2.3函数的单调性(第一课时)

2.3函数的单调性(第一课时)

函数的单调性（第一课时）

【学习目标】

1．了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数单调性的方法．

2．能用文字语言和数学符号正确表达增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点．

【学习障碍】

1．由于对单调性定义的理解不透，误认为它是一个整体性质，实质上是区间内的性质．2．利用定义论证单调性时，推理过程不严密不规范．

3．函数单调性的应用意识不强．

【学习策略】

Ⅰ．学习导引

1．预习课本第P58~59页

2．本课时重点是单调性的概念，难点是判

断函数的单调性．

3．对于函数的单调性，要求①会用作差（商）法证明一些简单函数的单调性．②给出

函数解析式时，会确定函数在其定义域内的单调区间．③会利用单调性作图． Ⅱ．知识拓宽

应用函数的单调性可以求解不等式，求函数的最值等．

Ⅲ．障碍分析

1．若函数f （x ）在区间D 1、D 2上分别为增函数，f （x ）一定是D 1∪D 2上的增函数吗？ 单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．若

f （x ）在区间D 1、D 2上分别为增函数，但f （x ）不一定在区间D 1∪D 2上是增函数．例 如y ＝－x

1在（－∞，0）上是增函数，在（0，＋∞）上也是增函数，但在（－∞，0）

∪（0，＋∞）上不是增函数，f （1）＜f （－1）便是一例．

2．函数的单调性定义中的x 1，x 2能否用特殊值来代替？

（x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）

∴函数y ＝x ＋x 1在区间（0，1）上是减函数，在区间［1，＋∞］上是增函数．

易知y ＝x ＋x 1（x ＞0）时恒有y ＞0 且当x ＝1时，y min ＝2．

从而值域为［2，＋∞）

点评：函数y ＝x ＋x a （a ≠0）是一类经常用到的函数，

当a ≠0时，它有两个减区间［－a ，0］，（0， a ）．同时有两个增区间 ［a ，＋∞），（－∞，－a ］．

［例2］判断下列函数的单调性

（1）f （x ）＝－x 2＋3x －2；（2）f （x ）＝3|x |．

解：（1）f （x ）＝－（x －23）2＋

41 ∵f （x ）＝－（x －23

）2＋41的图象是开口向

下的抛物线，对称轴为x ＝

23 ∴f （x ）在（－∞，23

）上是增函数，

人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖

1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性；

高中数学函数的单调性公开课优秀教学设计

如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 一、教学内容分析: 函数的单调性是学生在掌握了函数的概念，函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要刻画了函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。 二、教学目标设置: （一）知识与技能： 1.用准确的数学语言归纳、抽象概括增函数和减函数的定义，并能正确理解单调性的定义； 2.利用图像和定义判断函数的单调性，能正确书写单调区间，并能用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性； 3.培养学生抽象概括能力、类比化归能力及数形结合思想方法的运用能力。 （二）过程与方法： 1. 通过学生熟悉的现实问题创设情境，引出本节课题函数单调性，同时借助多媒体的直观演示，让学生观察图像（上升？下降？）变化趋势，过渡到在区间上用自变量x和相应函数f(x)的变化进行语言表述； 2.设置问题引导学生自主探究、尝试、归纳、总结，师生互相讨论交流，最终形成严格的数学概念； 3.形成概念后，引导学生自主探究，通过生生互动，师生互动，达到让学生从多种形式认识概念的本质含义，从而加深学生对概念的理解；巩固练习问题（1）为了加深学生对单调性定义中自变量取值“任意”性的理解，是一个很好的问题；问题（2）的变式题体现了“逆向思维”，深化对定义的理解；问题（3）通过教师的引导，针对于数学基础较好、思维较为活跃的一部分学生，对判断方法进行适当的深入和拓展，加深学生对单调性定义的更

