速度之比

va∶vb∶vc=2∶1∶1．

【例题2】：物体做匀速圆周运动时，关于受力情况，以下说法中正确的是( ) A．必须受到恒力的作用

B．物体所受合力必须等于零

C．物体所受合力大小可能变化

D．物体所受合力大小不变，方向不断改变

【答案】：D

【解析】：当物体所受合力等于零时，物体将保持静止或匀速直线运动．当物体受到恒力时，物体将做匀变速运动．物体做匀速圆周运动时，所受合外力大小不变，方向始终沿着半径方向(或垂直于速度方向)。

【例题3】：小球做匀速圆周运动，半径为R，向心加速度为a，则( )

A．小球的角速度ω＝R a

B．小球的运动周期T＝2πR a

C．小球在时间t内通过的位移s＝aRt

D．小球的转速n＝2πa R

【答案】：B

【解析】：由a＝ω2R得，小球的角速度ω＝a

R，A错；由

T＝

2π

ω得，

T＝2π

R

a，B

正确；由a＝ω2R＝(2πn)2R得，n＝

a

4π2R

＝

1

2π

a

R，D错；因无法确定小球在

t

时刻所处的位置，故无法计算小球在时间t内通过的位移，C错．

四、课堂运用

【基础】

1、关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是( )

A．它们的方向都是沿半径指向地心

B．它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴

C．北京的向心加速度比广州的向心加速度大

D．北京的向心加速度比广州的向心加速度小

解析：如图所示，地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内指向地轴，选项B正确，A错误；设地球半径为R0，在地面上纬度为φ的P点，做圆周运动的轨道半径r＝R0cosφ，其向心加速度为a＝ω2r＝ω2R0cos φ.由于北京的地理纬度比广州的大，cosφ小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，选项D正确，选项C错误．

答案：BD

2、关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是( ) A ．由a ＝v 2r

可知，a 与r 成反比

B ．由a ＝ω2r 可知，a 与r 成正比

C ．由v ＝ωr 可知，ω与r 成反比

D ．由ω＝2πn 可知，ω与n 成正比

解析：选D.物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关．但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能给出．当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论． 答案：D

3、甲、乙两名溜冰运动员，m甲＝80 kg，m乙＝40 kg，面对面各拉着弹簧秤的一端做圆周运动的溜冰表演，如图2－2－8所示．两人相距0.9 m，弹簧秤的示数为9.2 N．下列判断中正确的是( )

图2－2－8

A．两个的线速度相同，约为40 m/s

B．两人的角速度相同，为6 rad/s

C．两人的运动半径相同，都是0.45 m

D．两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m

解析：两名运动员绕同一点转动，所以角速度相等，他们做圆周运动的向心力是由弹簧弹力提供的，所以向心力也相等，由F＝m甲ω2r甲＝m乙ω2r乙，又由r甲＋r乙＝0.9 m，联立得r甲＝0.3 m，r乙＝0.6 m．把半径大小代回向心力公式可得ω＝0.6 rad/s.

答案：D

【巩固】

1、静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法正确的是（）

A.它们的运动周期都是相同的

B.它们的线速度都是相同的

C.它们的线速度大小都是相同的

D.它们的角速度是不同的

解析：如图所示，地球绕自转轴转动时，所有地球上各点的周期及角速度都是相同的.地球表面物体做圆周运动的平面是物体所在纬度线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬度处物体做圆周运动的半径是不同的，只有同一纬度处的物体转动半径相等，线速度的大小才相等，但即使物体的线速度大小相同，方向也各不相同.

答案：A

2、一台准确走时的钟表上的时针、分针和秒针上的角速度之比ω1∶ω2∶ω3=___________；如果三针长度分别为L 1、L 2、L 3且L 1∶L 2∶L 3=1∶1.5∶1.5，那么三针尖端的线速度之比 v 1∶v 2∶v 3=___________.

解析：钟表上三针的转动情况是，时针转一圈用时12 h ，即它的周期为T 1＝12 h.分针转一圈用时1 h ，即它的周期为T 2=1 h.秒针转一圈用时1 min ，即它的周期为T 3=60

1

h.因为ω=

T

2，所以ω1∶ω2∶ω3=1∶12∶720；又因为v=ωL ，则ω1∶ω2∶ω3=1∶12∶720, v 1∶v 2∶v 3=1∶18∶1 080.

答案：1∶12∶720 1∶18∶1 080

3、如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三轮的半径关系是r a=r c=2r b.若皮带不打滑，求A、B、C轮边缘的a、b、c三点的角速度之比和线速度之比分别为___________和___________.

解析：A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等.

即v a=v b①

由v=ωr得ωc∶ωb=r b∶r a=1∶2②

B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相同，即ωb=ωc③

由v=ωr得v b∶v c=r b∶r c=1∶2.④

由②③得ωa∶ωb∶ωc=1∶2∶2.

