北师版九年级数学下册《圆》直线和圆,圆和圆的位置关系习题
《圆》确定圆的条件，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系练习题
一．选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A ．三点确定一个圆
B ．三角形有且只有一个外接圆
C ．四边形都有一个外接圆
D ．圆有且只有一个内接三角形
2．已知a 、b 、c 是△ABC 三边长，外接圆的圆心在△ABC 一条边上的是（ ）
A ．a=15，b=12，c=1
B ．a=5，b=12，c=12
C ．a=5，b=12，c=13
D ．a=5，b=12，c=14
3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，则它的外心与顶点C 的距离为（ ）
A ．5cm
B ．6cm
C ．7cm
D ．8cm
4．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍．
A ．2
3
B ．33
C ．3
D ．
2
1
5．在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（ ） A ．菱形 B ．等腰梯形 C ．矩形 D ．正方形
6．如图，⊙O 的外切梯形ABCD 中，若AD ∥BC ，那么 ∠DOC 的度数为（ ）
A 、700
B 、900
C 、600
D 、450
7．如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，割线PBC 过圆心O ，∠ACP=300，OC=1cm ，则PA
的长为（ ）
（A ）2cm （B ）3cm （C ）2cm （D ）3cm 8．如图，PA 切⊙O 于点A ，PBC 是⊙O 的割线，如果PB=2，PC ＝8，那么PA 的长
为（ ）
（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）32
9．如图，已知A 、B 、C 三点在⊙O 上，且∠AOB ＝1000，则∠ACB 的度数为（ ） （A ） 2000 （B ） 1000 （C ）600 （D ） 500 10．已知：如图，AB 、AC 分别切⊙O 于B 、C ，D 是⊙O 上一点，∠D=400，则∠A 的度数等于 （ ） （A ）1400 （B ）1200 （C ） 1000 （D ） 800
11．如图，直线MN 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的弦，∠MAB 的平分线交⊙O 于C ，连结CB 并延长交MN 于N ，如果AN=6，NB=4，那么弦AB 的长是 （ ） （A ）215 （B ）3 （C ） 5 （D ）3
10
12．⊙O 是△ABC 的内切圆，∠ACB=900，∠BOC=1050，BC=20cm ，则AC=（ ） （A ） 20cm (B) 203 (C)40cm (D) 15cm
13．若∠OAB=30°，OA=10cm ，则以O 为圆心，6cm 为半径的圆与射线AB 的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定
14．Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C 为圆心作⊙C 和AB 相切，则⊙C 的半径长为（ ）
A ．8
B ．4
C ．9．6
D ．4．8
15．⊙O 内最长弦长为m ，直线ι与⊙O 相离，设点O 到ι的距离为d ，则d 与m 的关系是（ ）
A ．d=m
B ．d ＞m
C ．d ＞2
m
D ．d ＜2
m
16．以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
17．菱形对角线的交点为O ，以O 为圆心，以O 到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定
18．⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 为63，以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相交
C ．相切
D ．不能确定
19．下列四边形中一定有内切圆的是（ ）
A ．直角梯形
B ．等腰梯形
C ．矩形
D ．菱形
20已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是（ ） A ．相交
B ．内含
C ．内切
D ．外切
21一个等腰梯形的高恰好等于这个梯形的中位线．若分别以这个梯形的上底和下底为直径作圆，这两个圆的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相交
C ．外切
D ．内切
22两圆的圆心坐标分别是（3，0）和（0，1），它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相交
C ．外切
D ．内切
23．以平面直角坐标系中的两点O 1（0，3）和O 2（4，0）为圆心，以8和3为半径的两圆的位置关系是（ ）
A ．内切
B ．外切
C ．相离
D ．相交
24．两圆半径之比为3：2，当此两圆外切时，圆心距是10cm ，那么，当此两圆内切时，其圆心距为（ ）
A ．大于2cm 且小于6cm
B ．小于2cm
C ．等于2cm
D ．非以上取值范围
25．已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别为6和3，O 1、O 2的坐标分别是（5，0）和（0，6），则两圆的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．外切
C ．内切
D ．外离
26．R 、r 是两圆的半径（R ＞r ），d 是两圆的圆心距，若方程x 2
－2Rx ＋r 2
=d （2r －d ）有等根，则以R 、r 为半径的两圆的位置关系是（ ）
A ．外切
B ．内切
C ．外离
D ．相交
27．已知半径分别为r 和2r 的两圆相交，则这两圆的圆心距d 的取值范围是（ ）
A ．0＜d ＜3r
B ．r ＜d ＜3r
C ．r ＜d ＜2r
D ．r ≤d ≤3r
28．已知两个等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，且⊙O 1经过O 2，则四边形O 1AO 2B 是（ ）
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．矩形
D ．正方形
29．半径分别为1、2、3的三圆两两外切，则以这三个圆的圆心为顶点的三角形的形状为（ ）
A ．钝角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．直角三角形
30．半径分别为1cm 和2cm 的两圆外切，那么与这两个圆都相切且半径为3cm 的圆的个数是（ ）
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
二．填空题