高中数学必修一《函数的单调性》优秀教学设计

函数的单调性 课题2.3.1函数的单调性 授课类型新授课 课时安排1课时 教具多媒体、实物投影仪 教学目标 （1）了解单调函数、单调区间的概念；理解增函数、减函数的概念；掌握利用函数的单调性定义证明简单函数的单调性的基本方法 （2）能用自已的语言表述概念；能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间；能把文字描述、图像特征、数学语言结合起来准确地表述、判断、证明函数的单调性；学 会利用函数的单调性解决诸如不等式、函数最值（值域）的问题（本节课只设置引导目标）（3）通过数形互助培养学生直观判断与严格证明相结合、形象与抽象相结合的思维习惯；渗透联系与变化的认识观 教学重点函数的单调性（增函数、减函数）的概念 教学难点对函数单调的定义中数学语言的准确理解和灵活运用 教材开发点对函数的单调性的应用引导 教材与学情 函数的单调性是函数重要性质之一，也是今后研究函数时涉及最多的性质之一，如函数值域与最值、比较大小与解不等式、函数图像等问题均与函数的单调性相关；同时函数的单调性也是高考考查的重点内容。 学生在初中学过一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数，已有一些具体函数的知识，在学生的现有认知结构中，一方面能用描点法画出简单函数的图像，另一面可以根据函数的图象观察出“图像上升（或下降）”、“随着自变量的增大函数值增大”等 变化趋势，同时在此之前，刚刚学习抽象的函数概念，所以对函数的单调性的认识首先依赖于函数图象的直观性，然后才能逐步过渡抽象的数学语言理解层面。 本节课的教学应以函数的单调性的概念为主线设计材料、设计问题、设计活动，一方面设计几个比较性、思辨性好的问题，另一面要充分利用证明函数单调性的例题加深学生对单调性概念的准确（严谨性）理解。考虑到学生将来还要学习导数的知识，函数单调性的判断会变得比较容易，因此，在教学中，应该适当减少用定义判断证明单调性的问题，注意引导学生主动地应用函数的单调性去解决问题。 教学过程 一、复习引入: 1.复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法，也学习了一次函数、二次函数和反比例函数。为了研

函数的单调性教学设计(优秀)

《函数的单调性》教学设计 安徽省亳州市第一中学史嘉 一、教学内容解析 1．教材内容及地位 本节课是北师大版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用．它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础．如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用．因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地． 2．教学重点 函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性． 3．教学难点 函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证． 二、学生学情分析 1．教学有利因素 学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“随的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势．亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力． 2．教学不利因素 本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度．而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强．另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱．这些都容易产生思维障碍． 三、课堂教学目标 1．理解函数单调性的相关概念．掌握证明简单函数单调性的方法．

2．通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法． 3．通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量． 4．引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力． 四、教学策略分析 在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证．对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度． 为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料： 1．指导思想．充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示．在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成．2．在“创设情境”阶段．观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念． 3．在“引导探索”阶段．首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”，借助多媒体引导学生对“随的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越． 4．在“学以致用”阶段．首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识．然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法．接着请学生板演实践． 五、教学过程 （一）创设情境，引入课题 实例科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线．请

函数单调性教案(第1课时)

《函数单调性》教案 教学目标 (1)知识与技能目标： ①理解函数单调性的概念； ②能指出一些简单基本初等函数的单调区间。 (2)过程与方法： 通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，理解单调性概念的形成过程，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观，并进一步感受数形结合的思想。(3)情感态度与价值观： 通过对单调性的研究和应用培养学生对数学知识形成实事求是的科学态度和勇于探索敢于创新的钻研精神；领会局部与整体的辨证关系，崇尚数学的理性精神。 教学重点：函数单调性概念的理解及应用 教学难点：函数单调性的判定与证明 授课类型：新授课 课时安排：2课时;第一课时：单调性的概念与判定；第二课时：单调性的应用 教学方法：讨论、讲授 教学过程 一、创设情景，引入课题 1、课件演示：展示已绘制的NBA球星姚明四个赛季的得分、篮板数据表 赛季赛季 注：图象是由点构成的，连线是为了体现变化趋势。 问：你还能举出生活中有哪些利用图象进行分析的实例吗？ 2、分析一组成语： 蒸蒸日上一落千丈跌宕起伏 3、能否用图象表示以上成语？