由①④得v a∶v b∶v c=1∶1∶2.

答案：1∶2∶2 1∶1∶2

【拔高】

1、如图所示，电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪30次，风扇转轴O 上装有3个扇叶，它们互成120°角.当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是（ ）

A.600 r/min

B.900 r/min

C.1 200 r/min

D.3 000 r/min 解析：风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，说明在每相邻两次闪光的时间间隔T 灯内，风扇转过的角度是120°的整数倍，即

31圈的整数倍.T 灯=30

1

s. 风扇的最小转速n m in=

s r

30

131=10 r/s=600 r/min

故满足题意的可能转速n=kn m in(k=1，2，3，…).匀速圆周运动是一种周期性的运动，分析此类问题，关键是抓住周期性这一特点，得出可能的多解通式. 答案：ACD

2、如图所示，当屏幕上出现一辆匀速奔跑的汽车时，观众如果注意车辆的辐条，往往会产生奇怪的感觉.设车轮上有八根对称分布的完全相同的辐条，电视画面每隔30

1

s 更换一帧，则下列说法正确的是（ ）

A.若在

301

s 内，每根辐条恰好转过45°，则观众觉得车轮是不动的 B.若在301 s 内，每根辐条恰好转过360°，则观众觉得车轮是不动的

C.若在301

s 内，每根辐条恰好转过365°，则观众觉得车轮是倒转的

D.若在301

s 内，每根辐条恰好转过355°，则观众觉得车轮是倒转的

解析：若30

1

s 内辐条正好转过45°角，则辐条转到与它相邻的那根辐条位置，因而这时若

更换一帧，则会使观众看到好像车轮不动一样，因为每根辐条相同，观众区分不开辐条的变化；同理，在

301 s 内，若辐条转360°，观众也会认为车轮不动，因而A 、B 正确.若30

1 s 内，辐条转过365°，则每根辐条在下一帧时出现在它转动方向前5°的位置，因而这时观众会认为在这

301 s 内，辐条向前转过5°，所以观众会觉得车轮向前转动；若30

1s 内，辐条转过355°时，则每根辐条在下一帧时，出现在与它转动方向相反的离它原位置的5°处，因此，观众会觉得车轮在倒转，所以C 错误，D 正确，故选A 、B 、D.对于这类与生活相关联的题目，我们应该认真体会.另外，错觉方面的知识(即视觉就近原则)，是解决本题的关键.因而对于研究性题目，应开放式联想，充分应用各种知识和经验，从而解决问题. 答案：ABD

3、如图所示为一实验中利用光脉冲测量车速和行程的装置示意图，A 为光源，B 为光电接收器，A 、B 均固定在车身上，C 为小车的车轮，D 为与C 同轴相连的齿轮.车轮转动时，A 发出的光束通过旋转齿轮上齿的间隙后变成脉冲光信号，被B 接收并转换成电信号，由电子电路记录和显示.若实验单位时间内显示的脉冲数为n ，累计脉冲数为N ，则要测出小车的速度和行程还必须测量的物理量或数据是___________；车速度的表达式v ＝___________；行程的表达式 s=___________.

解析：因为B 在单位时间内接到的脉冲数为n ，每个间隙转动的时间t=n

1

，设一周有P 个齿，则有P 个间隙,周期T=Pt=

n P ,据v=T

R

π2，可得v=P Rn π2，所以要求车速必须测量出

车轮的半径R 和齿轮数P .当脉冲总数为N 时，则经过的时间t 总=Nt=n

N

，所以行程s=vt

总=P

RN

π2.本题是匀速圆周运动的规律在实际生活中的应用，根据脉冲信号的次数确定车轮的周期是解决问题的关键.根据要求的结论确定还要测定的其他物理量，实际上也是开放思维的体现，也是本题能力考查的方面. 答案：车轮的半径R 和齿轮数P

P Rn π2 P

RN

π2

课程小结

1．匀速圆周运动是一种变速曲线运动。

2．描述匀速圆周运动快慢的物理量有线速度、角速度、周期、转速等。

3．线速度、角速度、周期、转速之间的关系

22r

v nr T ππ==v r ω

=22n

T πωπ=

=

五、课后作业

【基础】

1、如图所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自己为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动，若男运动员的转速为30 r/min ，女运动员触地冰鞋的线速度为4.7 m/s ，求：

（1）女运动员做圆周运动的角速度; （2）女运动员触地冰鞋做圆周运动的半径.

解析：根据男运动员的转速为30 r/min 可知，女运动员的转速也是30 r/min ，换算成角速度为：30 r/min=0.5 r/s=π rad/s ；在女运动员绕着男运动员做圆周运动的过程中，根据公式v=ωr ，可以得到： r=

s

rad s

m v

//7.4πω

=

=1.5 m.

答案：（1）π rad/s （2）1.5 m