1．直角三角形三个顶点都在以 为圆心，以 为半径的圆上，直角三角形的外心是 ． 2．若Rt △ABC 的斜边是AB ，它的外接圆面积是121πcm 2
，则AB= ． 3．△ABC 的三边3，2，13，设其三条高的交点为H ，外心为O ，则OH= ． 4．在△ABC 中，∠C=90°，AB=6，则其外心与垂心的距离为 ． 5．△ABC 的外心是它的两条中线交点，则△ABC 的形状为 ． 6．如图是一块破碎的圆形木盖，试确定它的圆心．
7．圆的一条弦与直径相交成300角，且分直径长1cm 和5cm 两段，则这条弦的弦心距为_______ ，弦长_______ 。
8．如图1，AB 是⊙O 的弦，AD 是⊙O 的切线，C 为弧AB 上任一点，∠ACB=1080，∠BAD=__________。 9．如图2，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，CD 切⊙O 于D ，交BA 的延长线于E ，若BC= 6，EB=8，则EA= 。
10．如图3，在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=4，BC=3，E ，D 分别是AB ，BC 的中点，过E ，D 作⊙O ，且与AB 相切于E ，那么⊙O 的半径OE 的长为 。
11．如图4，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是和⊙O 相切于点B 的切线，⊙O 的弦AD 平行于OC ，若OA ＝2，
且AD+OC=6，则CD=______________。
12．如图5，PT 是⊙O 的切线，切点是T ，M 是⊙O 内一点，PM 及PM 的延长线交⊙O 于B ，C ，BM=BP ＝2，PT ＝52，OM=3，那么⊙O 的半径为__________。
13．如图6，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 分别切⊙O 于D 、E 、F ，AB=7，AC=5，AD=2，则BC=_______。 8．如图7，AB 、CD 是两条互相垂直的直径，E 是OD 中点，延长AE 交圆于F ，AO=4厘米，则EF=_______厘米。
图5 图6 图7 14．两圆的半径分别是方程x 2
－12x ＋27=0的两个根，圆心距为9，则两圆的位置关系一定是 ． 15．已知两圆外离，圆心距等于12，大圆的半径是7，那么小圆的半径所可能取的整数值是 ． 16．已知两圆半径的比为3：5，当两圆内切时，圆心距为4cm ，那么当此两圆外切时，圆心距应为 ．
A
A
17．平面上两圆的位置关系可以归纳为三类，即、和．
18．已知两圆直径为3＋r，3－r，若它们圆心距为r，则两圆的位置关系是．
19．两个半径分别为6cm的圆，它们的圆心分别在另一个圆上，则其公弦的长是．
20．已知⊙O1和⊙O2相内切，且⊙O1的半径6，两圆的圆心距为3，则⊙O2的半径为．
21．两圆的半径之比是5：3，外切时圆心距是32，那么当这两个圆内切时，圆心距为．
22．在直角坐标系中，分别以点A（0，3）与点B（4，0）为圆心，以8与3为半径作⊙A和⊙B，则这两个圆的位置关系为．
三．证明题
1.已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a，b是方程x2－3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积．
2.已知：如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠FDE=70°，求∠A的度数．
3.如图，已知：P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条割线，分别交⊙O于A、B和C，D，且AB是⊙O的直径，弧AC=弧DC，连结BD，AC，OC。
（1）求证：OC∥BD；
（2）如果PA=AO＝4，延长AC与BD的延长线交于E，求DE的长。
4.如图，已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线BC，连结CO．若AD∥OC交⊙O于D．求证：CD是⊙O的切线．
5.已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线．
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．
（1）当圆心O与C重合时，⊙O与AB的位置关系怎样？
（2）若点O沿CA移动时，当OC为多少时？⊙C与AB相切？
7.如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？
8．（1）如图1两个半径为r的等圆⊙O1与⊙O2外切于点P．将三角板的直角顶点放在点P，再将三角板绕点P 旋转，使三角板的两直角边中的一边PA与⊙O1相交于A，另一边PB与⊙O2相交于点B（转动中直角边与两圆都不相切），在转动过程中线段AB的长与半径r之间有什么关系？请回答并证明你得到的结论；
（2）如图2，设⊙O1和⊙O2外切于点P，半径分别为r1、r2（r1＞r2），重复（1）中的操作过程，观察线段AB 的长度与r1、r2之间有怎样的关系，并说明理由．
九年级数学下册第三章圆3.1圆教案(新版)北师大版
、教学目标 1. 知道圆的有关定义及表示方法 . 2. 掌握点和圆的位置关系 . 3. 会根据要求画出图形 . 二、课时安排 1 课时 三、教学重点 点和圆的位置关系 . 四、教学难点 点和圆的位置关系 . 五、教学过程 （一）导入新课 生活中关于圆的图形展示， 引导学生认识圆并谈谈对圆的理解： （二）讲授新课 活动 1：小组合作 3.1 圆 观察车轮，你发现了什 么？ 车轮为什么做成圆
车轮做成三角形、正方形可以吗？ 探究 1：（1）如图， A，B 表示车轮边缘上的两点， 点离与 B， O之间的距离有什么关系？ （ 2）C 表示车轮边缘上的任意一点，要使车轮能够平稳地滚动， C，O之间的距 离与 A， O之间的距离应满足什么关系？ 明确：车轮边缘上任意两点到轴心的距离都相等 , 任意一点到轴心的距离是一个 定值 . 圆上的点到圆心的距离是一个定值 . 探究 2：投圈游戏 一些学生正在做投圈游戏 , 他们呈“一”字排开 , 这样的队形对每个人公平 吗 ?你认为他们应当排成什么样的队形 ? 为了使投圈游戏公平 , 现在有一条 3 米长的绳子 , 你准备怎么办 ? 定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点称为 圆心，定长称为半径 . 注意： 1. 从圆的定义可知 : 圆是指圆周而不是圆面 O表示车轮的轴心， A，O 之间的距