(二)、归纳探索、形成概念问题1：画出下列函数的图象，并且观察当自变量X 变化时，函数值有什么变化规律？ (1) y=x+1 (2) y=-x+1 （1）当自变量x 增大时，因变量y 也增大，图象呈上升趋势 （2）当自变量x 增大时，因变量y 反而减小，图象呈下降趋势 问题2：下图是函数)0(2 >+=x x x y 的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？

2020版文数(北师大版)练习：第二章 第十节 第一课时 利用导数研究函数的单调性

2020年精品试题 芳草香出品

课时作业 A 组——基础对点练 1.函数f (x )的导函数f ′(x )的图像是如图所示的一条直线l ，l 与x 轴 的交点坐标为(1,0)，则f (0)与f (3)的大小关系为( ) A ．f (0)f (3) C ．f (0)＝f (3) D ．无法确定 解析：由题意知f (x )的图像是以x ＝1为对称轴，且开口向下的抛物线，所以f (0)＝f (2)>f (3)．选 B. 答案：B 2．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞) 解析：依题意得f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x 在(1，＋∞)上恒成立，∵x >1，∴0<1x <1，∴k ≥1，故选D. 答案：D 3．已知函数f (x )＝e x －2x －1(其中e 为自然对数的底数)，则y ＝f (x )的图像大致为( ) 解析：依题意得f ′(x )＝e x －2. 当x ＜ln 2时， f ′(x )＜0，f (x )是减函数， f (x )＞f (ln 2)＝1－2ln 2； 当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数， 因此对照各选项知选C. 答案：C 4．函数f (x )＝sin x 2e x 的大致图像是( )

解析：当x ＝－π2时，f (－π2)＝sin (－π2)2e －π2＝－12e π2＜0，排除D ；当x ＝－π4时，f (－π4)＝sin (－π4)2e －π4 ＝－24e π4＜0，排除C ；又f ′(x )＝cos x －sin x 2e x ＝2cos (x ＋π4)2e x ，当x ∈(0，π4 )时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数，当x ∈(π4，π2 )时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数，所以B 错误．故选A. 答案：A 5．若函数f (x )＝x 3－2ax 2＋6x ＋5在x ∈[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0，322 ] B ．(0，322) C ．(－∞，322) D ．(－∞，322 ] 解析：因为f (x )＝x 3－2ax 2＋6x ＋5，所以f ′(x )＝3x 2－4ax ＋6，又f (x )在x ∈ [1,2]上是增函数，所以f ′(x )≥0在x ∈[1,2]上恒成立，即3x 2－4ax ＋6≥0,4ax ≤3x 2＋6在x ∈[1,2]上恒成 立，因为x ∈[1,2]，所以4a ≤ (3x ＋6x )min ，又3x ＋6x ≥23x ·6x ＝62，当且仅当3x ＝6x ，即x ＝2时取“＝”，所以4a ≤62，即a ≤322 . 答案：C 6．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )(x ln x 2)＞2f (x )，则( ) A ．6f (e)＞2f (e 3)＞3f (e 2) B ．6f (e)＜3f (e 2)＜2f (e 3) C ．6f (e)＞3f (e 2)＞2f (e 3) D ．6f (e)＜2f (e 3)＜3f (e 2) 解析：设F (x )＝f (x )ln x 2，x ＞0且x ≠1，因为f ′(x )(x ln x 2)＞2f (x )，所以F ′(x )＝f ′(x )·ln x 2－f (x )·2x (ln x 2)2 ＝f ′(x )·(x ln x 2)－2f (x )x (ln x 2) 2＞0，所以F (x )在(0,1)，(1，＋∞)上单调递增，所以F (e)＜F (e 2)＜F (e 3)，故f (e )ln e 2＜f (e 2)ln e 4＜f (e 3)ln e 6，即f (e )2＜f (e 2)4＜f (e 3)6 ，所以6f (e)＜3f (e 2)＜2f (e 3)．选B. 答案：B 7．(2018·成都模拟)f (x )是定义域为R 的函数，对任意实数x 都有f (x )＝f (2－x )成立．若当x ≠1

