多次开方和多次方的心算

多次方有时也叫做多次乘方，记为y＝n^m，表示y等于m个n连乘，比如y＝2^3＝2×2×2＝8。上面例子中的n称为底，m称为指数，y称为幂。多次方的计算指给定底n和指数m，求幂y。多次开方指给定幂y和指数m，求底n，公式可以用n＝y^(1/m)表示。对数运算指给定幂y和底n，求指数m。比如说，1000＝10^3，所以1000开3次方等于10，以10为底对1000取对数等于3，记为lg1000=3。lg就是表示以10为底的对数运算。

当指数m比较大时，通常计算幂比较困难，但是当底是10的时候会有例外，10^1=10，10^2=100，10^3=1000，这是因为我们使用十进制。我们可以记10^3为1E3，表示1后面三个零，4321就可以写为4.321E3，这称为科学计数法。对1E11取以10为底的对数就等于11。巧妙地利用对数，我们只需记住少量常数和借助简单的四则运算，就可以快速心算多次开方和多次方。下面先从多位数的多次开方讲起。

假如有一个任意位的多位数，例如123456789123456，如果只取两位有效数字，可以用科学计数法表示为12E13。假设我们要对它开n次方，比如19次方，根据我们上面的定义，y＝12E13，m＝19，n为未知数，记为n^19＝12E13。下面示范如何通过三位数的四则运算求出开多次方结果。

我们先介绍一下本文用到的简单公式。（其实只有一个公式，后面二个是第一个的推论。）

lg(A×B)=lgA+lgB，（基本公式，两数乘积的对数等于两数对数之和），同时我们可以得到以下两个推广公式：

lg(A^B)=B×lgA，（推广公式一，A^B相当于B个A连乘，由基本公式，相当与B个lgA加起来）

10^（A+B）=10^A×10^B，（推广公式二，对公式两边取10为底的对数，左边＝A+B，右边套用基本公式，等于lg（10^A）+ lg（10^B），也等于A+B）

此时，离我们用四则运算计算开方只差一点记忆，请记住如下数值：lg2=0.30，lg3=0.48，lg5=0.70，lg7=0.84，lg11=1.04，lg13=1.11，lg17=1.23，lg19=1.28。其实就是20以内的素数的对数值。

对n^19＝12E13取以10为底的对数，左边根据推广公式一，等于19lgn，右边等于lg(3×2×2×1E13)，根据基本公式，等于lg3+lg2+lg2+13(注意1E13取对数的结果就等于13)。于是，我们得到19lgn＝0.48+0.30+0.30+13=14.08，所以lgn＝14.08/19＝0.74。因为lg5＝0.70，lg6＝lg2+lg3＝0.78，而0.74差不多处于5和6的对数值中间，所以我们估算n＝5.5。实际上，三位有效数字的计算结果为n＝5.51。可以看到，除了将12拆为3×2×2外，为了得到两位精度的123456789123456开19次方，我们只需要心算三次加法和一次除法，以及一次估算。

从上面的例子可以看到，对于多位数123456789123456，我们只需要关心前两位12和多位数的总位数。12＝3×2×2，如

果遇到难以分解的两位数，我们可以换
个数位，比如，lg(71E67)约等于lg(7E68)=lg7+68。上面的对数列表只列到19，如果能记住更多素数的对数值，我们的计算结果将更加准确。此外我们还可以心算非整数的对数值，以减少估算误差，比如lg3.5=lg(35/10)=lg35-1=lg5+lg7-1=0.54，lg4.5 =lg(45/10)=lg45-1=lg5+lg3+lg3-1=0.66。

现在再介绍多次方的心算技巧。对于y＝n^m，就以n＝11，m＝21为例，计算11的21次方。我们依然从取对数开始，lgy＝21×lg11=21×1.04=21.84（套用推广公式一），所以y＝10^21.84=10^21×10^0.84（套用推广公式二），因为lg7＝0.84，所以猜y=7E21。实际两位精度结果为y=7.4E21。为了得到数量级正确的11^21，我们只需要心算一次乘法，以及一次估算。比起开方，多次方的速算的重点在于数量级，第二位数值通常不可靠。

以上介绍的心算方法与华罗庚先生《天才与锻炼》所介绍的方法不同，《天才与锻炼》针对的是答案为整数的开多次方，本文章介绍的方法不局限于整数解，而是对任意多位数任意次方的心算。如果记住的对数值和相应位数越多，结果的精度越高。