2. 确定圆的要素是：圆心、半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，确定一个圆，两者缺一不可 . 以点 O为圆心的圆记作：⊙ O，读作：“圆 O”. 探究 3：圆的有关性质 战国时期的《墨经》一书中记载：“圜，一中同长也”.古代的圜（ huán）即圆，这句话 是圆的定义，它的意思是： 圆是从中心到周界各点有相同长度的图形 . 提问：如果一个点到圆心距离小于半径 , 那么这个点在哪里呢 ?大于圆的半径呢 ?反过来呢? 试根据圆的定义填空： 1.圆上各点到 ___________ 的距离都等于______________ . 2.到定点的距离等于定长的点都在 ____ . 探究 4：点与圆的位置关系 如图，设⊙O 的半径为 r，A点在圆内， B点在圆上， C点在圆外，那么 OA 《圆和圆的位置关系》教案 第九中学 郭畅 课题：§20.2.3 圆和圆的位置关系 课程类型：新课 教学目标： 1.知识技能：经历探索两个圆位置关系的过程;了解圆和圆之间的几种位置关系;了解 两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系。 2.解决问题：培养学生观察、想象、分析、动手操作的能力和“分类讨论”的数学思 想。还有类比的学习方法 3.情感态度：体现数学学习的快乐，在快乐中领悟数学之美，体现知识源于实践， 又运用于生活。同时培养学生运用类比的思想解决生活问题的能力，培 养学生永无止境的探索科学的精神。 教学重点: 掌握圆与圆的五种位置;两圆的圆心距、半径的数量之间的关系. 教学难点:引导学生发现两圆相交、内含中的三个数量R、r与d的关系. 教学方法：采用“创设情境法”、“任务驱使法”，“引导发现法”为主， 并以讨论法、演示法相结合，设计“实验——观察——讨论——归纳”的教学 方法。 课前准备：多媒体，圆规，铅笔、刻度尺等. 教学过程： [活动1] 温故而知新（2分钟） 1复习：直线和圆有哪几种位置关系？（图文并茂的帮助学生回忆旧知。更直观、更省时。）2引入：那两圆的位置关系又怎么样呢？ [板书：圆和圆的位置关系] [活动2] 创设情景,引入新课（3分钟） 2009年7月22日上午天空晴朗，忽然，天色渐渐暗了下来，发生了什么事情？ （通过欣赏“日食”过程的天文现象引入[课件展示] 。 创设情境，展示图片.学生观察日食多媒体课件, 重点观察日食中两圆位置的变化与图片中几种圆和圆的位置关系.） [活动3] 探索新发现（20分钟） 1：确定五种位置关系 在两张透明纸上画两个不同的圆,把两张纸叠和在一起,模拟日食,类比直线和圆的位置关系的定义,在独立思考并与同伴交流后，画出两圆的位置关系。 问题1：分别在两张透明的纸上画两个半径不同的⊙O1与⊙O2,把两张纸叠合在一起,固定其中的一张而移动另一张,你能发现⊙O1与⊙O2有几种不同的位置关系?每种位置关系有多少个公共点? 问题2：请你与同伴交流后，画出圆与圆的位置关系。 2探索有趣的对称性 2016最新版初三下册数学知识点总结 第一天 第一章 直角三角形边的关系 ※一. 正切： 正切．． 即的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan ; 正弦，即斜边 的对边A A ∠=sin ; 余弦，即斜边 的邻边 A A ∠= cos ; ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= sin 2 A+cos 2 A=1 (5)直角三角形的内切圆半径2c b a r -+= (6)直角三角形的外接圆半径c R 2 1 = ※ 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角．． (或叫做坡比．．)。用字母i 表示，即A l h i tan == （第二天）第三章 圆 1. 点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则 ①点在圆上 <===> d=r; ②点在圆内 <===> d 圆与圆的位置关系教案 【教学目标】 1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 2．通过圆与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想． 3．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯． 【教学重难点】 教学重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 教学难点：用坐标法判断两圆的位置关系． 【教学过程】 ㈠复习导入、展示目标 问题：如何利用代数与几何方法判别直线与圆的位置关系？ 前面我们运用直线与圆的方程，研究了直线与圆的位置关系，这节课我们用圆的方程，讨论圆与圆的位置关系． ㈡检查预习、交流展示 1.圆与圆的位置关系有哪几种呢？ 2．如何判断圆与圆之间的位置关系呢？ ㈢合作探究、精讲精练 探究一：用圆的方程怎样判断圆与圆之间的位置关系？ 例1.已知圆 C 1：01322 2 =++++y x y x ，圆C 2 ： 02342 2 =++++y x y x ，是 判断圆C 1 与圆C 2 的位置关系. 解析：方法一，判断圆与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据连心线的长与两半径长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系，判断圆与圆的位置关系. 解:(法一) 圆C 1 的方程配方,得4 923)1(2 2 = +?? ? ??++y x . 圆心的坐标是??? ??- -23,1,半径长2 3 1 =r . 圆C 2 的方程配方,得4 1723)2(2 2 = +? ? ? ??++y x . 圆心的坐标是?? ? ??--23,2,半径长 2 172= r . 连心线的距离为1, 217321+= +r r ,2 3 1721-=-r r . 因为 2 17 312317+<<-, 所以两圆相交. (法二) 方程 01322 2 =++++y x y x 与02342 2 =++++ y x y x 相减,得 2 1 = x 把2 1= x 代入01322 2=++++y x y x ,得 011242 =++y y 因为根的判别式016144>-=?,所以方程011242 =++y y 有两个实数根,因此两 圆相交. 点评:巩固用方程判断圆与圆位置关系的两种方法. 变式2 2 2 2 (1)(2)(2)1(2)(5)16x y x y ++-=-+-=与的位置关系 解：根据题意得，两圆的半径分别为1214r r ==和，两圆的圆心距 5.d == 因为 12d r r =+，所以两圆外切． ㈣反馈测试 导学案当堂检测 ㈤总结反思、共同提高 判断两圆的位置关系的方法: (1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定； (2)依据连心线的长与两半径长的和12r r +或两半径的差的绝对值的大小关系． 【板书设计】 一．圆与圆的位置关系 （1）相离，无交点 （2）外切，一个交点 （3）相交，两个交点； 圆 一、圆周角定理及其推论 1、 (2016兰州)如图，在⊙O 中，点C 是AB ︵ 的中点，∠A ＝50°，则∠BOC ＝( )。 A . 40° B . 45° C . 50° D . 60° 2、(2016济宁)如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵ ，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是( )。 A. 40° B . 30° C . 20° D . 