高中数学函数单调性教案(第一课时)新人教版必修1

1.3.1 函数的单调性 教学目标 知识与技能：理解函数单调性，单调区间的概念，掌握证明函数单调性的方法和步骤。 过程与方法：通过观察图像，归纳，概括出函数的单调性等概念，能用数学单 调性解决简单问题，使学生领会数形结合的思想，培养学生提 出问题，分析问题以及数学表达的能力 情感态度与价值观：通过对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考，逐步 认识数学的科学价值和应用价值，提高数学学习兴趣，树立学 好数学的信心。 教学重点：函数单调性的概念的理解 教学难点：判断和证明函数单调性的方法 教学过程： 一、复习引入 列表画出下列两个函数的图像y=x y=x2 图像分别如下

观察表格，图像，找出x与y之间的关系 （1）f(x) = x ○1从左至右图象上升还是下降______? ○2在区间____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着________ ．（2）f(x) = x2 ○1在区间____________ 上， f(x)的值随着x的增大而________ ． ○2在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增大而________ ． 二、探究新知 1、如函数f(x) = x2在（0，+∞）上，y随着x的增大而增大，在区间（0，+∞）上， 任取两个x1，x2，得到f(x1)=x12f(x2)=x22，x1x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数在f(x)在区

必修一》人教A版第一章集合与函数的概念》1.3函数的单调性(第一课时)说课稿

函数的单调性(第一课时)说课稿 一、教材分析 教学内容 本节课是必修一第一章第三节内容教材共分两课时进行，这是第一课时，该课时主要学习函数的单调性的的概念，依据函数图象判断函数的单调性和依据定义证明函数的单调性。 教材的地位和作用 本节课是在学习了函数及其表示基础上学习的，它既是前面延续和拓展，又是后面研究基本初等函数单调性的基础，在整个高中数学中起着承上启下的作用。研究函数单调性的过程体现了数学的“数形结合”和“从一般到特殊”的思想方法，这对学生具有重大意义。 教学重点：函数单调性概念及简单应用。 难点：函数的单调性概念的形成及利用定义证明函数的单调性。 二、目的分析 学情分析： 在学生已有的知识基础上，本节课的认知困难有两个： 1、由形到数的翻译，从直观到抽象的转变。 2、在函数学习中首次接触到代数论证。 （根据上述分析，根据教学大纲和学生的认知水平，我制定如下教学目标：） 知识与技能：理解增函数和减函数定义，能根据函数图像说出函数的单调性，会根据定义证明函数的单调性。 过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，接触了数形结合法，培养了观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高了推理论证能力。 情感、态度与价值观：通过对知识的探究过程培养了细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；在参与的过程中体验成功的喜悦，感受学习数学的乐趣，增强学好数学的信心。 三、教法与学法分析 教法分析：本节课是函数单调性的起始课，主要采用“开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法 ”的教学方式，这样既增加了教师与学生、学生与学生之间的交流，又能激发学生的求知欲，调动学生积极性。 教学手段 教学中使用多媒体辅助教学。 学法分析：（1）让学生利用图形直观启迪思维，并通过构造的问题，来逐步完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。（2）让学生从问题中思考，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。 四、过程分析：（共分为四部分） （一）、创设情境，引入课题（激发兴趣，感知概念 ） （二）、自主学习，掌握基础（探究新知，形成概念） （三）、小组合作，掌握证法（典例分析，巩固练习） （四）、探究学习，提高认识（总结反思，布置作业） （一）、创设情境，引入课题 （为了提高同学们的学习兴趣，我由实际问题引入，并给出图像的动态演示） 问题1：如图为某地区2009年某一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图： 29 303132 33