15° 3、(2016永州)如图，在⊙O 中，A ，B 是圆上的两点，已知∠AOB ＝40°，直径CD ∥AB ，连接AC ，则∠BAC ＝ 度。 （1） (2) (3) (4) 4、(2016青岛)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD ＝28°，则∠ABD ＝________°。 二、垂径定理及其推论 5、 (2016黄石)如图所示，⊙O 的半径为13，弦AB 的长度是24，ON ⊥AB ，垂足为N ，则ON ＝( )。 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 6、(2016眉山)如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝32°，则∠OAC 等于( )。 A. 64° B. 58° C. 72° D. 55° 7、(2016安顺)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AB ＝8，CD ＝6，则BE ＝ 。 (5) (6) (7) 三、与圆有关的位置关系 8、 (2016湘西)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm ，以点C 为圆心，以2.5 cm 为半径画圆，则⊙C 与直线AB 的位置关系是( )。 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 9、(2016上海)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝7，点D 在边BC 上，CD ＝3，⊙A 的半径长为3，⊙D 与⊙A 相交，且点B 在⊙D 外，那么⊙D 的半径长r 的取值范围是( )。 A. 1＜r ＜4 B. 2＜r ＜4 C. 1＜r ＜8 D. 2＜r ＜8 《直线与圆的位置关系》教案 哈尔滨第一职业高级中学 李立 2014.10.15 《直线与圆的位置关系》教案 一、教学目标 1、知识与技能 （1）理解直线与圆的位置的种类； （2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； （3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 2、过程与方法 通过学习，学会使用不同的方法来分析、判断直线与圆的位置关系。 3、情态与价值观 让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想． 二、教学重点、难点： 重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法． 难点：用坐标法判直线与圆的位置关系． 三、教学设想： （一）创设情境 请同学们观察一段海上日出的视频，并提出问题：直线与圆存在几种位置关系？进而，引出今天所要研究的内容——直线与圆的位置关系。 （二）讲解知识 1.复习提问： （1）初中阶段，直线与圆的位置关系是如何定义？ （2）若已知直线方程及圆的方程如何求它们的交点？ （3）直线方程的一般式、圆的标准方程、圆的一般方程？ 2.用判别式法判断直线与圆的位置关系 （1）例题示范： 已知：直线的方程为： 圆的方程为： 判断直线与圆的位置关系。 边分析边引导学生回答，教师示范板书。并引导学生总结求解过程，从而，引发学生思考得出结论： 相离0?? （2）练习2：已知：圆的方程： 直线的方程： 问：当 为何值时，直线与圆相切？ 由学生示范解题过程并引导学生讲解，启发学生思考：是否还有其它方法判断直线与圆的位置关系。 3.比较圆心到直线的距离d 与半径r 的大小判断直线与圆的位置关系 （1）观察图形，引导学生总结三幅图中圆心到直线的距离d 与半径r 的大小得出结论：相离r d >?；相切r d =?；相交r d 《圆》教案 学习目标 1．知识技能：理解圆及相关概念，理解点与圆的位置关系，并能解决相关问题． 2．过程与方法：经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程． 3．情感态度：在学习中体会圆的实际应用，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识．初步培养学生以定义为依据分析问题解决问题的良好习惯． 教学重点 1．圆的相关概念； 2．点与圆的位置关系． 教学难点 1．概念的融会贯通； 2．在具体问题中的点与圆的位置关系． 教学过程 一、情境导入： 用准备好的一根线可以围成怎样的图形？学生活动，用课件演示圆的形成过程． 设计意图：通过实际活动激发学生的学习兴趣，学生可以围成三角形，平行四边形，圆形等，引入圆． 二、温故知新： 复习回顾 1．举例说出生活中的圆． 2．结合圆的定义了解圆心和半径． 3．圆的周长公式圆的面积公式S= 三、交流展示： 阅读课本P65—P66找到相关概念． 1．圆的定义： 以点O为圆心的圆，记作“”，读作“”． 决定圆的位置，决定圆的大小． 2．弦：连接圆上任意两点的叫做弦． 直径：经过圆心的叫做直径． 是圆中最长的弦． 3．弧：任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 半圆：圆的任意一条的两个端点把圆分成两条弧，每一条都叫做半圆． 优弧：半圆的弧叫做优弧．用个点表示，如图中叫做优弧． 劣弧：半圆的弧叫做劣弧．用个点表示，如图中叫做劣弧． 4．等圆：能够的两个圆叫做等圆． 等弧：在同圆或等圆中，能够的弧叫做等弧． 四、提炼新知 点与圆的位置关系． 圆O的半径为r，点到圆心的距离为d． （1）点在圆内，即d 24.2.1 点和圆的位置关系 教学目标： 1．理解点和圆的三种位置关系，并会 运用它解决 一 些实际问题； 2．会过不在同一直线上的三个点作圆，理解三角形 的外心和外接圆的概念； 3．结合本节内容的学习，体会数形结合、分类讨论的数学思想． 学习重点： 点和圆的位置关系． 育人目标 领悟数学知识来源于生活，服务于生活，通过相互探 讨和动手操作，体验数学知识的探究和发现过程，培养学生合作交流意识和探索精神，养成有理有据的科学态度，形成数学思想，让学生在数学活动中感受成功喜悦 (一）问题情境引入新知 爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛。他们把靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。如下图中A 、B 、C 三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩好？ 一、感知与尝试 （1）点和圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种： C . （2）在圆上到圆心的距离和圆的半径有什么关系： 二、合作与探究（1） 如图，设⊙O 的半径为r ，A 点在圆内，B 点在圆上，C 点在圆外，那么 反过来也成立,如果已知点到圆心的距离和圆的半径的关系，就可以判断点和圆的位置关系。 二、合作与探究（2） 例：如图已知矩形ABCD 的边AB=3厘米，AD=4厘米 （1）以点A 为圆心，3厘米为半径作圆A ，则点B 、C 、D 与圆A 的位置关系如何？ （2）以点A 为圆心，4厘米为半径作圆A ，则点B 、C 、D 与圆A 的位置关系如何？ O A B r C A B C A D 二、合作与探究（3） 例：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米 （3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？ 二、合作与探究（4）应用新知 过一点画圆 二、合作与探究（5）过两点画圆A D C B A A 课时教学设计首页 授课时间2016年月日 授课时间2016年月日 教师行为学生行为 2、请你说一说为什么上述游戏中排成圆形（或圆弧 形）队形比较公平？ 二、冋题引申，探究圆的定义. 1、观察下列画圆的过程, 你能 根据自己的理解试着给圆下个 定义吗？课堂变化及处理主要环节的效果 一、创设问题情境，激发学生兴趣? 1、如图3-1 一些学生正在做投圈游戏，他们的投圈 目标都是图中的花瓶。如果他们呈“一”字型排开, 这样的队形对每个人都公平吗？你认为他们应当什么样的队形才公平？学生积极思考把自己带入游戏的快乐中， 并举手回答： 如果单纯考虑队形因素，即只考虑 “距离”对投圈结果的影响，那么排成 圆形（或圆弧形）队形比较公平。 学生抢答： 因为圆上的点道圆心的距离相等 引导学生发现：每一人 到玩具的距离相等时才 公平.为抽象出“平面上 到定点的距离等于定长 的所有点组成的图形叫 做圆”的概念做准备. 2、你能在图中找到圆心，半径，并会表示这个圆吗? 学生通过阅读课文独立回答 圆心：固定的端点叫作圆心；半径：线 段OA的长度叫作这个圆的半径. 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记 作“O O”，读作“圆O”通过游戏引出圆的概念教学时要对学生合理的想法给予肯定并引导完善 学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现圆可以看成是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形； 授课时间2016年月日教师行为学生行为 4、请你说一说圆上各点、定点、定长有何关系呢？ (1 )圆心的距离都等于定长 (2)到定点的距离等于定长的点 5、那么确定一个圆要几个要素： 一是圆心，圆心确定其位置， 二是半径，半径确定其大小. 三、进一步探究圆的相关概念，培养学生的自学探究精神。 请同学们结合图3-2小组交流讨论解决以下问题. 弦：直径： 弧、弧的表示方法: 半圆：等圆：等弧： 优弧：劣弧: 四、问题深入，探究点和圆的关系 1、在平面上任取一点，这点可能 在圆的什么地方？ 2、如图3-3所示，O O是 一个半径为r的圆，圆上分别取一点，点到圆心的 距离为d，你能用r与d的大小关系刻画它们的位 置特征吗? 小组讨论，组内互相交流协商、组内 统一意见?各组派代表表述本组讨论 结果? 学生根据自己的理解口头作答， 最后由一名学生小结? 学生通过自己阅读课文，与同伴交 流完成圆的相关概念的认识。 学生抢答： 这点可能在圆外、在圆上、或在圆 内。 学生口答并完成课文66页想一想。 点P在圆外，？ d> r; 点P在圆上，？ d= r; 点P在圆内，？ d v r. 课堂变化及处理 主要环节的效果学 生发言踊跃，思维得到 了有效的激发，多数学 生能抓住到定点的距离 相等的条件，只是表达 还不够准确、完善? 对还有疑虑的问题, 教师可以作引导性讲 解生回答教师引导 通过此问题的探究，使 学生理解点与圆的位置 关系，并体会定性分析 与定量分析的关系? 圆和圆的位置关系教学设计 第一课时 教学目标： 1．掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法；两圆连心线的性质； 2．通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力； 3．通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力． 教学重点： 两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系． 教学难点： 两圆位置关系及判定． （一）复习、引出问题 1．复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的? （教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交．各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的2．引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢? （二）观察、分类，得出概念 1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义： (1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时， 叫做这两个圆外离．(图(1)) (2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(2)) (3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．(图(3)) (4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(4)) (5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含．两圆同心是两圆内含的一个特例．(图(6)) 2、归纳： (1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点． (2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一 (3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切)． 教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点? 结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系． （三）分析、研究 1、相切两圆的性质． 让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的 精心整理第三讲直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 第一部分知识梳理 一.直线与圆的位置关系 1.直线与圆的三种位置关系 如图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，得出直线和圆的三种位置关系： （1）直线l和⊙O相离?d r > 此时：直线和圆没有公共点． （2）直线l和⊙O相切?d r = . （1）如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线. 