高中数学1.3.1函数的单调性教案新人教版必修1

1.3.1 (1)函数的单调性(教学设计) 教学目标 (一) 知识与技能目标 学生通过经历观察、归纳、总结、证明等数学活动能够： 1、 理解增函数、减函数的概念及函 数单调性的定义 2、 会根据函数的图像判断函数的单调性 3、 能根据单调性的定义证明函数在某一 区间上是增函数还是减函数 (二) 过程目标 1、 培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力 2、 学生利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养 (三) 情感、态度和价值观 1、 通过本节课的教学，启发学 生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯 2、 通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难 的意志，建立学习数学的自信心 教学重点：函数单调性的定义及单调性判断和证明 一、复习回顾，新课引入 1、 函数与映射的定义。 2、 函数的常用表示方法 3、 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ①随x 的增大，y 的值有什么变化？②能否看出函数的最大(小)值？③函数图象是否具有某种对称性？ 4、作出下列函数的图象： 2 (1) y =x ； (2)y=x ?； 二、师生互动，新课讲解： 观察函数y=x 与y=x 2的图象，当x 逐渐增大时，y 的变化情 况如何？ 可观察到的图象特征： (1) 函数f(x) x 的图象由左至右是上升的； (2) 函数f (x) x 2的图象在y 轴左侧是下降的，在 y 轴右侧是上升的；也就 是图象在 区间(，0］上，随着x 的增大，相应的f (x)随着减小，在区间(0,)上， 随着x 的增大，相 应的f(x)也随着增大. 归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同 一函数在不 同区间上的变化趋势也不同?函数图象的这种变化规律就是函数性质的 反映. 1 ?如何用函数解析式 f (x) x 2描述“随着x 的增大，相应的f (x)随着减小”， 随着增大”？ 在区间(0,)上任取X 1,X 2,函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关 系呢？ 对于函数f (x) x 2，经过师生讨论得出：在区间(0,)上，任取两个X 1,X 2，当X 1 X 2时，有f(X 1) f(X 2).这 时，我们就说函数f (x) x 2在区间(0,)上是增函数. 课堂练习 请你仿照刚才的描述，说明函数 f(x) X 2在区间(，0］上是减函数. 2 ?增函数和减函数的定义 设函数f(x)的定义域为I : (1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 x 1,x 2，当x 1 x 2时，都有f (x 1) f (x 2)，那么 就说函数f (x)在区间D 上是增函数(increasin g function ).区间D 叫做函数的增区间。 (2)请你仿照增函数的定义给出函数 f(x)在区间D 上是减函数的定义. 如果对于定义域|内某个区间D 上的任意两个自变量的值 x i ,X 2，当x i X 2时，都有f (x i ) f (X 2)，那么就说 函数f (x)在区间D 上是减函数(decreasing function ).区间D 叫做函数的减区间。 “随着x 的增大，相应的

高中数学函数单调性教案教学设计

教 案 课题：函数的单调性（一） 1．教学目标 （1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数的单调性的方 法． （2）过程与方法：从生活实际和已有旧知出发，引导学生探索函数的单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，使学生领会数形结合的数学方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力． （3）情感态度价值观：使学生体验数学的严谨性，培养学生细心观察、归纳、分析的良好习惯和不断探求新知识的精神． 2．教学重点 （1）函数单调性的概念； （2）运用函数单调性的定义判断和证明一些函数的单调性． 教学难点 利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性． 3．教学方法和教学手段 探索发现法和运用多媒体教学． 4．教学过程 （一）问题情境 （播放中央电视台天气预报的音乐） 如图为宿迁市2006年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图： 问题1 怎样描述气温随时间增大的变化情况？ 问题 2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？ 问题3 在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？ （二）定义形成 1、单调增函数、单调减函数 设函数)(x f y =的定义域为A ，区间I ?A ． 如果对于区间I 内的任意两个值21,x x ，若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间． 如果对于区间I 内的任意两个值21,x x ，若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,

那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间． 2、单调性、单调区间 若函数y = f (x )在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数)(x f y =在区间I 上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间． （三）定义运用 1、回到问题情境，提出问题：你能找出气温图中的单调区间吗？ 2、回顾初中学过的函数，说出所列举具体函数的单调区间，并判断函数在各区间上的单调性．运用函数单调性的定义，证明你判断的结论． （1）22+-=x y ； （2）322-+=x x y ； （3）x y 1=． 运用实物投影，投影个别学生的证明，纠正出现的问题，规范证明的格式．请学生归纳运用定义法探求并证明函数单调性的步骤，投影演示：①取值；②作差变形；③定号；④判断． （四）问题讨论 问题 讨论函数1 )(+=x x x f 的单调性． 实际问题 在一碗水中，加入一定量的糖，糖加得越多糖水就越甜．你能运用所学过的数学知识来解说这一现象吗？ （五）课堂小结 1、函数单调性的定义． 2、判断、证明函数单调性的方法：图象、定义． （六）作业布置 （1）阅读课本P34－35 例2 （2）书面作业：课本P43 1、4、7 课后尝试 1、若定义在R 上的单调减函数)(x f 满足)3()1(a f a f -<+，你知道a 的取值范围吗？ 2、二次函数c bx x y ++=2在［0，＋∞）是增函数，你能确定字母b 的值吗？ 教学设计说明 本节课是一节概念课．函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象

函数单调性第一课时教学设计

课题：函数的单调性（第一课时） 1．教学目标 （1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函 数的单调性的方 法． （2）过程与方法：从生活实际和已有旧知出发，引导学生探索函数的单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，使学生领会数形结合的数学方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力． （3）情感态度价值观：使学生体验数学的严谨性，培养学生细心观察、归纳、分析的良好习惯和不断探求新知识的精神．2．教学重点（1）函数单调性的概念； （2）运用函数单调性的定义判断和证明一些函数的单调性． 教学难点利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性． 3．教学方法和教学手段探索发现法和运用多媒体教学．4．教学过程 （一）问题情境 （播放中央电视台天气预报的音乐） 如图为兰州市2019年中秋这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：

问题1 怎样描述气温随时间增大的变化情况？ 问题 2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？ 问题3 在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？ （二）定义形成 1、单调增函数、单调减函数 设函数)(x f y =的定义域为A ，区间I ?A ． 如果对于区间I 内的任意两个值21,x x ，若当1x <2x 时，都有 )(1x f <)(2x f ,那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间． 如果对于区间I 内的任意两个值21,x x ，若当1x <2x 时，都有 )(1x f >)(2x f ,那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间． 2、单调性、单调区间 若函数y = f (x )在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么

2.3函数的单调性(第一课时)

2.3函数的单调性(第一课时)

函数的单调性（第一课时） 【学习目标】 1．了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数单调性的方法． 2．能用文字语言和数学符号正确表达增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点． 【学习障碍】 1．由于对单调性定义的理解不透，误认为它是一个整体性质，实质上是区间内的性质．2．利用定义论证单调性时，推理过程不严密不规范． 3．函数单调性的应用意识不强． 【学习策略】 Ⅰ．学习导引 1．预习课本第P58~59页 2．本课时重点是单调性的概念，难点是判

断函数的单调性． 3．对于函数的单调性，要求①会用作差（商）法证明一些简单函数的单调性．②给出 函数解析式时，会确定函数在其定义域内的单调区间．③会利用单调性作图． Ⅱ．知识拓宽 应用函数的单调性可以求解不等式，求函数的最值等． Ⅲ．障碍分析 1．若函数f （x ）在区间D 1、D 2上分别为增函数，f （x ）一定是D 1∪D 2上的增函数吗？ 单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．若 f （x ）在区间D 1、D 2上分别为增函数，但f （x ）不一定在区间D 1∪D 2上是增函数．例 如y ＝－x 1在（－∞，0）上是增函数，在（0，＋∞）上也是增函数，但在（－∞，0） ∪（0，＋∞）上不是增函数，f （1）＜f （－1）便是一例． 2．函数的单调性定义中的x 1，x 2能否用特殊值来代替？

（x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2） ∴函数y ＝x ＋x 1在区间（0，1）上是减函数，在区间［1，＋∞］上是增函数． 易知y ＝x ＋x 1（x ＞0）时恒有y ＞0 且当x ＝1时，y min ＝2． 从而值域为［2，＋∞） 点评：函数y ＝x ＋x a （a ≠0）是一类经常用到的函数， 当a ≠0时，它有两个减区间［－a ，0］，（0， a ）．同时有两个增区间 ［a ，＋∞），（－∞，－a ］． ［例2］判断下列函数的单调性 （1）f （x ）＝－x 2＋3x －2；（2）f （x ）＝3|x |． 解：（1）f （x ）＝－（x －23）2＋ 41 ∵f （x ）＝－（x －23 ）2＋41的图象是开口向 下的抛物线，对称轴为x ＝ 23 ∴f （x ）在（－∞，23 ）上是增函数，