证明直线是圆的切线的两种情况: （1）当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径 长”来判定直线与圆相切. （2）当已知直线与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”. 二.圆与圆的位置关系 1.圆与圆的五种位置关系 在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、 （ （ （ （ （ 2. 注：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切. 3.相交两圆的性质 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦． 注：当两圆相交时分为两种情况：圆心在公共弦的同侧和圆心在公共弦的两侧. 第二部分例题精讲 例1如图，已知Rt ABC ?中，∠C=90°，AC=3，BC=4 （1）圆心为点C、半径长R为2的圆与直线AB有怎样的位置关系？ （2）圆心为点C、半径长R为4的圆与直线AB有怎样的位置关系？ （3）如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，求⊙C的半径R的取值范围. . 已知Rt ABC ?中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，以B为圆心作⊙B. （1）若⊙B与斜边AC只有唯一一个公共点，求⊙B的半径长R的取值范围. （2）若⊙B与斜边AC没有公共点，求⊙B的半径长R的取值范围. 例2已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且 圆北师大版九年级下册 知识点及题库 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】 圆 圆一章中在近年的考试中有所弱化，从分值上由原来的20分降到10分左右；从难度上看，只需垂径定理、圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距间的关系定理，直径与圆周角的性质的简单运用。所以，教师复习时，要在难易方面有所体现。 一、知识系统图 二、考点分析 1 圆、圆与圆的位置关系。 2、探索圆的性质：垂径定理，圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距间的关系定理，直径与圆周角的性质。 3、探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线。 4、了解三角形的内心、外心。 5、a、h、r、d中，知二求二 6、会计算弧长及扇形的面积，阴影图形面积，圆锥的侧面积和全面积。 三、技能和方法 1、能正确利用用辅助线解决圆的证明和计算（已知r，作弦；与弦有关作弦心距；与切线有关作半经） 2、能用比较、分析、综合、数形结合、化归、建模等数学思想方法解答比较简单的综合性、实际性问题。 3、充分感受数学与现实生活的紧密联系。 四、例题解析 1.己知：⊙Ｏ１和⊙Ｏ２直径分别是１０和8，Ｏ１Ｏ２＝７，则两圆的位置关系是： ； 2.己知⊙Ｏ１和⊙Ｏ２内切，且⊙Ｏ１的半经为6 cm ，两圆的圆心距为3 cm ，那么⊙Ｏ２的半径长为： ； 3.己知：直角三角形的两直角边分别为3和4cm ，求以一条直角边为轴 旋转所得图形的表面积。 4．如图，AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB 于点C ，OA = 5，AB = 8，求OC 的长。 5．如图，AB 是的直径，BD 是的弦，延长BD 到C ，使CA = AB 。BD 与CD 的大小有什么关系为什么 五、练习拓展 3．1 车轮为什么做成圆形 1.⊙O 外一点P 和⊙O 上一点的距离最小3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________． 2.⊙O 的半径为5，圆心O 的坐标为O （0，0），点A 的坐标为A 的位置关系是（ ） A.点A 在⊙O 内 B.点A 在⊙O 上 C.点A 在⊙O 外 D.点A 在⊙O 3.如图，一根绳子长4 m ，一端拴着一只羊，另一端拴在 墙BC 边A 处的柱子上，请画出羊的活动区域． 4.如图，已知在同心圆O 中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D BOD ． 3．2 圆的对称性（一） 1.若⊙O 的直径为10厘米，弦AB 的弦心距为3厘米，则弦AB 2.已知⊙O 的半径为8cm ，OP =5cm ，则在过点P 最长的弦长为___________ 3.已知⊙O 的半径为5cm ，则垂直平分半径的弦长为__________． 4.已知圆的两弦AB 、CD 的长分别是18和24，且AB ∥CD 圆的半径长是（ ） 或15 5.如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分）， 水面的宽度AB 为800mm ，求水的最大深度CD ． 3．2 圆的对称性（二） 1.在⊙O 中，60°的圆心角所对的弦长为5cm ，则这个圆的半径为2.若⊙O 的弦AB 的长为8cm ，O 到AB 的距离为，弦AB __________． 3.下列结论中正确的是（ ）A.长度相等的两条弧相等 B.相等的圆心角所对的弧相等 C.圆是轴对称图形 D.平分弦的直径垂直于弦 4.如图，三点A 、B 、C 在⊙O 上．（1）已知：∠ABC =∠ACB ， 求证：AB=AC ； （2）已知：AB=AC ，求证：∠ABC =∠ACB 3．3 圆周角和圆心角的关系（一） 1.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上． 点与圆的位置关系 肖海霞 学习目标：1、理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定； 2、理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆； 3、会画三角形的外接圆，熟识相关概念 学习过程 一、点与圆的位置三种位置关系 生活现象：阅读课本P53页，这一现象体现了平面内．．．点与圆的位置关系． 如图1所示，设⊙O 的半径为r ， A 点在圆内，OA r B 点在圆上，OB r C 点在圆外，OC r 反之，在同一平面上．．．．．，已知的半径为r ⊙O ，和A ，B ，C 三点： 若OA ＞r ，则A 点在圆 ； 若OB ＜r ，则B 点在圆 ； 若OC=r ，则C 点在圆 。 二、多少个点可以确定一个圆 问题：在圆上的点有 多个，那么究竟多少个点就可以确定一个圆呢？ 试一试 画图准备： 1、圆的 确定圆的大小，圆 确定圆的位置； 也就是说，若如果圆的 和 确定了， 那么，这个圆就确定了。 2、如图2，点O 是线段AB 的垂直平分线 上的任意一点，则有OA OB 图2 画图： 1、画过一个点的圆。 右图，已知一个点A ，画过A 点的圆． 小结：经过一定点的圆可以画 个。 图 1 o B A A 2、画过两个点的圆。 右图，已知两个点A 、B ，画经过A 、B 两点的圆． 提示：画这个圆的关键是找到圆心， 画出来的圆要同时经过A 、B 两点， 那么圆心到这两点距离 ，可见， 圆心在线段AB 的 上。 小结：经过两定点的圆可以画 个，但这些圆的圆心在线段的 上 3、画过三个点（不在同一直线）的圆。 提示：如果A 、B 、C 三点不在一条直线上，那么经过A 、B 两点所画的圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上， 而经过B 、C 两点所画的圆的圆心在 线段BC 的垂直平分线上，此时，这 两条垂直平分线一定相交，设交点为O ， 则OA ＝OB ＝OC ，于是以O 为圆心， OA 为半径画圆，便可画出经过A 、B 、C 三点的圆． 小结：不在同一条直线．．．．．上的三个点确定 个圆． 三、概括 我们已经知道，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点． 如图：如果⊙O 经过△ABC 的三个顶点， 则⊙O 叫做△ABC 的 ，圆心O 叫 做△ABC 的 ，反过来，△ABC 叫做 ⊙O 的 。 △ABC 的外心就是AC 、BC 、AB 边的 交点。 四、分组练习 A B C B 数学：河南省大峪二中《圆与圆的位置关系》单元测试（人教版九年级） 一．选择 1. （2009年泸州）已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距020=7cm ，则两圆的位置关系为 A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 2. (2009年滨州)已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d ，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（ ） A ．01d << B ．5d > C ．01d <<或5d > D ．01d <≤或5d > 3.（2009年台州市）大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（ ） A ．外离 B ．外切 Ｃ．相交 D ．内含 4.（2009桂林百色）右图是一张卡通图，图中两圆的位置关系（ ） A ．相交 B ．外离 C ．内切 D ．内含 5．若两圆的半径分别是1cm 和5cm ，圆心距为6cm ，则这两圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 6（2009年衢州）外切两圆的圆心距是7，其中一圆的半径是4，则另一圆的半径是 A ．11 B ．7 C ．4 D ．3 7.（2009年舟山）外切两圆的圆心距是7，其中一圆的半径是4，则另一圆的半径是 A ．11 B ．7 C ．4 D ．3 8. .（2009年益阳市）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O 1O 2的取值范围在数轴上表示正确的是 B ． 3 1 0 2 4 5 D ． 3 1 0 2 4 5 A ． 3 1 0 2 4 5 C ． 3 1 0 2 4 5 课时教学设计首页 教师行为学生行为课堂变化及处理 主要环节的效果 一、创设问题情境，激发学生兴趣. 1、如图3-1一些学生正在做投圈游戏，他们的投圈 目标都是图中的花瓶。如果他们呈“一”字型排开，这样的队形对每个人都公平吗？你认为他们应当什么样的队形才公平？ 2、请你说一说为什么上述游戏中排成圆形（或圆弧形）队形比较公平? 二、问题引申，探究圆的定义. 1、观察下列画圆的过程， 你能根据自己的理解试着 给圆下个定义吗？ 2、你能在图中找到圆心，半径，并会表示这个圆吗？学生积极思考把自己带入游戏的 快乐中，并举手回答： 如果单纯考虑队形因素，即只考虑 “距离”对投圈结果的影响，那么 排成圆形（或圆弧形）队形比较公 平。 学生抢答： 因为圆上的点道圆心的距离相等 学生小组合作、分组讨论，通过动 画演示，发现圆可以看成是平面上 到定点的距离等于定长的所有点 组成的图形； 学生通过阅读课文独立回答 圆心：固定的端点叫作圆心； 半径：线段OA的长度叫作这个圆 的半径． 圆的表示方法：以点O为圆心的 圆，记作“⊙O”，读作“圆O” 引导学生发现：每一 人到玩具的距离相 等时才公平.为抽象 出“平面上到定点的 距离等于定长的所 有点组成的图形叫 做圆”的概念做准 备. 通过游戏引出圆的 概念教学时要对学 生合理的想法给予 肯定并引导完善 A O 教师行为学生行为课堂变化及处理 主要环节的效果 4、请你说一说圆上各点、定点、定长有何关系呢？（1）圆心的距离都等于定长 （2）到定点的距离等于定长的点 5、那么确定一个圆要几个要素: 一是圆心，圆心确定其位置， 二是半径，半径确定其大小． 三、进一步探究圆的相关概念，培养学生的自学探究精神。 请同学们结合图3-2小组交流讨论解决以下问题．弦：直径： 弧、弧的表示方法： 半圆：等圆： 等弧：优弧：劣弧： 四、问题深入，探究点和圆的关系 1、在平面上任取一点， 这点可能在圆的什么地方? 2、如图3-3所示，⊙O是 一个半径为r的圆，圆上分别取一点，点到圆心的距离为d，你能用r与d的大小关系刻画它们的位置特征吗？小组讨论, 组互相交流协商、组 统一意见.各组派代表表述本组 讨论结果. 学生根据自己的理解口头作答， 最后由一名学生小结. 学生通过自己阅读课文，与同伴 交流完成圆的相关概念的认识。 学生抢答: 这点可能在圆外、在圆上、或在 圆。 学生口答并完成课文66页想一 想。 点P在圆外，?d＞r； 点P在圆上，?d＝r； 点P在圆，?d＜r. 学生发言踊跃，思维 得到了有效的激发， 多数学生能抓住到 定点的距离相等的 条件，只是表达还不 够准确、完善. 对还有疑虑的问题， 教师可以作引导性 讲解生回答教师引 导 通过此问题的探究， 使学生理解点与圆 的位置关系，并体会 定性分析与定量分 析的关系. 圆和圆的位置关系 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质．它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识． 难点：两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用．由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏；而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．”看成是真命题． 2、教法建议 本节内容需要两个课时．第一课时主要研究圆和圆的位置关系；第二课时相交两圆的性质． （1）把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体，让学生观察、分析、归纳概括，主动获得知识； （2）要重视圆的对称美的教学，组织学生欣赏，在激发学生的学习兴趣中，获得知识，提高能力； （3）在教学中，以分类思想为指导，以数形结合为方法，贯串整个教学过程． 第一课时圆和圆的位置关系 教学目标： 1．掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法；两圆连心线的性质； 2．通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力； 3．