函数的单调性(第一课时)说课稿

1.3.1.1函数的单调性（第一课时） 各位老师，大家好，今天我说课的题目是《函数的单调性（第一课时）》，我将从四个方面来阐述对这部分内容的设计 一、教材分析 1、地位和作用 本节课是人教版第一章《集合与函数概念》§1.3.1单调性与最大（小）值的第一课时，与以往老教材区别在于体验函数单调性的数学定义的形成过程作为本节课的重点之一. 函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是首先研究的一个性质，它是整个高中数学中的核心知识之一函数的单调性在教材中起着承上启下的作用，既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等等都有着紧密的联系。 2、教学目标 【知识与技能】1、使学生理解函数单调性的本质内容和函数单调性的几何意义； 2、掌握判断函数单调性的判断方法：定义法和图象法； 3、熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤.. 【过程与方法】从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．

【情感态度价值观】让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质． 3、重点与难点 【教学重点】（1）领会函数单调性概念，体验函数单调性的数学定义的形成过程. （2）掌握判断函数单调性的判断方法 （3）掌握用定义法证明函数单调性的步骤. 【教学难点】（1）突破抽象，深刻理解函数单调性形式化的概念 （2）利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性． 二、教法分析与学法指导 本节课是一节较为抽象的数学概念课，因此，教法上要注意： 1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性． 2、在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决． 3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达． 4、采用多媒体现代教学手段，增大教学容量和直观性． 在学法上： 1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．

函数单调性 第一课时

函数单调性（第一课时） 1. 使学生理解增函数、减函数的概念． 2. 使学生掌握判断某些函数增减性的方法． 3. 培养学生利用数学概念进行判断推理的能力． 4. 培养学生数形结合、辩证思维的能力． 5. 养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯． ? 教学重点：函数单调性的概念． ? 教学难点：函数单调性的判断和证明． ? 教学过程： 一、复习提问 1．我们学习了函数的概念，请同学们回忆一下： （1）函数有几个要素？各是什么？ （2）函数的定义域怎样确定？怎样表示？ （3）函数的表示方法常见的有几种？各有什么优点？ 前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质（导入课题，板书课题）． 2．观察函数的图像：（当x 增加的时候，y 的变化怎样？） 函数2 y x =的图像在y 轴右侧的部分是上升的，说明什么？（随着x 的增加，y 值在增加），3y x =又怎样？

二、新课讲解 1．单调函数的定义 （1）单调递增函数的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数． （2）单调减函数的定义：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数． （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数．那么就说函数 ()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间． 在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的． 说明：（1）函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质； （2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性； （3）函数单调性的定义中，实际上含有两层意思： ①对于任意的1x ，2x M ∈，若12x x <，有12()()f x f x <，则称()f x 在M 上 是增函数； ②若()f x 在M 上是增函数，则当12x x <时，就有12()()f x f x <． 2．例题分析 例1．下图是定义在]5,5[-上的函数)(x f y =的图像，根据图像说出单调区间，以及在每一个区间上函数()y f x =的单调性。解：函数)(x f y =的单调区间有)2,5[--，)1,2[-，)3,1[，]5,3[， 其中)(x f y = 在)1,2[-，]5,3[上是增函数， 在)2,5[--，)3,1[上是减函数． 说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的

1.3.1_第一课时函数的单调性

1.3.1第一课时 函数的单调性 1、函数f (x )＝2x 2 －mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于( ) A ．－4 B ．－8 C ．8 D ．无法确定 2、函数f (x )在R 上是增函数，若a ＋b ≤0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b ) B ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b ) C ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) 3．下列四个函数：①y ＝x x －1；②y ＝x 2＋x ；③y ＝－(x ＋1)2；④y ＝x 1－x ＋2.其中在(－∞，0)上 为减函数的是( ) A ．① B ．④ C ．①④ D ．①②④ 4、函数y ＝－x 2的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞) 5、若函数f (x )定义在[－1,3]上，且满足f (0)