通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力． 教学重点： 两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系． 教学难点： 两圆位置关系及判定． （一）复习、引出问题 1．复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的? （教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交．各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的 2．引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢? （二）观察、分类，得出概念 1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义： (1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．(图(1)) (2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(2)) (3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．(图(3)) 点、线、圆与圆的位置关系 一：点与圆的位置关系： 1. 点与圆的位置关系的判断 点与圆的位置关系 设O ⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有： 点在圆外?d r <. >；点在圆上?d r =；点在圆内?d r 2. 三角形外接圆的圆心与半径 三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. 二：直线与圆的位置关系： 1.直线与圆的位置关系 设 2.切线的性质 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3.切线的判定 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 4. 切线长定理及三角形内切圆 ⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 三：圆与圆的位置关系： 一：点与圆的位置关系： 1.点与圆的位置关系的判断： 例题1：⑴【易】一点到圆周上点的最大距离为18，最短距离为2，则这个圆的半径为___________ 【答案】10或8 【解析】当点在圆内时，圆的直径为18+2=20，所以半径为10． 当点在圆外时，圆的直径为18-2=16，所以半径为8． ⑵【易】已知如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB 的中点为点M ． ①以点C 为圆心，4为半径作⊙C ，则点A 、B 、M 分别与⊙C 有怎样的位置关系？ ②若以点C 为圆心作⊙C ，使A 、B 、M 三点中至少有一点在⊙C 内，且至少有一点在圆外，求⊙C 的半径r 的取值范围． 【答案】①∵在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB 的中点为点M ∴AB ， 122 CM AM = = ， ∵ 以点C 为圆心，4为半径作⊙C ， ∴AC=4，则A 在圆上，42 CM = <，则M 在圆内，BC=5＞4，则B 在圆外； ②以点C 为圆心作⊙C ，使A 、B 、M 三点中至少有一点在⊙C 内时，2 r >， 当至少有一点在⊙C 外时，r ＜5， 故⊙C 的半径r 的取值范围为：52 r <<． 测一测1：【易】在△ABC 中，90,45,C AC AB ∠=?==， 以点C 为圆心，以r 为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由. 《圆》教学设计 圆是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》九年级下册第三章第一节内容，本章主要研究圆的性质及与圆有的关的应用；本节要求经历形成圆的概念的过程， 经历探索点与圆位置关系的过程，理解圆的概念，理解点与圆的位置关系。因此本节的重点是理解圆的概念，理解点与圆的位置关系。 本节课的具体学习任务：经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程.理解圆的概念，理解点与圆的位置关系.一堂数学课，既要让学生获得具体的数学知识，又要让学生在获得知识的过程中，提高数学思维能力，掌握一些数学的分析方法，从而形成一定的数学素养.经历形成圆的概念的过程有两个目标，一是得到圆的概念，这是基础目标；二是经历由生活现象揭示其数学本质的过程，培养抽象思维，这是能力目标.经历探索点与圆位置关系的过程，初步体会定性分析与定量分析之间的关系. 【知识与能力目标】 1．经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程. 2．理解圆的概念，理解点与圆的位置关系. 【过程与方法目标】 1.经历由生活现象揭示其数学本质的过程，培养抽象思维和归纳概括的能力. 2.经历探索点与圆位置关系的过程，让学生体会定量分析对图形性质的判定方法. 【情感态度价值观目标】 1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求 知欲． 2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用． 3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识． 【教学重点】 理解圆的概念，理解点与圆的位置关系 【教学难点】 圆定义的理解 多媒体课件 第一环节情境引入（获取信息，体会特点） 活动内容：一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开.思考：这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？ 活动目的：引导学生发现：每一人到玩具的距离相等时才公平.为抽象出“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆”的概念做准备. 实际教学效果：这个问题的思考过程中，多数学生能够发现关键条件是每一人到玩具的距离相等，对归纳圆的定义起到了很好地启发作用. 第三环节动手操作 活动内容： （1）请大家用自己的方式在草稿纸上画一个圆. 要求：①尝试用多种方法；②观察、思考圆的形成过程. （2）教师演示用圆规和绳子画圆. 活动目的： 增加对圆的感性认知，为抽象出圆的定义做准备. 实际教学效果： 利用绳子画圆收到了意想不到的效果，绳子一端固定，一端系着粉笔，其长度不会改变，在画出圆的过程中，学生对粉笔与固定点的距离始终没有改变有着强烈的直观认识，反响热烈.圆和圆的位置关系教案郭畅
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